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第2课时 相似三角形的
判定定理 2、3
九年级上
1.掌握相似三角形的判定定理2与判定定理3；
2.经历相似三角形的判定定理2与判定定理3的推导过程.
3.能熟练运用相似三角形的判定定理 2、3证明三角形相似.
学习目标
重点
难点
难点
我们都学习过哪些判定三角形相似的方法？
新课引入
定义法：三组对应边成比例，三组对应角分别相等的两个三角形叫做相似三角形.
判定定理 1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角相等，那么这
两个三角形相似 ( 可简单说成：两角分别相等的两个三角形相似 ).
常用结论：平行于三角形的一边，截其他两边或两边的延长线，所得的三角形与
原三角形相似.
观察右图，如果有一点 E 在边 AC 上移动，那么点 E 在什么位置时能使△ADE 与△ABC 相似呢？
图中 △ADE 与△ABC 的一组对应边 AD 与 AB 的长度的比值为 . 将点 E 由点 A 开始在 AC 上移动，可以发现当 AE = AC 时，△ADE 与△ABC 似乎相似. 此时 = _____.
探究
A
B
C
D
一 相似三角形的判定定理2
新知学习
我猜想：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.
下面我们来证明上述猜想.
已知：如图，在△ABC 和△A1B1C1 中，∠A =∠A1， .
求证：△ABC∽△A1B1C1.
A1
B1
C1
A
B
C
D
E
证明：在边 AB 或它的延长线上截取 AD = A1B1，过点 D 作 BC 的平行线交 AC 于点 E，则△ADE∽△ABC，
∴ .
∵ ，AD = A1B1，
∴AE = A1C1.
在△ADE 和△A1B1C1 中，
∵AD = A1B1，∠A =∠A1，AE = A1C1，
∴△ADE ≌△A1B1C1，△ABC ≌△A1B1C1.
A1
B1
C1
A
B
C
D
E
通过刚刚的证明，我们又有了一种判定两个三角形相似的方法，即
归纳
相似三角形的判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
符号语言：
如图，在△ABC 和△A1B1C1 中，
∵∠A =∠A1， .
∴△ABC ∽△A1B1C1.
A1
B1
C1
A
B
C
例1 证明下图中的△AEB 和△FEC 相似.
B
F
E
A
C
54
45
30
36
证明：∵ = 1.5，
=1.5 ，
∴ ，
又∵∠AEB =∠FEC，
∴△AEB ∽△FEC ( 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 ).
思考
如果相等的角不是成比例的两边的夹角，那么这两个三角形还相似吗？
不一定，如图，对于△ABC 和 △A′B′C′，∠B = ∠B′，
显然∠C和∠C'不相等.
1. 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由.
∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm，
∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm ，A′C′ = 6 cm．
解：∵
∴
又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
针对训练
思考
如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？
二 相似三角形的判定定理3
在下图所示的方格图中任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形三边长的相同倍数. 画完之后，用量角器度量并比较两个三角形对应角的大小，你得出了什么结论？你同伴的结论和你的一样吗？
A
B
C
A1
B1
C1
两个三角形对应角均相等，两个三角形相似.
通过刚刚的探究，我们可以得出如下定理：
相似三角形的判定定理3 三边成比例的两个三角形相似.
类似于前两个判定定理的证明，我们也可以证明这个判定定理.
符号语言：
如图，在△ABC 和△A1B1C1 中，
∵ ，
∴△ABC ∽△A1B1C1.
A1
B1
C1
A
B
C
已知：如图，在△ABC 和△A′B′C′中，
求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
证明：在线段 A′B′ (或延长线) 上截取 A′D = AB，
过点 D 作 DE∥B′C′ 交A′C′于点 E.
∴
∵ DE∥B′C′ ，∴ △A′DE ∽ △A′B′C′.
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
∴ DE = BC，A′E = AC.
∴△A′DE ≌ △ABC，∴△ABC∽△A′B′C′ .
又 ∵ ，A′D = AB，
∴ ， .
例2 在△ABC 和△A'B'C' 中，AB = 6 cm，BC = 8 cm，AC = 10 cm，A'B' = 18 cm，B'C' = 24 cm，A'C' = 30 cm. 试证明△ABC 与△A'B'C' 相似.
证明：∵ = = ，
= = ，
= = ，
∴ = = ，
∴△ABC ∽△A'B'C' ( 三边成比例的两个三角形相似 ).
针对训练
1. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.
AB = 4 cm ，BC = 6 cm ，AC = 8 cm，
A′B′ = 12 cm ，B′C′ = 18 cm ，A′C′ = 24 cm.
解：相似. 理由如下：
∵
∴
∴△ABC ∽ △A′B′C′.
1.如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是( )A．∠B＝∠C
B．∠AEB＝∠ADCC．AB∶AC＝AE∶AD
D．AD∶AB＝AC∶AE
D
随堂练习
2. 如图，∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD = 1，
求证：△ABC ∽ △DBA.
A
C
B
P
D
∵ AB : BD = BC : AB = AC : AD，
∴△ABC ∽ △DBA(三边成比例的两个三角形相似).
证明一：∵∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD = 1，
∴AB = ，AC = ，AD = .
∵ AB : BC = BD : AB
∠ABC = ∠DBA
∴△ABC ∽ △DBA(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
证明二：∵∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD = 1，
∴AB = ， BD =2，
A
C
B
P
D
3.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，AE∥CD，DE∥AB，连接BD交AE于点F，CD＝AF，求证：BE2＝EC·BC.
证明：∵AE∥CD，∴△BEF∽△BCD， ∴
∵DE∥AB，∴ ∴
∵CD＝AF，∴
∴BE2＝EC·BC.
判定定理2
两边成比例
且夹角相等
判定定理3
三边成比例
相似三角形的
判定定理2.3
B
A
C
B'
A'
C'
课堂小结

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