资源简介

平面与平面垂直的判定
知识点一　二面角的概念
1．定义及有关概念
(1)定义： ．
(2)相关概念： 叫做二面角的棱， 叫做二面角的面．
(3)图形：如图所示．
(4)记法：二面角α－AB－β或P－AB－Q或α－l－β或P－l－Q.
2．二面角的平面角
(1)定义：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作 于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
(2)大小及范围：二面角的大小可以用它的 来度量，二面角的 是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是 的二面角叫做直二面角．二面角的平面角α的取值范围是 .
【练习】
1.在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是(　　)
A．AO⊥BO，AO α，BO β B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO α，BO β D．AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
2．给出下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个平面内作射线所成的角．
其中正确的命题是(　　)
A．①③ B．② C．③ D．①②
3．在长方体中，，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4.　四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD.
求：(1)二面角B－PA－D的平面角的度数；
(2)二面角B－PA－C的平面角的度数．
(3)二面角A－PD－C的平面角的度数；
知识点二　两个平面互相垂直的定义及判定定理
1．两个平面互相垂直的定义
(1)一般地，两个平面相交，如果 ，就说这两个平面 .
(2)图形：如图所示．
(3)表示：平面α与β垂直，记作 .
2．两平面垂直的判定定理
(1)文字语言：如果一个平面过 ，那么这两个平面 .
(2)符号语言：若 ，则 .
(3)作用： .
【练习】
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　)
A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D
6.如图，空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么图中互相垂直的平面有________.
7．如图，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中点．
求证：面面．
8. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∠PDC＝90°，E为棱AP的中点，且AD⊥CE.求证：平面PAD⊥平面ABCD.
【课后练习】
一、单选题
1．已知l，m，n是三条不同的直线，，是不同的平面，则下列条件中能推出的是（ ）
A．，，且
B．，，，且，
C．，，，且
D．，，且
2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　)
A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n α
C．m∥n，n⊥β，m α D．m∥n，m⊥α，n⊥β
3．假设是所在平面外一点，而和都是边长为2的正三角形，，那么二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
4. 如图，点P在二面角α－AB－β的棱AB上，分别在α，β内引射线PM，PN，截得PM＝PN.若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，则二面角α－AB－β的平面角的大小为(　　)
A．45° B．60° C．90° D．120°
二、多选题
5．如图，在正方体中，P是正方形的中心，E是PC的中点，则以下结论（ ）
A．平面BDE B．平面平面BDE
C． D．异面直线PC与AB所成的角为
6.如图，在三棱锥P－ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A．平面EFG∥平面PBC B．平面EFG⊥平面ABC
C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角 D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
三、填空题
7．如图，若平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，则二面角的大小为______.
8. 如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下面四个结论：
①三棱锥A－D1PC的体积不变；
②A1P∥平面ACD1；
③DP⊥BC1；
④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确结论的序号是________(写出所有你认为正确的结论的序号)．
四、解答题
9.　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．
10．如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．
证明：平面BED⊥平面ACD；
11.如图，在三棱锥S－ABC中，SC⊥平面ABC，点P，M分别是SC和SB的中点，设PM＝AC＝1，∠ACB＝90°，直线AM与直线PC所成的角为60°.
(1)求证：平面MAP⊥平面SAC；
(2)求二面角M－AC－B的平面角的正切值．
参考答案：
1．D
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合线面垂直、面面垂直判定逐项判断作答.
【详解】对于A，，，且，，可以平行、相交不垂直、垂直，A不正确；
对于B，，，，且，，当不相交时，l不一定与垂直，则不一定与垂直，B不正确；
对于C，，，，且，显然直线与无关系，，可以平行、相交不垂直、垂直，C不正确；
对于D，由，，得，又，根据面面垂直的判定知，D正确．
故选：D
2．D
【分析】取BC的中点O，连接OA，OP，则为二面角的平面角，在△POA中，即可求解得到答案.
【详解】取的中点，连接，
∵和都是边长为2的正三角形，则，
所以为二面角的平面角，
又因为，则，
所以，即二面角的大小为.
故选：D.
3．D
【分析】画出长方体，为二面角所成的平面角，求出的值即可得出答案.
【详解】长方体中，，，
，平面,平面,,
又平面平面，
为二面角所成的平面角，
，
所以二面角的余弦值为.
故选：D.
4．ABC
【分析】利用线面平行判定定理即可证得选项A 正确；利用面面垂直判定定理即可证得选项B 正确；利用线面垂直性质定理即可证得选项C正确；求得异面直线PC与AB所成的角判断选项D.
【详解】选项A：设AC与BD交于点，连接OE，则，
又平面BDE，平面BDE，所以平面BDE，故A正确；
选项B：连接PO，因为平面ABCD，
所以，又，，
所以平面PAC，又平面BDE，
所以平面平面BDE，故B正确；
选项C：因为平面PAC，平面PAC，所以，故C正确；
选项D：因为，所以异面直线PC与AB所成的角为或其补角，
设正方体的棱长为1，连接PD，则，，
在中，，
所以异面直线PC与AB所成的角不等于，故D错误．
故选：ABC．
5．
【分析】取的中点，连接，，确定是二面角的平面角，计算得到答案.
【详解】如图，取的中点，连接，，则，
又，为的中点，故，
故是二面角的平面角．
因为平面，平面，所以，
设正方体的棱长为，则，在中，，
所以二面角的正切值为.
6．12
【分析】由题意可作出直角，根据条件即可求得结果.
【详解】
过作于，于，连接，
则为二面角的平面角，，
因为在直角中，，
所以到的距离，.
7．
【分析】由已知条件可证是二面角的平面角，在中，，即可求出的大小.
【详解】解：平面，
，
又是正方形，
，
又，
平面，
是二面角的平面角.
在中，，
，
二面角的大小为，
故答案为：.
8．
【分析】利用空间向量的线性运算可得，再根据向量所成角，结合数量积公式平方即可得解.
【详解】根据题意，，
由二面角大小为，可得，
，
所以，
故答案为：

展开更多......

收起↑