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湖南省“一起考”大联考2023届高三下学期5月第三次模拟
数学
（时量：120分钟 满分：150分）
一 选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数的实部和虚部均为整数，且，则满足的复数的个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
3.成对样本数据和的一元线性回归模型是则下列四幅残差图满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（ ）
A. B.
C. D.
4.在正方形中，分别是的中点，若，则（ ）
A. B. C.2 D.
5.已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
6.记为数列的前项积，已知，则（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
7.已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8.雨天将一个上端开口的杯子固定在地面上放置24小时以测量日降雨量.杯子可以看作是容积为500毫升 高为20厘米 上底面（开口端）面积为30平方厘米的圆台，已知放置一天后杯内水位线距离杯底的高度约为2厘米.日降雨量的定义是单日降水在地面上积累高度的毫米数，则该地区当天日降雨量的估计值为（ ）（表示毫米）
A.13.3 B.16.8 C.20.2 D.23.6
二 多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，那么下列判断正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.设正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A.的最小值为 B.的最大值为
C.的最小值为2 D.的最小值为2
11.实数，函数的零点恰为的极值点，则构成的曲线（ ）
A.包含离心率为的椭圆 B.包含离心率为的双曲线
C.与直线有四个交点 D.与圆有六个交点
12.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.在上是增函数
B.，不等式恒成立，则正实数的最小值为
C.若有两个零点，则
D.若，且，则的最大值为
三 填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.的展开式中的常数项是__________.
14.已知函数，则__________.
15.已知数列是等差数列，，过点作直线的垂线，重足为点，则的最大值为__________.
16.已知数列满足，对任意正实数，总存在和相邻的两项，使得成立，则的取值范围为__________.
四 解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知等比数列的公比，满足：.
（1）求的通项公式；
（2）设求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
在中，是角的角分线，且.
（1）求的取值范围；
（2）若，问为何值时，最短？
19.（本小题满分12分）
如图，在四面体中，.
（1）若到平面的距离为3，求三棱锥的高；
（2）求与平面所成角的大小.
20.（本小题满分12分）
统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集 整理 分析 描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.
（1）现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用表示其中A种鱼的条数，请写出的分布列，并求的数学期望；
（2）另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.
（i）请从分层随机抽样的角度估计池塘乙中的鱼数；
（ii）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法——最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.
21.（本小题满分12分）
已知双曲线的右焦点为，浙近线方程为.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知点是双曲线的右支上异于顶点的任意点，点在直线上，且为的中点，求证：直线与直线的交点在某定曲线上.
22.（本小题满分12分）
设.
（1）求在上的极值；
（2）若对，都有成立，求实数的取值范围.
参考答案
1.B 解析：由集合，
则.故选B.
2.C 解析：设，则，所以.
（方法一）因为，所以，即.
当时，，即，有两组满足条件
当时，或，所以但
时，，不符合题意，故选C.
（方法二）如图，可转化为研究圆面内（包括边界）
的整点个数.圆面包括的整点分别为，
，而不满足，则符合题意的整点共有4个.
故选C.
3.B 解析：根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为0，方差为的随机变量的观测值.
对于A，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变大，故错误；
对于B，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，故B正确；
对于C，残差与观测时间有线性关系，故C错误；
对于D，残差与观测时间有非线性关系，故D错误.
故选B.
4.B 解析：以分别为轴 轴，建立平面直角坐标系，如图.
设正方形的边长为1，因为分别是的中点，
所以.
因为，所以所以
所以.故选B.
5.C 解析：由，可得，
可得，解得或-1.
又，所以，可得，
所以.故选C.
6.D 解析：时，，
由易得，代入，得，
则是首项为2，公差为1的等差数列，所以，故选D.
7.A 解析：，所以.
，所以.故选A.
8.A 解析：设水杯下底面面积为，则由圆台体积公式有500，
从而，化简得到，故或100（100不符合（*）式，舍去）.因为积水深度只有2厘米，远低于水杯的高度，水杯上下底面半径的差距又非常小，故积水体积可以近似为圆柱体的体积，为毫升.这些水是水杯敞口（地表30平方厘米区域）一天内接到水的量，根据日降雨量的定义，有当天日降雨量估计值为，故选.
9.AC 解析：若，则由直线与平面垂直的性质可得，故A正确.
若，则，故与有交点，错误，故B错误.
若，则垂直平面内的两条相交直线与，又，则，则，故C正确.
若，则或与异面，故D错误.故选AC.
10.ABD 解析：对于A，
当且仅当时，等号成立，故正确.
对于B，，当且仅当时，等号成立，则，故B正确.
对于，即，当且仅当时，等号成立，故错误.
对于D，，当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选ABD.
11.ACD 解析：根据题意或，前者在平面内体现为，表示离心率为的椭圆，后者体现为，表示离心率为的双曲线，故A正确，B错误.直线的斜率为1，双曲线渐近线的斜率为，故直线和双曲线有两个交点，显然它与椭圆有两个交点，故C正确.而圆与椭圆交点为椭圆的左右顶点，圆的半径大于双曲线实轴长度的一半，故圆和双曲线有四个交点，D正确，故选ACD.
12.ABD 解析：对于，当时，，令，则，
因为，所以当时，恒成立，所以在上单调递增.
因为在上单调递增，所以根据复合函数的单调性可知在上是增函数，正确.
对于，当时，，又为正实数，所以，
，所以当时，恒成立，所以在上单调递增，
则由得，则.
令，则，
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以，则正实数的最小值为，B正确.
对于，所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则；
不妨设，则必有.
若，则，等价于，
又，则等价于，
令，则，
因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，
因为，所以，则，
所以在上单调递增，所以，即，
所以，可知不成立，错误；
对于，由，得，即，
由知，在上单调递减，在上单调递增，，
所以，则，所以，
所以，即，所以.
令，则，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即的最大值为，D正确.故选ABD.
13. 解析：原式，
所以求原式的展开式中的常数项可转化为求的展开式中含项的系数的，
即所求的常数项为.
14.4 解析：
因为，所以.
15. 解析：因为数列是等差数列，所以直线过定点.点在以为直径的圆上运动，的中点为，该圆的方程为，所以的最大值为.
16. 解析：由，
得，
即，即，
于是有，所以，即，
所以是首项为，公差为-1的等差数列，所以.
由，得，所以，即.
又因为，所以使得包含于的取值范围.
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，所以，即；
当时，的取值均大于，所以.
17.解析：（1）因为是公比的等比数列，
所以由得即则
故解得或（舍去），
故，则，所以.
（2）当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以
18.解析：（1）过作直线，交延长线于，如图.
所以，
所以，
即.
在中，由余弦定理，有
，
即，
所以，
即，所以.
（2）因为.
在中，有.
记，则，
当时，，此时有最小值，，
故当时，取最小值.
19.解析：（1）由几何关系得，
记三棱锥的高为，由，得，
则，故.
（2）如图，以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，垂直于向上的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，设，则.
因为，故在平面内，设，
因为，
所以，
解得.
设平面的法向量，
由得取.
记与平面所成的角为.
.
因为，故.所以与平面所成的角为.
20.解析：（1）由题意可知，，
，
0 1 2
.
（2）（i）设池塘乙中鱼数为，则，解得，
故池塘乙中的鱼数为200.
（ii）设池塘乙中鱼数为，令事件“再捉20条鱼，5条有记号”，事件池塘乙中鱼数为”，则，
由最大似然估计法，即求最大时的值，其中，
所以，
当时，，
当时，，
当时，，所以池塘乙中的鱼数为199或200.
21.解析：（1）因为双曲线的右焦点为，所以，
因为双曲线的渐近线方程为，所以，即，
所以，所以.
所以双曲线的方程为.
（2）证明：设直线的斜率为，则直线的方程为，
又，所以直线的方程为点的坐标为.
联立直线与双曲线的方程
消去得，
所以，则点的坐标为.
又，易得，直线的斜率为，直线的斜率为，
由于，则直线与直线垂直.
设直线与直线的交点为，则，
，
则，
即直线与直线的交点在曲线上.
22.解析：（1）.
令，得.
当或时，；
当时，.
所以的单调递减区间是，单调递增区间是.
又，
故的极小值为，极大值为.
（2）由对称性，不妨设，则不等式，
即为.
设，则在上单调递增，
故在上恒成立.
设，
则，解得.
，
.
①当时，令，则.
当时，，故单调递增，即单调递增；
当时，，故单调递减，即单调递减.
此时，
故在上单调递增，
故，符合条件.
②当时，同①可得，当时，单调递增；当时，单调递减.
又，
所以，由连续函数零点存在性定理及单调性知，.
于是，当时，单调递增；当时，单调递减.
又因为，
所以，符合条件.
综上，实数的取值范围是.

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