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2023年江西省中考数学预测押题卷
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．在﹣，0，，﹣2四个实数中，绝对值最大的是（　　）
A．﹣ B．0 C． D．﹣2
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是（　　）
A．13×105 B．1.3×105 C．1.3×106 D．1.3×107
4．下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．（ab）2＝ab2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，PB＝2，则⊙O直径（　　）
A．10 B．8 C．5 D．3
6．已知y＝2x2﹣4x+1，且，其中m≤3，n≥﹣3，则y的取值范围（　　）
A．﹣1≤y≤17 B．1≤y≤17 C．﹣1≤y≤8 D．﹣1≤y≤1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．函数中，自变量x的取值范围是 　 　．
8．计算：＝　 　．
9．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　．
10．如图，在边长为20cm的等边三角形ABC纸片中，以顶点C为圆心，以此三角形的高为半径画弧分别交AC、BC于点D、E，则扇形CDE所围的圆锥（不计接缝）的底圆半径为 　 　．
11．如图，一块含有30°的直角三角板的直角顶点和坐标原点O重合，30°角的顶点A在反比例函数y＝的图象上，顶点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值为 　 　．
12．矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点P为矩形内一个动点．且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为 　 　．
三．解答题（共11小题，满分84分）
13．（6分）计算：
（1）（2022﹣π）0+（﹣）﹣1﹣2cos30°+|1﹣|；
（2）解不等式组．
14．（6分）先化简，再求值（1+）÷，其中x＝﹣1．
15．（6分）LED显示屏是一种平板显示器，可以显示计算机生成的动态图文画面．如图①是平面显示的8×8正三角形网格的示意图，其中每个小正三角形的边长均为1，位于AD中点处的输入光点P按②的程序移动．
（1）请在图①中画出光点P经过的路径；
（2）求光点P经过的路径总长．
16．（6分）小邦和小友两人玩猜数字游戏，先由小友在中心任意想一个数，记为x，然后再由小邦猜小友刚才想的数字，把小邦猜的数字记为y，他们俩想和猜的数字只能在1，2，3，4这四个数字中选取．
（1）“小友想的数字x＝3”是 　 　事件；
（2）如果小邦猜的数字与小友想的数字相同，则称他们“心灵相通”，求他们心灵相通的概率．
17．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长．
18．（8分）如图1，是一个自动伸缩晾衣架的实物图，图2是它的支架左侧平面示意图，当C，D在上滑槽MN上左右滑动时，A，B同时在与MN平行的下滑槽EF上滑动，带动整个支架改变菱形内角度数，从而调节支架的高度，图2中PA＝PB＝OC＝OD＝15cm，中间7个菱形的边长均为15cm．
（1）当∠APB调节至120°时，求两滑槽间的距离（即MN与EF之间的距离）；
（2）根据生活经验，当一个身高160cm的人，头顶与下滑槽EF的距离不超过30cm时，晒衣服比较方便，若上滑槽MN距离地面270cm，那么∠ABP至少调整到多少度？
（参考数据：sin19.5°＝0.33，cos70.5°＝0.33，tan70.5°＝2.82）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，且OA＝3OB，以AB为边向上作正方形ABCD，点C在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上，DC交y轴于点E．
（1）求k的值；
（2）求四边形AOED的面积．
20．（8分）在“双减”政策实施两个月后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“‘双减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查（以下将“参加校外学科补习班”简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表1和统计图1：
整理描述
表1：“双减”前后报班情况统计表（第一组）
报班数人数类别 0 1 2 3 4及以上 合计
“双减”前 102 48 75 51 24 m
“双减”后 255 15 24 n 0 m
（1）根据表1，m的值为 　 　，的值为 　 　；
分析处理
（2）请你汇总表1和图1中的数据，求出“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比；
（3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图2）．请依据以上图表中的信息回答以下问题：
①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为 　 　，“双减”后学生报班个数的众数为 　 　；
②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括）．
21．（9分）如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人叹服．如图②是马车的侧面示意图，AB为车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD．
（1）求证：∠A＝∠BDC；
（2）若∠A＝40°，∠C的度数是 　 　；
（3）若，BC＝2.5米，求车轮的半径长．
22．（9分）如图，等边三角形ABC中，P是边AC上的一个动点（不与A，C点重合），连接BP，将△BCP绕点C顺时针旋转至△ACD，过点C作CQ∥BP，交PD的延长线于点Q．
（1）探究△PCD的形状；
（2）求证：△APD≌△QDC；
（3）若延长AD交CQ于点E，CE＝2EQ，求∠CAQ的正切值．
23．（12分）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BC，D是线段BC上一点，BD＝3DC，作射线OD交抛物线于点E，H是抛物线上一点，连接OH，若OE平分∠COH，求H点的坐标；
（3）在（2）的条件下，如图2，过点E作EF垂直于x轴于点F，在直线EF上存在点M，使得∠DMB＝45°，请直接写出点M的坐标．
2023年江西省中考数学预测押题卷
试题解析
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．在﹣，0，，﹣2四个实数中，绝对值最大的是（　　）
A．﹣ B．0 C． D．﹣2
【分析】分别求出各数的绝对值，再比较大小即可．
【解答】解：|﹣|＝，|0|＝0，||＝，|﹣2|＝2，
∵0＜＜＜2，
∴﹣2的绝对值最大．
故选：D．
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
3．5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是（　　）
A．13×105 B．1.3×105 C．1.3×106 D．1.3×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1300000＝1.3×106，
故选：C．
4．下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．（ab）2＝ab2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【分析】根据合并同类项法则，积的乘方的运算法则，完全平方公式以及平方差公式即可作出判断．
【解答】解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、（ab）2＝a2b2，故本选项不符合题意；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；
D、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故本选项符合题意．
故选：D．
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，PB＝2，则⊙O直径（　　）
A．10 B．8 C．5 D．3
【分析】如图，连接OC，利用垂径定理可以推知PC＝CD＝4，∠OPC＝90°；然后在直角△OPC中，利用勾股定理可以求得OC的长度即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OC．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝8，
∴∠OPC＝90°，PC＝CD＝4，
∴在直角△OPC中，OC2＝42+（OC﹣2）2，
解得，OC＝5．
∴AB＝2OC＝10．
故选：A．
6．已知y＝2x2﹣4x+1，且，其中m≤3，n≥﹣3，则y的取值范围（　　）
A．﹣1≤y≤17 B．1≤y≤17 C．﹣1≤y≤8 D．﹣1≤y≤1
【分析】首先根据求出x的值，根据m≤3，n≥﹣3确定x的取值范围，根据二次函数的增减性确定y的取值．
【解答】解：由可得，
，
∵m≤3，n≥﹣3，
∴，
即﹣2≤x≤2，
∵y＝2x2﹣4x+1，
对称轴为直线x＝＝1且a＝2＞0，开口向上，
∴当x＝1时，y有最小值，最小值为y＝2×12﹣4×1+1＝﹣1，
当x＝﹣2时，y有最大值，最大值为y＝2×（﹣2）2﹣4×（﹣2）+1＝17，
∴﹣1≤y≤17，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．函数中，自变量x的取值范围是 　x≥1　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1，
故答案为：x≥1．
8．计算：＝　1　．
【分析】分别根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果
【解答】解：原式＝2﹣1
＝1．
故答案为：1．
9．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　且k≠0　．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+2＝0有两个不相等的实数根，
∴，
∴且k≠0．
故答案为：且k≠0．
10．如图，在边长为20cm的等边三角形ABC纸片中，以顶点C为圆心，以此三角形的高为半径画弧分别交AC、BC于点D、E，则扇形CDE所围的圆锥（不计接缝）的底圆半径为 　cm　．
【分析】根据等边三角形的性质，利用弧长的计算方法求解即可．
【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为20cm，以三角形的高为半径画弧分别交AC、BC于点D、E，
∴扇形CDE的圆心角是60°，半径是20 sin60°＝10，
∴弧长是＝（cm），
∵圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，
∴圆锥的底面周长是cm，
设圆锥的底面半径是rcm，
∴2πr＝，解得：r＝cm．
故答案为：cm．
11．如图，一块含有30°的直角三角板的直角顶点和坐标原点O重合，30°角的顶点A在反比例函数y＝的图象上，顶点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值为 　﹣12　．
【分析】根据特殊锐角的三角函数值可得tan30°＝，再利用相似三角形的性质，可得，由反比例函数k的几何意义可得S△OBD＝2，进而得出S△AOC＝3S△OBD＝6，再由反比例函数k的几何意义可得出k的值．
【解答】解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
在Rt△ABO中，∠BAO＝30°，∠AOB＝90°，
∴tan30°＝，
∵∠BOD+∠OBD＝90°，∠BOD+∠AOC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠OBD＝∠AOC，
又∵∠ACO＝∠ODB＝90°，
∴△AOC∽△OBD，
∴，
∵顶点B在反比例函数y＝的图象上，
∴S△OBD＝|k|＝2，
∴S△AOC＝3S△OBD＝3×2＝6＝|k|，
∴k＝±12，
又∵点A在第二象限，
∴k＝﹣12，
故答案为：﹣12．
12．矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点P为矩形内一个动点．且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为 　﹣3　．
【分析】根据题意推导出∠BPC＝90°，可知P点在以BC为直径的圆上，设圆心为O，则PD的最小值为OD﹣OC＝﹣3．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠PCD+∠PBC＝90°，
∵∠PBC＝∠PCD，
∴∠PBC+∠PBC＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴P点在以BC为直径的圆上，设圆心为O，
∵BC＝6，
∴CO＝3，
∵CD＝2，
∴DO＝，
∴PD的最小值为﹣3，
故答案为：﹣3．
三．解答题（共11小题，满分84分）
13．（6分）计算：
（1）（2022﹣π）0+（﹣）﹣1﹣2cos30°+|1﹣|；
（2）解不等式组．
【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂、代入三角函数值、去绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2﹣2×+﹣1
＝1﹣2﹣+﹣1
＝﹣2；
（2）解不等式①，得：x＞﹣3，
解不等式②，得：x≤，
所以不等式组的解集为﹣3＜x≤．
14．（6分）先化简，再求值（1+）÷，其中x＝﹣1．
【分析】先算括号内的加法，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（1+）÷
＝
＝
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝．
15．（6分）LED显示屏是一种平板显示器，可以显示计算机生成的动态图文画面．如图①是平面显示的8×8正三角形网格的示意图，其中每个小正三角形的边长均为1，位于AD中点处的输入光点P按②的程序移动．
（1）请在图①中画出光点P经过的路径；
（2）求光点P经过的路径总长．
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）利用圆的周长公式计算即可．
【解答】解：（1）光点P经过的路径如图所示．
（2）光点P经过的路径总长＝2π×2＝4π．
16．（6分）小邦和小友两人玩猜数字游戏，先由小友在中心任意想一个数，记为x，然后再由小邦猜小友刚才想的数字，把小邦猜的数字记为y，他们俩想和猜的数字只能在1，2，3，4这四个数字中选取．
（1）“小友想的数字x＝3”是 　随机　事件；
（2）如果小邦猜的数字与小友想的数字相同，则称他们“心灵相通”，求他们心灵相通的概率．
【分析】（1）由随机事件的定义即可得出结论；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小邦和小友心灵相通的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）“小友想的数字x＝3”是随机事件，
故答案为：随机；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小邦和小友心灵相通的结果有4种，
∴小邦和小友心灵相通的概率＝＝．
17．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长．
【分析】（1）首先利用平行四边形的判定得出四边形ADCE是平行四边形，进而利用菱形的判定得出平行四边形ADCE是菱形；
（2）根据已知条件得到△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠ADB＝60°，AD＝AB＝6，解直角三角形得到CE＝CD＝3，根据菱形的性质得到结论．
【解答】（1）证明：∵AE∥DC，EC∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，
∴AD＝BD＝CD，
∴平行四边形ADCE是菱形；
（2）解：∵∠B＝60°，AD＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝6，
∵AD∥CE，
∴∠DCE＝60°，
∵CD＝AD＝6，
∴CF＝CD＝3，
∵四边形ADCE是菱形，
∴CE＝CD＝6，
∴EF＝3．
18．（8分）如图1，是一个自动伸缩晾衣架的实物图，图2是它的支架左侧平面示意图，当C，D在上滑槽MN上左右滑动时，A，B同时在与MN平行的下滑槽EF上滑动，带动整个支架改变菱形内角度数，从而调节支架的高度，图2中PA＝PB＝OC＝OD＝15cm，中间7个菱形的边长均为15cm．
（1）当∠APB调节至120°时，求两滑槽间的距离（即MN与EF之间的距离）；
（2）根据生活经验，当一个身高160cm的人，头顶与下滑槽EF的距离不超过30cm时，晒衣服比较方便，若上滑槽MN距离地面270cm，那么∠ABP至少调整到多少度？
（参考数据：sin19.5°＝0.33，cos70.5°＝0.33，tan70.5°＝2.82）
【分析】（1）连接并延长PO交CD于点G，延长OP交EF于点Q，则直线OP为中间7个菱形的公共对称轴，且GQ⊥MN，GQ⊥MN，由AP＝BP＝15cm，∠APB＝120°，得∠QPA＝∠APB＝60°，则PQ＝AP cos60°＝cm，GQ＝8×2PQ＝16PQ＝120cm，所以两滑槽间的距离为120cm；
（2）因为PQ＝AP cos∠QPA（cm），所以GQ＝16PQ＝240cos∠QPA（cm），由270﹣160﹣GQ≤30，得GQ≥80，则240cos∠QPA≥80，所以cos∠QPA≥，则∠QPA≤70.5°，所以90°﹣∠ABP≤70.5°，得∠ABP≥19.5°，所以∠ABP至少调整到19.5°．
【解答】解：（1）如图2，连接并延长PO交CD于点G，延长OP交EF于点Q，
由题意可知，直线OP为中间7个菱形的公共对称轴，且GQ⊥MN，GQ⊥MN，
∴∠PQA＝90°，
∵AP＝BP＝15cm，∠APB＝120°，
∴∠QPA＝∠QPB＝∠APB＝60°，
∴PQ＝AP cos∠QPA＝AP cos60°＝15×＝（cm），
同理可得OG＝PQ＝cm，
∴GQ＝8×2PQ＝16PQ＝16×＝120（cm），
答：两滑槽间的距离为120cm．
（2）由（1）得PQ＝AP cos∠QPA（cm），
∴GQ＝16PQ＝16×15cos∠QPA＝240cos∠QPA（cm），
根据题意得270﹣160﹣GQ≤30，
∴GQ≥80，
∴240cos∠QPA≥80，
∴cos∠QPA≥，
∴∠QPA≤70.5°，
∵∠BAP＝∠ABP，
∵∠QPA＝90°﹣∠BAP＝90°﹣∠ABP，
∴90°﹣∠ABP≤70.5°，
∴∠ABP≥19.5°，
答：∠ABP至少调整到19.5°．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，且OA＝3OB，以AB为边向上作正方形ABCD，点C在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上，DC交y轴于点E．
（1）求k的值；
（2）求四边形AOED的面积．
【分析】（1）添加辅助线构造全等三角形，再根据待定系数法求解；
（2）根据待定系数法及割补法列方程求解．
【解答】解：（1）如图，过点C作CF⊥y轴于点F，过点D作DH⊥CF交CF的延长线于点H，
设OB＝a，则OA＝3a．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠BFC＝90°．
∴∠ABO+∠CBF＝90°，∠CBF+∠BCF＝90°．
∴∠ABO＝∠BCF．
同理∠CDH＝∠BCF，
∴△AOB≌△BFC（AAS），
∴BF＝OA＝3a，OB＝FC＝a，
∴OF＝BF﹣OB＝2a，
同理：DH＝a，CH＝3a，
∵点C（a，2a）在上，
∴2a2＝2，即a2＝1，
∴a＝1，
∴D（3，﹣2），
∴k＝3×（﹣2）＝﹣6，
（2）如图，连接OD．
由（1）知a＝1，
∴A（﹣3，0），C（1，2），D（﹣2，3），
设直线CD的解析式为y＝mx+n，
将点C（1，2），D（﹣2，3）代入，得，
解得，
∴点E的坐标为，
∴
＝
＝．
20．（8分）在“双减”政策实施两个月后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“‘双减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查（以下将“参加校外学科补习班”简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表1和统计图1：
整理描述
表1：“双减”前后报班情况统计表（第一组）
报班数人数类别 0 1 2 3 4及以上 合计
“双减”前 102 48 75 51 24 m
“双减”后 255 15 24 n 0 m
（1）根据表1，m的值为 　300　，的值为 　0.02　；
分析处理
（2）请你汇总表1和图1中的数据，求出“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比；
（3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图2）．请依据以上图表中的信息回答以下问题：
①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为 　1　，“双减”后学生报班个数的众数为 　0　；
②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括）．
【分析】（1）将表1中“双减前”各个数据求和确定m的值，然后再计算求得n值，从而求解；
（2）通过汇总表1和图1求得“双减后”报班数为3的学生人数，从而求解百分比；
（3）①根据中位数和众数的概念分析求解；
②根据“双减”政策对学生报班个数的影响结果角度进行分析说明．
【解答】解：（1）m＝102+48+75+51+24＝300，
n＝m﹣（255+15+24）＝6，
∴＝＝0.02，
故答案为：300；0.02；
（2）汇总表1和图1可得：
0 1 2 3 4及以上 总数
“双减”前 172 82 118 82 46 500
“双减”后 423 24 40 12 1 500
×100%＝2.4%，
答：“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比为2.4%；
（3）①“双减”前共调查500个数据，从小到大排列后，第250个和第251个数据均为1，
∴“双减”前学生报班个数的中位数为1，
“双减”后学生报班个数出现次数最多的是0，
∴“双减”后学生报班个数的众数为0，
故答案为：1；0；
②从“双减”前后学生报班个数的变化情况说明：“双减”政策宣传落实到位，参加校外培训机构的学生大幅度减少，“双减”取得了显著效果．
21．（9分）如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人叹服．如图②是马车的侧面示意图，AB为车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD．
（1）求证：∠A＝∠BDC；
（2）若∠A＝40°，∠C的度数是 　10°　；
（3）若，BC＝2.5米，求车轮的半径长．
【分析】（1）连接OD，得到∠ODB+∠BDC＝90°，由圆周角定理得到∠A+∠OBD＝90°，由OB＝OD，得到∠ODB＝∠OBD，即可证明∠A＝∠BDC；
（2）由直角三角形的性质得到∠ABD＝50°，由三角形外角的性质即可求出∠C的度数；
（3）由△CBD∽△CDA，得到，求出CD的长，从而求出AB的长，得到圆的半径长．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵CD与⊙O相切，
∴OD⊥CD，
∴∠ODB+∠BDC＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠OBD＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠A＝∠BDC；
（2）解：∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣40°＝50°，
∵∠ABD＝∠C+∠BDC，
∴∠C＝∠ABD﹣∠CDB，
∵∠BDC＝∠A＝40°，
∴∠C＝50°﹣40°＝10°．
故答案为：10°．
（3）解：∵∠A＝∠BDC，∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CDA，
∴，
∴，
∴CD＝3米，AB＝1.1米，
∴AO＝OB＝0.55（米）．
答：车轮的半径长为0.55米．
22．（9分）如图，等边三角形ABC中，P是边AC上的一个动点（不与A，C点重合），连接BP，将△BCP绕点C顺时针旋转至△ACD，过点C作CQ∥BP，交PD的延长线于点Q．
（1）探究△PCD的形状；
（2）求证：△APD≌△QDC；
（3）若延长AD交CQ于点E，CE＝2EQ，求∠CAQ的正切值．
【分析】（1）由旋转的性质得出∠BCP＝∠ACD＝60°，CP＝CD，则可得出△PCD是等边三角形；
（2）证明∠CAD＝∠DQC，根据AAS可证明△APD≌△QDC；
（3）过点P作PM⊥AB于M，设QE＝x，证明△DQE∽△CQD，得出，求出DQ＝x，证出∠ACQ＝90°，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】（1）解：△PCD是等边三角形．
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵将△BCP绕点C顺时针旋转至△ACD，
∴∠BCP＝∠ACD＝60°，CP＝CD，
∴△PCD是等边三角形；
（2）证明：∵△PCD是等边三角形，
∴PD＝CD，∠PDC＝∠CPD＝60°，
∴∠PAD＝∠CDQ＝120°，
又∵CQ∥BP，
∴∠CBP+∠QCB＝180°，
∵∠PCD＝60°，
∴∠CBP+∠DCQ＝60°，
∵将△BCP绕点C顺时针旋转至△ACD，
∴∠CBP＝∠CAD，
∴∠CAD+∠DCQ＝60°，
又∵∠DCQ+∠DQC＝60°，
∴∠CAD＝∠DQC，
在△APD和△DQC中，
，
∴△APD≌△QDC（AAS）；
（3）解：过点P作PM⊥AB于M，
设QE＝x，
∵CE＝2EQ，
∴CE＝2x，CQ＝BP＝3x，
∵△APD≌△QDC，
∴∠ADP＝∠QCD，
∵∠DQE＝∠CQD，
∴△DQE∽△CQD，
∴，
∴DQ2＝CQ EQ，
∴DQ＝x，
∴AP＝DQ＝x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠APM＝30°，
∴PM＝AP sin60°＝x，
∴cos∠BPM＝＝，
∴∠BPM＝60°，
∴∠APB＝∠APM+∠BPM＝90°，
∴∠ACQ＝90°，
∴AC＝AB＝2AP＝2x，
∴tan∠CAQ＝＝，
∴∠CAQ的正切值为．
23．（12分）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BC，D是线段BC上一点，BD＝3DC，作射线OD交抛物线于点E，H是抛物线上一点，连接OH，若OE平分∠COH，求H点的坐标；
（3）在（2）的条件下，如图2，过点E作EF垂直于x轴于点F，在直线EF上存在点M，使得∠DMB＝45°，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）将A、B两点从标代入易求解析式；
（2）OE是∠COH的平分线，用角平分线定理，可求得H．
（3）满足∠DMB＝45°，可构造圆，利用圆周角定理求得．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）代入解析式得：
；解得：．
∴解析式为：y＝﹣x2+3x+4．
（2）当x＝0时，y＝4得C（0，4）．
设D（m，n），由BD＝3DC可得：
；解得：，即D（1，3）．
∴直线OD解析式为：y＝3x．
记OH与BC交点G（t，﹣t+4），作GH∥OD交y轴与H．
∴∠COD＝∠OHG，∠DOG＝∠OGH；
∵OE平分∠COH，即∠COD＝∠DOG；
∴∠OHG＝∠OGH；
∴OH＝OG．
∵GH∥OD，
∴．
∴．
∴＝，解得：t1＝0（舍），t2＝．
∴G（，）．
∴OH的解析式为：．
H为抛物线与OH的交点：
；解得： （舍），；
即：H（3，4）．
（3）E是抛物线与射线OD的交点：
；解得：（舍）；；即：E（2，6）．
设M（2，m），以BD为对角线做正方形BPDQ，则P（4，3），Q（1，0）如图2．
当M在⊙P上时，∠DMB＝∠DPB＝45°；
即：MP＝＝3；解得：m1＝3﹣（舍）；m2＝3+；
当M在⊙Q上时，∠DMB＝∠DQB＝45°；
即：MQ＝＝3；解得：m3＝（舍）；m4＝﹣；
∴M1（2，3+）；M2（2，﹣）．

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