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目录
三角函数图象及性质 2
【知识梳理】 2
1正弦、余弦、正切函数的图象及性质 2
2、三角函数中的平移变换 3
【考点分类】 5
考点一、三角函数的图象变换 5
考点二、已知图象求解析式 6
考点三、三角函数综合 8
【易错题】 16
三角函数图象及性质
【知识梳理】
1正弦、余弦、正切函数的图象及性质
函数
图象
定义域
值域
周期
奇偶性 奇 偶 奇
对称中心
最值 无
对称轴 无
单调性 .
注：凡是涉及到的都要注明.
2、三角函数中的平移变换
2.1图像的变换
平移变换：上加下减，左加右减．比如由的图象得 的图象；由的图象得)图象．
.伸缩变换：此变换主要是指在轴、轴方向上的伸缩．比如由的图象得的图象．
．翻折变换：此变换主要适用于作函数解析式中带有绝对值的函数图象，比如由的图象得的图象，可将的图象在轴上方的图象不变．下方的图象翻折到轴上方．
总结：由的图象得到（其中）的图象的过程
先画出函数的图象，再把正弦曲线向左(右)平移个单位长度，得到的图象，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象．
2.2函数的性质
（其中）的性质
(1)定义域
的定义域为．
(2)值城
的值域为
(3)周期性
的周期.
(4)奇偶性
时，函数为奇函数；当妒时，函数为偶函数．
(5)单调性
函数的单调区间求法
（1）单调增区间可由解得；
（2）单调减区间可由解得．
(6)对称中心
的对称中心的横坐标可由叫解得，纵坐标为0．
(7)对称轴的对称轴方程可由解得
【考点分类】
考点一、三角函数的图象变换
【例1】★求函数的值域,取得最值时的值.
【答案】： 取得最大值时，取得最小值时
【例2】将函数y=cosx的图象上的每个点的横坐标变为原来的2倍、纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，则最后得到的图象对应的函数解析式为（　　）
A. B.
C. D．
【答案】D
【例3】将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数图象在区间上单调递减,则的最小值为
（A） （B） （C） （D）
答案：C
【例4】已知函数的最小正周期为,则
（A）函数的图象关于原点对称
（B）函数的图象关于直线对称
（C）函数图象上的所有点向右平移个单位长度后,所得的图象关于原点对称
（D）函数在区间上单调递增
答案：C
考点二、已知图象求解析式
1.函数的部分图象如图所示,则函数在区间上的零点为
答案：2;7/12
2.若函数(,)的部分图象如图所示,则.
答案：4;
3.已知函数的图象如图所示.
（Ⅰ）求的解析式;
答案：解：（1）由图象可知，
设函数的周期为T，则，
求得，从而，
所以..………………5分
4★如图，已知函数的图象（部分），则函数的表达式为
【答案】：
5★函数的部分图象如图，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】：C
考点三、三角函数综合
1、设,若函数的最小正周期为,则______
答案：2
2已知函数.
(Ⅰ)求的最小正周期;
答案：解：（Ⅰ）
的最小正周期为.
3.已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期
答案：解：
（Ⅰ）-
所以的最小正周期
4.已知函数的最小正周期为.
(Ⅰ)求的值;
答案：解：因为
，
(Ⅰ) 又因为函数的最小正周期为，
所以.
解得.
5.已知函数,.
（Ⅱ）若,求的最小正周期的表达式并指出的最大值.
答案：（Ⅱ）由
得,
又因为函数的最小正周期,且,
所以当时,T的最大值为.
6.已知函数,.
（Ⅰ）求的最小正周期
答案：（Ⅰ）
………………4分
，………………6分
所以函数的最小正周期.………………7分
7已知函数且函数的最小正周期为
（Ⅰ）求的值;
答案：解析：（1）
8已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期;
答案：（Ⅰ）由题意得:,
9.已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期;
答案：（Ⅰ）由得,,
所以的定义域为
因为
所以的最小正周期为
10.已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期;
答案：（Ⅰ）
所以周期为
11已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期;
答案：（Ⅰ）
所以的最小正周期是
12已知函数.
（Ⅰ）求的定义域;
答案：解：（Ⅰ）由，得，．[3分]
所以函数的定义域是．[4分]
13.已知函数.
（Ⅱ）求函数的定义域和值域.
答案：（Ⅱ）解：函数的定义域为，且
化简，得
……………10分
，……………12分
因为，且，，
所以，
所以.
所以函数的值域为.……………13分
（注：或许有人会认为“因为，所以”，其实不然，因为.）
15已知函数.
（Ⅰ）求的定义域;
答案：（Ⅰ）因为函数的定义域是,
所以的定义域为.
16已知函数.
（Ⅰ）求的定义域
答案：（Ⅰ）由得,,
所以的定义域为
17已知函数().
（Ⅰ）若,求的值
答案：（Ⅰ）因为，
所以．
所以.
18已知函数.
（Ⅰ）若是第二象限角,且,求的值;
答案：因为是第二象限角，且，
所以.……………2分
所以，……………4分
所以.……………6分
19.已知函数.
（Ⅰ）求的对称轴的方程;
答案：解：（Ⅰ）-
令，
得.
所以的对称轴方程为.
或者：的对称轴方程为和，
即和.
20已知函数,.
（Ⅱ）设,若函数为奇函数,求的最小值.
答案：（Ⅱ）解：由题意，得，
因为函数为奇函数，且，
所以，即，
所以，，
解得，，验证知其符合题意.
又因为，
所以的最小值为.
【易错题】
【例1】★已知函数：①y=tanx，②y=sin|x|，③y=|sinx|，④y=|cosx|，其中周期为π，且在（0，）上单调递增的是
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【答案】B
【例2】★★已知函数 和 的图象的对称轴完全相同，则 的值是 ．
【答案】-2
【例3】★函数在上的图象是
【答案】A
【例4】★函数y=f（x）在区间 上的简图如图所示，则函数y=f（x）的解析式可以是（　　）
A. B．C． D．
【答案】B
【例5】若将函数的图象向右平移个单位后得到的函数y=的图象,求的单调递增区间.
【答案】
【例6】设函数y=sinx在区间上的最大值为M（t），最小值为m（t），则M（t）﹣m（t）的最小值和最大值分别为（　　）
A．1，2 B． C． D．
【答案】解：函数y=sinx在区间上的最大值为M（t），最小值为m（t），
区间的长度为，正好为函数的周期的，
故当函数y=sinx在区间上单调时，则M（t）﹣m（t）取得最大值．
不妨假设函数y=sinx在区间上单调递增，
则M（t）﹣m（t）取得最大值为sin（t+）﹣sint=cost﹣sint=cos（t+）≤，
故M（t）﹣m（t）取得最大值为．
当区间关于它的图象的对称轴对称时，M（t）﹣m（t）取得最小值，
此时，sin（t+）=±1，不妨设 sin（t+）=1，即t+=2kπ+，k∈Z，
即 t=2kπ+，k∈Z，
则M（t）﹣m（t）取得最小值为sin（t+）﹣sint=1﹣sin（2kπ+）=1﹣，
故M（t）﹣m（t）的最小值和最大值分别为1﹣，，
故选：D．
【课后检测】
1.★函数的对称中心是_______,对称轴方程为_______。
答案:
2. ★如果函数y=tan（x+φ）的图象经过点，那么φ可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
3．下列函数中，最小正周期为π的是（　　）
A． B. C． D．
【答案】B
4．★已知tanα=﹣1，且α∈[0，π），那么α的值等于
A． B． C． D．
【答案】C
5. 先把函数y=cosx的图象上所有点向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的函数图象的解析式为（　　）
A．y=cos（2x+） B．y=cos（2x﹣） C．y=cos（x+） D．y=cos（x﹣）
【答案】B
6．为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（　　）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
【答案】C
7. ★设函数f（x）=A+Bsinx，若B＜0时，f（x）的最大值是，最小值是－，则A=_______，B=_______
【答案】 －1
8.判断大小：tan(－)______tan(－)， tan______tan
【答案】： , <
9. ★已知．当时，求角x的值；
【答案】
10. ★★已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图像的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
答案:D
11. 将函数y＝sin图象上的点P向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则(　　)
A.t＝，s的最小值为 B.t＝，s的最小值为
C.t＝，s的最小值为 D.t＝，s的最小值为
【答案】：A
12. ★★设函数，则下列关于函数的说法中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．最小正周期为π
C．图象关于点 对称 D．在区间上是增函数
答案:D
13. ★★给出下列命题：
①正切函数的图象的对称中心是唯一的；
②y=|sinx|、y=|tanx|的周期分别为π、；
③若x1＞x2，则sinx1＞sinx2；
④若f（x）是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（－）=0
其中正确命题的序号是____________
【答案】④
14. 设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ≤π）在处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为．求f（x）的解析式.
【答案】解：（1）由题意可得：f（x）max=A=2，，
于是，
故f（x）=2sin（2x+φ），
由f（x）在处取得最大值2可得：（k∈Z），
又﹣π＜φ＜π，故，
因此f（x）的解析式为．
【课后作业】
1. ★正弦函数f（x）=sinx图象的一条对称轴是（　　）
A．x=0 B． C． D．x=π
【答案】C
2. ★★函数的部分图象如图所示，则
的值等于
A． B． C．D．
【答案】：C
3. 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A.11 B.9 C.7 D.5
【答案】：B
4. ★★求函数的单调区间.
【答案】单调增区间为：
单调减区间为：
5. ★★已知函数
（1）求函数最小正周期；
（2）求函数取得最大值时x的取值；
（3）求函数的单调递减区间；
（4）求函数对称轴；
（5）求函数对称中心；
【答案】：
6. ★求函数的值域
【答案】:
7. ★★已知函数。
（1）求函数的单调增区间。
（2）若函数的定义域为，值域为[2,5],求的值。
【答案】：（1） （2）
8．已知函数y=f（x），若对于任意x∈R，f（2x）=2f（x）恒成立，则称函数y=f（x）具有性质P，
（1）若函数f（x）具有性质P，且f（4）=8，则f（1）=　 　；
（2）若函数f（x）具有性质P，且在（1，2]上的解析式为y=cosx，那么y=f（x）在（1，8]上有且仅有　 　个零点．
【答案】解：（1）因为函数y=f（x），具有性质P，
所以对于任意x∈R，f（2x）=2f（x）恒成立，
所以f（4）=f（2×2）=2f（2）=2f（2×1）=4f（1）=8，
所以f（1）=2．
（2）若函数y=f（x）具有性质P，且在（1，2]上的解析式为y=cosx，
由y=cosx=0，则x=，
由f（2x）=2f（x）得f（x）=2f（），
若2＜x≤4，则1＜≤2，则f（x）=2f（）=2cos，
则函数f（x）在（2，4]上的解析式为y=2cos，
由2cos=0，得x=π，
若4＜x≤8，则2＜≤4，则f（x）=2f（）=4cos，
在（4，8]上的解析式为y=4cos，
由y=4cos=0得x=2π，
所以y=f（x）在（1，8]上有且仅有3个零点，分别是，π，2π．
故y=f（x）在（1，8]上有且仅有3个零点.
9. ★★设函数,则下列关于函数的说法有：（1）是偶函数； （2）最小正周期为π ； （3）图象关于点对称； （4）在区间上是增函数.
以上说法正确的序号是________
【答案】（4）
由三角函数的性质可知:的单调区间 ,则,当时, ．
10. ★★ 已知电流I与时间t的关系式为．
（1）右图是（ω＞0，）
在一个周期内的图象，根据图中数据求
的解析式；
（2）如果在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
【答案】
（１）由图可知 A＝300．
设t1＝－，t2＝，
则周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝．
∴ ω＝＝150π．
又当t＝时，I＝0，即sin（150π·＋）＝0，
而， ∴ ＝．
故所求的解析式为．
（２）依题意，周期T≤，即≤，（ω>0）
∴ ω≥300π＞942，又ω∈N*，
故最小正整数ω＝943．目录
三角函数图象及性质 2
【知识梳理】 2
1正弦、余弦、正切函数的图象及性质 2
2、三角函数中的平移变换 3
【考点分类】 5
考点一、三角函数的图象变换 5
考点二、已知图象求解析式 6
考点三、三角函数综合 7
【易错题】 12
【课后检测】 13
三角函数图象及性质
【知识梳理】
1正弦、余弦、正切函数的图象及性质
函数
图象
定义域
值域
周期
奇偶性 奇 偶 奇
对称中心
最值 无
对称轴 无
单调性 .
注：凡是涉及到的都要注明.
2、三角函数中的平移变换
2.1图像的变换
平移变换：上加下减，左加右减．比如由的图象得 的图象；由的图象得)图象．
.伸缩变换：此变换主要是指在轴、轴方向上的伸缩．比如由的图象得的图象．
．翻折变换：此变换主要适用于作函数解析式中带有绝对值的函数图象，比如由的图象得的图象，可将的图象在轴上方的图象不变．下方的图象翻折到轴上方．
总结：由的图象得到（其中）的图象的过程
先画出函数的图象，再把正弦曲线向左(右)平移个单位长度，得到的图象，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象．
2.2函数的性质
（其中）的性质
(1)定义域
的定义域为．
(2)值城
的值域为
(3)周期性
的周期.
(4)奇偶性
时，函数为奇函数；当妒时，函数为偶函数．
(5)单调性
函数的单调区间求法
（1）单调增区间可由解得；
（2）单调减区间可由解得．
(6)对称中心
的对称中心的横坐标可由叫解得，纵坐标为0．
(7)对称轴的对称轴方程可由解得
【考点分类】
考点一、三角函数的图象变换
【例1】★求函数的值域,取得最值时的值.
【例2】将函数y=cosx的图象上的每个点的横坐标变为原来的2倍、纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，则最后得到的图象对应的函数解析式为（　　）
A. B.
C. D．
【例3】将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数图象在区间上单调递减,则的最小值为
（A） （B） （C） （D）
【例4】已知函数的最小正周期为,则
（A）函数的图象关于原点对称
（B）函数的图象关于直线对称
（C）函数图象上的所有点向右平移个单位长度后,所得的图象关于原点对称
（D）函数在区间上单调递增
考点二、已知图象求解析式
1.函数的部分图象如图所示,则函数在区间上的零点为
2.若函数(,)的部分图象如图所示,则.
3.已知函数的图象如图所示.
（Ⅰ）求的解析式;
4★如图，已知函数的图象（部分），则函数的表达式为
5★函数的部分图象如图，则 （ ）
A． B．
C． D．
考点三、三角函数综合
1、设,若函数的最小正周期为,则______
2已知函数.
(Ⅰ)求的最小正周期;
3.已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期
4.已知函数的最小正周期为.
(Ⅰ)求的值;
5.已知函数,.
（Ⅱ）若,求的最小正周期的表达式并指出的最大值.

6.已知函数,.
（Ⅰ）求的最小正周期
7已知函数且函数的最小正周期为
（Ⅰ）求的值;
8已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期;
9.已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期;
10.已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期;
11已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期;
12已知函数.
（Ⅰ）求的定义域;
13.已知函数.
（Ⅱ）求函数的定义域和值域.
14已知函数.
（Ⅰ）求的定义域;
.
15已知函数.
（Ⅰ）求的定义域
16已知函数().
（Ⅰ）若,求的值
17已知函数.
（Ⅰ）若是第二象限角,且,求的值;
18.已知函数.
（Ⅰ）求的对称轴的方程;
19已知函数,.
（Ⅱ）设,若函数为奇函数,求的最小值.
【易错题】
【例1】★已知函数：①y=tanx，②y=sin|x|，③y=|sinx|，④y=|cosx|，其中周期为π，且在（0，）上单调递增的是
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【例2】★★已知函数 和 的图象的对称轴完全相同，则 的值是 ．
【例3】★函数在上的图象是
【例4】★函数y=f（x）在区间 上的简图如图所示，则函数y=f（x）的解析式可以是（　　）
A. B．C． D．
【例5】若将函数的图象向右平移个单位后得到的函数y=的图象,求的单调递增区间.
【例6】设函数y=sinx在区间上的最大值为M（t），最小值为m（t），则M（t）﹣m（t）的最小值和最大值分别为（　　）
A．1，2 B． C． D．
【课后检测】
1.★函数的对称中心是_______,对称轴方程为_______。
2. ★如果函数y=tan（x+φ）的图象经过点，那么φ可以是（　　）
A． B． C． D．
3．下列函数中，最小正周期为π的是（　　）
A． B. C． D．
4．★已知tanα=﹣1，且α∈[0，π），那么α的值等于
A． B． C． D．
5. 先把函数y=cosx的图象上所有点向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的函数图象的解析式为（　　）
A．y=cos（2x+） B．y=cos（2x﹣）
C．y=cos（x+） D．y=cos（x﹣）
6．为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（　　）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
7. ★设函数f（x）=A+Bsinx，若B＜0时，f（x）的最大值是，最小值是－，则A=_______，B=_______
8.判断大小：tan(－)______tan(－)， tan______tan
9. ★已知．当时，求角x的值；
10. ★★已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图像的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
11. 将函数y＝sin图象上的点P向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则(　　)
A.t＝，s的最小值为 B.t＝，s的最小值为
C.t＝，s的最小值为 D.t＝，s的最小值为
12. ★★设函数，则下列关于函数的说法中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．最小正周期为π
C．图象关于点 对称 D．在区间上是增函数
13. ★★给出下列命题：
①正切函数的图象的对称中心是唯一的；
②y=|sinx|、y=|tanx|的周期分别为π、；
③若x1＞x2，则sinx1＞sinx2；
④若f（x）是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（－）=0
其中正确命题的序号是____________
14. 设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ≤π）在处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为．求f（x）的解析式.
【课后作业】
1. ★正弦函数f（x）=sinx图象的一条对称轴是（　　）
A．x=0 B． C． D．x=π
2. ★★函数的部分图象如图所示，则
的值等于
A． B． C．D．
3. 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A.11 B.9 C.7 D.5
4. ★★求函数的单调区间.
5. ★★已知函数
（1）求函数最小正周期；
（2）求函数取得最大值时x的取值；
（3）求函数的单调递减区间；
（4）求函数对称轴；
（5）求函数对称中心；
6. ★求函数的值域
7. ★★已知函数。
（1）求函数的单调增区间。
（2）若函数的定义域为，值域为[2,5],求的值。
8．已知函数y=f（x），若对于任意x∈R，f（2x）=2f（x）恒成立，则称函数y=f（x）具有性质P，
（1）若函数f（x）具有性质P，且f（4）=8，则f（1）=　 　；
（2）若函数f（x）具有性质P，且在（1，2]上的解析式为y=cosx，那么y=f（x）在（1，8]上有且仅有　 　个零点．
9. ★★设函数,则下列关于函数的说法有：（1）是偶函数； （2）最小正周期为π ； （3）图象关于点对称； （4）在区间上是增函数.
以上说法正确的序号是________
10. ★★ 已知电流I与时间t的关系式为．
（1）右图是（ω＞0，）
在一个周期内的图象，根据图中数据求
的解析式；
（2）如果在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？

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