资源简介

目录
三角恒等变换 1
一、和差角公式 1
【考点分类】 1
考点一：两角和与差的余弦 1
考点二：两角和与差的正弦 2
考点三：两角和与差的正切公式 3
【 易错题】 3
【课后检测】 4
【课后作业】 5
二、倍角公式和半角公式 8
【知识要点】 8
【考点一】：利用公式求解三角函数值 8
【考点二】:依据图像研究三角函数性质 9
【考点三】：求三角函数的周期、最值、单调区间 12
【课后作业】 15
三角恒等变换
一、和差角公式
【知识要点】
【考点分类】
考点一：两角和与差的余弦
【例1】★的值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【例2】★化简：的值是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【例3】★★化简： ________．
【答案】
【例4】★★若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【例5】★★若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
考点二：两角和与差的正弦
【例1】★计算的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【例2】★的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【例3】★★等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【例4】★★的值是________．
【答案】-
【例5】★★函数 的最小正周期和最大值分别为
A． B． C． D．
【答案】A
考点三：两角和与差的正切公式
【例1】★与相等的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【例2】★等于( )
A． B．1 C. D．
【答案】B
【例3】★★在锐角三角形中，若则的值是( )
A．大于1 B．小于1
C．可能等于1 D．与1的关系不能确定
【答案】
【例4】★★已知 ，，则 ( )
A． B． C. D．
【答案】
【易错题】
【例1】 ★★ =（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】C
【例2】★★求值：＝________．
【答案】4
【例3】★★若，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【课后检测】
1. ★的值是( )
A． 1 B． C． D．
【答案】C
2. ★函数（ ）
A．在上递增，在 上递减
B．在上递增，在上递减
C．在上递增，在上递减
D．在
【答案】A
3. ★若，是第三象限的角，则
A. B. C. D.
【答案】A
4．★已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【课后作业】
1.★已知a∈(，)，sin=，则tan2=
【答案】
2.★已知,则的值为__________
【答案】
3.★在△ABC中，cosA＝且cosB＝，则cosC等于（ ）
A．－ B． C．－ D.
【答案】B
4.★若，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
5.★已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
6.★★如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记．
（1）若，求；
（2）分别过作轴的垂线，垂足依次为．记△
的面积为，△的面积为．若，求角的值．
【答案】解：(1)由三角函数定义，得 ，．
因为 ，，
所以 ．
所以 ．
（2）解：依题意得 ，．
所以 ，
．
依题意得 ，
整理得 ．
因为 ， 所以 ，
所以 ， 即 ．
二、倍角公式和半角公式
【知识要点】
（1）倍角公式：
将上一节的公式
中的换为，可得倍角公式
（2）由倍角公式，将换为，可得半角公式
拓展：辅助角公式
【考点一】：利用公式求解三角函数值
【例1】★已知，求 的值。
【答案】
【例2】★已知（ ）
A. B C D
【答案】D
【例3】函数在区间上的零点之和是
A. B. C. D.
【答案】C
【例4】★★求值：
【答案】
【考点二】:依据图像研究三角函数性质
例1．已知函数（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的图象如图1所示，它刻画了质点P做匀速圆周运动（如图2）时，质点相对水平直线l的位置值y（|y|是质点与直线l的距离（米），质点在直线l上方时，y为正，反之y为负）随时间t（秒）的变化过程．则
（1）质点P运动的圆形轨道的半径为 米；
（2）质点P旋转一圈所需的时间T= 秒；
（3）函数f（t）的解析式为： 。
（4）图2中，质点P首次出现在直线l上的时刻 秒．
【答案】解：（1）由图1可得A=2，故质点P运动的圆形轨道的半径为2，故答案为：2．
（2）质点P旋转一圈所需的时间T，即函数y=Asin（ωt+φ）的周期，
把点（0，﹣1）代入函数的解析式可得2sinφ=﹣1，可得sinφ=﹣，再结合|φ|＜，可得φ=﹣．
再把点（，2）代入函数的解析式可得 2sin（ω ﹣）=2，即sin（ω ﹣）=1，（ω ﹣）=，求得ω=π，
故函数的周期为=2，
故答案为：2．
（3）由（2）可得f（t）=，
故答案为：f（t）=2sin（πt﹣）．
（4）令f（t）=2sin（πt﹣）=0，求得πt﹣=kπ，k∈z，可得t的最小正值为，
故答案为：．
例2.已知函数 ．
（1）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图象（先列表，再画图）；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）求f（x）在 上的取值范围．
【答案】 解：（Ⅰ）函数的周期T=3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
列表如下：
0 π 2π
x 2
f（x） 0 2 0 ﹣2 0
描点画图如图所示．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（2）函数y=sinx的单调增区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
由，
得．
所以f（x）单调增区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
（Ⅲ）因为，
所以，
所以
所以，即f（x）在上的取值范围是[﹣1，2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）
【考点三】：求三角函数的周期、最值、单调区间
【例1】★★已知函数 .
(Ⅰ)求的最小正周期；
(Ⅱ)当 时，求函数的单调递减区间.
【答案】解：(Ⅰ)
的最小正周期为.
(Ⅱ)当 时，函数单调递减,
即的递减区间为：,
由=,
所以的递减区间为：.
【例2】★★已知函数，．
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）若，求函数的单调递增区间．
【答案】（Ⅰ）由已知
当 ，即， 时，
（Ⅱ)当时，递增
即，令，且注意到
函数的递增区间为
【例3】★★已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）当时，求函数的最小值和最大值.
【答案】（Ⅰ）
所以的最小正周期为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.
因为所以.
则.
当，即时，取得最大值是；
当，即时，取得最小值是.
在区间的最大值为，最小值为.
【例4】★★已知函数，．
（Ⅰ）若，求的单调递增区间；
（Ⅱ）若，求的最小正周期的表达式并指出的最大值．
【答案】（Ⅰ）当时，
．
令．
解得．
所以的单调递增区间是.
（Ⅱ）由
．
因为，所以．
则，．
解得．
又因为函数的最小正周期，且，
所以当时，的最大值为．
【课后作业】
1. ★已知则的值为（ ）
A B C D
【答案】D
2. ★★已知为第三象限角且则等于( )
A． B． C． D．
【答案】 C
3．★，则=________．
【答案】
4. ★★设0＜＜，，求的值．
【答案】
由
5. ★★若，求的值．
【答案】
又
．
6. ★已知函数
（1）若为第二象限角，且，求的值
（2）求函数的定义域和值域
【答案】（I）解：因为是第二象限角，且，
所以
所以，
所以
（II）解：函数的定义域为
化简，得
因为，且.
所以，
所以，
所以函数的值域为
（注：或许有人认为“因为，所以”其实不然，因为）
(
C
B
O
D
y
x
)7. 如图所示，两点是函数图象上相邻的两个最高点，点为函数图象与轴的一个交点.
（Ⅰ）若，求在区间 上的值域；
（Ⅱ）若 ，求的值．
【答案】解：（Ⅰ）由题意，
因为，所以.所以. ………………3分
所以. ………………6分
所以，
函数的值域为. ………………8分
（Ⅱ）由已知，，, ………………11分
所以，.
因为，所以，，解得.
又，所以. ………………12分目录
三角恒等变换 2
一、和差角公式 2
【考点分类】 2
考点一：两角和与差的余弦 2
考点二：两角和与差的正弦 3
考点三：两角和与差的正切公式 4
【 易错题】 5
【课后检测】 5
【课后作业】 6
二、倍角公式和半角公式 8
【知识要点】 8
【考点一】：利用公式求解三角函数值 8
【考点二】:依据图像研究三角函数性质 9
【考点三】：求三角函数的周期、最值、单调区间 10
【课后作业】 12
三角恒等变换
一、和差角公式
【知识要点】
【考点分类】
考点一：两角和与差的余弦
【例1】★的值是( )
A． B． C． D．
【例2】★化简：的值是( )
A． B． C． D．
【例3】★★化简： ________．
【例4】★★若，则（ ）
A. B. C. D.
【例5】★★若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
考点二：两角和与差的正弦
【例1】★计算的值等于（ ）
A． B． C． D．
【例2】★的值为( )
A． B． C． D．
【例3】★★等于( )
A． B． C． D．
【例4】★★的值是________．
【例5】★★函数 的最小正周期和最大值分别为
A． B． C． D．
考点三：两角和与差的正切公式
【例1】★与相等的是( )
A． B． C． D．
【例2】★等于( )
A． B．1 C. D．
【例3】★★在锐角三角形中，若则的值是( )
A．大于1 B．小于1
C．可能等于1 D．与1的关系不能确定
【例4】★★已知 ，，则 ( )
A． B． C. D．
【易错题】
【例1】 ★★ =（ ）
A. B. C. 2 D.
【例2】★★求值：＝________．
【例3】★★若，则=（ ）
A． B． C． D．
【课后检测】
1. ★的值是( )
A． 1 B． C． D．
2. ★函数（ ）
A．在上递增，在 上递减
B．在上递增，在上递减
C．在上递增，在上递减
D．在
3. ★若，是第三象限的角，则
A. B. C. D.
4．★已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【课后作业】
1.★已知a∈(，)，sin=，则tan2=
2.★已知,则的值为__________
3.★在△ABC中，cosA＝且cosB＝，则cosC等于（ ）
A．－ B． C．－ D.
4.★若，则=（ ）
A． B． C． D．
5.★已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6.★★如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记．
（1）若，求；
（2）分别过作轴的垂线，垂足依次为．记△
的面积为，△的面积为．若，求角的值．
二、倍角公式和半角公式
【知识要点】
（1）倍角公式：
将上一节的公式
中的换为，可得倍角公式
（2）由倍角公式，将换为，可得半角公式
拓展：辅助角公式
【考点一】：利用公式求解三角函数值
【例1】★已知，求 的值。
【例2】★已知（ ）
A. B C D
【例3】函数在区间上的零点之和是
A. B. C. D.
【例4】★★求值：
【考点二】:依据图像研究三角函数性质
例1．已知函数（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的图象如图1所示，它刻画了质点P做匀速圆周运动（如图2）时，质点相对水平直线l的位置值y（|y|是质点与直线l的距离（米），质点在直线l上方时，y为正，反之y为负）随时间t（秒）的变化过程．则
（1）质点P运动的圆形轨道的半径为 米；
（2）质点P旋转一圈所需的时间T= 秒；
（3）函数f（t）的解析式为： 。
（4）图2中，质点P首次出现在直线l上的时刻 秒．
例2.已知函数 ．
（1）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图象（先列表，再画图）；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）求f（x）在 上的取值范围．
【考点三】：求三角函数的周期、最值、单调区间
【例1】★★已知函数 .
(Ⅰ)求的最小正周期；
(Ⅱ)当 时，求函数的单调递减区间.
【例2】★★已知函数，．
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）若，求函数的单调递增区间．
【例3】★★已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）当时，求函数的最小值和最大值.
【例4】★★已知函数，．
（Ⅰ）若，求的单调递增区间；
（Ⅱ）若，求的最小正周期的表达式并指出的最大值．
【课后作业】
1. ★已知 则的值为（ ）
A B C D
2. ★★已知为第三象限角且则等于( )
A． B． C． D．
3．★，则=________．
4. ★★设0＜＜，，求的值．
5. ★★若，求的值．
6. ★已知函数
（1）若为第二象限角，且，求的值
（2）求函数的定义域和值域
(
C
B
O
D
y
x
)7. 如图所示，两点是函数图象上相邻的两个最高点，点为函数图象与轴的一个交点.
（Ⅰ）若，求在区间 上的值域；
（Ⅱ）若 ，求的值．

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