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高中数学新教材考前回归知识必备全案
高中数学考前回归知识必备
1 集合与常用逻辑用语
Ａ={ a1,a2 ,a3 a } 元素特点：互异性、无序性、确定性。 n
概念
一组对象的全体. x A, x A
子集 Ａ n的子集有2n 个，真子集有2 1个，非空 A；
关系 真子集 真子集有2n 2个 A B, B C A C 集
合 相等 A B, B A A B
交集 A B x | x A,且x B 【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、
补运算的有力工具.
运算 并集 A B x | x A,或x B 在具体计算时不要忘了集合本身和
C A x | x U且x A 空集这两种特殊情况，补集思想常运用补集 U
于解决否定型或正面较复杂有关问题。
概念 能够判断真假的语句。
集 原命题：
原命题 逆命题
合 若 p ，则q 互 逆
与 若 p 则 q 若 q 则 p 逆命题： 互 否
常 若 q ，则 p
用 命题 四种 互 为 逆 互
否命题：
逻 命题 为 逆
若 p ，则 q 否 否
辑 互 否
用 常
逆否命题： 互 逆 逆否命题 逆否命题
语 用
若 q ，则 p 若 q 则 p 若 q 则 p
逻
辑 充分条件 p q， p 是q 的充分条件 若命题 p 对应集合 A，命题q 对应集合
用 充要 必要条件 p q， q 是 p 的必要条件 B ，则 p q 等价于 A B ，p q等
语 条件
充要条件 p q， p,q互为充要条件 价于 A B。
全称量词 ，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命
题。
量词 存在量词 ，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命
题。
非命题 p 和 p 为一真一假两个互为对立的命题。 类比集合的补
全称量词 ，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。
量词
存在量词 ，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。
2 复数与统计与统计案例 概率
i2规定： 1；实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、
虚数单位 4k
乘运算律仍成立。 i 1,i
4k 1 i,i4k 2 1,i4k 3 i(k Z)。
概 形如a bi(a,b R) 的数叫做复数，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的
复 复数 念 虚部。b 0 时叫虚数、a 0,b 0时叫纯虚数。
数
的 复数相等 a bi c di(a,b,c,d R) a c,b d
概 共轭复数 实部相等，虚部互为相反数。即 z a bi，则 z a bi 。
念
加减法 (a bi) (c di) (a c) (b d)i， (a,b,c,d R)。 和
运 运 乘法 (a bi)(c di) (ac bd) (bc ad)i， (a,b,c,d R)
算 算 ac bd bc da
除法 (a bi) (c di) i(c di 0,a,b,c,d R)
c2 d
2 c2 d 2
几 复数 z a bi 一一 对应 复平面内的点Z(a,b) 一一 对应 向量OZ
何
1
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意
向量OZ 的模叫做复数的模， z a2 b2
义
*1.运算律：⑴ zm zn zm n ； m n mn ⑵ (z ) z ； ⑶ (z1 z2)
m z mz m1 2 (m,n N) . 复
数 【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围.
z | z | n n
复 *2.模的性质：⑴ | z1z2 | | z || z |； ⑵ |
1 | 1 ； ⑶ z z .
主 1 2
数 z2 | z2 |
要
运 2 2 2 1 i 1 i
性 *3.重要结论： z1 z2 z z ； 1 i 2i ； i ， i ； 算
质 1 i 1 i
i4n 1 i,i4n 2 1, i4n 3 4ni 性质：T=4； i, i 1.
3 2
1 3
【拓展】： 1 1 1 0 1或 i .
2 2
简单抽
从总体中逐个抽取且不放回抽取样本的方法。
样
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于
且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有
子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽
样，每一个子总体称为层． 等
概
1.利用分层随机抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整
率
分层抽 数，可以进行一定的技术处理，比如将结果取成整数等． 抽
样 样
2.在分层随机抽样中，以层数是 2 层为例，如果第 1 层和第 2 层包含的个体
。
随 数分别为 M 和 N，抽取的样本量分别为 m 和 n，第 1 层和第 2 层的样本平均
机 M N m
抽 数分别为 x ， y ，样本平均数为 w ，则 w ＝ x ＋ y ＝ xM＋N M＋N m＋n
统 样
n
计 ＋ y .
m＋n
与
统
统
计 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等．
计
案 (2)作频率分布直方图的步骤
例 ①求极差；
统计图 ②决定组距与组数；
表
③将数据分组；
④列频率分布表；
⑤画频率分布直方图．
百分位 一般地，一组数据的第 p 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 p%
数 的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
样
众数 一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．
本
中位数 从小到大排序后，中间的数或者中间两数的平均数。
估
1
计 平均数 x1, x2 , , xn 的平均数是 x (x1 x2 xn ) .
总 n
体 1 n 1
n
方差 2 x 2 2 s (x x)1, x2 , , xn 的平均数为 x ， s (x x) ,标准差 i i
n i 1 n i 1
2
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巧用三个有关的结论
(1)若 x1，x2，…，xn的平均数为 1，那么 mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a 的平
均数为 m＋a；
(2)数据 x1，x2，…，xn与数据 x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的
方差相等，即数据经过平移后方差不变；
(3)若 x 21，x2，…，xn的方差为 s ，那么 ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b 的方差
为 a2s2.
(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为 Y1，Y2，…，YN，总体平均数
总体 1 N
为 Y ，则总体方差 S2＝ (Yi－ Y )2.(2)加权式：如果总体的 N 个变量值中，不
(样本) Ni＝1
方差和
总体 同的值共有 k(k≤N)个，不妨记为 Y1，Y2，…，Yk，其中 Yi出现的频数为 fi(i＝1,2，…，
(样本)
k
标准差 1k)，则总体方差为 S2＝ fi(Yi－ Y )2. N
i＝1
样
本
点
①样本点：随机试验 E 的每个可能的基本结果称为样本点，常用 ω表示．
和
有 全体样本点的集合称为试验 E 的样本空间，常用 Ω表示．
限
②有限样本空间：如果一个随机试验有 n 个可能结果 ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间 Ω
样
＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
本
空
间
如果随机事件 A在 n 次试验中发生了m 次，当试验的次数 n 很大时，我们可以将发生的
定
m m
概 义 频率 作为事件 A发生的概率的近似值，即P A 。
率 n n
事 互斥事
事件 A和事件B 在任何一次实验中不会同时发生
件 件
关 对立事
事件 A和事件B ，在任何一次实验中有且只有一个发生。
系 件 类比集合关系。
基本性
0 P(A) 1， P( ) 0， P( ) 1。
性 质
质 互斥事
事件 A, B互斥，则P(A B) P(A) P(B)。
件
古 特征 基本事件发生等可能性和基本事件的个数有限性
典
计算公 m
概 P(A) ， n 基本事件的个数、m 事件 A所包含的基本事件个数。
式
型 n
3 平面向量
平 重 向量 既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。
面 要 0 向量 长度为0 ，方向任意的向量。【0 与任一非零向量共线】
向 概 平行向量 方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。
量 念 2向量的模 | a | x2 y2 , a | a |2 x2 y2
3
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两点间的距离 2 2 若 A x1, y1 ,B x , y ，则2 2 | AB | x x y y 2 1 2 1
起点放在一点的两向量所成的角，范围是 0, 。a,b的夹角记为 a,b 。
向量夹角
a,b 锐角 a b 0 , a,b 不同向； a,b 为直角 a b 0； a,b 钝角 a b 0 , a,b 不反向.
向量的夹角带有方向性：向量是有方向的，向量间的夹角表示两个向量正方向的夹角
→
设 a，b 是两个非零向量，它们的夹角是 θ，e 与 b 是方向相同的单位向量，AB＝
→ → →
a，CD＝b，过AB的起点 A 和终点 B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为 A1，
投影向量
—→ —→
B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量 a 向向量 b 投影，A1B1叫做向量 a 在向量 b
上的投影向量．记为|a|cos θ e.
重 e1,e2 不共线，存在唯一的实数对 ( , ) ，使a e1 e2 。若 e1,e2 为 x, y轴上
基本定理
要 的单位正交向量， ( , ) 就是向量 a 的坐标。
法
一般表示 坐标表示
则
定 共线条件 a / /b （b 0 共线 存在唯一实数 ，a b x1y2 y1x2 ＝0
理 垂直条件 a b a b 0。 x1y1 x2 y2 0。
设 AB a,BC b ，那么向量 AC 叫做 a 与 b 的和，即
法则 a b AB BC AC ；向量加法的三角形法则可推广至多个向加法 a b (x1 x2 , y1 y2) 。
量相加： AB BC CD PQ QR AR ，但这时
运算
必须“首尾相连”。
算律 交换律a b b a，结合律 (a b) c a (b c)
用“三角形法则”：设 AB a, AC b, 那么a b
减法
法则
运算 AB AC CA，由减向量的终点指向被减向量的终点。
a b (x1 x2 , y1 y2)
注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
a为向量， 0与 a 方向相同，
各 概念 a ( x, y) 0与 a 方向相反，
数乘 a a
。
种
运 运算 分配律 ( a) ( )a， ( )a a a， 与数乘运算有同样的坐标
算 算律
分配律 (a b) a b 表示。
概念 a b a b cos a,b a b x1x2 y1y2 。
数量 主要 2 2
积运 a a a ，|a·b|≤|a||b|
| a | x2 y2 , a | a |2 x2 y2
性质
算
算律 a b b a，分配律 (a b) c a c b c ， ( a) b a ( b) (a b)。
向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一
算律 个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，
切记两向量不能相除(相约)；（2） a(b c) (a b)c
向 几何表示法 用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意起点在前，终点在后；
量
的 符号表示法 用一个小写的英文字母来表示，如 a ， b ， c 等；
表 在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i ， j 为基底，则平面内
示
坐标表示法
方 的任一向量 a 可表示为 a xi y j x, y ，称 x, y 为向量 a 的坐标，a ＝ x, y 叫做向量 a 的
法 坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
三角形的五个“心”
重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
4
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4 不等式
a b，b c a c 两个实数的顺序关系：
同
a b，c 0 ac bc；a b，c 0 ac bc ； a b a b 0
向
不 a b，c d a c b d a b a b 0
等 a b 0，c d 0 ac bd 1 1
式 n n 取倒数法则ab 0 ， a b
a b 0，n * n nN，n 1 a b ；a b a b
① x, y 0,由x y≥2 xy ，若积 xy P(定值)，则当 x y 时和 x y 有最小值2 p ；
② 1x, y 0,由x y≥2 xy ，若和 x y S(定值)，则当 x y 是积 xy有最大值 s2 .
最值 4
定理 【推广】：已知 x, y R，则有 (x y)
2 (x y)2 2xy .
（1）若积 xy 是定值，则当 | x y |最大时， | x y |最大；当 | x y |最小时， | x y |最小.
（2）若和 | x y |是定值，则当 | x y |最大时， | xy |最小；当 | x y |最小时， | xy |最大
2 2
平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均 a b a bab≤ ( ) 2≤ (a,b R, 当且仅当a b 取“ ”)
2 2
均 值 2 2ab a b a2 b2
不 等 ≤ ab ≤ ≤ （当且仅当a b时取“ ”）1 1 a b 2 2
式 a b
a1 a 2 a n ≥ n a a a （正数 a1=a2=…=an 时取等）算术平均≥几何平均
基 1 2 nn
本 2 2
重 要 a b 2 | ab | (a,b R, 当且仅当a b时取到“ ”)
不
不 等 3 3 2 2 3 3 3
等 a b ≥a b ab ，a b c 3abc (a b c)(a
2 b 2 c 2 ab ac bc)
式（a、
式
a 3 b3 c 3b 、 c ≥3abc（a b c 0等式即可成立，a b c或a b c 0时取等）；
为 正
3 a b c a
3 b 3 c 3
数） abc ≤
a b cabc ( ) 3≤ ≤
3 3 3
2 2 2 2 2 2 2
柯 西 设a i ,b 则i R(i 1,2, ,n), (a1b1 a 2b 2 a nb n) ≤ (a 1 a 2 a n)(b 1 b 2 b n)
不 等 等号成立当且仅当 a1 a 2 a 时成立．（约定 时， ） n a 0 b i 0i
式 b1 b2 bn
糖 水
的 浓 a b 0，a m 0，则 b m b b m .【说明】：
b b m
（a b 0,m 0 ）.
度 a m a a m a a m
③已知 a, x,b, y R ，若ax by 1，则有： 1 1 1 1 by ax 2
“1” (ax by)( ) a b ≥ a b 2 ab ( a b )
x y x y x y
的

代换 ④ a, x,b, y R ，若
a b
1则有：
ay bx
2x y x y ( ) a b 2 ab ( a b )
x y x y
5 函数﹑基本初等函数 I 的概念、图像与性质
函数 函数用 f(x)来表示：即 x 按照对应法则 f 对应的函数值为 f(x)．函数有解析式和图像两种具体的表示形式。
的概 定义域 A：x 取值范围组成集合。值域 B：y 取值范围组成集合。对应法则 f：y 与 x 对应关系。
念 如：函数图像与 x轴的垂线至多有一个公共点,但与 y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.
函 (1)具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式: 使函数解析式有意义(如:分母 0 ;偶次
数 根式被开方数非负; 零指数幂底数 0 ；实际问题有意义；对数真数 0 ,底数 0 且 1；如 lg x 1的解集：
概 定义 0 x 10； y ln x单调增区间 (0, )；如：不等式 lg | x | 1的解集 {x | 1 x 1且x 0}
域题
念
(2) 复合函数定义域求法：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。若 f (x) 的定义域为 [a,b] ,型
及 其复合函数 f [g(x)]的定义域可由不等式 a g(x) b 解出；若 f [g(x)]的定义域为 [a,b] ,求 f (t) 的定义域，
其 相当于 x [a,b] 时,求 t g(x) 的值域；如若函数 f (x2 1) 的定义域为 [ 2,1) ，则 f (x) 定义域为___（答：[1,5]）
表
数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小
示
于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思；
区间
（1）区间是集合的另类表示方式，区间就是集合，具有集合的一般性质。
（2）它是无限集，连续的实数。{x |1 x 2或 x 4}表示成（1，2） { 4}，不能写成 (1,2)且x 4 。
5
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如果 f ( x) f (x) ,则 f (x) 为偶函数；如果 f ( x) f (x) ,则 f (x) 为奇函数。
这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。确定奇偶性方法有定义法、图像法等；
2
定义 lg(1 x )（1）若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断，如判断函数 f (x) 奇偶性 偶函数；
| x2 2 | 2
（2）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反单调性；
（3）若 f (x) 是偶函数,那么 f (x) f ( x) f (| x |) ；定义域含零的奇函数必过原点( f (0) 0 )；
奇
偶
f ( x)
性 定义法判断：⑴定义域是关于原点对称的；（2）计算 f (x) f ( x) 0 或 1( f (x) 0) ；
f (x)
判断
x
若函数 f (x) k 2 （a 为常数）在定义域上为奇函数，则 k= 1
1 k 2x
(1).利用公式：f(-x)=- f(x)，f(-x)= f(x)，计算或求解析式；(2).利用复合函数奇偶性结论：F(x)=f(x)g(x)，
利用 奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇；F(x)=f(x)+g(x)，当 f(x)为奇，g(x)为偶时，代入-x 得：F(-x)=-f(x)+g(x),
两式相加可以消去 f(x),两式相减可以消去 g(x),从而解决问题；（4）奇偶函数图像的对称性
对定义域内任意 x ，存在非零常数T ， f (x T) f (x) ，T 为 f (x) 周期
周 ⑴若 y f (x) 对x R时 f (x a) f (x a) 恒成立,则 f (x) 的周期为2 | a | ；
期 ⑵若 y f (x) 是偶函数,其图像又关于直线 x a对称,则 f (x) 的周期为 2 | a | ；
性
⑶ f (x a) f (x) ， 1f (x a) 或 f (x a) f (x) k 或 f (x a) f (x) k T 为 2 | a | ； 性 f (x)
质
定义 定义域内一区间 I ，x1, x2 I , x1 x2 ,增 x1 x2 f (x1) f (x2) ；减 x1 x2 f (x1) f (x ) 2
定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等（提醒：求单调区间时注意定义域）
求 单 导数法：i求定义域：ii求 f (x)；iii f (x) 0 的解构成增区间；注意：区间表示。如：函数 y log 1 ( x
2 2x)
调 区 2
间 的单调递增区间是 .( (1,2) )；函数 1y x 单调增区间是 .( ( ,0) 和 (0, ) )
x
定义法、导数法。判断单调性：小题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。
证明 （1）定义法：i 取值 x x ii 作差变形判断1 2 f (x1) f (x2 )符号；
单
（2）导数法：i 求 f (x)；ii 判断 f (x)符号；
调
性 (1).求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，断。
(2).比较函数值的大小：画图看(3)解不等式：增 x 或 ；减1 x2 f (x1) f (x2) f (x1) f (x2) x1 x2
x x f (x ) f (x ) 或 f (x ) f (x ) x x (4).求系数：利用常规函数单调性结论，根据单调性求系1 2 1 2 1 2 1 2
利用
3 3
数。 loga 1，则 a 范围是 a 1或0 a ；
5 5
已知 f x loga x(a 0,a 1)为 R 上增，则 f ( x 1) 0 的实数 x 的取值范围。 (0,1) (1,2)
由“同增异减”判定：①分解为基本函数：内函数 u g(x)与外函数 y f (u) ②分别研究内、外函数
复 合 ；
函数 在各自定义域内的单调性③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内单调性.已知复合函
数单调性，求字母范围：i 分解出内外层函数；ii 研究内外层函数的单调性的关系；iii 兼顾函数的定义域；
6 函数﹑基本初等函数 I 的图像与性质
①确定所求问题含有待定系数的解析式；二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x) ax2 bx c(a 0)；
待定系数 顶点式： f (x) a(x h)
2 k(a 0) ； 零点式： f (x) a(x x1)(x x2)(a 0) .
求 法基本步 ②根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；
函 骤 ③解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
数 如一元二次不等式 f (x) x 1解集是 (-1,2) ,可设 f (x)-x+1=a(x+1)(x-2)
解 1 1
析 配凑法 若 f (x ) x
2 ，则函数 f (x 1) =_____（答： x2 2x 3）
x x2
式
的 函数 y f (x)关于函数 y ln x 1图形关于直线 y x 对称，则 f (x) e
2x 2
坐标转移
常 函数 y f (x) 与 的图像关于原点成中心对称； y f ( x)
用 对已知等式进行赋值，从而得到关于 f (x) 及另外一个函数的方程组；
方 1 1
方程的思 函数 f (x) 是一个偶函数， g(x) 是一个奇函数，且 f (x) g(x) ，则 f (x) 等于 ； 法 x 1 x2 1
想
ex e x
若函数 f (x),g(x) 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足 f (x) g(x) ex ，则有 f (x) =
2
6
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①函数 y f (x) 与 y f ( x) 的图像关于原点成中心对称
②函数 y f (x)与 y f ( x)图像关于直线 x 0( y 轴)对称；
③函数 y f (x) 对 x R， f (a x) f (a x) 或 f (x) f (2a x) 恒成立,图像关于 x a 对称；
图 对称 a b④若 y f (x) 对 x R时, f (a x) f (b x) 恒成立,则 y f (x) 图像关于 x 对称；
象 变换 2
几 b a函数 y f (a x) , y f (b x)的图像关于直线 x 对称(由a x b x确定)；
种 2
常 1⑤函数 y f ax (a 0)的图象是把函数 y f x 的图象沿 x 轴伸缩为原来的 得到的。
见 a
1
变 如若函数 y f (2x 1)是偶函数，则函数 y f (2x) 的对称轴方程是_______(答： x )．
换 2
平移变换 左右平移----“左加右减”（针对 x而言）；上下平移----“上加下减”(针对 y 而言)
f (x) | f (x) | ； f (x) f (| x |) .注意翻折时机和翻折的本质：如 y 2|x 3| 由 y 2|x| 向右平移 3
翻折变换
单位
二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间 [m,n]上的最值；二是求区间定（动），
配方法 对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；
二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如求函数 y x2 2x 5,x [ 1,2]的值域（答：[4,8]）；
通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数
换元法 公式模型，如 y 2x 1 x 1的值域为_____（答： (3, ) ）（令 x 1 t ， t 0 。运用换元法时，要
特别要注意新元 t 的范围）；
求
函 2sin 1 1有界性 利用已学过函数的有界性，确定值域，最常用的就是三角函数的有界性，如 y ( , ]
数 1 sin 2
值
9 11
域 单调性 利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求 y sin
2 x ；[ ,9] ；
（ 1 sin
2 x 2
最 函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如已知点 P(x, y) 在圆 x2 y2 1
值
数形结合
） y 3 3上，求 的取值范围（答： [ , ]）；求 y (x 2)2 (x 8)2 的值域（答： [10, ) ）；
的 x 2 3 3
方
x 1 1
法 判别式 求 y 的值域（答： [ , ] ）；
1 x2 2 2
利用基本不等式 a b 2 ab(a,b R ) 求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析
不等式
式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
一般适用于高次多项式函数，如求函数 f (x) 2x3 4x2 40x ， x [ 3,3] 的最小值。（答：－48）
导数法
提醒：求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合包括区间形式了吗？
7 函数与方程﹑函数模型及其应用
定义域 R 值域 (0, )
( , )单调递减，
指数函数 0 a 1 x 0 时 y 1， x 0时0 y 1
y ax(a 0,且a 1)
( , ) 单 调 递 增 ， x 0 时
a 1
基本 0 y 1， x 0时 y 1
初等
函数的定义域为 (0, )
函数
对数函数：函数
Ⅰ 1 函数的值域为 R；函数 y ( )1 x 的值域是__．（0，＋∞）；
y loga x(a 0, 2
且a 1) ； 在 (0, ) 单调递减， 0 x 1时
y (a2 3a 3) ax 0 a 1 y 0， x 1时 y 0
是指数函数，则有
在 (0, )单调递增，
（ a 2.） a 1
0 x 1时 y 0， x 1时 y 0
7
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幂函数的图象通过原点，并且在区间
0 [0, )上是增函数
1 幂函数的图象下凸
幂函数
0 1 幂函数的图象上凸
一 般 地 ， 形 如
y x (a R)
幂函数的图象在区间 (0, ) 上是减函
的函数称为幂函
数，其中 为常 数．在第一象限内，当 x 从右边趋向原点
数． 0 时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正
半轴，当 x 趋于 时，图象在 x 轴上
方无限地逼近 x 轴正半轴．
对数与对数性质：
⑴ log b log bnn (a 0,a 1,b 0,n 0)
loga N；⑵对数恒等式 a N(a 0,a 1,N 0)
指数 a a
函数 M⑶ 1loga (M N) loga M loga N;loga log M log
n ；
a a N;loga M nloga M log
n
a M log ； 对数 N a
M
n
函数
logb N⑷对数换底公式 log N (a 0,a 1,b 0,b 1) a
logb a
函数 y f (x) 的零点就是方程 f (x) 0 实数根，亦即函数 y f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标．即：方
概念 程 f (x) 0 有实数根 函数 y f (x) 的图象与 x 轴有交点 函数 y f (x) 有零点；如：函数
函数
f (x) x | lg x | 在定义域上零点个数为 1
零点
存在定
图象在[a,b]上连续不断，若 f (a) f (b) 0，则 y f (x) 在 (a,b)内存在零点。
理
对于在区间[a，b]上连续不断，且满足 f (a) · f (b) 0 的函数 y f (x) ，通过不断地把函数 f (x) 的
方法
零点所在区间一分为二，使区间两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
第一步 确定区间 a,b ，验证 f (a) f (b) 0，给定精确度 。
第二步 求区间 a,b 的中点c；
二 计算 f c ：（1）若 f c 0，则c 就是函数的零点；（2）若 f a f c 0，
分 步骤
则令b c（此时零点 x0 a,c ）；（3）若 f c f b 0 ，则令a c （此法 第三步
时零点 x0 c,b ）．（4）判断是否达到精确度 :即若 a b ，则得到零点
近似值 a（或b ）；否则重复（2）～（4）．
2 2
函数 f (x) ln(x 1) 的零点所在的大致区间是（0，1）或 (1 , 2) （画图 ln(x 1) ；注意： f (x) 0 只能说明
x x
函数在 ( 1,0),(0, )分别增，不是在定义域内增，不能误认为零点只有一个（错））
8 导数及其应用

概 sin( x) sin
f (x x) f (x )
念 f (x) 在点 x 0 处的导数 f (x ) lim
0 0
0 如当 x 0,
3 3 .
x 0 x x
（1）“在”点 (x 1, y1) 处的切线：ⅰ斜率= k f (x1) ⅱ切线 y y1 f (x1)(x x1)
概 曲线 y f (x) 在点 P x0, f x0 处的切线的斜率是 f x0 ，相应地切线的方程是 y y0 f x0 x x导 0 。
念
数
与 （2）“过”点 (x 在曲线上 切线： 几 1
, y1) y0 f (x0 )
及
几 ⅰ设切点 (x0 , y0 ) ；ⅱ求切线方程；iii 列方程组：切点 (x何 0
, y0 ) 在曲线上 y0 f (x0 ) ；切点在切线
其
何 意 y y f 1 (x0 )(x x1) 上；iv 解方程组，得 x ，求切线。 应 0
意
用 义 如 f (x) x
3 3x，过 P(2, 6) 作 y f (x) 的切线，求此切线的方程（答：3x y 0 或 24x y 54 0 ）。
义 x 9 3 x
如经过原点且与曲线 y= 相切的方程是 新疆 源头学子小屋http://www./wxc/特级教师王新敞wxckt@新疆源头学子小屋http://www./wxc/特级教师王新敞wxckt@ 两个切点 A(－3，3)或 B(－15, )x+y=0 或 +y=0；
x 5 5 25
在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点
处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；
/ /
物 瞬时速度；V＝s (t) 表示即时速度。a=v (t) 表示加速度。
8
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理
如一物体的运动方程是 s 1 t t2 ，其中 s 的单位是米， t 的单位是秒，那么物体在 t 3 时的瞬时速度
意
为____（5 米/秒）
义
基
本 ①C
' 0；② (xn)' nxn 1 ；③ (sin x)' cos x ；④ (cos x)' sin x ；
1 1 1
( ) ' ； (ln x ) '
公 ⑤ (ax)' ax lna ；⑥ (ex )' ex
1 1
；⑦ 2(log x)' ；⑧ (ln x)' 。 x x xa
x ln a x
式
运
u u v uv
算 运 (u v) u v ;(uv) u v uv ;( ) ; 复合函数求导法则2 y f (g(x)) ' f '(g(x))g '(x) v v
算
法 如等比数列 an 中， a 2 ， a =4，函数 f x x(x a )(x a ) (x a ) ，则 f '1 8 1 2 8 0 2
12
则
解： f ' ' 4 12x 1 [(x a1)(x a2) (x a8)] x [(x a )(x a ) (x a )]
' 故 f (0) a1a2a3 a8 (a a ) 2 1 2 8 1 8
①若 f (x) 0 ,则 f (x) 为增函数；若 f (x) 0 ,则 f (x) 为减函数；
若 f (x) 的符号不确定,则 f (x) 不是单调函数。
函 ②若函数 y f (x) 在区间（ a,b ）上单调递增，则 f (x) 0，反之等号不成立；若函数 y f (x) 在区间
数 （ a,b ）上单调递减，则 f (x) 0，反之等号不成立
的 如：已知 f (x) 为减函数求字母取值范围,那么不等式 f (x) 0恒成立。如：设 a 0函数 f (x) x3 ax 在
单 [1, ) 上单调函数，则实数 a 的取值范围______（答： 0 a 3）；
调 2已知函数 f (x) x2 a ln x(x 0), 若 f (x) 在[1, ) 上单调递增，求 a 的取值范围：a 0 ；
x
性
4
如：若函数 y=－ x3+bx 有三个单调区间，则 b 的取值范围是_____解析：y′=－4x2+b，若 y′值有正、
3
1
有负，则 b>0；如： f (x) x 的单调减区间：减区间 ( 1,0),(0,1) ，你会画图吗？
x
求函数的单调区间的具体步骤是：①确定 f (x) 的定义域；②计算导数 f
/ (x) ；③求出 f / (x) 0 的根；
研 ④用 f / (x) 0 的根将 f (x) 的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内 f / (x) 的符号,进而确定
究 f (x) 的单调区间；
函 1.导数有哪些应用？（求斜率，判断单调性与求单调区间，求极值与最值，证明不等式），
数 思 导数的几何意义是什么？物理意义呢？知道是牛顿和莱布尼兹发明了微积分吗？
性 考
2．求导数的规则、公式你都记得吗？一共有多少个公式？有两个容易记错！导函数相同
质
研 的两个原函数一定也相同吗？请举例说明。
究 3．导数的定义还记得吗？它的几何意义和物理意义分别是什么？利用导数可解决哪些问
函 题？具体步骤还记得吗？求切线，求极值，求单调区间，求最值，
数
4导数求曲线的切线步骤是什么？你能区别“在”一点处的切线和“过”一点的切线吗？
性
质
函数的极值定义：设函数 f (x) 在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近所有的点，都有 f (x) f (x ) ，就说0
是 f (x )函数 f (x) 的一个极大值。记作 y极大值＝ f (x ) ，如果对 x0 附近所有的点，都有0 0 f (x) f (x ) ，就0
说是 f (x f (x) y0)函数 的一个极小值。记作 极小值＝ f (x0)。极大值和极小值统称为极值。
导 极值是一个局部概念 新疆王新敞奎屯由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 新疆王新敞奎屯并不意味
数 着它在函数的整个的定义域内最大或最小；函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为
极值点 新疆王新敞奎屯及 极 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
如：设 f（x）=x3其 值 －3ax
2+2bx 在 x=1 处有极小值－1，试求 a、b 的值，并求出 f（x）的单调区间；
应 3 6a 2b 0, 1 1 1解 a b － 新疆 = = 源头学子小屋http://www./wxc/特级教师 3 2 2王新敞 wxckt@新疆源头学子小屋http://www./wxc/特级教师王新敞此时 f（x）=x －x －x， f wxckt@ （x）=3x －2x－1=3（x+ ）（x－1）
用 2 3a 2b 0. 3 2 3
1 1 1
当 f （x）>0 时，x>1 或 x<－ ，当 f （x）<0 时，－ 新疆 3 3 3
1
∞），减区间（－ ，1）；
3
9
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求函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数 f′(x) ；(2)求方程 f′(x)=0 的根；(3) 列
表（分区讨论单调性和极值点）：用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并
列成表格 新疆源头学子小屋http://www./wxc/特级教师王新敞wxckt@新疆源头学子小屋http://www./wxc/特级教师王新敞wxckt@检查 f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如
果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则 f(x)在这个
根处无极值； 提醒：给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑 f (x ，又要考虑检验“左正右负”0) 0
(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！ f x x3 ax2 bx a2在x 1处有
极小值 10，则 a+b的值为___－7； a 3,b 3 （舍）或 a 4,b 11；
a,b 上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间端点值和区间内的极大值中
最 的最大者，最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者。
值 在闭区间 a,b 上连续的函数 f (x) 在 a,b 上必有最大值与最小值的步骤：ⅰ讨论单调区间；ii。判断极值；
ⅲ 极值与闭区间端点的函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。如：函数 y 2x3 3x2 12x 5 在
[0，3]上的最大值、最小值分别是______（答：5；-15）
函数F(x) f (x) g(x) 有零点或者方程 f (x) g(x) 有解：
①（代数法）根据极值正负，画图观察函数F(x) f (x) g(x) 图像与 X 轴交点情况；
②（几何法）作图要准确。方程 f (x) g(x)，两个函数图像有交点。 零
点 零点定理：设函数 f（x）在闭区间 [a,b]上连续，且 f (a) f (b)＜0 ．那么在开区间 (a,b) 内
至少有函数 f (x)的一个零点，即至少有一点 （ a ＜ ＜ b ）使 f ( ) 0 ．
如：（ 21）若方程2ax x 1 0在（0，1）内恰有一解，求实数 a 的取值范围。a 1；
1．求极值，求单调区间，求最值？利用导数求函数单调区间时，一般由 f / (x) 0解得的区
间是单调增区间；利用导数求函数最值的步骤你还清楚吗？最好是列表！ “函数在某点
取得极值”你会灵活应用吗？不仅表示在该点的导函数值为零，而且导函数在该点两侧函
反 数值的符号相异的。
思 2．极值就是最值吗？极大值一定大于极小值吗？ 你记得极值的定义原文吗吗？使 f/（x）
=0 的 x 的值就是极值点吗？求最值的根本方法是什么（单调性法）？其它方法呢？（均
值不等式法），求最值的口诀你记得吗？（不在极点处，便在端点处）；
对 f（x）=x3+bx2+cx+d，f/（x）大致图象是怎样？。
9 三角函数的图像与性质
三 1. 终边与 终边相同 2k (k Z) ；习惯上 x 轴正半轴作为角起始边，叫角的始
角 边;
函 角概念的推广 2. 象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重
合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为
数
这个角不属于任何象限。
的
基 l ；弧长公式 l | | r ；扇形面积公式： 1 1
图 R S扇形 lr | | r
2 ；1弧度(1rad )≈
本 弧度制的定义 2 2
象 57.3 .
问
与
题 任意角的三
角 中边上任意一点 P 为 (x, y) ，设 | OP | r 则： y x ysin ,cos , tan
r r x
性 角函数定义 注意： tan15 cot 75 2 3 ； tan75 cot15 2 3
质
同角三角 sin
sin2 cos2 1, tan
函数关系 cos
诱导公式 360 ,180 ， ，90 ,270 ， “奇变偶不变，符号看象限”．
三 名称 周期 奇偶性 对称中心 对称轴
角 性
形 y sin x 2 质 奇函数
(k ,0)(k Z) x k (k Z)
2
中 与
y cos x 2 偶函数 ( k ,0)(k Z) x k (k Z) 的 2
10
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三 k y tan x 奇函数 ( ,0)(k Z) 无
角 2
变 y Asin( x ) 2 k T ( ,0)(k Z)

x (k ) (k Z)
换 | |
2
y Acos( x ) 2 T (k ,0)(k Z) x k (k Z)
| | 2
上下平
y f (x)图象平移 k 得 y f (x) k 图象，k 0向上，k 0向下。
移
平移变换
左右平
y f (x)图象平移 得 y f (x ) 图象， 0向左， 0 向右。
移
x 轴方 1
y f (x)图象各点把横坐标变为原来 倍得 y f ( x)的图象。
向
伸缩变换
y 轴方
y f (x)图象各点纵坐标变为原来的 A倍得 y Af (x) 的图象。
图 向
象 中心对
变 y f (x)图象关于点 (a,b)对称图象的解析式是 y 2b f (2a x) 对称变换 称
换 轴对称 y f (x)图象关于直线 x a对称图象的解析式是 y f (2a x) 。
如图，相关的量有：设水车半径为 r，水车中心距水面的
匀速圆周运 高度为 h；水车转动的角速度为 ω；初始位置所对应的
动数学模型 角 φ；时间 t；距离水面的相对高度 H；变量 t 与 H 之间的
等量关系是：H＝rsin(ωx＋φ)＋h．

（1）定义域：{x | x k ,k Z}。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义
2
域了吗？
（2）值域是 R，在上面定义域上无最大值也无最小值；
正
（3）周期性：是周期函数且周期是 ，它与直线 y a的两个相邻交点之间的距离是一个周期
切
函 。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，
数 其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不
的 变，其它不定。
图 k
象 （4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是 ( ,0) k Z ，特别提醒：正(余)切型函数的
2
和
对称中心有两类：一类是图象与 x 轴的交点，另一类是渐近线与 x 轴的交点，但无对称轴，这
性
质 是与正弦、余弦函数的不同之处。

（5）单调性：正切函数在开区间 ( k , k ) k Z 内都是增函数。但要注意在整个
2 2
定义域上不具有单调性。

(1)若 x (0, )，则sin x x tan x ；(2) 若 x (0, )，则1 sin x cos x≤ 2 ；
2 2
sin x
(3) | sin x | | cos x |≥1；(4) f (x) 在 (0, ) 上是减函数；（5）若 sin x,cos x 1, sin x,cos x 1
x
11
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10 三角恒等变换
和差角公式 倍角公式 2 tan
sin 2
2
正弦 sin( ) 1 tan
变 sin 2 2sin cos sin cos cos sin 1 tan2
换 cos 2 2
cos 2 cos2 sin2 1 tan
公 cos( )
余弦 2 2 2 1 cos 2
式 cos
2cos 1 1 2sin
cos sin sin sin
2
tan tan 2 tan 2 1 cos 2
正切 tan( ) tan 2 cos
1 tan tan 1 tan2 2
指角(“配”与“凑”)、函数名(切割化弦)、次数(降与升) 、系数(常值“1”) 和 运算结构
三角变换
(和与积)的变换，其核心是“角的变换”.
角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1”的变幻，设元转化，引入辅角，平
化简技巧
方消元等
已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和
角的变换
差角的变换.
掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形技巧，如下：
， 2 ； 2 2 ， ； 2 2 2 2 2
角的“配” ( ) ( ) ；
2 2 2 2
与“凑”
2 2[( ) ] 2[( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ；
2 ( ) ， 2 ( ) ；
15 45 30 ,75 45 30 ； 三 等. 4 2 4
角 “降幂”与 2 2 2 2利用二倍角公式 cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin 和二倍角公式的
恒 “升幂”
等价变形 2 1 cos 2 ， 2cos 1 sin 2 sin ，可以进行“升”与“降”的变换，即等 （次的变 2 2
变 化） “二次”与“一次”的互化.
换 三 切割化名 利用同角三角函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以便于
角 的变化 解题.经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”.
变 常值变换 常值 1 2 3 3, , , ,1, 3 可作特殊角的三角函数值来代换.此外，“1”常值
换 2 2 3 2
a b
asin bcos a2 b2 ( sin cos ) sin( ) ，
a2 b2 a2 b2
期中 a b bcos ,sin , tan . 特别的，
a2 b2 a2 b2 a

sin A cos A 2 sin(A ) ;sin x 3 cos x 2sin(x )，
引入辅助 3sin x cos x 2sin(x )
等.
4 3 6
角
若方程sin x 3 cos x c有实数解，则c的取值范围是__（答：[－2,2]）；
3
当函数 y 2cos x 3sin x取得最大值时， tan x 的值是______(答： )；
2
如果 f x sin x 2cos(x ) 是奇函数，则 tan = (答：－2)；
构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简.
特殊结构 举例： A sin2 20 cos2 50 sin 20 cos50 ，B cos2 20 sin2 50 cos20 sin50
的构造 1可以通过 A B 2 sin 70 , A B sin 70 两式和，作进一步化简.
2
举例：sin x cos x m 2sin xcos x m2 1 sin( ) m，
整体代换
sin( ) n，可求出sin cos ,cos sin 整体值，作为代换之用.
12
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11 解三角形
正 a定理
b c 。 射影定理：
弦 sin A sin B sinC a bcosC ccos B
定 变形 a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2RsinC（ R 外接圆半径）。 b acosC ccos A
理 类型 三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。 c acos B bcos A
定理 a2 2 2 b c 2bccos A,b2 a2 c2 2accos B,c2 a2 b2 2abcosC 。
余
b2 c2 a2 (b c)2 a2弦
变形 cos A 1等。
定 2bc 2bc
理
类型 两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）、三边。
面 基本 1 1 1 1 1 1S a h b h c h absinC bcsin A acsin B 。
积 公式
a b c
2 2 2 2 2 2
公 导出 abc 1
式 S （ R 外接圆半径）； S (a b c)r （ r 内切圆半径）。 公式 4R 2
因为在 ABC 中， A B C （三内角和定理），所以
任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.
锐角三角形：①三内角都是锐角；②三内角的余弦值为正值；
角的变换 ③任两角和都是钝角；④任意两边的平方和大于第三边的平方.
即， sin A sin(B C)； cos A cos(B C) ； tan A tan(B C)．
A B C A B C A B C
sin cos ； cos sin ； tan cot .
2 2 2 2 2 2
解 1 1面积公式： S sha absinC r p p(p a)(p a)(p a) .
三 2 2
边、角关
角 常 其中 r 为三角形内切圆半径， p 为周长之半． 系定理及
形 见 面积公式 A B B C C A
tan tan tan tan tan tan 1
的 2 2 2 2 2 2
结
在非直角 ABC 中， tan A tan B tanC tan Atan B tanC ．
论
*1. A, B, C 成等差数列的充分必要条件是 B 60 ．
*2. ABC 是正三角形的充分必要条件是 A, B, C 成等差数列且 a,b,c, 成等比
熟记并会 数列．
证明 *3.三边a,b,c成等差数列 2b a c 2sin A sin B sinC

*4.三边a,b,c,成等比数列 b2 ac sin2 A sin BsinC , B≤ .
3
锐角
A B sin A cosB,sin B cosC,sinC cos A ，a2 2 2 b c ；
ABC 中 2
两内角与 在 ABC 中，a b A B sin A sin B cos2B cos2A，…
其正弦值 A B a b sin A sin B cos2B cos2A .
把要求解的量归入到可解三角形中。在实际问题中，往往涉及到多个三角形，只要
基本思想
根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。
实 仰角 视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。
际 俯角 视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。
应 方向 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始
常用术语
用 角 方向旋转到目标的方向线所成的角（一般是锐角，如北偏西 30°）。
方位
某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。
角
13
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12 等差数列﹑等比数列
一般 概念 按照一定的次序排列的一列数。分有穷、无穷、增值、递减、摆动、常数数列等。
数列 通项 数列 a 中的项用一个公式表示，a f (n) S1,n 1,n n an an

前 n 和 S a a a Sn S n 1,n 2.n 1 2 n
定义： an 1 an d(d为常数）； 等差中项：若 a, A,b 成等
通项： an a1 (n 1)d 或 an am (n m)d ； 差数列，则 A 叫做a 与b
a b
等差 n(a1 an ) n(n 1)n 的等差中项，且 A 前 和 S ，n Sn na d ； 2数列 12 2
概念 当 m n p q 时,则有 am an ap aq ，特别地，当m n 2p 时，则有 am an 2a . 若p {an}
性质： 是等差数列，则“间隔相等的连续等长片断和序列”即 Sn,S2n S ，…也成等差数列 n ,S3n S2n
若 a m,a n(m n) ,则n m am n 0；若 Sn m,Sm n(m n) ,则 Sm n (m n)
an 1 等比中项：若 a, A,b 成等比数列，
定义： q(q为常数），其中 q 0,an 0；通项： an a
n 1
1q ；
an 那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项。
数
na 1(q 1)列 n 等比数列前 n 项和公式有两种
S n a a q 指数表示项数，后者有前后两项； 、 n 1(1 q ) 1
a n q
(q 1) 形式，为此在求等比数列前 n 项
等 1 q 1 q
和时，首先要判断公比 q 是否为
差
a1 n a1 n
数 前 n 和 当 q 1时， Sn q aq b ，这里 a b 0 ，但 1，再由 q 的情况选择求和公式
1 q 1 q
列 的形式，当不能判断公比 q 是否
等 a 0,b 0 ，这是等比数列前 n 项和公式的一个特征，据此很
为 1 时，要对 q 分 q 1和 q 1
比 容易根据 S ，判断数列n {an}是否为等比数列。
数 两种情形讨论求解。
等比
列 如若{a } 是等比数列，且 S 3
n r ，则 r ＝ （答：－1）
n n
数列
概念 不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个 ab
项符号 a a
如：已知数列 1， a ,a ,4 成等差数列，1 2 1,b ,b ,b ,4 成等比数列，则
1 2 的值为 b1,b3 1 2 3 b2
当 m n p q 时，则有 a 2man apaq ，特别地，当 m n 2p 时，则有 aman ap .如各项均为正
数的等比数列{a } 中，若 a a 9 ，则 log a log （答：10）。
性质 n 5 6 3 1 3
a2 log3 a10
若{an}是等比数列，且公比 q 1，则数列 Sn,S2n Sn ,S3n S ，…也是等比数列。当 q 1，2n
且 n 为偶数时，数列 S ,S S ,S S ，…是常数数列 0，它不是等比数列. n 2n n 3n 2n
如{a } 中， S =4 a +1 ( n 2 )且 a =1，若n n 1 1 bn an 1 2a ，求证：数列｛n b ｝是等比数列。 n n
常数 如果数列{a } 既成等差数列又成等比数列，那么数列{a } 是非零常数数列，故常数数列{a } 仅是此数列既成n n n
数列 等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
数列是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公
定义
式也就是相应函数的解析式。
n * 1
判断 如已知 an (n N ) ，则在数列{a 的最大项为__（答： ）；依据不等式性质 2 n}n 156 25
证明 数列相邻项作差证明与应用
数 d 0时， an a1 (n 1)d dn a1 d = an an b(a d,b a1 d) 是关于 n 一次函数，斜率为 d ； 数列
列
的单
的 d d调性 等 差 前 n 和 dS n2 d (a )n = An2 Bn(A ,B a1 )是关于 n 的二次函数且常数项为 0；
性 数列
n 1
2 2 2 2
质 若公差 d 0 ，则为递增等差数列，若公差 d 0 ，则为递减等差数列，若公差 d 0 ，则为常数列。
若 a1 0,q 1，则{an}为递增数列；若 a1 0,q 1 , 则{an}为递减数列；
等比
若 a ，则1 0,0 q 1 {an}为递减数列；
数列
若 a 0,0 q 1, 则{an}为递增数列；若 q 0 ，则{an}为摆动数列；若 q 1，则1 {an}为常数列.
14
高中数学新教材考前回归知识必备全案
13 等差数列﹑等比数列
S S qmS S qnS ；. ； m n m n n m Sn Sn 1 an
提醒：(1)求等比数列前n 项和时，首先要判断公比 q 是否为 1，再由 q 的情况选择求和公式的形式，
整体
当不能判断公比 q 是否为 1 时，要对 q 分 q 1和 q 1两种情形讨论求解。但是用整体思想可以不
思想
免讨论：如：设等比数列{a } 的公比为 q ，前 n 项和为n S ，若n Sn 1,Sn ,S 成等差数列，则 q 的值 n 2
为 ； q 2 ；
如 Sm n,Sn m(m n) ，求 S ． n m
am a数学 d n ； aq n ； n m 解：（法一）基本量法（略）；
思想 m n am
（法二）设 S An2n Bn ，则 ；
An2方程 Bn m (1)
等差、等比数列通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5 (1) (2) 得： 思想 Am
2 Bm n (2)
个元素： a 、 d 、 q 、 n 、 a 及1 n S ， a 、n d 、 q 称1
(n2 m2)A (n m)B m n ，
作为基本元素，若已知这 5 个元素中任意 3 个，便可
数 m n ， ∴ (m n)A B 1， 求出其余 2 个，即知 3 求 2
列 ∴ Sn m (n m)
2 A (n m)B (n m) ．
的 An a1n b 1 ，设 An kn(a1n b );B kn(a n b ) ， 性 待 Bn a2n b
1 n 2 2
2
质 若等差数列 {an}、 {bn} 的前 n 和
定 a A A ;b B B 。
a n n n 1 n n n 1
求 n 逆 向 A
b 分别为 A 、 B ，且
n f (n) ， 系 .如设{an}、{bn} 是两个等差数列，它们的前 n 项和分n n
n B
思维： n
的解 数 Sn 3n 1 an
法 an (2n 1)a A
别为 S 和 T ，若 ，那么 ___（答：n n
则 n 2n 1 f (2n 1) 法： Tn 4n 3 bn
bn (2n 1)bn B2n 1
6n 2
）
8n 7
邻项变号法：“首正”递减等差数列，前 n 项和最大值是所有非负项之和；“首负”递增等差数列中，前 n 项
和最小值是所有非正项之和。
等差数列{an}中， a 25 ，1 S9 S ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。 17
求
一
般 法一（邻项变号法）：由不等式 a 0确定出前多少项为非负（或非正），求出数列各项变化趋n
数 势和符号；
列 （答：前 13 项和最大，最大值为 169）；
中
的 法二：因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数
最
大 列的特殊性 n N
* 。 S 2n (n 13) 169 ，当 n 13时， S 取最大值，且最大值是 169； n
或
最 d d法三：数形结合处理，由等差数列的求和公式可得 S n2n (a1 )n(d 0) ， S 的图象是开口n
小 2 2
项
9 17
\ 向下的抛物线上的一群离散点，最高点的横坐标为 13，即 S13最大，易求得最大值为 169。
前 2
多 法四：利用等差数列的性质处理， 由 S S 可得17 9 a10 a11 a ，又 ，17 0 a13 a14 0 a1 0
少
项 从而 d 0 ， a13 0， a14 0，故 S13最大。
和
最 n 97
如：数列通项 a , 前 30 项中最大项和最小项分别是 a ,a
大 n 10 9n 98
98 97
用分离常数法,得 an 1 .该函数图象是经过坐标轴平移后的反比例式函数图像。
n 98
15
高中数学新教材考前回归知识必备全案
14 等差数列﹑等比数列
公式法 an a1 (n 1)d 或 an am (n m)d ；an a
n 1 或 n m
1q an amq
S ,(n 1)已知 S （即n a1 a a f (n) ）求 a ： an 1 . 2 n n Sn Sn 1,(n 2) 作差法
1 1 1 14,n 1如数列{an}满足 a1 a2 an 2n 5 ，求 a （答： a n 1 ） 2 22 n n n2 2 ,n 2
数 61
作商法 已知 a 求 如 对所有的 n 2 有1a2 an f (n) an a1 1, a1a2a3 an n
2 ，则 a a ___（答： ） 3 5
列 16
通 简 累加法 a a f (n)型 n 1 n
项 单
的 累乘法 a a f (n) 型 、 n 1 n
求 递 （构造等差、等比数列），递推式为 a qa q
n 1（q 为常数）时，可以将数列两边同时除以 qn 1 ，
n 1 n
推
和 构造法 a
数 得 n 1
a
n 1 .如已知 a1 1,an 3an 1 2
n ，求 a （答： a 5 3n 1 2n 1 ）
n 1 n n n
的 列 q q
常 解 若 an 1 can d(c 0,1,d 0) an 1 c(a ) .比较系数得出 ，转化为等比数列. n
见 法
已知数列{an}满足 a1=1,且 an+1 = 3a +2,求 .设n an an 1 t 3(a ，n t) an 2 3
n 1 1
方
法 若 a ， ； n 1 pan qn d an 1 a(n 1) b q(an an b)待定
已知数列{an}中，a1=1，且 an+1=3an+2n-1(n=1,2,…),求数列{an}的通项公式. 系数法
设 n 1an 1 p(n 1) q 3(an pn q) ， an 2 3 n .
若 a pa qn 1n 1 n （ p q ），设 a
n 1
n 1 q p(a q
n
n ) ；
已知数列{an}满足a1 1, an 3
n 2an 1(n 2). 求 an设 a
n
n 3 2(a
n 1
n 1 3 )
an 1 1
取倒数法 已知 a1 1,a ，求 a （答：n an ）
3an 1 1
n 3n 2
ｎ
等比数列 {an} 的前 n 项和 S ｎ＝2 －１，则 ① 1 1 1 ； ② 1 1 (1 1 )；
公式法 n(n 1) n n 1 n(n k) k n n k
4n 1
a2 a2 a21 2 3 a
2
n ＝_____（答： ）；
1 1 1 1 1
3 ③ ( ) ( ) ；2 2
k k 1 2 k 1 k 1
分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将
1 1 1 1 1 1 1“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法 ( ) ；
2
分组法 求和. 如求：Sn 1 3 5 7 ( 1)
n(2n 1)（答： k k 1 (k 1)k k (k 1)k k 1 k
1 1 1 1
( 1)
n n ）如an 2n 2
n
，an ( 1)
n n 2 . ④ [ ]；
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
如果数列通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项 ⑤ n 1 1常 ； 分裂后相关联，常选用裂项相消法求和.裂项形式：
裂项法 (n 1)! n! (n 1)!用 1
如在数列{a }中， a ，且 Sｎ
求 n n n n 1 ⑥ 2( n 1 n )
1 2( n n 1)；
n
和
方 设数列 为等比数列，数列 是等差数列，则数 ⑦ a S S (n≥ 2)； a b n n n 1n n
法 错位相 m 1 m m m m m 1 ⑧C C C C C C ；
n n n 1 n n 1 n
减法
列 anbn 的前 n 项和 Sn 求解，均可用错位相减法 ⑧ 1 1 ( a b) ；
a b a b
通项转 先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求 1 1 1 1
换法 1 1 1 ⑨ ( ) .
和法求和.求和：1
(An B)(An C) C B An B An C1 2 1 2 3 1 2 3 n
2
若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列 x
已知 f (x) ，
倒序 的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加 1 x2
相加法 法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 n 和 1 1 1 7
则 f (1) f (2) f (3) f (4) f ( ) f ( ) f ( ) ＝_
公式的推导方法）. 2 3 4 2
注：表中n,k 均为正整数
16
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15 空间几何体（其中 r 为半径、 h为高、 l为母线等）
有两个面互相平行，其余每相邻两个面的 两个互相平行的面叫棱柱的底面(简称底)；
概念 交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.两底 其余各面叫棱柱的侧面；
面所在平面的公垂线段叫棱柱的高 两侧面公共边叫棱柱的侧棱；
长方体 底面是矩形的直平行六面体是长方体； 长方体体对角线 a2 b2 c2 ，外接球2R a2 b2 c2 与三条
棱 正方体 棱长都相等的长方体叫正方体； 棱成角 cos2 +cos2 +cos2 =1，sin2 +sin2 +sin2 =2
柱 平行六面体 底面是平行四边形四棱柱叫平行六面体； 如下列关于四棱柱的四个命题：
概 侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱； ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；
侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱；
念 ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则为直棱柱；
直棱柱 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱； ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱；
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直棱柱.
底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱；
其中真命题的为__（答：②④）
{平行六面体} {直平行六面体} {长方体} {正四棱柱} {正方体}；
概念 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥；
如果一个棱锥底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样棱锥叫正棱锥；
正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等；
正棱锥的相对的棱互相垂直；
正棱锥
①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) 顶点在底上射影为底面外心；
棱 ②侧棱两两垂直(两对对棱垂直) 顶点在底上射影为底面垂心；
锥 ③斜高长相等且顶点在底上在底面内 顶点在底上射影为底面内心.
6
2 a 2 3
全面积 S 3a ；体积 2V a3 ；对棱间的距离 2d a ； 3
V a
12
12 2
正四面
外接球半径 6R a；内切球
6
r a
空 体 4 12
正四面体内任一点到各面距离之和为 6 3
间 h a
.
3 a
3 a a 6
3
几 表面积 体积
棱柱 S全 S侧 2S 何 底
V S底 h高
1 1
体 棱锥 S全 S侧 S 底 V S 底 h高 V锥 S h
表 3 3
表面积即
面 1棱台 S全 S侧 S上底 S下底 V (S ' S 'S S)h S S ' 空间几何 3
积 1
2
和 圆柱 S 2 r 2 rh
体暴露在 V r2h V台 (S ' S 'S S)h 全 3
外的所有
体 1
圆锥 S r
2
全 rl 面的面积 V r
2h S ' 0
积 3
之和. V柱 S h
1
圆台 S全 (r '
2 r2 r 'l rl) V (r '2 r 'r r2)h
3
4
球 S球 4 R
2 V球 R
3
3
棱柱：体积＝底面积×高，或体积V ＝直截面面积×侧棱长，特别地，直棱柱的体积＝底面积×侧棱长；
1
三棱柱的体积V Sd （其中 S 为三棱柱一个侧面的面积， d 为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离）.
2
1
棱锥：体积＝ ×底面积×高.注意：求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体）
3
求 i 补形：三棱锥 三棱柱；正四面体 正方体 球；
体 ii 分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥与三棱柱的体积关系和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等
积
(1)四面体 A－BCD 中，AC=BD= 13 , BC=AD= 21 , AB=CD=4，则四面体 A－BCD 外接球的面积为
(2)已知 PA，PB，PC 两两互相垂直，且△PAB、△PAC、△PBC 的面积分别为 1.5cm2，2cm2，6cm2，则过 P，A，B，C
四点的外接球的表面积为 cm2．答案：26π．答：5 2
(3) 三个平面两两垂直，它们的交线交于一点 O，P 到三个面的距离分别为 3、4、5，则 OP 的长为_
17
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16 空间点、直线、平面位置关系（大写字母表点、小写字母表直线、希腊字母表平面）：
公理 1 A l, B l, A , B l . 判断直线在平面内.
基
公理 2 A, B,C 不共线 A, B,C 确定平面 . 确定平面.
本
用途
公 确定两平面的交线 公理 3 P , P , l P l
理 两直线平行
公理 4 a∥ c ，b ∥ c a∥ b
位 线线 共面和异面.共面为相交和平行.不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线.
置 点线面 A l, B l ； A , B .
关 线面 l ,l A,l . .分别对应线面无公共点、一个公共点、无数个公共点.
系 面面 ∥ ， l .分别对应两平面无公共点、两平面有无数个公共点.
判定定理:如果 一条直线和 一条 性质定理:如果一直线和一个平面平行,经过这直线
直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 平 面 和 这 个 平 面 相 交 , 那 么 这 条 直 线 和
a ,b ,a //b a // 平行． a∥ ，a ， b a∥ b
线面 b
平

行 a
关 a b
系
空 判定定理: 如果一个平面内的两条 直 性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相
间 线平行于另一平面，那么这两个平面平行. 交，那么它们的交线 ．
点
a ,b ,a b P // , a, b a //b 、
// 直 a // ,b //
线
、 面面
平
面
的
位 b aO
置 a
关
系 判定定理: 如果一条直线和一个平面内的 性质定理: 垂直于同一平面的 平行，垂直于
两条 直线都垂直, 那么这条直线和这
同一条直线的 平行．
个平面垂直．
m ,n ,m n P a
a a ∥ b
a m,a n b
线面
l
b
a b 垂
O 直
关
系 平面和平面垂直:两个平面垂直的判定定
两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,
理 : 如 果 一 个 平 面 经 过 另 一 个 平 面
那么在一个平面内 直线垂直于另一个平面.
的 ,那么两个平面互相垂直.
l ,l , l,a ,a l a
面面
a

a

l
18
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17 直线与圆的方程
定义法：已知直线的倾斜角为 α，且 α≠90°，则斜率 k=tanα.；与 x 轴平行或重合时倾斜角为0
倾斜角 在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线 l ，如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线 l
重合时所转的最小正角记为 ，那么 就叫做直线的倾斜角.
倾斜角为 ，倾斜角不是 90°的直线倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 k ，即 k ＝tan ( ≠
90°)；倾斜角为 90°的直线没有斜率；
概
直线的倾斜角 的范
念 a直线方程法：ax+by+c=0 的斜率 k .
b 围是[0, ）
斜率 n
直线的方向向量法： a (1,k) 若 a=（m，n）为直线方向向量，则斜率 k= .
m
y y
过两点 (x1, y1)(x 的直线的斜率
2 1 ；
2, y2) k
x2 x1
x2 y2 b2x
点差法：如 1中,以 P(x0, y 为中点弦斜率
0 求导数；
0) k
a2 b2 a2 y0
点斜式 已知直线过点 (x , y ) 斜率为 k ，则直线方程为 y y k(x x ) ,它不包括垂直于 x 轴的直线. 0 0 0 0
斜截式 已知直线在 y 轴上的截距为b 和斜率 k ，则直线方程为 y kx b ,它不包括垂直于 x 轴直线.
y y x x
两点式 已知直线经过 P1(x1, y 、1) P2(x2 , y2) 两点,则直线方程为
1 1 ,它不包括垂直于坐标轴直线
y2 y1 x2 x1
x y
已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a,b ,则直线方程为 1,它不包括垂直于坐标轴的直线和过
截距式 a b
原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写成 Ax By C 0 ( A,B不同时为 0)的形式.
直
⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？)
线
与 ⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0 .直线两截距相等 直线的斜率为 1或直线过原点；
圆 直线两截距互为相反数 直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等 直线的斜率为
的 直 1或直线过原点.
方 线 提醒 ⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形. 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为
程 方 0.直线两截距相等 直线的斜率为 或直线过 ；直线两截距互为相反数 直线的
程 斜率为 或直线过 ；直线两截距绝对值相等 直线的斜率为 或直线
过 .
如： 已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是 AB 上的点，则点 P 到 AC、BC 的距离
乘积的最大值是 3；过点 A(1,4)，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条 3
（1）知直线纵截距b ，常设其方程为 y kx b；
（2）知直线横截距 x0 ，常设其方程为 x my x0 (它不适用于斜率为 0 的直线)；
设 直 线
方 程 的 （3）知直线过点 (x0 , y0) ，当斜率 k 存在时，常设其方程为 y k(x x0) y ，当斜率 k 不存在时，0
一 些 常 则其方程为 x x0 ；
用技巧
（4）与直线 l : Ax By C 0平行的直线可表示为 Ax By C ； 1 0
（5）与直线 l : Ax By C 0垂直的直线可表示为 Bx Ay C1 0 .
提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解；
当不重合的两条直线 l1 和 l2 的斜率存在时， l1 // l2 k1 k2 ；如果不重合直线 l1 和 l2 的斜率都
不存在，那么它们都与 x 轴垂直，则 l1 // l平行 2
．
位 平行 A1B2 A2B1 0 且 B1C2 B2C1 0 (在 y 轴上截距)
置 已知直线 l1 : x ay 6 和l2 : (a 2)x 3y 2a 0,则l // l 的充要条件是 （a=-1） 1 2
关
系 当两条直线 l1 和 l2 的斜率存在时，l1 l2 k1 k2 1；若两条直线 l1, l2 中的一条斜率不存在，垂直
则另一条斜率为0 时，它们垂直．
交点 两直线的交点就是由两直线方程组组成的方程组的解为坐标的点.
①过两直线交点的直线系方程可设为 A1x B1y C1 (A2x B2 y C2) 0；
直 线系 ②与直线 l : Ax By C 0 平行的直线系方程可设为 Ax By m 0(m c) ；
方程
③与直线 l : Ax By C 0 垂直的直线系方程可设为 Bx Ay n 0 .
19
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18 直线与圆的方程
点点距 P1(x1, y1), P2(x2 , y
2 2
2) 两点之间的距离 P1P2 (x2 x1) (y2 y1) .
距 Ax0 By0 C点线距 点 P(x , y )到直线 Ax By C 0距离公式0 0 d
2 2
离 A B
C1 C2
线线距 Ax By C 0与1 Ax By C 0平行线距离是 d 2
A2 B2
x x x y y y
点 重心 设三角形 ABC 三顶点 A(x , y ) , B(x , y ) ,C(x , y ) ,则重心G( 1 2 3 , 1 2 3 ； 1 1 2 2 3 3 )
点 3 3
与 点 A 关于直线 L 对称的点 B：1）AB 中点在 L 上；2）AB 垂直直线 L； y0 y B
线 点 关 于 如：点Ａ（４，５）关于直线 l 的对称点为Ｂ(－2,7)，则 l 的方程是 _____； x0 x A
直 线 的
已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线 l :3x－4y+4=0 反射.如果 x x0 y yA B 0对 称 点 C 0
反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是 _ _ 2 2
对 的求法
点 (a,b)关于 x轴、 y 轴、原点、直线 y x 的对称点分别是 (a, b) , ( a,b) , ( a, b) , (b,a) .
称
①点 (a,b)： f (2a x,2b y) 0 ；② x轴： f (x, y) 0 ；③ y 轴： f ( x, y) 0 ；
对 称 的
曲 线 方 ④原点： f ( x, y) 0； ⑤直线 y x ： f (y, x) 0
程 ⑥直线 y x ： f ( y, x) 0； ⑦直线 x a ： f (2a x, y) 0 .
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹.定点叫做圆心、定长叫做半径.
(x a)2 (y b)2标准方程 r
2 . 提醒：只有当 D2 E2 4F 0 时 ,方程
2 2 2 2 x
2 y2 Dx Ey F 0 才表示圆心为
x y Dx Ey F 0 (D E 4AF 0)
D E 1 2 2
一般方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 表示圆 ( , ) ,半径为 D E 4F 的圆
2 2 2
直 A C 0 ,且 B 0, D2 E2 4AF 0 ).
线 圆 x a r cos 圆的参数方程主要应用是三角换元：
与 ( 为参数), 2 2 2参数方程 y b r sin x y r x rcos , y rsin ；
圆 其中圆心为 (a,b) ,半径为 r
的
直径方程 以 A(x , y ) 、 B(x , y ) 为直径的圆的方程1 1 2 2 (x x1)(x x2) (y y1)(y y2) 0 （ AP BP 0 ）
方
程 8 3 8 3
过(1,2)总能作出两条直线和已知圆 x2 y2 kx 2y k2 15 0 相切，求 k 的取值范围 k ( , 3) (2, )
3 3
① (x a)2点 0 (y0 b)
2 r2 点 P 在圆外；
位置关系 2
和 ② (x0 a) (y0 b)
2 r2 点 P 在圆内；
圆 的判断 圆 ③ (x a)2 (y b)2 r20 0 点 P 在圆上. 与
方 相交 相切 相离
程 线 代数法 方程组有两组解 方程组有一组解 方程组无解
与
几何法
圆 d r d r d r
圆 代数法 方程组有两解 方程组有一组解 方程组无解
与
几何法 r1 r2 d r1 r2 d r1 r 或d r r2 1 2 d r r 或d r1 r圆 1 2 2
点 在圆 x2
2
P(x , y ) y
2 r2
0 0 上,则过点 P 的切线方程为： x0x y0 y r
过圆 (x a)2 (y b)2 r2 上一点 P(x0, y0)切线方程为 (x0 a)(x a) (y0 b)(y b) r
2 .
圆上一点
切
的切线方 过圆外一点的切线方程可设为 y y k(x x )，再利用相切条件求 k，这时必有两条
线 0 0
程 切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线．
斜率为 k 的切线方程可设为 y kx b，再利用相切条件求 b，必有两条切线．
弦 (x2 y2 相交弦 D1x E
2
1y F1) (x y
2 D2x E2 y F2) 0
圆
系切 点弦 以点 P 和圆心为直径构造一个圆，与原来的圆相交，制造相交弦事件
【注：标准d 根据上下文理解为圆心到直线的距离与两圆的圆心距】
20
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19 圆锥曲线的定义、方程与性质
几何性质
定义 标准方程 对称
范围 顶点 焦点 离心率
性
平面内与两个定点 F ，F 的 2 21 2 x y x a ( a,0)
1 ( c,0)
距离之和等于常数 2a （大于 a2 b2 y b (0, b)
F1F2 2c）的点的轨迹叫
2 2 y a (0, a) 椭圆中
做椭圆． y x 1 (0, c) a c
2 2
椭 b2 2
( b,0)
【 a c2 ，a b 】 a b x b 0 e 1
圆 椭圆焦点三角形：
共离心率的椭圆系的方程：方程 x 轴 i． 2S b tan ，（ F PF ）； c
PF1F
1 2 y 轴
2 2 x 2 y
2 e
ii．点M 是 PF F 内心， PM 交 F F 于
t(t 是大于 0 的参数，我们 坐标
2 2 a
1 2 1 2 a b 原点
点 N ，则 | PM | a ； 称为共离心率椭圆系方程．

| MN | c 双曲线
中
平面内与两个定点 F1 ，F2 的 x
2 y2 x a
( a,0) ( c,0) a c 1
距离之差的绝对值等于常数 a2 b2 y R e 1
2a （小于 F1F2 2c ）的
圆 y2 x2 y a
点的轨迹叫做双曲线．
锥 1 (0, a)
(0, c)
双 2 2
曲 【b
2 c2 a2 】 a b x R
曲
线 b
线 x
2 y2 求准线方程 双曲线焦点三角形： 渐近线方程 y x 或 0
的 a2 b2 a2a 2
x S ，（ F PF ）； 定 2 2 PF b cot 1 2y c 1
F2
共渐近线的双曲线系方程： x 2
义 ( 0)
的渐
a 2 b2
、 等轴双曲线：双曲线 x
2 y 2 a2 称为等轴双曲线，其渐近线
2
近线方程为 x y
2
方 0
a 2 b2 方程为 y x (渐近线互相垂直)，离心率 e 2
程
与 c b2 c b2
性 i 公式法；椭圆 e= 1 双曲线 e= 1 ,ii 方程法：建立关于 a,c 的齐次； a a2离 a a
2
质 2 2
心 如：已知点 F 是双曲线 x y 1(a 0 , b 0) 的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过点 F 且垂直于 x 轴的直
a 2 b2率
线与双曲线交于 A、B 两点，若△ ABF 是直角三角形，则该双曲线的离心率是 2;
以等边三角形顶点 AB 为焦点的椭圆经过两腰的中点，求其离心率： ； 3 1
2
焦半径：椭圆： 2bPF1 a ex0, PF2 a ex ； 抛物线焦点弦 AB ＝ 2 p0 x x p 通径 , 2p, 1 2
弦 sin2 a
长
弦长 1 1AB 1 k 2 x2 x1 (1 k
2)[(x1 x2)
2 4x1x2] 1 y2 y1 (1 ) [(y1 y
2
2 ) 4y
2 2 1
y2 ]
k k
2 x 0 py 2px ( ,0)
y R 2
平面内到一个定点 F 和一条 x 轴 e 1
定直线 l（定点 F 不在定直线 2 x 0 p
抛 y 2px ( ,0) 【离心率是
物 l ）距离相等的点的轨迹是抛 y R 2 曲线上的点(0,0)
线 物线. y 0 p 到焦点的距2
【焦点到准线的距离等于 x 2py (0, ) 离与到准线
x R 2 y 轴
p ， p 0，焦参数】 的距离之比】
y 0 p
x2 2py (0, )
x R 2
*1.用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后，注意用判别式、韦达定理、弦长公式；注意对参数
分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用；注意焦点弦可用焦半径公式，其它用弦长公式.
提醒 *2.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”
问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度(弦长)”问题关键是长度(弦长)公式
或“小小直角三角形”.
21
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20 圆锥曲线的热点问题
2 2
直 线 过 直 线 l : Ax By C 0 与 圆 C : x y Dx Ey F 0 的 交 点 的 圆 系 方 程 是
圆 与 圆
相交 x
2 y2 Dx Ey F (Ax By C) 0 ,λ 是待定的系数．
系
方 过圆C ： x2 y2 D x E y F 0 , C ： x2 y2圆与 1 1 1 1 2 D2x E2 y F 0 交点的圆(相交弦)系方程为2
程
圆 (x
2 y2 D1x E1y F ) (x
2
1 y
2 D .2x E2 y F2) 0 1时为两圆相交弦所在直线方程
曲线C 上点的坐标都是方程 f (x, y) 0的解，以 f (x, y) 0的解为坐标的点都在曲线C
概念
上，则称曲线C 为方程 f (x, y) 0的曲线、方程 f (x, y) 0为曲线C 的方程.
直接法 直接通过建立 x、 y 之间的关系，构成F(x, y) 0 ，是求轨迹的最基本的方法
定义法 已知曲线类型，求出确定曲线的系数得出曲线方程的方法（待定系数法）.
曲 动点 P x, y 随动点Q x0 , y0 运动，Q 在曲线C : f x, y 0上，以 x, y表示
线 代入法
与 x , y ，代入曲线C 的方程得到动点轨迹方程的方法. 0 0
方 求法 参数法 把动点坐标 (x, y)用参数 t 进行表达的方法.此时 x (t), y (t)，消掉 t
程 交轨法 轨迹是由两动直线（或曲线）交点构成的，在两动直线（曲线）中消掉参数
确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程.
曲 ①椭圆：第一定义：平面上一动点 P 到平面上两个定点 F1、F2 的距离和为定值，定义法
线 且|PF1|+|PF2|>|F1F2|,则 P 点轨迹为椭圆.双曲线：||PF1|-|PF2||=定值<｜F1F2|
方 ③ PA PB ,则动点 P 轨迹是圆
程 含义 含有可变参数的曲线系所经过的点中不随参数变化的某个或某几个点.
与 定点 把曲线系方程按照参数集项，使得方程对任意参数恒成立的方程组的解即为曲解法
圆 线系恒过的定点.
锥 热 含义 不随其它量的变化而发生数值发生变化的量. 定值
曲 点 解法 建立这个量关于其它量的关系式，最后的结果是与其它变化的量无关.
线 问 含义 一个量变化时的变化范围.
热 题 范围 建立这个量关于其它量的函数关系式或者不等式，求解这个函数的变化范围或
点 解法 者解不等式.
问 含义 一个量在变化时的最大值和最小值.
题 最值 解法 建立这个量的函数关系式，求解这个函数的最值.
①周长一定的三角形中，以正三角形的面积最大； ⑥在边长分别相等的多边形中，以圆
②周长一定的矩形中，以正方形面积最大； 内接多边形的面积最大；
几何
③面积一定的三角形中，以正三角形的周长最小； ⑦在等周长的边形中，以圆内接多边
极值
方 ④周长一定的平面曲线中，圆所围成的面积最大； 形的面积最大；
法 ⑤在面积一定的闭曲线中，圆的周长最小； ⑧面积一定边形中，正边形周长最小.
规
（1）利用综合法证明时，需要改变题目的形式，把一般定值题转化为特殊情况，因此，
律
定值 常作辅助图形；其次要明确图形中哪些元素是固定元素，哪些量是定量，分析问题时要围
问题 绕着固定元素和定量进行，把定值固定在已知量上；
处理 （2）利用参数法证明时，要根据题设的条件，选取适当的参数，然后将所要证明的定值
用参数表示出来，最后消去参数，便求得用常量表示的定值；
提 *3. 在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，涉及到“交点”时，转化为函数有解问题；先验证因所设直
醒 线斜率存在，造成交点漏解情况，接着联立方程组，然后考虑消元建立关于 x的方程还是 y 的方程，
接着讨论方程二次项系数为零的情况，再对二次方程判别式进行分析， 0时，直线与曲线相切，……
*4.求解直线与圆锥曲线的“弦长”、“交点”问题时，必要条件（注意判别式失控情况）是他们构成的方
程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必先有“ ≥0 ”. 求解直线与圆锥曲线的其它问题时，如
涉及到二次方程问题，必须优先考虑“二次项系数”与“判别式”问题.
*5.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成
直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).
*6.韦达定理在解几中的应用：①求弦长②判定曲线交点的个数③求弦中点坐标④求曲线的方程.
22
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21 离散型随机变量及其分布
随着试验结果变化而变化的量叫做随机变量，所有取值可以一一列出的随机叫
概念
做离散型随机变量.
随机变
量及其 分布列 离散型随机变量的所有取值及取值的概率列成的表格 .
分布列
性质 （1） p 0(i 1，2，，n) ；（2） p1 p2 pn 1i .
P(AB)
概念：事件 A发生的条件下，事件B 发生的概率， P(B|A) .
P(A)
性质：0≤P(B|A)≤1． B,C 互斥， P(B C|A) P(B|A) P(C|A) ．
条件概率 全概率公式：一般地，设 A1，A2，…，An 是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An
事件的 n
独立性 ＝Ω，且 P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件 B Ω，有 P(B)＝ P(Ai)P(B|Ai)．
i＝1
独立事件 事件 A与事件 B 满足P(AB) P(A)P(B)，事件 A与事件B 相互独立.
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进
n 重伯努
利试验 行 n 次所组成的随机试验称为 n 重伯努利试验．
一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品．从 N 件产品中随机抽取 n
离
散 件(不放回)，用 X 表示抽取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为
型
Ck Cn
－k
M N－M
随 P(X＝k)＝ n ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，CN
机
变 超几何 n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量 X 的分布列具有上
量 分布 式的形式，那么称随机变量 X 服从超几何分布．
及
其 nM nM M超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值 E(X)＝ ，D(X)＝ 1－
分 N N N
布
n－1
1－ .
N－

1
一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p(0典型 －用 X 表示事件 A 发生的次数，则 X 的分布列为 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n k，k＝
分布
0,1,2，…，n.如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 X 服从二
项分布，记作 X～B(n，p)．
两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量 X 服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
二项分布
(2)若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放
回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分
布来处理．
在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试
验可视为 n 重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
23
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2
x
1 - 2
若随机变量 X 的概率分布密度函数为 f(x)＝ ·e 2 ，x∈R，其中 μ∈R，σ>0
σ 2π
为参数，则称随机变量 X 服从正态分布，记为 X～N(μ，σ2)．
3σ原则
正态分布 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
正态分布的均值与方差
若 X～N(μ，σ2)，则 E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
数学期望 EX x p x p 1 1 2 2 xi pi xn pn E(aX b) aEX b
数字 n
特征 方差和 DX (x EX )2方差： p ，标准差：i i X DX D(aX b) a2DX 标准差
i 1
22 计数原理与二项式定理
完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有m1 种不同的方法，在第2 类方案
分类加法
中有m2 种不同的方法，…，在第 n 类方案中有m计数原理 n
种不同的方法．那么完成这件
基本 事共有 N m1 m2 mn 种不同的方法．
原理 完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2 步有m2
分步乘法
种不同的方法……做第 n 步有 mn 种不同的方法 .那么完成这件事共有计数原理
N m1 m2 mn 种不同的方法.
从 n 个不同元素中取出m(m n) 个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从从n
排 定义 个不同元素中取出m(m n) 个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫做从n
列 m排列 个不同元素中取出m(m n) 个元素的排列数，用符号 An 表示.
组
排列数 m n!
合 An n(n 1)(n 2) (n m 1) (n，m Ν，m n) ，规定0! 1． 公式
二 (n m)!
项 从 n 个不同元素中，任意取出m(m n) 个元素并成一组叫做从n 个不同元素中取
式 定义 出m(m n) 个元素的组合，所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出
定 m(m n) m个元素的组合数，用符号Cn 表示.
理 组合 m
组合数 m n(n 1) (n m 1) ACn ，C
m n
公式 n
．
m! Amm
性质 C
m
n C
n m
n ( m,n N,且m n
m m m 1
)；Cn 1 Cn Cn ( m,n N,且m n )．
n 0 n 1 n 1 r n r r n n r
定理 (a b) Cn a Cna b Cna b Cnb （Cn 叫做二项式系数）
二项 通项公式 T
r
r 1 Cna
n rbr （其中0 k n，k N，n N ）
式定
r r r r 0 1 2 r n n
理 系数和 Cr Cr 1 Cr 2 Cn C
r 1 ； C
n 1 n
Cn Cn Cn Cn 2 ；
公式 C1 C3 C5 C0 C2 C4 2n 1;C1 2C2 3C3 nCn n2n 1n n n n n n n n n n .
24
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23 成对数据的统计分析
变量 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，
相关关系
的相 这种关系称为相关关系．相关关系的分类：正相关和负相关
关关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，
线性相关
系 我们称这两个变量线性相关．
n
xi－ x yi－ y
i＝1
r＝ .)当 r>0 时，称成对样本数据正相关；当 r<0 时，称成对
n n
xi－ x 2 y 2i－ y
i＝1 i＝1
样本
相关 样本数据负相关．|r|≤1；当|r|越接近 1 时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近 0
系数
时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系
1 1
r＝ x′·y′＝ |x′||y′|cos θ＝cos θ(其中 x′＝(x1′，x2′，…，xn′)，y′＝(y1′，y2′，…，yn′)，|x′|＝|y′|＝ n，n n
θ为向量 x′和向量 y′的夹角)．
^ ^ ^
(1)我们将y＝bx＋a称为 Y 关于 x 的经验回归方程，
n
成 xi－ x yi－ y
＝^ i 1对 b＝ ，
数 n其中 x－ x 2 (2)残差：观测值减去预测值，称为残差．
据 i一元 i＝1
的 线性
^ ^ 统 回归 a＝ y －b x .
计 模型
分
n
析 xiyi－n x y
＝
^ ^ i 1
1．经验回归直线过点( x ， y )．2．求b时，常用公式b＝ .
n
x2－n x 2i
i＝1
n ^
vi－v 2i
i＝1
决 定 决定系数：R2＝1－ . R2越大，残差平方和越小，回归模型拟合效果越好，R2越小，
n
系数 vi－ v 2
i＝1
残差平方和越大，回归模型拟合效果越差.
关于分类变量 X 和 Y 的抽样数据的 2×2 列联表：
Y
X 合计
独 立 Y＝0 Y＝1
性 检 列联表
X＝0
验 a b
a＋b
X＝1 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
25
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n ad－bc 2
计算随机变量 χ2＝ ，利用 χ2 的取值推断分类变量 X
a＋b c＋d a＋c b＋d
和 Y 是否独立的方法称为 χ2 独立性检验．
χ2 独立性
检验
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
步骤 1：提出零假设为 H0：变量 A与变量 B无关（变量 A与变量 B相互独立）
步骤 2：根据列联表计算计算随机变量 χ2 的值（保留三位有效数字）
步骤 3：根据小概率 xα取相应值的独立性检验，对零假设 H0判定是否成立，
2
解题格式 当 x 时，我们就推断 H 不成立，即认为0 X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率
不超 α．
当 2 x 时，我们没有充分证据推断 H 不成立，可以认为 X 和Y 独立． 0
步骤 4：得出结论两个分类变量之间是否有关.
24 空间向量与立体几何
重要 共面向量 一组向量在一个平面内或者通过平移能够在同一个平面内.
空 概念 空间基底 空间任何三个不共面的向量a,b,c 都可做空间的一个基底.
间 共线定理 a,b（b 0 共线 存在唯一实数 ，a b .
向 基本
量 共面定理 p 与 a,b 、（a,b 不共线）共面 存在实数对 x, y ，使 p xa yb ． 定理
基本定理 a,b,c 不共面，空间任意向量 p 存在唯一的 (x, y, z) ，使 p xa yb zc .
线面 方向向量 所在直线与已知直线 l 平行或者重合的非零向量a 叫做直线 l 的方向向量.
标志 法向量 所在直线与已知平面 垂直的非零向量n 叫做平面 的法向量.
线线平行 方向向量共线.
线面平行 判定定理；直线的方向向量与

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