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初二下学期期末复习提升1
【知识梳理】
二次根式
二次根式
像这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式，二次根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。
二次根式的性质
像这样，在根号内不含字母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。
二次根式的运算
一元二次方程
一元二次方程
像方程x2+3x=4的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程。能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根)。
任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式。
ax2+bx+c=0(a,b,c为已知数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a,b分别称为二次项系数和一次项系数。
一元二次方程的解法
利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法，这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程。
形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可得x1=，x2=-，这种解一元二次方程的方法叫做开平方法。
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用开方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由代数式b2-4ac的值来决定，因此b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是：
一元二次方程的应用
一元二次方程根与系数的关系（选学）
一元两次方程的根与系数有如下关系：（韦达定理）
如果x1,x2是ax2+bx+c=0(a,b,c为已知数，a≠0)的两个根，那
数据分析初步
平均数
有n个数x1、x2、x3 ...... xn，我们把叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记做（读作“x拔”）
像这种形式的平均数叫做加权平均数，其中分母a1、a2......an表示各相同数据的个数，称为权。权越大，对平均数的影响就越大，加权平均数的分母恰好为各权的和。
中位数和众数
众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的一个数据（当数据个数为奇数时）或最中间两个数的平均数（当数据个数为偶数时）叫做这组数据的中位数。
平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们从不同侧面反映了数据的集中程度，但也存在各自的局限。如平均数容易受极端值得影响；众数、中位数不能充分利用全部数据信息。
方差和标准差
在评价数据的稳定性时，我们通常将各数据偏离平均数的波动程度作为指标。
各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差。
方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。
一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差。
平行四边形
多边形
在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3）首尾顺次相接形成的图形叫做多边形。组成多边形的各条线段叫做多边形的边。
边数为n的多边形叫n边形（n为正整数，且n≥3）。
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角。多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点，连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多变形的对角线。
四边形的内角和等于360o。
n边形的内角和为(n-2)×180o(n≥3)。
任何多边形的外角和为360o。
平行四边形及其性质
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“ ”表示，平行四边形ABCD可记做“ ABCD”。
平行四边形的对角相等，平行四边形的对边相等。
夹在两条平行线间的平行线段相等，夹在两条平行线间的垂线段相等。
两条平行线中，一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，叫做这两条平行线之间的距离。
平行四边形的对角线互相平分。
中心对称
如果一个图形绕着一个点旋转180o后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
对称中心平分连结两个对称点的线段。
在直角坐标系中，点A(x,y)与点B(-x,-y)关于原点成中心对称。
平行四边形的判定定理
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
三角形的中位线
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
反证法
在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。
例如：用反证法求证四边形中至少有一个角是直角或钝角
在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
特殊平行四边形
矩形
矩形：有一个角是直角的平行四边形。
矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等。
有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的四条边都相等。
菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平方一组对角。
边相等的四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
正方形
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
有一组邻边相等的矩形是正方形。
有一个角是直角的菱形是正方形。
正方形的四个角都是直角，四条边相等。
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
反比例函数
反比例函数
函数叫做反比例函数，这里的x是自变量，y是关于x的函数，k叫做比例系数。
反比例函数的图象和性质
反比例函数的图象是由两个分支组成的曲线。当k>0时，图象在一、三象限；当k<0时，图象在二、四象限。
反比例函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。
当k>0时，在图象所在的第一、三象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k<0时，在图象所在的第二、四象限内，函数值y随自变量x的增大而增大。
反比例函数的应用
建立数学模型的过程，具体内容可概括为：
由实验获取数据----用描点法画出图象----根据图象和数据判断或估计函数的类别----用待定系数法求出函数关系式----用实验数据验证函数关系式----应用函数关系式解决问题
【题型练习】
1．如图，已知直线y=﹣x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y=交于E，F两点，若AB=2EF，则k的值是（　　）A．﹣1 B．1 C． D．
2．下列命题：如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，AF=BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O为AC的中点，OB交CE于N，连OH．下列结论中：①BF⊥CE；②OM=ON；③；④．其中正确的命题有（　　）
只有①② B．只有①②④ C．只有①④ D．①②③④
3．如图，两个正方形ABCD和AEFG共顶点A，连BE，DG，CF，AE，BG，K，M分别为DG和CF的中点，KA的延长线交BE于H，MN⊥BE于N．则下列结论：①BG=DE且BG⊥DE；②△ADG和△ABE的面积相等；③BN=EN，④四边形AKMN为平行四边形．其中正确的是（　　）
③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
4．若平行四边形的一边长为5，则它的两条对角线长可以是（　　）
A．12和2 B．3和4 C．4和6 D．4和8
5．一个多边形的外角中，钝角的个数不可能是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3均在x轴正半轴上．若已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，且B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3的坐标是（　　）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
　
7．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（　　）
A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a2
8．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=（k≠0）图象上两点，给出下列判断：①若x1+x2=0，则y1+y2=0；②若当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k＜0；③若x1=x2+2，=+，则k=4，其中正确是（　　）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
9．如图，点A、B在一直线上，以AB、BC为边在同侧分别作正方形ABGF和正方形BCDE，点P是DF的中点，连结BP．已知AB=3cm，BC=9cm，则BP的值是（　　）
A．6cm B．cm C．4cm D．3cm
10．如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长总和为（　　）
A．48cm B．36cm C．24cm D．18cm
11．如图，在正方形ABCD的对角线上取点E，使得∠BAE=15°，连结AE，CE．延长CE到F，连结BF，使得BC=BF．若AB=1，则下列结论：①AE=CE；②F到BC的距离为；③BE+EC=EF；④S△AED=+；⑤S△EBF=．其中正确的是（　　）
A．①③ B．①③⑤ C．①②④ D．①③④⑤
12．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B面积为（　　）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
13．如图，在y轴正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=…=An﹣1An=1（n为正整数），过点A1，A2，A3，…，An分别作y轴的垂线，与反比例函数y=（x＞0）交于P1，P2，P3，…，Pn，连接P1P2，P2P3，P3P4，…，Pn﹣1Pn，过点P2、P3、…、Pn分别向P1A1、P2A2、…、Pn﹣1An﹣1作垂线段，构成一列三角形（见图中阴影部分），记这一系列三角形的面积分别为S1，S2，S3，…，Sn，则S1+S2+S3+…+Sn﹣1=　　．
14．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=　　度．
15．线段OA=2（O为坐标原点），点A在x轴的正半轴上．现将线段OA绕点O逆时针旋转α度，且0＜α＜90．①当α等于　　时，点A落在双曲线上；②在旋转过程中若点A能落在双曲线上，则k的取值范围是　　．
16．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为　　．
17．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需　　个五边形．
18．如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点重合，AB=2，AD=1，过定点Q（0，2）和动点P（a，0）的直线与矩形ABCD的边有公共点，则：
（1）a的取值范围是　 ；
（2）若设直线PQ为：y=kx+2（k≠0），则此时k的取值范围是　 　．
19．如图，四边形ABCD沿直线EF对着，点A、B的对应点A′，B′落在四边形内部，若∠C+∠D=160°，则∠DEA′+∠CFB′的度数是　　．
若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．在四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，则∠BCD=　　．
如图，在四边形纸片ABCD中，AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，∠A=135°．将纸片先沿直线AC对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为的平行四边形，则CD=　 　．
在直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，m）在函数的图象上，以OP为边作正方形OPQR，则OP=　　；若反比例函数经过点Q，则k=　　．
　
23．已知菱形ABCD对角线AC=8，BD=4，以AC、BD所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，双曲线y=恰好经过DC的中点，过直线BC上的点P作直线l⊥x轴，交双曲线于点Q．
（1）求k的值及直线BC的函数解析式；
（2）双曲线y=与直线BC交于M、N两点，试求线段MN的长；
（3）是否存在点P，使以点B、P、Q、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温上升，加热到100℃停止加热，水温开始下降，水温降至30℃，饮水机自动开始加热，重复上述程序．值日生小明7点钟到校后接通饮水机电源，在水温下降的过程中进行了水温检测，记录如下表：
时间x 7：00 7：02 7：05 7：07 7：10 7：14 7：20
水温y 30℃ 50℃ 80℃ 100℃ 70℃ 50℃ 35℃
（1）在图中的平面直角坐标系，画出水温y关于饮水机接通电源时间x的函数图象；
（2）借助（1）所画的图象，判断从7：00开始加温到水温第一次降到30℃为止，水温y和时间x之间存在怎样的函数关系？试求出函数关系并写出自变量x取值范围；
（3）上午第一节下课时间为8：25，同学们能不能喝到不超过50℃的水？请通过计算说明．
25．如图1所示，已知y=（x＞0）图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B（0，b）（b＞0），动点M是y轴正半轴点B上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q，连接AQ，取AQ中点为C．
（1）如图2，连接BP，求△PAB的面积；
（2）当Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为2，①求此时Q、P点的坐标；②并求出此时在y轴上找到点E点，使|EQ﹣EP|值最大时的点E坐标．
26．某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=x+150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为w外（元）．
（1）当x=1000时，y=　　元/件，w内=　　元；
（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值．
27．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m≠0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
28．（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°．先假设所求证的结论不成立，即　　；
（2）写出命题“一次函数y=kx+b，若k＞0，b＞0，则它的图象不经过第二象限．”的逆命题，并判断逆命题的真假．若为真命题，请给予证明；若是假命题，请举反例说明．
29．已知直角梯形ABCD如图放置在平面直角坐标系中，∠DCB=30°，AB边在y轴上，点D的横坐标为6，CQ⊥x轴，垂足为Q，点Q的横坐标为12，过CD的直线l交x轴于点E，E点坐标为（18，0）．
（1）求直线l的解析式，以及点A和点B的坐标；
（2）P为线段CD上一动点，连结PQ、OP，探究△POQ的周长，并求出当周长最小时，P的坐标及此时的该三角形的周长；
（3）点N从点Q（12，0）出发，沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向点O运动，同时另一动点M从点B开始沿B﹣C﹣D﹣A的方向绕梯形ABCD运动，运动速度为每秒为2个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒，连结MO和MN，试探究当t为何值时MO=MN．
30．已知O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，四边形OABC是平行四边形，且∠AOC=45°，设OA=，反比例函数在第一象限内的图象经过点A，交BC于点D，D是BC边的中点．
（1）如图1，当a=4时，求k的值及边OC的长；
（2）如图2，连结AD、OD，若△OAD的面积是27，求a的值及点B的坐标．v
初二下学期期末复习1
参考答案与试题解析
二次根式
二次根式
像这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式，二次根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。
二次根式的性质
像这样，在根号内不含字母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。
二次根式的运算
一元二次方程
一元二次方程
像方程x2+3x=4的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程。能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根)。
任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式。
ax2+bx+c=0(a,b,c为已知数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a,b分别称为二次项系数和一次项系数。
一元二次方程的解法
利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法，这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程。
形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可得x1=，x2=-，这种解一元二次方程的方法叫做开平方法。
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用开方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由代数式b2-4ac的值来决定，因此b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是：
一元二次方程的应用
一元二次方程根与系数的关系（选学）
一元两次方程的根与系数有如下关系：（韦达定理）
如果x1,x2是ax2+bx+c=0(a,b,c为已知数，a≠0)的两个根，那
数据分析初步
平均数
有n个数x1、x2、x3 ...... xn，我们把叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记做（读作“x拔”）
像这种形式的平均数叫做加权平均数，其中分母a1、a2......an表示各相同数据的个数，称为权。权越大，对平均数的影响就越大，加权平均数的分母恰好为各权的和。
中位数和众数
众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的一个数据（当数据个数为奇数时）或最中间两个数的平均数（当数据个数为偶数时）叫做这组数据的中位数。
平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们从不同侧面反映了数据的集中程度，但也存在各自的局限。如平均数容易受极端值得影响；众数、中位数不能充分利用全部数据信息。
方差和标准差
在评价数据的稳定性时，我们通常将各数据偏离平均数的波动程度作为指标。
各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差。
方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。
一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差。
平行四边形
多边形
在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3）首尾顺次相接形成的图形叫做多边形。组成多边形的各条线段叫做多边形的边。
边数为n的多边形叫n边形（n为正整数，且n≥3）。
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角。多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点，连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多变形的对角线。
四边形的内角和等于360o。
n边形的内角和为(n-2)×180o(n≥3)。
任何多边形的外角和为360o。
平行四边形及其性质
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“ ”表示，平行四边形ABCD可记做“ ABCD”。
平行四边形的对角相等，平行四边形的对边相等。
夹在两条平行线间的平行线段相等，夹在两条平行线间的垂线段相等。
两条平行线中，一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，叫做这两条平行线之间的距离。
平行四边形的对角线互相平分。
中心对称
如果一个图形绕着一个点旋转180o后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
对称中心平分连结两个对称点的线段。
在直角坐标系中，点A(x,y)与点B(-x,-y)关于原点成中心对称。
平行四边形的判定定理
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
三角形的中位线
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
反证法
在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。
例如：用反证法求证四边形中至少有一个角是直角或钝角
在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
特殊平行四边形
矩形
矩形：有一个角是直角的平行四边形。
矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等。
有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的四条边都相等。
菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平方一组对角。
边相等的四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
正方形
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
有一组邻边相等的矩形是正方形。
有一个角是直角的菱形是正方形。
正方形的四个角都是直角，四条边相等。
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
反比例函数
反比例函数
函数叫做反比例函数，这里的x是自变量，y是关于x的函数，k叫做比例系数。
反比例函数的图象和性质
反比例函数的图象是由两个分支组成的曲线。当k>0时，图象在一、三象限；当k<0时，图象在二、四象限。
反比例函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。
当k>0时，在图象所在的第一、三象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k<0时，在图象所在的第二、四象限内，函数值y随自变量x的增大而增大。
反比例函数的应用
建立数学模型的过程，具体内容可概括为：
由实验获取数据----用描点法画出图象----根据图象和数据判断或估计函数的类别----用待定系数法求出函数关系式----用实验数据验证函数关系式----应用函数关系式解决问题
【题型练习】
1．如图，已知直线y=﹣x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y=交于E，F两点，若AB=2EF，则k的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
【分析】作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，先利用一次函数图象上点的坐标特征得到A（2，0），B（0，2），易得△AOB为等腰直角三角形，则AB=OA=2，所以EF=AB=，且△DEF为等腰直角三角形，则FD=DE=EF=1；设F点坐标为（t，﹣t+2），则E点坐标为（t+1，﹣t+1），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到t（﹣t+2）=（t+1） （﹣t+1），解得t=，这样可确定E点坐标为（，），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=×．
【解答】解：作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，如图，
A点坐标为（2，0），B点坐标为（0，2），OA=OB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AB=OA=2，
∴EF=AB=，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴FD=DE=EF=1，
设F点横坐标为t，代入y=﹣x+2，则纵坐标是﹣t+2，则F的坐标是：（t，﹣t+2），E点坐标为（t+1，﹣t+1），
∴t（﹣t+2）=（t+1） （﹣t+1），解得t=，
∴E点坐标为（，），
∴k=×=．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
　
2．下列命题：如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，AF=BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O为AC的中点，OB交CE于N，连OH．下列结论中：①BF⊥CE；②OM=ON；③；④．其中正确的命题有（　　）
A．只有①② B．只有①②④ C．只有①④ D．①②③④
【分析】①可证△ABF≌△BEC到△BEH∽△ABF，所以∠BAF=∠BHE=90°得证．
②由题意正方形中∠ABO=∠BCO，在上面所证∠BCE=∠ABF，由△OBM≌△ONC得到ON=OM即得证．
③利用AAS证明三角形OCN全等于三角形OBM，所以BM=CN，只有H是BM的中点时，OH等于BM（CN）的一半，所以（3）错误．
过O点作OG垂直于OH，OG交CH于G点，由题意可证得三角形OGC与三角形OHB全等．
按照前述作辅助线之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG，则在证明证明三角形OGC与三角形OHB全等之后，CG=BH，所以④式成立．
【解答】解：∵AF=BE，AB=BC，∠ABC=∠BAD=90°，
∴△ABF≌△BEC，
∴∠BCE=∠ABF，∠BFA=∠BEC，
∴△BEH∽△ABF，
∴∠BAF=∠BHE=90°，
即BF⊥EC，①正确；
∵四边形是正方形，
∴BO⊥AC，BO=OC，
由题意正方形中角ABO=角BCO，在上面所证∠BCE=∠ABF，
∴∠ECO=∠FBO，
∴△OBM≌△ONC，
∴ON=OM，
即②正确；
③∵△OBM≌△ONC，
∴BM=CN，
∵∠BOM=90°，
∴当H为BM中点时，OH=BM=CN（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
因此只有当H为BM的中点时，，故③错误；
④过O点作OG垂直于OH，OG交CH与G点，
在△OGC与△OHB中，
，
故△OGC≌△OHB，
∵OH⊥OG，
∴△OHG是等腰直角三角形，
按照前述作辅助线之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG，
则在证明证明三角形OGC与三角形OHB全等之后，CG=BH，
所以④式成立．
综上所述，①②④正确．
故选B．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的证明以及直角三角形斜边中线的性质，比较综合，有一定难度．
　
3．如图，两个正方形ABCD和AEFG共顶点A，连BE，DG，CF，AE，BG，K，M分别为DG和CF的中点，KA的延长线交BE于H，MN⊥BE于N．则下列结论：①BG=DE且BG⊥DE；②△ADG和△ABE的面积相等；③BN=EN，④四边形AKMN为平行四边形．其中正确的是（　　）
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【分析】充分利用三角形的全等，正方形的性质，平行四边形的性质依次判断所给选项的正误即可．
【解答】解：由两个正方形的性质易证△AED≌△AGB，
∴BG=DE，∠ADE=∠ABG，
∴可得BG与DE相交的角为90°，
∴BG⊥DE．①正确；
如图，延长AK，使AK=KQ，连接DQ、QG，
∴四边形ADQG是平行四边形；
作CW⊥BE于点W，FJ⊥BE于点J，
∴四边形CWJF是直角梯形；
∵AB=DA，AE=DQ，∠BAE=∠ADQ，
∴△ABE≌△DAQ，
∴∠ABE=∠DAQ，
∴∠ABE+∠BAH=∠DAQ+∠BAH=90°．
∴△ABH是直角三角形．
易证：△CWB≌△BHA，△EJF≌△AHE；
∴WB=AH，AH=EJ，
∴WB=EJ，
又WN=NJ，
∴WN﹣WB=NJ﹣EJ，
∴BN=NE，③正确；
∵MN是梯形WGFC的中位线，WB=BE=BH+HE，
∴MN=（CW+FJ）=WC=（BH+HE）=BE；
易证：△ABE≌△DAQ（SAS），∴AK=AQ=BE，
∴MN∥AK且MN=AK；
四边形AKMN为平行四边形，④正确．
S△ABE=S△ADQ=S△ADG=S ADQG，②正确．
所以，①②③④都正确；
故选D．
【点评】当出现两个正方形时，一般应出现全等三角形．图形较复杂，选项较多时，应用排除法求解．
　
4．若平行四边形的一边长为5，则它的两条对角线长可以是（　　）
A．12和2 B．3和4 C．4和6 D．4和8
【分析】作辅助线，再根据三角形的三边关系求出两条对角线的长．
【解答】解：如图，过点C作CF∥BD，交AB延长线于点F，
∴四边形BFCD为平行四边形，
∴CF=BD，
∴在△AFC中：AC﹣CF＜AF＜AC+CF，即AC﹣BD＜2AB＜AC+BD，
∵AB=5，
∴选项中只有D中的数据能满足此关系：8﹣4=4＜5×2＜8+4=12，
故选D．
【点评】本题通过作辅助线，把平行四边形的两条对角线转化在同一三角形中，利用三角形三边关系求解．
　
5．一个多边形的外角中，钝角的个数不可能是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据n边形的外角和为360°得到外角为钝角的个数最多为3个．
【解答】解：∵一个多边形的外角和为360°，
∴外角为钝角的个数最多为3个．
故选D．
【点评】本题考查了多边形的外角和：n边形的外角和为360°．
　
6．已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3均在x轴正半轴上．若已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，且B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3的坐标是（　　）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠B3C3O=∠B2C2O=∠B1C1O=60°，然后解直角三角形求出OC1、C1E、E1E2、E2C2、C2E3、E3E4、E4C3，再求出B3C3，过点A3延长正方形的边交x轴于M，过点A3作A3N⊥x轴于N，先求出A3M，再解直角三角形求出A3N、C3N，然后求出ON，再根据点A3在第一象限写出坐标即可．
【解答】解：如图，∵B1C1∥B2C2∥B3C3，
∴∠B3C3O=∠B2C2O=∠B1C1O=60°，
∵正方形A1B1C1D1的边长为1，
∴OC1=×1=，
C1E1=×1=，
E1E2=×1=，
E2C2=×=，
C2E3=E2B2=，
E3E4=×=，
E4C3=×=，
∴B3C3=2E4C3=2×=，
过点A3延长正方形的边交x轴于M，过点A3作A3N⊥x轴于N，
则A3M=+×=，
A3N=×=，
C3M=×=，
∴C3N=（××2）﹣=，
ON=+++++++，
=+，
∵点A3在第一象限，
∴点A3的坐标是（+，）．
故选C．
【点评】本题考查了正方形的四条边都相等性质，解含30°角的直角三角形，依次求出x轴上各线段的长度是解题的关键，难点在于过点A3作辅助线构造出含60°角的直角三角形．
　
7．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（　　）
A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a2
【分析】根据正八边形的性质得出∠CAB=∠CBA=45°，进而得出AC=BC=a，再利用正八边形周围四个三角形的特殊性得出阴影部分面积即可．
【解答】解：∵某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，
∴AB=a，且∠CAB=∠CBA=45°，
∴sin45°===，
∴AC=BC=a，
∴S△ABC=×a×a=，
∴正八边形周围是四个全等三角形，面积和为：×4=a2．
正八边形中间是边长为a的正方形，
∴阴影部分的面积为：a2+a2=2a2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了正八边形的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知得出S△ABC的值是解题关键．
　
8．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=（k≠0）图象上两点，给出下列判断：①若x1+x2=0，则y1+y2=0；②若当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k＜0；③若x1=x2+2，=+，则k=4，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=，y2=，则x1=﹣x2，则y1+y2=0，于是可对①进行判断；当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k＜0，则可对②进行判断；由x1=x2+2，=+得到=+=+，可解出k=﹣4，则可对③进行判断．
【解答】解：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=（k≠0）图象上两点，
∴y1=，y2=，
∴y1+y2=+，
∴x1+x2=0，则y1+y2=0，所以①正确；
当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k＜0，所以②正确；
∵x1=x2+2，=+，
∴=+=+，
∴k=﹣4，所以③错误．
故选B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
　
9．如图，点A、B在一直线上，以AB、BC为边在同侧分别作正方形ABGF和正方形BCDE，点P是DF的中点，连结BP．已知AB=3cm，BC=9cm，则BP的值是（　　）
A．6cm B．cm C．4cm D．3cm
【分析】作PH∥CD交AC于H，根据梯形的中位线定理得到PH的值，根据正方形的性质得到BH的值，根据勾股定理得到答案．
【解答】解：作PH∥CD交AC于H，
∵CD∥AF，
∴CD∥AF，又点P是DF的中点，
∴点H是AC的中点，
∴PH=（AF+CD）=6，AH=6，
BH=AH﹣AB=3，
∴BP==3，
故选：D．
【点评】本题考查的是梯形的中位线定理、正方形的性质和勾股定理的应用，掌握梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半是解题的关键．
　
10．如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（　　）
A．48cm B．36cm C．24cm D．18cm
【分析】根据①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，可求出⑤的面积，从而可求出菱形的面积，根据菱形的性质可求出边长，进而可求出①②③④四个平行四边形周长的总和．
【解答】解：由题意得：S⑤=S四边形ABCD﹣（S①+S②+S③+S④）=4cm2，
∴S菱形EFGH=14+4=18cm2，
又∵∠F=30°，
设菱形的边长为x，则菱形的高为sin30°x=，
根据菱形的面积公式得：x =18，
解得：x=6，
∴菱形的边长为6cm，
而①②③④四个平行四边形周长的总和=2（AE+AH+HD+DG+GC+CF+FB+BE）=2（EF+FG+GH+HE）=48cm．
故选A．
【点评】本题考查了菱形的性质及平行四边形的知识，难度较大，关键是求出菱形的面积，解答本题需要用到平行四边形的对角线平分平行四边形的面积．
　
11．如图，在正方形ABCD的对角线上取点E，使得∠BAE=15°，连结AE，CE．延长CE到F，连结BF，使得BC=BF．若AB=1，则下列结论：
①AE=CE；②F到BC的距离为；③BE+EC=EF；④S△AED=+；⑤S△EBF=．
其中正确的是（　　）
A．①③ B．①③⑤ C．①②④ D．①③④⑤
【分析】根据正方形的性质得出AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，利用SAS证明△ABE≌△CBE，即可判断①正确；过F作FH⊥BC于H，先求出∠FBH=30°，再根据直角三角形的性质求出FH，即可判断②错误；在EF上取一点N，使BN=BE，由∠BEN=60°，得出△NBE为等边三角形，再利用ASA证明△FBN≌△CBE，得出NF=EC，从而判断③正确；过A作AM⊥BD交于M，根据勾股定理求出BD，解直角△ADM与直角△AEM，求出AM、DM与EM的值，根据三角形的面积公式求出S△AED=DE×AM=+，即可判断④正确；根据S△EBF=S△FBC﹣S△EBC及S△CBE=S△ABE=S△ABM﹣S△AEM，求出S△EBF=，进而判断⑤正确．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
∵BE=BE，
在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE=CE，
∴①正确；
②过F作FH⊥BC于H．
∵△ABE≌△CBE，
∴∠BAE=∠BCE=15°．
∵BF=BC=1，
∴∠BFC=∠FCB=15°，
∴∠FBH=∠BFC+∠FCB=30°，
∴FH=BF=，
∴②错误；
③在EF上取一点N，使BN=BE，
又∵∠BEN=∠EBC+∠ECB=45°+15°=60°，
∴△NBE为等边三角形，
∴∠ENB=60°，
又∵∠NFB=15°，
∴∠NBF=45°，
又∵∠EBC=45°，
∴∠NBF=∠EBC，
又∵BF=BC，∠NFB=∠ECB=15°，
在△FBN和△CBE中，
∴△FBN≌△CBE（AAS），
∴NF=EC，
故BE+EC=EN+NF=EF，
∴③正确；
④过A作AM⊥BD交于M．
在直角△ABM中，∵∠BAD=90°，AB=AD=1，
∴BD=，
在直角△ADM中，∵∠AMD=90°，∠ADM=45°，AD=1，
∴DM=AM=，
在直角△AEM中，∵∠AME=90°，∠AEM=60°，AM=，
∴EM==，
∴S△AED=DE×AM=（+）×=+，
∴④正确；
⑤∵BD=，AM=DM=，EM=，
∴BM=BD﹣DM=﹣=，BM﹣EM=﹣，
∴S△ABE=S△ABM﹣S△AEM=BM AM﹣EM AM=AM（BM﹣EM）=××（﹣）=﹣．
∵△ABE≌△CBE，
∴S△ABE=S△CBE=﹣，
∴S△EBF=S△FBC﹣S△EBC=×1×﹣（﹣）=，
∴⑤正确．
故正确答案为①③④⑤．
故选：D．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，解直角三角形等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．
　
12．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（　　）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【分析】根据矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分可得下一个图形的面积是上一个图形的面积的，然后求解即可．
【解答】方法一：
解：设矩形ABCD的面积为S=20cm2，
∵O为矩形ABCD的对角线的交点，
∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的，
∴平行四边形AOC1B的面积=S，
∵平行四边形AOC1B的对角线交于点O1，
∴平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的，
∴平行四边形AO1C2B的面积=×S=，
…，
依此类推，平行四边形AO4C5B的面积===（cm2）．
故选：B．
方法二：
q=，a1=10，
∴an=10 ，∴a5=10 =．
【点评】本题考查了矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分的性质，得到下一个图形的面积是上一个图形的面积的是解题的关键．
　
13．如图，在y轴正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=…=An﹣1An=1（n为正整数），过点A1，A2，A3，…，An分别作y轴的垂线，与反比例函数y=（x＞0）交于P1，P2，P3，…，Pn，连接P1P2，P2P3，P3P4，…，Pn﹣1Pn，过点P2、P3、…、Pn分别向P1A1、P2A2、…、Pn﹣1An﹣1作垂线段，构成一列三角形（见图中阴影部分），记这一系列三角形的面积分别为S1，S2，S3，…，Sn，则S1+S2+S3+…+Sn﹣1=　1﹣　．
【分析】由OA1=A1A2=A2A3=…=An﹣1An=1可知P1点的坐标为（x1，1），P2点的坐标为（x2，2），P3点的坐标为（x3，3）…Pn点的坐标为（xn，n），把y=1，y=2，y=3…y=n代入反比例函数的解析式即可求出x1、x2、x3…xn的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…Sn﹣1的值，故可得出结论．
【解答】解：∵OA1=A1A2=A2A3=…=An﹣1An=1，
∴设P1（x1，1），P2（x2，2），P3（x3，3），…Pn（xn，n），
∵P1，P2，P3…Pn在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴x1=2，x2=1，x3=…xn=，
∴S1=×（x1﹣x2）×1=×1×（2﹣1）=1﹣；
S2=×1×（x2﹣x3）=×1×（1﹣）=﹣；
S3=×1×（x3﹣x4）=×1×（﹣）=﹣；
…
Sn﹣1=（﹣），
∴S1+S2+S3+…+Sn﹣1=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣．
故答案为：1﹣．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
　
14．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=　135　度．
【分析】首先根据旋转的性质得出，△EBE′是直角三角形，进而得出∠BEE′=∠BE′E=45°，即可得出答案．
【解答】解：连接EE′
∵△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′
∴∠EBE′是直角，∴△EBE′是直角三角形，
∵△ABE与△CE′B全等
∴BE=BE′=2，∠AEB=∠BE′C
∴∠BEE′=∠BE′E=45°，
∵EE′2=22+22=8，AE=CE′=1，EC=3，
∴EC2=E′C2+EE′2，
∴△EE′C是直角三角形，
∴∠EE′C=90°，
∴∠AEB=135°．
故答案为：135．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，根据已知得出△EBE′是直角三角形是解题关键．
　
15．线段OA=2（O为坐标原点），点A在x轴的正半轴上．现将线段OA绕点O逆时针旋转α度，且0＜α＜90．
①当α等于　30°或60°　时，点A落在双曲线上；
②在旋转过程中若点A能落在双曲线上，则k的取值范围是　0＜k≤2　．
【分析】①求出A的横坐标和纵坐标，再根据三角函数求出角的度数；
②画出图象，求出k的最大值，即可得出k的取值范围．
【解答】解：①∵点A落在双曲线上，
∴设A点横坐标为x，纵坐标为，
根据勾股定理得，x2+（）2=4，
解得，x=1或x=．
则A点坐标为（1，）或（，1）．
∴sinA=或sinA=，
∴∠A=60°或∠A=30°；
②如图当OA为第一象限的角平分线的时候，
A点坐标为（，）．
k=×=2；
则k的取值范围是0＜k≤2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟悉反比例函数的性质及三角函数是解题的关键．
　
16．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为　20　．
【分析】首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．
【解答】解：∵AG∥BD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD=DF=AC，
∴四边形BGFD是菱形，
设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，
∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，
解得：x=5，
故四边形BDFG的周长=4GF=20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形．
　
17．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需　7　个五边形．
【分析】延长正五边形的相邻两边交于圆心，求得该圆心角的度数后，用360°除以该圆心角的度数即可得到正五边形的个数，减去3后即可得到本题答案．
【解答】解：延长正五边形的相邻两边，交于圆心，
∵正五边形的外角等于360°÷5=72°，
∴延长正五边形的相邻两边围成的角的度数为：180°﹣72°﹣72°=36°，
∴360°÷36°=10，
∴排成圆环需要10个正五边形，
故 排成圆环还需 7个五边形．
故答案为：7．
【点评】本题考查了正五边形与圆的有关运算，属于层次较低的题目，解题的关键是正确地构造圆心角．
　
18．如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点重合，AB=2，AD=1，过定点Q（0，2）和动点P（a，0）的直线与矩形ABCD的边有公共点，则：
（1）a的取值范围是　﹣2≤a≤2　；
（2）若设直线PQ为：y=kx+2（k≠0），则此时k的取值范围是　k≤﹣1或k≥1　．
【分析】（1）P点在x轴上，根据对称性，求出在一边的最远距离后便可求出取值范围．
（2）根据（1）中的a的取值范围可以求得P1、P2的坐标，由点Q与点P的坐标可以确定直线PQ的方程，则易求k的取值范围．
【解答】解：（1）连接QC延长与x轴相交于P1，根据中位线定理可知OP1=2，
连接QD延长与x轴交于点P2，则OP2=2，
所以实数a的取值范围是﹣2≤a≤2．
故答案为：﹣2≤a≤2．
（2）如图，当点P位于点P1处时，由（1）知P1（2，0），则0=2k+2，解得k=﹣1；
当点点P位于点P2处时，由（1）知P2（﹣2，0），则0=﹣2k+2，解得k=1；
则k的取值范围是k≤﹣1或k≥1．
故答案是：k≤﹣1或k≥1．
【点评】主要考查了一次函数综合题．涉及到了点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用．要掌握两点间的距离公式有机的和图形结合起来求解的方法．
　
19．如图，四边形ABCD沿直线EF对着，点A、B的对应点A′，B′落在四边形内部，若∠C+∠D=160°，则∠DEA′+∠CFB′的度数是　40°　．
【分析】在四边形ABCD中可知：∠A+∠B=200°，由翻折的性质可知：∠A′+∠B′=200°，在四边形EA′B′F中，∠A′EF+∠B′FE=160°，在四边形DEFC中，∠DEF+∠EFC=200°，根据∠DEA′+∠CFB′=∠DEF+∠EFC﹣（∠A′EF+∠B′FE）即可求得答案．
【解答】解：在四边形ABCD中，∠C+∠D=160°，
∴∠A+∠B=200°，
由翻折的性质可知：∠A′+∠B′=200°，
在四边形EA′B′F中，∠A′EF+∠B′FE=360°﹣200°=160°，
在四边形DEFC中，∠DEF+∠EFC=360°﹣160°=200°，
∴∠DEA′+∠CFB′=∠DEF+∠EFC﹣（∠A′EF+∠B′FE）=200°﹣160°=40°．
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查的是翻折变换和四边形的内角和，利用翻折的性质以及任意四边形的内角和是360°进行角的转化与计算是解题的关键．
　
20．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．在四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，则∠BCD=　45°或90°或135°　．
【分析】首先根据题意画出图形，然后由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图1，图2，图3三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数．
【解答】解：∵AC是四边形ABCD的和谐线，
∴△ACD是等腰三角形．
∵AB=AD=BC，
如图1，当AD=AC时，
∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°．
∵∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠BCD=60°+75°=135°．
如图2，当AD=CD时，
∴AB=AD=BC=CD．
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°；
如图3，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD．CE⊥AD，
∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四边形ABFE是矩形．
∴BF=AE．
∵AB=AD=BC，
∴BF=BC，
∴∠BCF=30°．
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC．
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°，
∴∠BCD=15°×3=45°．
综上：∠BCD的度数可能是：135°，90°或45°
故答案为：45°或90°或135°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质、矩形的性质、正方形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
　
21．如图，在四边形纸片ABCD中，AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，∠A=135°．将纸片先沿直线AC对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为的平行四边形，则CD=　2+或2+2　．
【分析】根据题意结合裁剪的方法得出符合题意的图形有两个，分别利用菱形的判定与性质以及勾股定理得出CD的长．
【解答】解：如图1所示：
延长BE交CD于点N，过点A作AT⊥BE于点T，
当四边形ABED为平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABED是菱形，
∵∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=135°，AD∥BN，AB∥DE，
∴∠ABT=45°，∠BAT=45°，∠ABT=∠DEN=45°，∠END=90°，
则∠NDE=45°，
∵四边形ABCE面积为2，
∴设AT=x，则AB=BE=ED=x，
故x×x=2，
解得：x=（负数舍去），
则BE=ED=2，EN=，
故DC=DN+NC=++2=2+2；
如图2，
当四边形AECF是平行四边形，
∵AE=AF，
∴平行四边形AECF是菱形，
∵∠B=∠D=90°，∠BAD=135°，
∴∠BCA=∠DCA=22.5°，
∵AE=CE，
∴∠AEB=45°，
∴设AB=y，则BE=y，AE=y，
∵四边形AECF面积为2，
∴AB×CE=y2=2，
解得：y=，故CE=2，BE=，
则CD=BC=2+，
综上所述：CD的值为：2+或2+2．
故答案为：或．
【点评】此题主要考查了翻折变换，剪纸问题以及勾股定理和平行四边形的性质，根据题意画出正确图形是解题关键．
　
22．在直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，m）在函数的图象上，以OP为边作正方形OPQR，则OP=　2　；若反比例函数经过点Q，则k=　2或﹣2　．
【分析】把P（1，m）代入即可求得m的值，然后根据勾股定理求得OP的长，作PM⊥x轴于M，QN⊥PM于N，通过证得△POM≌△QPN，得出PN=OM=1，NQ=PM=，从而求得Q的坐标，把Q点的坐标代入即可求得k的值．
【解答】解：∵点P（1，m）在函数的图象上，
∴m=，
∴P（1，），
∴OP==2，
如图，作PM⊥x轴于M，QN⊥PM于N，
∵OM=1，PM=，
∴tan∠POM==，
∴∠POM=60°，
∴∠OPM=30°
∴∠QPN=90°﹣30°=60°，
∴∠POM=∠QPN，
在△POM和△QPN中，
∴△POM≌△QPN，
∴PN=OM=1，NQ=PM=，
∴Q1（1+，﹣1），
同理证得Q2（1﹣，1+），
∴k=（1+）×（﹣1）=2，或k=（1+）（1﹣）=﹣2，
故答案为2，2或﹣2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，求得Q点的坐标是解题的关键．
23．已知菱形ABCD对角线AC=8，BD=4，以AC、BD所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，双曲线y=恰好经过DC的中点，过直线BC上的点P作直线l⊥x轴，交双曲线于点Q．
（1）求k的值及直线BC的函数解析式；
（2）双曲线y=与直线BC交于M、N两点，试求线段MN的长；
（3）是否存在点P，使以点B、P、Q、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据菱形的性质得到OB=OD=2，OA=OC=4，于是得到B（0，﹣2），C（4，0），D（0，2），求得DC的中点（2，1），于是求得k=2，由待定系数法即可求出直线BC的解析式为y=x﹣2；
（2）列方程得到x=2，于是得到N（2+2，﹣1），M（2﹣2，﹣1），如图1，分别过N，没做x轴，y轴的垂线交于点E，根据勾股定理即可得到结论；
（3）由直线l⊥x轴，得到l∥y轴，推出PQ∥BD，当PQ=BD=4时，以点B、P、Q、D四点为顶点的四边形是平行四边形，设P（m，m﹣2），Q（M，），列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD=2，OA=OC=4，
∴B（0，﹣2），C（4，0），D（0，2），
∴DC的中点（2，1），
∵双曲线y=恰好经过DC的中点，
∴k=2，
设直线BC的解析式为：y=ax+b，
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为：y=x﹣2；
（2）令=x﹣2，解得：x=2，
当x=2+2时，y=﹣1，
当x=2﹣2时，y=﹣﹣1，
∴N（2+2，﹣1），M（2﹣2，﹣﹣1），
如图1，分别过N，M作x轴，y轴的垂线交于点E，
∴ME=4，NE=2，
∴MN==2；
（3）∵直线l⊥x轴，
∴l∥y轴，
∴PQ∥BD，
当PQ=BD=4时，以点B、P、Q、D四点为顶点的四边形是平行四边形，
设P（m，m﹣2），Q（M，），
①当Q在点P的上方时，PQ=﹣（m﹣2）=4，
解得m=±2﹣2，
∴P1（2﹣2，﹣3），P2（﹣2﹣2，﹣﹣3）；
②当Q在P的下面时，PQ=（M﹣2）﹣=4，
解得m=±2+2，
∴P3（2+6，+1），P4（﹣2+6，﹣+1），
综上所述：以点B、P、Q、D四点为顶点的四边形是平行四边形时，P1（2﹣2，﹣3），P2（﹣2﹣2，﹣﹣3），P3（2+6，+1），P4（﹣2+6，﹣+1），
【点评】本题考查了菱形的性质，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
　
24．教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温上升，加热到100℃停止加热，水温开始下降，水温降至30℃，饮水机自动开始加热，重复上述程序．值日生小明7点钟到校后接通饮水机电源，在水温下降的过程中进行了水温检测，记录如下表：
时间x 7：00 7：02 7：05 7：07 7：10 7：14 7：20
水温y 30℃ 50℃ 80℃ 100℃ 70℃ 50℃ 35℃
（1）在图中的平面直角坐标系，画出水温y关于饮水机接通电源时间x的函数图象；
（2）借助（1）所画的图象，判断从7：00开始加温到水温第一次降到30℃为止，水温y和时间x之间存在怎样的函数关系？试求出函数关系并写出自变量x取值范围；
（3）上午第一节下课时间为8：25，同学们能不能喝到不超过50℃的水？请通过计算说明．
【分析】（1）根据表格中数据，先描点，再用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序依次连接各点可得图象；
（2）由函数图象可设函数解析式，再由图中坐标代入解析式，即可求得y与x的关系式；
（3）求出饮水机完成一个循环周期所需要的时间，再计算求出每一个循环周期内，水温超过50℃的时间段，最后根据时间确定答案．
【解答】解：（1）图象如下：
（2）由图象可知，在加热过程中y是x的一次函数，故设y1=kx+b，
将（0，30），（2，50）代入，得：，
解得：，
故y1=10x+30，（0≤x≤7）；
在降温过程中y是x的反比例函数，可设y2=，
将（10，70）代入，得m=700，
故y2=，
当y=30时，x=，故降温过程中7≤x≤；
（3）将y=50分别代入以上两个解析式，得x1=2，x2=14，
将y=30代入y2=，得x=，即饮水机一个循环周期为分钟，
每个循环周期内，当0≤x≤2及14≤x≤时，水温不超过50℃，
而7：00至8：25共85分钟，85﹣3×=15，
∵14≤15≤，
∴8：25时同学们能喝到不超过50℃的水．
【点评】本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，还有时间的讨论问题．关键是要正确理解题意，计算出饮水机的一个循环周期所用时间．
　
25．如图1所示，已知y=（x＞0）图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B（0，b）（b＞0），动点M是y轴正半轴点B上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q，连接AQ，取AQ中点为C．
（1）如图2，连接BP，求△PAB的面积；
（2）当Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为2，①求此时Q、P点的坐标；②并求出此时在y轴上找到点E点，使|EQ﹣EP|值最大时的点E坐标．
【分析】（1）根据同底等高的两个三角形的面积相等即可求出△PAB的面积；
（2）①首先求出∠BQC=60°，∠BAQ=30°，然后证明△ABQ≌△ANQ，进而求出∠BAO=30°，∠ANQ=∠ABQ=90°，AN=AB，由S四边形BQNC=2，求出OA=3，EQ=1，OM=AN=AB=2，于是P、Q点坐标求出；
②作直线PQ，交y轴于E点，此时|EQ﹣EP|值最大；设直线PQ的解析式为y=kx+b，根据待定系数法求得直线PQ的解析式，令x=0，即可求得E的坐标．
【解答】解：（1）如图2，连接OP．
S△PAB=S△PAO=xy=×6=3；
（2）①如图1，∵四边形BQNC是菱形，
∴BQ=BC=NQ，∠BQC=∠NQC，
∵AB⊥BQ，C是AQ的中点，
∴BC=CQ=AQ，
∴∠BQC=60°，∠BAQ=30°，
在△ABQ和△ANQ中，
，
∴△ABQ≌△ANQ（SAS），
∴∠BAQ=∠NAQ=30°，
∴∠BAO=30°，
∵S菱形BQNC=2=×CQ×BN，
令CQ=2t=BQ，则BN=2×（2t×）=2t，
∴t=1
∴BQ=2，
∵在Rt△AQB中，∠BAQ=30°，
∴AB=BQ=2，
∵∠BAO=30°
∴OA=AB=3，
又∵P点在反比例函数y=的图象上，
∴P点坐标为（3，2），
∵△ABQ≌△ANQ，
∴∠ANQ=∠ABQ=90°，AN=AB=2，
∴MN∥OA，
∴∠BMQ=90°，
∵∠BAO=30°，∠AOB=90°，
∴∠ABO=60°，
∴∠MBQ=30°，
∴MQ=BQ=×2=1，
∵OM=AN=2，
∴Q（1，2）；
②如图3，作直线PQ，交y轴于E点，此时|EQ﹣EP|值最大；
设直线PQ的解析式为y=kx+b，
∵P（3，2），Q（1，2），
∴，解得，
∴直线PQ的解析式为y=（1﹣）x+3﹣1，
令x=0，则y=3﹣1，
∴E（0，3﹣1）．
【点评】本题主要考查反比例函数综合题的知识，此题涉及的知识有全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质、三角形三边关系以及菱形等知识，综合性较强，有一定的难度．
　
26．某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=x+150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为w外（元）．
（1）当x=1000时，y=　140　元/件，w内=　57500　元；
（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值．
【分析】（1）将x=1000代入函数关系式求得y，并根据等量关系“利润=销售额﹣成本﹣广告费”求得w内；
（2）根据等量关系“利润=销售额﹣成本﹣广告费”“利润=销售额﹣成本﹣附加费”列出两个函数关系式；
（3）对w内函数的函数关系式求得最大值，再求出w外的最大值并令二者相等求得a值．
【解答】解：（1）∵销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=x+150，
∴当x=1000时，y=﹣10+150=140，w内=x（y﹣20）﹣62500=1000×120﹣62500=57500，
故答案为：140，57500．
（2）根据题意得出：
w内=x（y﹣20）﹣62500=x2+130x﹣62500，
w外=x2+（150﹣a）x．
（3）当x==6500时，w内最大，
∵在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，
∴由题意得：，
解得a1=30，a2=270（不合题意，舍去）．
所以 a=30．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，难度适中，根据利润的关系式分别写出w内，w外与x间的函数关系式是解题的关键．
　
27．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m≠0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
【分析】（1）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据三角形面积相等，可得答案．
【解答】解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，﹣4＜x＜﹣1，
当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；
（2）设一次函数的解析式为y=kx+b，
y=kx+b的图象过点（﹣4，），（﹣1，2），则
，
解得
一次函数的解析式为y=x+，
反比例函数y=图象过点（﹣1，2），
m=﹣1×2=﹣2；
（3）连接PC、PD，如图，
设P（x，x+）
由△PCA和△PDB面积相等得
××（x+4）=×|﹣1|×（2﹣x﹣），
x=﹣，y=x+=，
∴P点坐标是（﹣，）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数与不等式的关系，待定系数法求解析式．
　
28．（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°．先假设所求证的结论不成立，即　三角形内角中全都小于60°　；
（2）写出命题“一次函数y=kx+b，若k＞0，b＞0，则它的图象不经过第二象限．”的逆命题，并判断逆命题的真假．若为真命题，请给予证明；若是假命题，请举反例说明．
【分析】（1）直接利用反证法的第一步分析得出答案；
（2）利用命题与定理，首先写出假命题进而得出答案；
【解答】解：（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°．
先假设所求证的结论不成立，即三角形内角中全都小于60°；
故答案为：三角形内角中全都小于60°；
（2）逆命题：“一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，则k＞0，b＞0，”
逆命题为假命题，反例：当b=0时，一次函数图象也不过第二象限 （不唯一）．
【点评】此题主要考查了反证法以及命题与定理，正确写出逆命题是解题关键．
　
29．已知直角梯形ABCD如图放置在平面直角坐标系中，∠DCB=30°，AB边在y轴上，点D的横坐标为6，CQ⊥x轴，垂足为Q，点Q的横坐标为12，过CD的直线l交x轴于点E，E点坐标为（18，0）．
（1）求直线l的解析式，以及点A和点B的坐标；
（2）P为线段CD上一动点，连结PQ、OP，探究△POQ的周长，并求出当周长最小时，P的坐标及此时的该三角形的周长；
（3）点N从点Q（12，0）出发，沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向点O运动，同时另一动点M从点B开始沿B﹣C﹣D﹣A的方向绕梯形ABCD运动，运动速度为每秒为2个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒，连结MO和MN，试探究当t为何值时MO=MN．
【分析】（1）根据AD∥BC，可得∠DEO=∠DCB=30°，设OF=x，则EF=2x，在Rt△EFO中，利用勾股定理可解出x，继而得出点F的坐标，利用待定系数法可确定EF的解析式，求出点D的纵坐标，点C的纵坐标后，可得点A和点B的坐标；
（2）根据轴对称的性质，作点Q关于直线EF的对称点，连接OQ'，则OQ'与CD的交点即是点P的位置，易判断△Q'QE是等边三角形，从而根据△POQ的周长的周长=OQ+OQ'，即可求出答案．
（3）分三段讨论，①点M在线段BC上，②点M在线段CD上，③点M在线段DA上，分别根据等腰三角形三线合一的性质得出关于t的方程，解出后结合实际判断即可得出答案，一定要分清是点M还是点N先到达终点．
【解答】解：（1）∵∠DCB=30°，
∴∠DEO=30°，
设OF=x，则EF=2x，
在Rt△EFO中，OF2+OE2=EF2，即x2+182=（2x）2，
解得：，
∴，则F（0，），
设直线l的解析式为y=ax+b（a≠0），经过E（18，0）、F（0，）两点，
则，
解得：，
∴，
当x=6时，y=4；当x=12时，y=，
∴A（0，），B（0，）．
（2）如图：作点Q关于直线EF的对称点，连接OQ'，则OQ'与CD的交点即是点P的位置，
易证△Q'QE为等边三角形，则Q'（15，），
∴LOQ'：y=x，
∴，
解得：，
∴P（，），
∴．
（3）①当点M在线段BC上时0≤t≤6，BM=2t，ON=12﹣t，
根据三线合一得：2（2t）=12﹣t，
解得：s，
②当点M在CD上时，
由于CD=，所以6＜t≤6+，而此时点N已经向左运动超过了点（6，0），
所以在CD上不可能存在点M使MO=MN．
③点M在DA上运动时，6+＜t＜12，（注意，点N先到达终点，因而只能运动12秒就停止了）．
AM=18+4﹣2t，ON=12﹣t，
根据三线合一得：2（18+﹣2t）=12﹣t，
解得：＞12s，所以在DA上不可能存在点M．
但当t=12时MO=MN（此时点N与点O重合）．
综上可得：s或t=12s时MO=MN．
【点评】本题考查了一次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质及轴对称求最短路径的知识，解答本题需要同学们具有扎实的基本功，注意数形结合思想及分类讨论思想的运用，难度较大．
　
30．已知O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，四边形OABC是平行四边形，且∠AOC=45°，设OA=，反比例函数在第一象限内的图象经过点A，交BC于点D，D是BC边的中点．
（1）如图1，当a=4时，求k的值及边OC的长；
（2）如图2，连结AD、OD，若△OAD的面积是27，求a的值及点B的坐标．
【分析】（1）先根据a=4，OA=，∠AOC=45°得出A点坐标，故可得出k的值，DP⊥x轴于点P，由D是中点得出AD的长，根据等腰直角三角形的性质求出PC的长，设OC=x可得出D点坐标，代入反比例函数的解析式即可得出OC的长；
（2）根据△OAD的面积是27，点D是中点可得出平行四边形OABC面积是54，故可得出A点坐标，由A点坐标可知反比例函数是y=，作DP⊥x轴于点P，可用a表示出D点坐标，代入反比例函数求出a的值，进而可得出结论．
【解答】解：（1）∵a=4，OA=，∠AOC=45°
∴A（4，4），
∴k=16．
如图1，作DP⊥x轴于点P，
∵D是中点，
∴CD=，CP=DP=2
设OC=x，则点D（x+2，2），
∵点D在反比例函数y=的图象上，
∴2（x+2）=16，解得x=6，即OC=6；
（2）∵△OAD的面积是27，点D是中点，
∴平行四边形OABC面积是54．
∵∠AOC=45°，OA=a，
∴A（a，a），
∴反比例函数是y=，
∴54=OC×a，OC=．
如图2，作DP⊥x轴于点P，
∵D是中点，PC=PD=，
∴D（+，）
∵点D在图象上，
∴（+） =a2，解得a=±6，
∴点B（15，6）．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点及用待定系数法求反比例函数的解析式，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用勾股定理求出D点坐标是解答此题的关键．

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