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09二元一次方程组的应用-七年级数学下学期期末复习知识点专题练习（北京专用）
一、单选题
1．（2022春·北京丰台·七年级统考期末）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．书中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”原文大意为：“现在有5只雀、6只燕，分别集中放在天平上称重，聚在一起的雀重燕轻．将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀和6只燕共重1斤，问雀和燕各重多少？”设雀每只斤，燕每只斤，则可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2017春·北京顺义·七年级统考期末）将一张面值100元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有（　　）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
3．（2021春·北京东城·七年级统考期末）我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒斛，1个小桶盛酒斛，下列方程组正确的是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2022春·北京延庆·七年级统考期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2019春·北京平谷·七年级统考期末） 铭铭要用20元钱购买笔和本，两种物品都必须都买，20元钱全部用尽，若每支笔3元，每个本2元，则共有几种购买方案（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2021春·北京通州·七年级统考期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在我们把它改为横排，如图1、图2图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为( )
A． B． C． D．
7．（2021春·北京·七年级期末）某人只带了2元和5元两种货币，他要买一件27元的商品，而商店不给找钱，则此人的付款方式有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
8．（2021春·北京·七年级期末）若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
9．（2021春·北京怀柔·七年级统考期末）鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一，大约在 1500 年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡、兔同在一个笼子里，从上上面数，有 35 个头；从下面数，有 94 只脚 ．求笼中各有几只鸡和兔？经计算可得（ ）
A．鸡 20 只，兔 15 只 B．鸡 12 只，兔 23 只
C．鸡 15 只，兔 20 只 D．鸡 23 只，兔 12 只
10．（2022春·北京·七年级统考期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2020春·北京昌平·七年级统考期末）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为__________．
12．（2020春·北京门头沟·七年级统考期末）《算法统宗》里记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？如果设大和尚有x人，小和尚有y人，那么根据题意可列方程组为 _____．
13．（2022春·北京昌平·七年级统考期末）某中学为积极开展校园足球运动，计划购买和两种品牌的足球，已知一个品牌足球价格为120元，一个品牌足球价格为150元．学校准备用3000元购买这两种足球（两种足球都买），并且3000元全部用完，请写出一种购买方案：买_______个品牌足球，买________个品牌足球．
14．（2022春·北京石景山·七年级统考期末）小明同学仿照我国古代经典的“鸡兔同笼”问题给小石同学出了一道题目：“今有鸡兔同笼，上有十二头，下有四十足，问鸡兔各几何？”．若小石同学设笼中有鸡x只，兔y只，则根据题意可列方程组为________．
15．（2022春·北京密云·七年级统考期末）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇酒、行酒各得几何？”其意思是：今有醇酒优质酒斗，价值钱；行酒劣质酒斗，价值钱；现有钱，买得斗酒．问可以买醇酒和行酒各多少斗？若设可以买醇酒斗，行酒斗，可列方程组为______．
16．（2021春·北京·七年级期末）对，，定义一种新运算，规定：，，，其中，为非负数．
（1）当时，若，，，，1，，则的值是 __，的值是 __；
（2）若，2，，，2，，设，则的取值范围是 __．
17．（2020春·北京东城·七年级统考期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，记有许多有趣而又不乏技巧的算术程式．其中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何？”
译文：“甲，乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲，乙二人原来各有多少钱？”
设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组为____________．
18．（2021春·北京昌平·七年级统考期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人数多少？银子几何？意思是：有若干客人分银若干两，如果每人分7两，还多4两；如果每人分9两，还差8两（题中斤、两为旧制，1斤＝16两）．问：有多少位客人？多少两银子？设有位客人，两银子，根据题意，可列方程组为______．
19．（2020春·北京通州·七年级统考期末）在长为、宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，则每个小长方形花圃的面积是________．
20．（2020春·北京延庆·七年级统考期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约一千五百年前．卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法，其中“物不知数”的问题，在西方的数学史里将其称为“中国的剩余定理”．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”设绳子长x尺，木条长y尺，则根据题意所列方程组是_____．
三、解答题
21．（2020春·北京延庆·七年级统考期末）甲乙二人分别从相距千米的A，两地出发，相向而行．如果甲比乙早出发半小时，那么在乙出发后小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么小时后两人还相距千米，求甲乙二人每小时各走多少千米？
22．（2022春·北京房山·七年级统考期末）某汽车贸易公司销售A，B两种型号的新能源汽车，该公司销售2台A型车和7台B型车，可获利4.1万元，销售1台A型车和3台B型车，可获利1.8万元．
(1)求销售一台A型，一台B型新能源汽车的利润各是多少万元？
(2)该公司准备采购A，B两种新能源汽车共30台，利润不低于13.1万元，则至少需要采购B型新能源汽车______台．
23．（2022春·北京门头沟·七年级统考期末）下面的表格是某景点某天的门票价格及收入情况，这天售出成年人门票和学生门票各多少张？
成年人门票 学生门票
售出数量（单位：张） 3000
单价（单位：元/张） 40 20
总价格（单位：元） 78000
24．（2022春·北京平谷·七年级统考期末）列方程（组）解应用题：
平谷区某食用菌种植合作社将废弃树枝秸秆粉碎后制作成蘑菇菌棒．废菌棒经过高温灭虫后还田，生产性废料循环利用还可以改善土壤PH值（土壤酸碱度）和板结的情况，抑制杂草生长，改善蔬果口感．合作社积极鼓励村民用废弃树枝秸秆换取菌棒，培训推广科学种植菌菇技术，扩大种植规模，让更多的村民能够拥有一技之长，形成一条绿色循环生态产业链，实现生态效益与经济效益双赢．现合作社准备购进一批加工菌棒的设备，现有A，B两种型号的设备，经调查购买一台A型号的设备比购买一台B型号的设备多2万元；购买2台A型号的设备比购买3台B型号的设备少1万元．求A，B两种型号的设备每台各多少万元？
25．（2022春·北京朝阳·七年级统考期末）列方程组解应用题
根据一次市场调查，了解到某种消毒液的大瓶装（1500g）和小瓶装（500g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为4：3，某工厂每天生产这种消毒液30t（1t＝1 000 000 g），这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
26．（2022春·北京丰台·七年级统考期末）科技改变世界，随着电子商务的高速发展，快递分拣机器人应运而生．某快递公司启用种机器人80台，种机器人100台，1小时共可以分拣8200件包裹；启用，两种机器人各50台，1小时共可以分拣4500件包裹．
(1)求，两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹；
(2)快递公司计划再购进，两种机器人共200台．若要保证购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于9000件，求最多应购进种机器人的台数．
参考答案：
1．A
【分析】根据将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等，可得4x+y=5y+x，根据5只雀、6只燕重量共一斤，可得5x+6y=1，从而可以得到相应的方程组，本题得以解决．
【详解】解：设每只雀有x斤，每只燕有y斤，
由题意得，．
故选：A．
【点睛】本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
2．A
【详解】试题解析：设兑换成10元x张，20元的零钱y元，由题意得：
10x+20y=100，
整理得：x+2y=10，
方程的整数解为：，，，，，．
因此兑换方案有6种，
故选A．
考点：二元一次方程的应用．
3．A
【分析】根据大小桶所盛酒的数量列方程组即可.
【详解】∵5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，
∴5x+y=3，
∵1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，
∴x+5y=2，
∴得到方程组，
故选：A.
【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键.
4．A
【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条-1，据此列出方程组即可．
【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，
那么可列方程组为：，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．
5．B
【分析】设购买支笔，个本，根据总价=单价×数量，即可得出关于，的二元一次方程，结，均为正整数即可求出结论．
【详解】解：设购买支笔，个本，
依题意，得：3+2=20，
∴=10-．
∵，均为正整数，
∴，，，
∴共有3种购买方案．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的基础，用一个变量表示另一个变量，进行整数解的讨论是解题的关键．
6．D
【分析】由图1可得1个竖直的算筹数算1，一个横的算筹数算10，每一横行是一个方程，第一个数是的系数，第二个数是的系数，第三个数是相加的结果：前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图2的表达式.
【详解】第一个方程的系数为，的系数为，相加的结果为；第二个方程的系数为，的系数为，相加的结果为，所以可列方程组为：.
故选.
【点睛】此题主要考查了由实际问题列二元一次方程组，关键是读懂图意，得到所给未知数的系数及相加结果.
7．C
【分析】本题中只有一个等量关系，但有两个未知数，属于二元一次方程题，不妨设2元和5元的货币各是x和y张，那么x张2元的+y张5元的=27元．
【详解】解：设2元和5元的货币各是x和y张，
则：2x+5y=27，
∵x和y是货币张数，皆为整数，
或或
故此人有三种付款方式．
故选C．
【点睛】用方程解答实际问题时需要注意所求的解要符合实际意义，本题也可以根据不定方程的解法来解．
8．C
【分析】方程组中的两个方程相减得出x-y=3m+2，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解：，
①-②得：x-y=3m+2，
∵关于x，y的方程组的解满足x-y＞-，
∴3m+2＞-，
解得：m＞，
∴m的最小整数解为-1，
故选C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
9．D
【分析】设笼中有x只鸡，y只兔，根据上有35个头、下有94只脚，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】设笼中有x只鸡，y只兔，根据题意得：
解得：．
故选D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．A
【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【详解】解：设索长为x尺，竿子长为y尺，
根据题意得：
故选A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11．
【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
【详解】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：
．
故答案是：．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．
12．
【分析】设大和尚有x人，小和尚有y人，根据“有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完”列出方程组，即可求解．
【详解】解：设大和尚有x人，小和尚有y人，根据题意得：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确列出方程组是解题的关键．
13． 10 12
【分析】设买个品牌足球，买个品牌足球，根据题意列出二元一次方程，根据整数解确定的值即可求解．
【详解】解：设买个品牌足球，买个品牌足球，根据题意得，
，
整理得：，
，是正整数，
是5的倍数，
．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，整除，根据题意列出方程是解题的关键．
14．
【分析】关系式为：鸡的只数+兔的只数=12；2×鸡的只数+4×兔的只数=40，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：根据题意可列方程组为：，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到鸡和兔的总只数及鸡和兔的脚的总只数的等量关系．
15．
【分析】根据“现有钱，买得斗酒”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设可以买醇酒斗，行酒斗，
依题意，得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
16． 2 1
【分析】（1）根据定义列出二元一次方程组，解方程即可求得；
（2）根据定义列出二元一次方程组，用含的代数式表示，，根据，为非负数，列出一元一次不等式，解不等式组求得c的取值范围，进而求得H的取值范围．
【详解】（1），，，
当时，若，，，，1，可得：
，
解方程组得：
．
故答案为2，1．
（2）当，2，，，2，时，
，，得：
，
用含的代数式表示，得：
．
，为非负数，
，
解不等式组得：
．
，
随的增大而增大，
当时，，
当时，．
．
故答案为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，根据新定义列出方程组和不等式组是解题的关键．
17．
【分析】设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=48文钱，乙的钱+甲所有钱的文钱，据此列方程组可得．
【详解】解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，
根据题意，得：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
18．
【分析】根据“每人分7两，还多4两；如果每人分9两，还差8两”，即可列出关于的二元一次方程组．
【详解】解：根据题意得：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系列出二元一次方程组．
19．32
【分析】由图形可看出：小矩形的2个长+一个宽=20m，小矩形的2个宽+一个长=16m，设出长和宽，列出方程组即可得答案．
【详解】解：设小矩形的长为xm，宽为ym，
由题意得：，
解得：，
即小矩形的长为8m，宽为4m．
答：一个小矩形花圃的面积32m2，
故答案为：32
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
20．．
【分析】本题的等量关系是：绳长﹣木长＝4.5；木长﹣×绳长＝1，据此列方程组即可．
【详解】解：设绳子长x尺，木条长y尺，
依题意有： ．
故答案是： ．
【点睛】此题考查实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．
21．甲每小时走千米，乙每小时走千米
【分析】设甲每小时走千米，乙每小时走千米，根据题意列出方程组解答即可．
【详解】解：设甲每小时走千米，乙每小时走千米，
根据题意，得．
整理，得．
解得．
答：甲每小时走千米，乙每小时走千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系．
22．(1)销售一台A型车的利润是0.3万元，销售一台B型车的利润是0.5万元
(2)21
【分析】（1）设销售一台A型车利润是x万元，销售一台B型车利润是y万元．根据题意列二元一次方程组，即可求解；
（2）设采购B型新能源汽车m台，则采购A型车台，根据题意列一元一次不等式，即可求解，注意m为整数．
(1)
解：设销售一台A型车利润是x万元，销售一台B型车利润是y万元．
由题意得，
解得，
故销售一台A型车的利润是0.3万元，销售一台B型车的利润是0.5万元；
(2)
解：设采购B型新能源汽车m台，则采购A型车台，
由题意得，
解得，
∵m为整数，
∴m的最小值为21，
即至少需要采购B型新能源汽车21台，
故答案为：21．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．
23．成年人门票900张，学生门票2100张
【分析】根据题意设成年人门票x张，学生门票y张，找出两个等量关系时，列出方程组，求解．
【详解】解：设成年人门票x张，学生门票y张．
依题意可列方程组
．
解得
答：成年人门票900张，学生门票2100张．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找出等量关系，列出相应方程求解．
24．A型号设备7万元/台，B型号设备5万元/台
【分析】由题意，设A型号设备x万元/台，B型号设备y万元/台，然后列出方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：设A型号设备x万元/台，B型号设备y万元/台．
根据题意列方程组，得：

解方程得：．
答：A型号设备7万元/台，B型号设备5万元/台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的理解题意，从而进行解题．
25．大瓶产品16000瓶，小瓶产品12000瓶
【分析】设这些消毒液应分装大瓶产品瓶，小瓶产品瓶，根据题意列二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：设这些消毒液应分装大瓶产品瓶，小瓶产品瓶，
根据题意，得，
解得，
答：这些消毒液应分装大瓶产品16000瓶，小瓶产品12000瓶．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意建立合适的等量关系是解题的关键．
26．(1)A种机器人每台每小时分拣40件包裹，B种机器人每台每小时分拣50件包裹
(2)最多应购进A种机器人100台
【分析】（1）设A种机器人每台每小时分拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹，列方程组，解出即可；
（2）设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台，根据题意列不等式40m+50（200-m）≥9000，求最大整数解即可．
(1)
设A种机器人每台每小时分拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹，
根据题意，得
解得，
答：A种机器人每台每小时分拣40件包裹，B种机器人每台每小时分拣50件包裹．
(2)
设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台．
根据题意，得40m+50（200-m）≥9000，
解得m≤100．
答：最多应购进A种机器人100台．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题关键．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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