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云南省临沧市耿马县2023年中考一模数学试卷
一、单选题
1．（2023·耿马模拟）某水库4月份的最高水位超过标准水位，记为，最低水位低于标准水位，记为，则4月份该水库的水位差是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·耿马模拟）如图，已知直线a，b被直线c所截，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·耿马模拟）据悉，截至年底，中国高铁营运里程约为米，数据用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2018·呼和浩特）已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是（　　）
A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形
5．（2023·耿马模拟）某校组织了以“我爱我的国”为主题的演讲比赛，如表是小智同学的得分情况，则他得分的平均数是（　　）
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
A． B． C． D．
6．（2023·耿马模拟）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．直角三角形 D．角
7．（2023·耿马模拟）按一定规律排列的单项式：，……，第n个单项式是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023·耿马模拟）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　　）
A．三棱柱 B．长方体 C．三棱锥 D．圆锥
9．（2023·耿马模拟）反比例函数的图像如图所示，点A是其图像上的一点，轴，已知的面积为6，则k的值为（　　）
A． B．6 C． D．12
10．（2023·耿马模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2023·耿马模拟）小科同学将一张直径为16的圆形卡纸平均分成4份，用其中一份作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
12．（2023·耿马模拟）某班为筹备迎新晚会，班长用420元到甲商店购买A材料，学习委员用300元到乙商店购买B材料，两人买回的A、B两种材料的数量一样多．已知A材料的单价比B材料贵2元，求B材料的单价是多少元？若设B材料的单价为x元，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．（2016八下·安庆期中）函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．
14．（2023·耿马模拟）如图， 在O ABC中，DE//AB，BE= 2，CE= 6，AD= 2.5，则AC的长为　 　
15．（2022·嵊州模拟）分解因式：x2-6x+9=　 　.
16．（2023·耿马模拟）已知，C、D是以为直径的上的任意两点，连接，且，垂足为M，，则线段的长为 　 　．
三、解答题
17．（2023·耿马模拟）计算：．
18．（2023·耿马模拟）如图，已知，求证：．
19．（2023·耿马模拟）某学校为了增强学生对数学课程的兴趣，开设了五期“走进古典数学著作”的系列专题讲座，分别讲解了《周髀算经》（A期）、《九章算术》（B期）、《数书九章》（C期）、《孙子算经》（D期）和《海岛算经》（E期）等五部中国古典数学著作，学校为了解学生对本次系列讲座的喜爱情况，随机抽取了本校部分学生进行调查（每名学生选择并且只能选择一期喜爱的讲座），现将收集的数据整理成如下统计表和扇形统计图．
讲座代号 A B C D E 合计
学生人数 a b 11 9 12 50
（1）求出a、b的值．
（2）在扇形统计图中，C所在扇形的圆心角为，求m的值．
（3）若该校有1500名学生，请你估计该校喜欢E期（《海岛算经》）讲座的学生人数．
20．（2023·耿马模拟）某社区组织100名志愿者参加3项公益活动，分别是“A：清理社区绿化带垃圾”、“B：社区敬老院服务”、“C：公益知识宣讲”，每人任选一项参加即可．小明和小刚两位同学也参加了这次活动．
（1）小明选择参加公益知识宣讲的概率是　 　．
（2）用列表或画树状图的方法求小明和小刚至少有一人参加社区敬老院服务的概率．
21．（2023·耿马模拟）如图，在中，，、分别为、的中点，连接并延长至点，且，点为直线上的一个动点．
（1）求证：四边形为菱形．
（2）若，菱形的面积为24，求的最小值．
22．（2023·耿马模拟）为全面推进乡村振兴，某省实行城市援助乡镇的政策．该省的A市有120吨物资，B市有130吨物资．经过调研发现该省的甲乡需要140吨物资，乙乡需要110吨物资．于是决定由A、B两市负责援助甲、乙两乡、已知从A市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为300元/吨、150元/吨，从B市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为200元/吨、100元/吨．
（1）设从A市往甲乡运送x吨物资，从A、B两市向甲、乙两乡运送物资的总运费为y元，求y与x的函数解析式．
（2）请设计运费最低的运送方案，并求出最低运费．
23．（2023·耿马模拟）如图，在中，，点O在上，以为半径的分别与、相交于点D、F，与相切于点E，过点D作，垂足为G．
（1）求证：是的切线．
（2）若，求的长．
24．（2023·耿马模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线的对称轴上．
（1）若点E在x轴下方的抛物线上，求面积的最大值．
（2）抛物线上是否存在一点F，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解： 4月份该水库的水位差=（+5）-（-3）=5+3=8cm，
故答案为：A.
【分析】根据水位差=最高水位-最低水位进行列式，再计算即可.
2．【答案】D
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵a∥b，∴∠2=∠3，
∵∠1=69°，∴∠3=∠1=69°，
∴∠2=69°；
故答案为：D.
【分析】由对顶角相等可得∠3=∠1=69°，利用平行线的性质可得∠2=∠3=69°.
3．【答案】A
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：420000=4.2×105；
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.
4．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据n边形的内角和公式，得
（n﹣2） 180=1080，
解得n=8．
∴这个多边形的边数是8．
故答案为：B．
【分析】根据多边形的内角和公式建立方程，求解即可。
5．【答案】B
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：小智同学的平均数为：（9.8+9.7+9.6+9.5+9.4）÷5=9.6；
故答案为：B.
【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数计算即可.
6．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、 平行四边形是中心对称图形， 不是轴对称图形 ，故不符合题意；
B、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
C、直角三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、角是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此逐一判断即可.
7．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：第①个单项式2a2=2×1·a1+1，
第②个单项式4a3=2×2·a2+1，
第③个单项式6a4=2×3·a3+1，
······
第n（n为正整数）个单项式为=2×n·an+1=2nan+1；
故答案为：B.
【分析】观察已知系数、字母的指数规律，即可写成第n（n为正整数）个单项式.
8．【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：A、三棱柱的三视图为两个长方形和一个三角形，故此项符合题意；
B、长方体的三视图为长方形，故此项不符合题意；
C、三棱锥的三视图为三角形，故此项不符合题意；
D、圆锥的三视图为两个三角形和一个圆形，故此项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】分别判断出各选项中几何体的三视图，再判断即可.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：由题意知：S△AOB==6，
∴=12，
∵ 反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴k＜0，
∴k=-12.
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOB==6，由图象的位置可知k＜0，继而得解.
10．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；积的乘方
【解析】【解答】解：A、，故此项错误；
B、 ， 故此项错误；
C、 ，故此项错误；
D、， 故此项正确；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、二次根式的性质分别求解，再判断即可.
11．【答案】A
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解： 由题意得其中一份扇形的弧长为16π÷4=4π，
∴ 圆锥的底面圆的周长为4π，
∴这个圆锥的底面半径4π÷2π=2；
故答案为：A.
【分析】先求出其中一份扇形的弧长，即得圆锥的底面圆的周长，利用圆的周长公式计算即可.
12．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设B材料的单价为x元，则A材料的单价为（x+2）元，
由题意得： ；
故答案为：A.
【分析】设B材料的单价为x元，则A材料的单价为（x+2）元，根据用420元到甲商店购买A材料，用300元到乙商店购买B材料的数量一样多 ，列出方程即可.
13．【答案】x≥﹣2
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
14．【答案】10
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： ∵DE//AB，BE= 2，CE= 6，AD= 2.5 ，
∴，即，
∴CD=7.5，
∴AC=AD+CD=10；
故答案为：10.
【分析】根据平行线分线段成比例可得CD的长，利用AC=AD+CD即可求解.
15．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】直接根据完全平方公式分解即可.
16．【答案】9
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，∵ ，∴∠CMO=90°，
∵AB=12，∴OC=OB=6，
在Rt△CMO中，∠OCD=30°，
∴OM=OC=3，
∴BM=OM+BO=3+6=9；
故答案为：9.
【分析】由垂直的定义可得∠CMO=90°，利用含30°角的直角三角形的性质可得OM=OC=3，
利用BM=OM+BO即可求解.
17．【答案】解：原式
．
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用有理数的乘法法则、特殊角三角函数值、零指数幂及负整数幂的性质进行化简即可.
18．【答案】证明：在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据ASA证明△ABC≌△EDC，可得AB=ED.
19．【答案】（1）解：由题意知 ，
，
故答案为：10，8；
（2）解：由题意得 ，
∴ 的值为 ；
（3）解：∵ ，
∴估计该校喜欢E期（《海岛算经》）讲座的学生人数大约为360名．
【知识点】用样本估计总体；统计表；扇形统计图
【解析】【分析】（1）由a=样本容量×A期百分比，b=样本容量-A期人数-C期人数-D期人数-E期人数，据此分别计算即可；
（2）由= 360°×C期人数所占比例计算即可；
（3）利用样本中喜欢E期的人数所占比例，乘以该校总人数即得结论.
20．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小刚至少有一人参加社区敬老院服务的结果有： ， ， ， ， ，共5种，
小明和小刚至少有一人参加社区敬老院服务的概率为 ．
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）∵共有3项公益活动，
∴ 小明选择参加公益知识宣讲的概率= ；
故答案为：.
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）利用树状图列举出共有9种等可能的结果，其中小明和小刚至少有一人参加社区敬老院服务的共5种，然后利用概率公式计算即可.
21．【答案】（1）证明： 是 的中点，
，
，
四边形 是平行四边形，
、 分别为 、 的中点，
， ，
，
，
四边形 为菱形；
（2）解： 四边形 为菱形，
、 关于 轴对称，
当 为 与 的交点时， 最小，最小值为 的长，
过 作 交 的延长线于点 ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵菱形 的面积为24，
，
， ，
，
．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用对角线互相平分可证四边形BFCD是平行四边形，再利用三角形中位线定理可得DE∥AB，利用平行线的性质可得∠CED=∠ABC=90°，即得DF⊥BC，根据菱形的判定定理即证；
（2）由菱形的性质知D、F关于BC对称，当APF三点共线时， 最小，最小值为 的长 ， 过 作 交 的延长线于点 ， 证明四边形 是平行四边形，可得
，由菱形ABCD的面积==20，求出BC=8，从而求出FQ、BQ、AQ的长，再利用勾股定理求出AF的长即可.
22．【答案】（1）解：由题意可得： ，
∵ ，
∴x的取值范围是 ，
∴y与x的函数解析式为 ．
（2）解：∵ ， ，
∴y随着x增大而增大，
∴当 时，y取得最小值，最小值为 （元），
此时从A市往甲乡运送10吨物资，从A市往乙乡运送110吨物资，从B市往甲乡运送130吨物资物资，从B市往乙乡运送0吨物资，
答：运费最低的运送方案是：从A市往甲乡运送10吨物资，从A市往乙乡运送110吨物资，从B市往甲乡运送130吨物资物资，从B市往乙乡运送0吨物资，最低运费为45500元．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设从A市往甲乡运送x吨物资，则从A市运往乙乡（120-x）吨，从B市往甲乡运送（140-x）吨物资，从B市运往乙乡（110-120+x）吨，根据运送物资的总运费=从A市往甲乡运送x吨物资费用+从A市运往乙乡运送费用+从B市往甲乡运送费用+从B市运往乙乡运送的费用，列出函数关系式即可；
（2）由题意得，据此求出x的范围，根据一次函数的性质
求解即可.
23．【答案】（1）证明：如图1，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线．
（2）解：如图2，连接 ，
∵ 与 相切于点E，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
过 作 于 ，则 ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴ ，
∴ 的长是 ．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的判定与性质；切线的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接 ，由等腰三角形的性质可得∠C=∠OBD=∠ODB，根据平行线的判定可得OD∥AC，利用平行线的性质可得 ，根据切线的判定定理即证；
（2）连接 ，先证四边形 是正方形，由勾股定理求出DG=，即得OD=DG=， 过 作 于 ，由垂径定理可得ID=IB=BD，根据，即可求解.
24．【答案】（1）解：由题意得，抛物线的表达式为： ，
则 ，
解得： ，
则抛物线的表达式为： ，
面积 ，
故 最大时， 面积的最大，
此时点 为抛物线的顶点，
当 时， ，
则 面积的最大值 ；
（2）解：存在，理由：
由抛物线的表达式知，其对称轴为 ，点 ，
故设点 ，设点 ，其中， ，
当 是对角线时，由中点坐标公式得： ，则 ，
则点 的坐标为： ；
当 是对角线时，由中点坐标公式得： ，则 ，
则点 的坐标为： ；
当 是对角线时，由中点坐标公式得： ，则 ，
则点 的坐标为： ；
综上，点 的坐标为： 或 或 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出，由AB=4，可得△ABE的面积 =2，由此可知当 最大时， 面积的最大， 此时点 为抛物线的顶点， 据此即可求解；
（2）分三种情况： ①当 是对角线时 ， ②当 是对角线时 ， ③当 是对角线时 ，根据平行四边形的性质及中点坐标公式 分别求解即可.
1 / 1云南省临沧市耿马县2023年中考一模数学试卷
一、单选题
1．（2023·耿马模拟）某水库4月份的最高水位超过标准水位，记为，最低水位低于标准水位，记为，则4月份该水库的水位差是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解： 4月份该水库的水位差=（+5）-（-3）=5+3=8cm，
故答案为：A.
【分析】根据水位差=最高水位-最低水位进行列式，再计算即可.
2．（2023·耿马模拟）如图，已知直线a，b被直线c所截，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵a∥b，∴∠2=∠3，
∵∠1=69°，∴∠3=∠1=69°，
∴∠2=69°；
故答案为：D.
【分析】由对顶角相等可得∠3=∠1=69°，利用平行线的性质可得∠2=∠3=69°.
3．（2023·耿马模拟）据悉，截至年底，中国高铁营运里程约为米，数据用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：420000=4.2×105；
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.
4．（2018·呼和浩特）已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是（　　）
A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据n边形的内角和公式，得
（n﹣2） 180=1080，
解得n=8．
∴这个多边形的边数是8．
故答案为：B．
【分析】根据多边形的内角和公式建立方程，求解即可。
5．（2023·耿马模拟）某校组织了以“我爱我的国”为主题的演讲比赛，如表是小智同学的得分情况，则他得分的平均数是（　　）
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：小智同学的平均数为：（9.8+9.7+9.6+9.5+9.4）÷5=9.6；
故答案为：B.
【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数计算即可.
6．（2023·耿马模拟）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．直角三角形 D．角
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、 平行四边形是中心对称图形， 不是轴对称图形 ，故不符合题意；
B、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
C、直角三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、角是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此逐一判断即可.
7．（2023·耿马模拟）按一定规律排列的单项式：，……，第n个单项式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：第①个单项式2a2=2×1·a1+1，
第②个单项式4a3=2×2·a2+1，
第③个单项式6a4=2×3·a3+1，
······
第n（n为正整数）个单项式为=2×n·an+1=2nan+1；
故答案为：B.
【分析】观察已知系数、字母的指数规律，即可写成第n（n为正整数）个单项式.
8．（2023·耿马模拟）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　　）
A．三棱柱 B．长方体 C．三棱锥 D．圆锥
【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：A、三棱柱的三视图为两个长方形和一个三角形，故此项符合题意；
B、长方体的三视图为长方形，故此项不符合题意；
C、三棱锥的三视图为三角形，故此项不符合题意；
D、圆锥的三视图为两个三角形和一个圆形，故此项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】分别判断出各选项中几何体的三视图，再判断即可.
9．（2023·耿马模拟）反比例函数的图像如图所示，点A是其图像上的一点，轴，已知的面积为6，则k的值为（　　）
A． B．6 C． D．12
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：由题意知：S△AOB==6，
∴=12，
∵ 反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴k＜0，
∴k=-12.
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOB==6，由图象的位置可知k＜0，继而得解.
10．（2023·耿马模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；积的乘方
【解析】【解答】解：A、，故此项错误；
B、 ， 故此项错误；
C、 ，故此项错误；
D、， 故此项正确；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、二次根式的性质分别求解，再判断即可.
11．（2023·耿马模拟）小科同学将一张直径为16的圆形卡纸平均分成4份，用其中一份作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】A
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解： 由题意得其中一份扇形的弧长为16π÷4=4π，
∴ 圆锥的底面圆的周长为4π，
∴这个圆锥的底面半径4π÷2π=2；
故答案为：A.
【分析】先求出其中一份扇形的弧长，即得圆锥的底面圆的周长，利用圆的周长公式计算即可.
12．（2023·耿马模拟）某班为筹备迎新晚会，班长用420元到甲商店购买A材料，学习委员用300元到乙商店购买B材料，两人买回的A、B两种材料的数量一样多．已知A材料的单价比B材料贵2元，求B材料的单价是多少元？若设B材料的单价为x元，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设B材料的单价为x元，则A材料的单价为（x+2）元，
由题意得： ；
故答案为：A.
【分析】设B材料的单价为x元，则A材料的单价为（x+2）元，根据用420元到甲商店购买A材料，用300元到乙商店购买B材料的数量一样多 ，列出方程即可.
二、填空题
13．（2016八下·安庆期中）函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x≥﹣2
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
14．（2023·耿马模拟）如图， 在O ABC中，DE//AB，BE= 2，CE= 6，AD= 2.5，则AC的长为　 　
【答案】10
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： ∵DE//AB，BE= 2，CE= 6，AD= 2.5 ，
∴，即，
∴CD=7.5，
∴AC=AD+CD=10；
故答案为：10.
【分析】根据平行线分线段成比例可得CD的长，利用AC=AD+CD即可求解.
15．（2022·嵊州模拟）分解因式：x2-6x+9=　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】直接根据完全平方公式分解即可.
16．（2023·耿马模拟）已知，C、D是以为直径的上的任意两点，连接，且，垂足为M，，则线段的长为 　 　．
【答案】9
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，∵ ，∴∠CMO=90°，
∵AB=12，∴OC=OB=6，
在Rt△CMO中，∠OCD=30°，
∴OM=OC=3，
∴BM=OM+BO=3+6=9；
故答案为：9.
【分析】由垂直的定义可得∠CMO=90°，利用含30°角的直角三角形的性质可得OM=OC=3，
利用BM=OM+BO即可求解.
三、解答题
17．（2023·耿马模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用有理数的乘法法则、特殊角三角函数值、零指数幂及负整数幂的性质进行化简即可.
18．（2023·耿马模拟）如图，已知，求证：．
【答案】证明：在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据ASA证明△ABC≌△EDC，可得AB=ED.
19．（2023·耿马模拟）某学校为了增强学生对数学课程的兴趣，开设了五期“走进古典数学著作”的系列专题讲座，分别讲解了《周髀算经》（A期）、《九章算术》（B期）、《数书九章》（C期）、《孙子算经》（D期）和《海岛算经》（E期）等五部中国古典数学著作，学校为了解学生对本次系列讲座的喜爱情况，随机抽取了本校部分学生进行调查（每名学生选择并且只能选择一期喜爱的讲座），现将收集的数据整理成如下统计表和扇形统计图．
讲座代号 A B C D E 合计
学生人数 a b 11 9 12 50
（1）求出a、b的值．
（2）在扇形统计图中，C所在扇形的圆心角为，求m的值．
（3）若该校有1500名学生，请你估计该校喜欢E期（《海岛算经》）讲座的学生人数．
【答案】（1）解：由题意知 ，
，
故答案为：10，8；
（2）解：由题意得 ，
∴ 的值为 ；
（3）解：∵ ，
∴估计该校喜欢E期（《海岛算经》）讲座的学生人数大约为360名．
【知识点】用样本估计总体；统计表；扇形统计图
【解析】【分析】（1）由a=样本容量×A期百分比，b=样本容量-A期人数-C期人数-D期人数-E期人数，据此分别计算即可；
（2）由= 360°×C期人数所占比例计算即可；
（3）利用样本中喜欢E期的人数所占比例，乘以该校总人数即得结论.
20．（2023·耿马模拟）某社区组织100名志愿者参加3项公益活动，分别是“A：清理社区绿化带垃圾”、“B：社区敬老院服务”、“C：公益知识宣讲”，每人任选一项参加即可．小明和小刚两位同学也参加了这次活动．
（1）小明选择参加公益知识宣讲的概率是　 　．
（2）用列表或画树状图的方法求小明和小刚至少有一人参加社区敬老院服务的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小刚至少有一人参加社区敬老院服务的结果有： ， ， ， ， ，共5种，
小明和小刚至少有一人参加社区敬老院服务的概率为 ．
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）∵共有3项公益活动，
∴ 小明选择参加公益知识宣讲的概率= ；
故答案为：.
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）利用树状图列举出共有9种等可能的结果，其中小明和小刚至少有一人参加社区敬老院服务的共5种，然后利用概率公式计算即可.
21．（2023·耿马模拟）如图，在中，，、分别为、的中点，连接并延长至点，且，点为直线上的一个动点．
（1）求证：四边形为菱形．
（2）若，菱形的面积为24，求的最小值．
【答案】（1）证明： 是 的中点，
，
，
四边形 是平行四边形，
、 分别为 、 的中点，
， ，
，
，
四边形 为菱形；
（2）解： 四边形 为菱形，
、 关于 轴对称，
当 为 与 的交点时， 最小，最小值为 的长，
过 作 交 的延长线于点 ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵菱形 的面积为24，
，
， ，
，
．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用对角线互相平分可证四边形BFCD是平行四边形，再利用三角形中位线定理可得DE∥AB，利用平行线的性质可得∠CED=∠ABC=90°，即得DF⊥BC，根据菱形的判定定理即证；
（2）由菱形的性质知D、F关于BC对称，当APF三点共线时， 最小，最小值为 的长 ， 过 作 交 的延长线于点 ， 证明四边形 是平行四边形，可得
，由菱形ABCD的面积==20，求出BC=8，从而求出FQ、BQ、AQ的长，再利用勾股定理求出AF的长即可.
22．（2023·耿马模拟）为全面推进乡村振兴，某省实行城市援助乡镇的政策．该省的A市有120吨物资，B市有130吨物资．经过调研发现该省的甲乡需要140吨物资，乙乡需要110吨物资．于是决定由A、B两市负责援助甲、乙两乡、已知从A市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为300元/吨、150元/吨，从B市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为200元/吨、100元/吨．
（1）设从A市往甲乡运送x吨物资，从A、B两市向甲、乙两乡运送物资的总运费为y元，求y与x的函数解析式．
（2）请设计运费最低的运送方案，并求出最低运费．
【答案】（1）解：由题意可得： ，
∵ ，
∴x的取值范围是 ，
∴y与x的函数解析式为 ．
（2）解：∵ ， ，
∴y随着x增大而增大，
∴当 时，y取得最小值，最小值为 （元），
此时从A市往甲乡运送10吨物资，从A市往乙乡运送110吨物资，从B市往甲乡运送130吨物资物资，从B市往乙乡运送0吨物资，
答：运费最低的运送方案是：从A市往甲乡运送10吨物资，从A市往乙乡运送110吨物资，从B市往甲乡运送130吨物资物资，从B市往乙乡运送0吨物资，最低运费为45500元．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设从A市往甲乡运送x吨物资，则从A市运往乙乡（120-x）吨，从B市往甲乡运送（140-x）吨物资，从B市运往乙乡（110-120+x）吨，根据运送物资的总运费=从A市往甲乡运送x吨物资费用+从A市运往乙乡运送费用+从B市往甲乡运送费用+从B市运往乙乡运送的费用，列出函数关系式即可；
（2）由题意得，据此求出x的范围，根据一次函数的性质
求解即可.
23．（2023·耿马模拟）如图，在中，，点O在上，以为半径的分别与、相交于点D、F，与相切于点E，过点D作，垂足为G．
（1）求证：是的切线．
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：如图1，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线．
（2）解：如图2，连接 ，
∵ 与 相切于点E，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
过 作 于 ，则 ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴ ，
∴ 的长是 ．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的判定与性质；切线的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接 ，由等腰三角形的性质可得∠C=∠OBD=∠ODB，根据平行线的判定可得OD∥AC，利用平行线的性质可得 ，根据切线的判定定理即证；
（2）连接 ，先证四边形 是正方形，由勾股定理求出DG=，即得OD=DG=， 过 作 于 ，由垂径定理可得ID=IB=BD，根据，即可求解.
24．（2023·耿马模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线的对称轴上．
（1）若点E在x轴下方的抛物线上，求面积的最大值．
（2）抛物线上是否存在一点F，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得，抛物线的表达式为： ，
则 ，
解得： ，
则抛物线的表达式为： ，
面积 ，
故 最大时， 面积的最大，
此时点 为抛物线的顶点，
当 时， ，
则 面积的最大值 ；
（2）解：存在，理由：
由抛物线的表达式知，其对称轴为 ，点 ，
故设点 ，设点 ，其中， ，
当 是对角线时，由中点坐标公式得： ，则 ，
则点 的坐标为： ；
当 是对角线时，由中点坐标公式得： ，则 ，
则点 的坐标为： ；
当 是对角线时，由中点坐标公式得： ，则 ，
则点 的坐标为： ；
综上，点 的坐标为： 或 或 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出，由AB=4，可得△ABE的面积 =2，由此可知当 最大时， 面积的最大， 此时点 为抛物线的顶点， 据此即可求解；
（2）分三种情况： ①当 是对角线时 ， ②当 是对角线时 ， ③当 是对角线时 ，根据平行四边形的性质及中点坐标公式 分别求解即可.
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