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广东省广州市花都区2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2023八下·花都期中）下列根式中，属最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023八下·花都期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023八下·花都期中）要使二次根式有意义，x应满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023八下·花都期中）下列各组数据中的三个数，分别作为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，， C．8，24，25 D．9，12，15
5．（2023八下·花都期中）如图，在菱形中，，，则菱形的周长是（　　）
A．10 B．15 C．20 D．30
6．（2023八下·花都期中）下列说法错误的是（　　）
A．菱形的对角线互相垂直且平分
B．矩形的对角线相等
C．有一组邻边相等的四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
7．（2023八下·花都期中）如图，的对角线相交于点O，点分别是线段的中点，若厘米，的周长是18厘米，则的长度是（　　）．
A． B． C． D．
8．（2023八下·温州期中）如图，已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（　　）
A．a-2 B．-a-2 C．1 D．2﹣a
9．（2016八下·广州期中）等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（　　）
A．4 B． C．2 D．3
10．（2023八下·花都期中）观察下组数据，寻找规律：0、、2、、、……那么第10个数据是（　　）
A． B． C．7 D．
二、填空题
11．（2023八下·花都期中）　 　．
12．（2020八下·云县月考）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为　 　
13．（2023八下·花都期中）如图，在中，，点D是AB的中点，且，则AB＝　 　cm．
14．（2014·宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　 　．
15．（2023八下·花都期中）如图E在边AB上，把矩形ABCD沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3．则△CDF的面积是__．
三、解答题
16．（2023八下·花都期中）计算：；
17．（2023八下·花都期中）已知：如图，点E，F是平行四边形中边上的点，且，连接．求证：．
18．（2023八下·花都期中）已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）
19．（2023八下·花都期中）我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．
（1）求出空地的面积；
（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？
20．（2023八下·花都期中）如图，在中，．
（1）尺规作图：作边的垂直平分线，分别交、边于点E、F（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接，若，求的度数．
21．（2023八下·花都期中）如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，的周长为36，求菱形的面积．
22．（2023八下·花都期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：
因为，所以．
所以，即．所以．
所以．
请根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：　 　；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
23．（2023八下·花都期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，并且a，b满足．动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P，Q分别从点A，O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）直接写出B，C两点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形是平行四边形？
（3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？并求出P，Q两点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 ，不是最简二次根式，故此项不符合题意；
B、， 不是最简二次根式，故此项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故此项不符合题意；
D、是最简二次根式，故此项符合题意；
故答案为：D.
【分析】最简二次根式必须满足两个条件①被开方数不含分母，②被开方数不含能开方开得尽的因数或因式；据此判断即可.
2．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此项错误；
B、， 故此项错误；
C、， 故此项正确；
D、与不是同类二次根式，不能合并，故此项错误；
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的加减、二次根式的乘法分别计算，再判断即可.
3．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：2-x≥0，
解得x≤2；
故答案为：B.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵12+22=5≠32，
∴ 以1，2，3三个数，分别作为三角形的三边长，不能构成直角三角形 ，故不符合题意；
B、 ∵（）2+（）2=5≠22
∴以2，，三个数，分别作为三角形的三边长，不能构成直角三角形 ，故不符合题意；
C、∵82+242=640≠252，
∴ 以8，24，25 三个数，分别作为三角形的三边长，不能构成直角三角形 ，故不符合题意；
D、∵92+122=225=152，
∴以9，12，15三个数，分别作为三角形的三边长，能构成直角三角形 ，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可.
5．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠BAC=∠BAD=60°，AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=5，
∴ 菱形的周长为4AB=4×5=20；
故答案为：C.
【分析】由菱形的性质可得△ABC为等边三角形，可得AB=BC=AC=5，根据菱形的周长=4AB即可求解.
6．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直且平分，此项正确，故不符合题意；
B、矩形的对角线相等，此项正确，故不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，此项错误，故符合题意；
D、四条边相等的四边形是菱形，此项正确，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据菱形的判定与性质，矩形的性质逐项判断即可.
7．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AC+BD=24cm，
∴OA+OB=12cm，
∵的周长是18厘米 ，
∴OA+OB+AB=18cm，
∴AB=6cm，
∵ 点分别是线段的中点 ，
∴EF=AB=3cm.
故答案为：A.
【分析】由平行四边形的性质及AC+BD=24cm，可得OA+OB=12cm，由的周长是18厘米 ，可求出AB=6cm，根据三角形中位线定理可得EF=AB，继而得解.
8．【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴上的点所表示的数的特点得1＜a＜2，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据数轴上的点所表示的数的特点可得1＜a＜2，则a-2＜0，进而根据及绝对值的性质化简即可.
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】∵等边三角形高线即中点，AB=2，∴BD=CD=1，在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，∴AD=，
∴S△ABC=BC AD=×2×=，故选B．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．
10．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解： ∵0、、2、、、······，
∴0、、、、、······，
由此可得第n个数据为（-1）n+1，
∴ 第10个数据为（-1）10+1=，
故答案为：B.
【分析】根据已知数列可得规律：第n个数据为（-1）n+1，据此求出第10个数据即可.
11．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式==；
故答案为：.
【分析】先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并即可.
12．【答案】5
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：∵，且是整数；
∴2是整数，即5n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为5．
故答案为：5．
【分析】因为是整数，且，则5n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为5．
13．【答案】10
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中， D是AB的中点，
∴AB=2CD，
∵CD=5cm，
∴AB=10cm.
故答案为：10.
【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此即可求解.
14．【答案】（5，4）
【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，
∴AB=5，
∴DO=4，
∴点C的坐标是：（5，4）．
故答案为：（5，4）．
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
15．【答案】54
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠知EF=AE=5，DF=AD
在矩形ABCD中，∠B=90°，AD=BC，AB=CD，
∵BF=3，
∴BE==4，∴AB=BE+AE=9，
设CF=x，则AD=BC=x+3，DF=AD=9，
在Rt△CFD中，x2+92=（x+3）2，
解得x=12，即CF=12，
∴△CDF的面积=CF·CD=×12×9=54.
故答案为：54.
【分析】由折叠的性质可得EF=AE=5，DF=AD，利用勾股定理求出BE=4，即得AB=BE+AE=9，设CF=x，则AD=BC=x+3，DF=AD=9，在Rt△CFD中，利用勾股定理建立关于x方程并解之，即得CF的长，利用△CDF的面积=CF·CD即可求解.
16．【答案】解：
．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】利用二次根式的除法、绝对值、二次根式的性质及负整数指数幂先计算，再计算加减即可.
17．【答案】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即 ．
∴四边形 是平行四边形．
∴ ．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，结合AE=CF，可推出EB=DF，根据一组对边平行且相等可证四边形 是平行四边形，利用平行四边形的性质即得结论．
18．【答案】（1）解：
当 ， 时，
原式
；
（2）解：
当 ， 时，
原式
．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）将原式变形为，然后代入计算即可；
（2）利用分式的加减将原式化为，再代入计算即可.
19．【答案】（1）解：连接AC
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
；
即空地 的面积为 ．
（2）解： 元，
即总共需投入50400元．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）连接AC，由勾股定理求出AC=10cm，再根据勾股定理的逆定理得出∠ACD=90°，根据
， 利用三角形的面积公式计算即可；
（2）利用空地 的面积乘以每平方米草皮的价格即得结论.
20．【答案】（1）解：如图，直线 即为所求；
（2）解：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ 垂直平分线段 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据要求直接作图即可；
（2）由平行四边形的性质可求∠D=50°，由垂直平分线的性质可得ED=EC，利用等边对等角可得 ， 根据三角形外角的性质即可求解.
21．【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
（2）解：如图，∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ， ，
∵ 的周长为36，
∴ ，
即 ．
在 中， ，由勾股定理得，
∴ ，即 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）先证四边形 为平行四边形，根据平行线的性质及角平分线的定义可得 ，利用等腰三角形的性质可得AD=AE，根据菱形的判定即证结论；
（2）由菱形的性质可得AC⊥DE，OD=OE，OA=OC，AD=CD=10， 利用△ACD的周长为36，可求出AC=16，即得OA=OC=8， 在 中，由勾股定理得DO=6，即得DE=12，由菱形AECD的面积=AC·DE进行计算即可.
22．【答案】（1）
（2）解：原式
；
（3）解： ，
则原式 ，
当 时，原式 ．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：（1） ；
故答案为：；
【分析】（1）将分子分母同乘，再计算即可；
（2）利用分母有理化分别化简，再合并即可；
（3）利用分母有理化先求出a值，然后将原式化为 ， 最后将a值代入计算即可.
23．【答案】（1）B(20，12)，C(16，0)；
（2）解：由题意得： ， ，
则： ， ，
当 时，四边形 是平行四边形，
，
解得： ．
（3）解：当 时，过Q作 ，
，
由题意得： ，
解得： ，
故 ， ，
当 时，过P作 轴，
由题意得： ， ，
，
解得： ，
，
故 ， ， ， ．
综上所述： ， ， 或 ， ， ， ．
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的判定；算数平方根的非负性
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴a-20≥0，20-a≥0，
∴a=20，
∴b=16，
∵AB∥OC，A（0，12），∴c=12，
∴ B(20，12)，C(16，0)；
故答案为： B(20，12)，C(16，0)；
【分析】（1）利用非负数的性质求解即可；
（2）由题意得 ， ，则 ， ，根据平行线的判定知PB=QC，据此列出方程并解之即可；
（3） 分两种情况：①当 时，过Q作 ，利用勾股定理建立方程并解之即可； ②当 时，过P作 轴， 可得QM=CM，据此建立方程并解之即可.
1 / 1广东省广州市花都区2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2023八下·花都期中）下列根式中，属最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 ，不是最简二次根式，故此项不符合题意；
B、， 不是最简二次根式，故此项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故此项不符合题意；
D、是最简二次根式，故此项符合题意；
故答案为：D.
【分析】最简二次根式必须满足两个条件①被开方数不含分母，②被开方数不含能开方开得尽的因数或因式；据此判断即可.
2．（2023八下·花都期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此项错误；
B、， 故此项错误；
C、， 故此项正确；
D、与不是同类二次根式，不能合并，故此项错误；
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的加减、二次根式的乘法分别计算，再判断即可.
3．（2023八下·花都期中）要使二次根式有意义，x应满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：2-x≥0，
解得x≤2；
故答案为：B.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
4．（2023八下·花都期中）下列各组数据中的三个数，分别作为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，， C．8，24，25 D．9，12，15
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵12+22=5≠32，
∴ 以1，2，3三个数，分别作为三角形的三边长，不能构成直角三角形 ，故不符合题意；
B、 ∵（）2+（）2=5≠22
∴以2，，三个数，分别作为三角形的三边长，不能构成直角三角形 ，故不符合题意；
C、∵82+242=640≠252，
∴ 以8，24，25 三个数，分别作为三角形的三边长，不能构成直角三角形 ，故不符合题意；
D、∵92+122=225=152，
∴以9，12，15三个数，分别作为三角形的三边长，能构成直角三角形 ，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可.
5．（2023八下·花都期中）如图，在菱形中，，，则菱形的周长是（　　）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠BAC=∠BAD=60°，AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=5，
∴ 菱形的周长为4AB=4×5=20；
故答案为：C.
【分析】由菱形的性质可得△ABC为等边三角形，可得AB=BC=AC=5，根据菱形的周长=4AB即可求解.
6．（2023八下·花都期中）下列说法错误的是（　　）
A．菱形的对角线互相垂直且平分
B．矩形的对角线相等
C．有一组邻边相等的四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直且平分，此项正确，故不符合题意；
B、矩形的对角线相等，此项正确，故不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，此项错误，故符合题意；
D、四条边相等的四边形是菱形，此项正确，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据菱形的判定与性质，矩形的性质逐项判断即可.
7．（2023八下·花都期中）如图，的对角线相交于点O，点分别是线段的中点，若厘米，的周长是18厘米，则的长度是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AC+BD=24cm，
∴OA+OB=12cm，
∵的周长是18厘米 ，
∴OA+OB+AB=18cm，
∴AB=6cm，
∵ 点分别是线段的中点 ，
∴EF=AB=3cm.
故答案为：A.
【分析】由平行四边形的性质及AC+BD=24cm，可得OA+OB=12cm，由的周长是18厘米 ，可求出AB=6cm，根据三角形中位线定理可得EF=AB，继而得解.
8．（2023八下·温州期中）如图，已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（　　）
A．a-2 B．-a-2 C．1 D．2﹣a
【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴上的点所表示的数的特点得1＜a＜2，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据数轴上的点所表示的数的特点可得1＜a＜2，则a-2＜0，进而根据及绝对值的性质化简即可.
9．（2016八下·广州期中）等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（　　）
A．4 B． C．2 D．3
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】∵等边三角形高线即中点，AB=2，∴BD=CD=1，在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，∴AD=，
∴S△ABC=BC AD=×2×=，故选B．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．
10．（2023八下·花都期中）观察下组数据，寻找规律：0、、2、、、……那么第10个数据是（　　）
A． B． C．7 D．
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解： ∵0、、2、、、······，
∴0、、、、、······，
由此可得第n个数据为（-1）n+1，
∴ 第10个数据为（-1）10+1=，
故答案为：B.
【分析】根据已知数列可得规律：第n个数据为（-1）n+1，据此求出第10个数据即可.
二、填空题
11．（2023八下·花都期中）　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式==；
故答案为：.
【分析】先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并即可.
12．（2020八下·云县月考）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为　 　
【答案】5
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：∵，且是整数；
∴2是整数，即5n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为5．
故答案为：5．
【分析】因为是整数，且，则5n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为5．
13．（2023八下·花都期中）如图，在中，，点D是AB的中点，且，则AB＝　 　cm．
【答案】10
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中， D是AB的中点，
∴AB=2CD，
∵CD=5cm，
∴AB=10cm.
故答案为：10.
【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此即可求解.
14．（2014·宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　 　．
【答案】（5，4）
【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，
∴AB=5，
∴DO=4，
∴点C的坐标是：（5，4）．
故答案为：（5，4）．
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
15．（2023八下·花都期中）如图E在边AB上，把矩形ABCD沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3．则△CDF的面积是__．
【答案】54
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠知EF=AE=5，DF=AD
在矩形ABCD中，∠B=90°，AD=BC，AB=CD，
∵BF=3，
∴BE==4，∴AB=BE+AE=9，
设CF=x，则AD=BC=x+3，DF=AD=9，
在Rt△CFD中，x2+92=（x+3）2，
解得x=12，即CF=12，
∴△CDF的面积=CF·CD=×12×9=54.
故答案为：54.
【分析】由折叠的性质可得EF=AE=5，DF=AD，利用勾股定理求出BE=4，即得AB=BE+AE=9，设CF=x，则AD=BC=x+3，DF=AD=9，在Rt△CFD中，利用勾股定理建立关于x方程并解之，即得CF的长，利用△CDF的面积=CF·CD即可求解.
三、解答题
16．（2023八下·花都期中）计算：；
【答案】解：
．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】利用二次根式的除法、绝对值、二次根式的性质及负整数指数幂先计算，再计算加减即可.
17．（2023八下·花都期中）已知：如图，点E，F是平行四边形中边上的点，且，连接．求证：．
【答案】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即 ．
∴四边形 是平行四边形．
∴ ．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，结合AE=CF，可推出EB=DF，根据一组对边平行且相等可证四边形 是平行四边形，利用平行四边形的性质即得结论．
18．（2023八下·花都期中）已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
当 ， 时，
原式
；
（2）解：
当 ， 时，
原式
．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）将原式变形为，然后代入计算即可；
（2）利用分式的加减将原式化为，再代入计算即可.
19．（2023八下·花都期中）我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．
（1）求出空地的面积；
（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？
【答案】（1）解：连接AC
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
；
即空地 的面积为 ．
（2）解： 元，
即总共需投入50400元．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）连接AC，由勾股定理求出AC=10cm，再根据勾股定理的逆定理得出∠ACD=90°，根据
， 利用三角形的面积公式计算即可；
（2）利用空地 的面积乘以每平方米草皮的价格即得结论.
20．（2023八下·花都期中）如图，在中，．
（1）尺规作图：作边的垂直平分线，分别交、边于点E、F（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接，若，求的度数．
【答案】（1）解：如图，直线 即为所求；
（2）解：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ 垂直平分线段 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据要求直接作图即可；
（2）由平行四边形的性质可求∠D=50°，由垂直平分线的性质可得ED=EC，利用等边对等角可得 ， 根据三角形外角的性质即可求解.
21．（2023八下·花都期中）如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，的周长为36，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
（2）解：如图，∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ， ，
∵ 的周长为36，
∴ ，
即 ．
在 中， ，由勾股定理得，
∴ ，即 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）先证四边形 为平行四边形，根据平行线的性质及角平分线的定义可得 ，利用等腰三角形的性质可得AD=AE，根据菱形的判定即证结论；
（2）由菱形的性质可得AC⊥DE，OD=OE，OA=OC，AD=CD=10， 利用△ACD的周长为36，可求出AC=16，即得OA=OC=8， 在 中，由勾股定理得DO=6，即得DE=12，由菱形AECD的面积=AC·DE进行计算即可.
22．（2023八下·花都期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：
因为，所以．
所以，即．所以．
所以．
请根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：　 　；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）解：原式
；
（3）解： ，
则原式 ，
当 时，原式 ．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：（1） ；
故答案为：；
【分析】（1）将分子分母同乘，再计算即可；
（2）利用分母有理化分别化简，再合并即可；
（3）利用分母有理化先求出a值，然后将原式化为 ， 最后将a值代入计算即可.
23．（2023八下·花都期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，并且a，b满足．动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P，Q分别从点A，O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）直接写出B，C两点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形是平行四边形？
（3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？并求出P，Q两点的坐标．
【答案】（1）B(20，12)，C(16，0)；
（2）解：由题意得： ， ，
则： ， ，
当 时，四边形 是平行四边形，
，
解得： ．
（3）解：当 时，过Q作 ，
，
由题意得： ，
解得： ，
故 ， ，
当 时，过P作 轴，
由题意得： ， ，
，
解得： ，
，
故 ， ， ， ．
综上所述： ， ， 或 ， ， ， ．
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的判定；算数平方根的非负性
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴a-20≥0，20-a≥0，
∴a=20，
∴b=16，
∵AB∥OC，A（0，12），∴c=12，
∴ B(20，12)，C(16，0)；
故答案为： B(20，12)，C(16，0)；
【分析】（1）利用非负数的性质求解即可；
（2）由题意得 ， ，则 ， ，根据平行线的判定知PB=QC，据此列出方程并解之即可；
（3） 分两种情况：①当 时，过Q作 ，利用勾股定理建立方程并解之即可； ②当 时，过P作 轴， 可得QM=CM，据此建立方程并解之即可.
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