资源简介

立体几何初步
知识体系：
期末考情：（以2020-2021重庆七校联考为例）
板块 期末分值 试题分布
平面向量 25 4、5、16、17
解三角形 29 10、18、22
复数 15 1、12、13
立体几何 44 6、7、11、15、19、21
概率与统计 37 2、3、8、9、14、20
知识清单：
立体几何初步
一、基本立体图形
基本立体图形由简单几何体和简单组合体构成，其中简单几何体包括：
①多面体：棱柱、棱锥、棱台等；
②旋转体：圆柱、圆锥、圆台等。
1.棱柱
(1)棱柱的特点:上下底面平行，侧棱平行
(2)一些常见的特殊棱柱之间的关系，写成集合的形式，即
{正棱柱}{直棱柱}；
{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}；
(3)表面积与体积公式
对于直棱柱，若表示底面的周长，则，。
若表示底面的面积，表示棱柱的高，则。
2.棱锥
(1)棱锥的特点；有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形
(2)体积公式
若表示底面的面积，表示棱锥的高，则
(3)一些特殊棱锥
a.正棱锥
定义：底面是正多边形、且顶点在底面的射影为底面中心的棱锥
性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
表面积与体积：若正棱锥底面周长为，面积为，高为，斜高为，则，。
b.正四面体
定义：由四个全等的正三角形围成的封闭多面体叫做正四面体.
表面积与体积：
设正四面体的棱长为，则正四面体的高，，.
推论：正四面体的内切球半径，外接球半径.
3.棱台
(1)特点：各侧棱的延长线交于一点.
(2)体积公式
若棱台的上底面面积为，下底面面积为，高为，则.
4.圆柱
(1)定义:将矩形绕其一边所在直线旋转一周所形成的几何体叫做圆柱.
(2)表面积和体积公式：，，.
5.圆锥
(1)定义：直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周形成的几何体叫做圆锥.
(2)表面积和体积公式
若圆锥的底面半径为，圆锥的高为，圆锥的母线长为，则，，.
6.圆台
(1)定义：一个直角梯形绕其直角边所在直线旋转一周形成的几何体.
(2)表面积和体积公式
若圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，圆台的母线长为，则，，.
7.球
(1)定义：将半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的几何体叫做球.
(2)面积和体积公式
若球的半径为，则，.
二、直观图
用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点．2画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴交于点，且使，它们确定的平面表示水平面．
（2）在已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段．
（3）在已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度保持不变，平行于轴的线段，长度变为原来的．（横不变，纵减半）
注：直观图和原始图面积关系
三、空间点、线、面的位置关系
1.点、线、面的位置关系和表示
点与直线、点与平面的位置关系
直线 点在直线上 点在直线外
图象和符号表示
平面 点在平面内 点在平面外
图象和符号表示
直线与直线、直线与平面的位置关系
直线 共面 异面
相交 平行
图象和符号表示
公共点个数
平面 线在面内 线在面外
直线和平面平行 直线和平面相交
图象和符号表示
公共点个数 无数个
平面与平面的位置关系
平面 相交 平行
图象和符号表示
公共点个数 无数个
注：将点看成元素，直线和平面看成点组成的集合，所以点在线上、点在面内用“属于（）”表示，直线在面内用“包含于（）”表示。
4.平面的基本性质
基本事实1：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。（可以简称为“不共线的三点确定一个平面”。）
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
符号表示：，，，。
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。
符号表示：且，。
基本事实4（平行的传递性）：平行于同一直线的两条直线平行。
等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
四、空间角
(1)线线角：平移到同一个平面的两条相交直线
范围：
特别地，异面直线夹角求解
方法：平移，通过平行使得两条直线在同一个平面内，再利用余弦定理求解；
平移后直线不在几何体表面/内部时，可通过“补体”使其共面
范围：
(2)线面角：找到与平面所成角的平面角，只需找到点在面的投影，即证明面即可.
范围：
(3)二面角
面为、的二面角记作。在棱上任取一点，以为垂足，在半平面、上分别做垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角。二面角的大小可以用它的平面角来度量。
范围：
五.空间中直线、平面的平行
(1)线面平行
a.线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与平面平行。
符号表示：，，。
要点：找线线平行，通常采用中位线，平行四边形，长度比例关系找
b.线面平行的性质定理：如果直线与平面平行，那么过该直线的任意一个平面与该平面的交线都与该直线平行。
符号表示：，，。
(2)面面平行
a.面面平行的判定定理：如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这个平面与另一个平面平行。
符号表示：，，，，。
b.面面平行的性质定理：如果已知平面平面：
①若另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行；
符号表示：，，。
②垂直于平面的直线也垂直于平面；
符号表示：， 。
③若直线既不在平面内也不在平面内，当时，有。
六、空间中直线、平面的垂直
(1)线线垂直
若直线与的夹角为，则称与互相垂直。
(2)线面垂直
a.线面垂直的定义：如果直线与平面内任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面垂直，记作。
b.线面垂直的判定定理：若一条直线与平面内两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。
符号表示：，，，，。
c.线面垂直的性质定理：
①若直线平面，则直线与平面内任意一条直线都垂直。
符号表示：， 。
②垂直于同一平面的两条直线相互平行。
符号表示：， 。
(3)面面垂直
a.面面垂直的定义：若两个平面、相交，所成的二面角的大小为，就说这两个平面相互垂直，记为。
b.面面垂直的判定定理：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
符号表示：， 。
c.面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
符号表示：，，，。
内切球
三棱锥内切球等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等。
例题：三棱锥是任意三棱锥，求其内切球的半径。
方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等；
第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为，建立等式：
第三步：解出
外接球
小圆问题
2.直四棱柱模型
为外接球直径
①墙角三棱锥
两两垂直
②垂歪了的三棱锥(鳖臑)
，面
为外接球直径
③正四面体
各棱长均相等
棱长为，外接球半径，
内切球半径
④有一条侧棱垂直于底面的四棱锥(阳马)
面
3.直三棱柱模型
4.正棱锥模型
取，,
即,解出即可,
空间向量和立体几何
知识体系：
章节概述：
在本章学习中，我们要注意利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理及其坐标表示，在此过程中体会平面向量与空间向量的共性和差异；在运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系的过程中，体会向量方法与综合几何方法的共性和差异；通过用向量方法解决数学问题和实际问题，感悟向量在研究几何问题中的作用。
知识清单：
空间向量和立体几何
一、空间直角坐标系：
1.画空间直角坐标系时，一般使（或），。
2.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
3.建系的方法：①两两垂直②交于一点
二、空间向量运算的坐标表示：
设，
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) .
三、空间向量的应用：
1.用空间向量研究直线、平面的位置关系：
(1)空间中直线的向量表示：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
(2)空间中平面的向量表示：空间任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.对于平面，直线，取直线的方向向量，我们称向量为平面的法向量.
法向量的求解步骤：①设法向量
②找两相交直线所在向量，
③数量积为零列方程，
④取一个法向量
(3)空间中直线、平面的平行：
①直线平行：设，分别是直线，的方向向量，有使得.
②直线与平面平行：设是直线的方向向量，是平面的法向量，，有.
③平面平行：设，分别是平面，的法向量，使得.
(4)空间中直线、平面的垂直：
①直线垂直：设，分别是直线，的方向向量，有.
②直线与平面垂直：设是直线的方向向量，是平面的法向量，有使得.
③平面垂直：设，分别是平面，的法向量，有.
2.用空间向量研究距离、夹角问题：
(1)点到平面的距离：设平面的法向量为，取平面内定点，过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量
(2)异面直线夹角：若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是，，则。异面直线夹角的范围是
(4)线面角：设叫做直线与平面的线面角，直线的方向向量为，平面的法向量为，则。线面角的范围是
(5)二面角。若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为和的夹角或其补角，则。二面角的平面角的范围是
期末押题：
一．单选题（共4小题）
1．在四面体中，，且异面直线与所成的角为，，分别是边，的中点，则异面直线和所成的角为　　
A． B． C．或 D．或
2．将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为　　
A． B． C． D．
3．已知三棱锥中，，，，平面，，直线与平面所成角的正弦值为　　
A． B． C． D．
4．已知四面体中，，，，若该四面体的外接球的球心为，则的面积为　　
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
5．已知为正四棱柱，底面边长为2，高为4，，分别为，的中点．则下列说法错误的是　　
A．直线与平面所成角的正弦值为
B．平面平面
C．直线被正四棱柱的外接球截得的弦长为
D．以为球心，为半径的球与侧面的交线长为
6．如图，在棱长为3的正方体中，为线段上的动点，下列说法正确的是　　
A．对任意点，平面
B．三棱锥的体积为
C．线段长度的最小值为
D．存在点，使得与平面所成角的大小为
三．填空题（共2小题）
7．如图，四边形为直角梯形，，该梯形绕旋转形成的几何体体积为，则该几何体的侧面积为 　　．
8．直三棱柱中，，，，分别是，和的中点，若三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则　　．
四．解答题（共3小题）
9．如图，在四棱锥中，侧面底面，，底面是平行四边形，，，，，分别为线段，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值．
10．在《九章算术商功》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”．如图，现将一矩形沿着对角线将折成，且点在平面内的投影在线段上．已知，．
（1）证明：三棱锥为鳖臑；
（2）点到平面的距离；
（3）求二面角的正弦值．
11．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，．
（1）证明：平面平面；
（2）点在平面内，直线平面，求四棱锥的体积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．【解答】解：取中点，连接，，、分别为边和的中点，
，，且，
异面直线与所成的角是或其补角，
由，得，异面直线和所成的角是或其补角．
异面直线与所成的角为，则或，
若，则，异面直线和所成的角是，
若，则，异面直线和所成的角是．
故选：．
2．【解答】解：设所围成圆锥的底面半径为，则，即，
圆锥的高．
该圆锥的体积为．
故选：．
3．【解答】解：如图所示：
设直线与平面所成角为，则点到平面的距离为，
由，由①，
在直角三角形与直角三角形中，由勾股定理可得，．
又在中，由余弦定理可得，所以，
所以为等腰三角形，其面积为，
所以由①式可得，解得．
故选：．
4．【解答】解：由图设点为中点，连接，，由，所以
，，则面，且
所以球心面，所以平面与球面的截面为大圆，延长线与此大圆交于点．
在三角形中，由，所以，
由正弦定理知：三角形的外接圆半径为，
设三角形的外接圆圆心为点，则面，有，则，
设的外接圆圆心为点，则面，
由正弦定理知：三角形的外接圆半径为，
所以，又三角形中，，
所以为的角平分线，则，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
在三角形中，取中点，由，，
所以，
故选：．
二．多选题（共2小题）
5．【解答】解：对于选项，平面，故是直线与平面所成角，
所以，故错误；
对选项，平面，平面，故平面，
同理，平面，，故平面平面，故错误；
对选项：该正四棱柱外接球半径为，球心到的距离为1，故弦长为，故正确；
对选项：平面到球心的距离为2，交线为圆的部分，如图所示，
圆半径为，交线长为，故错误．
故选：．
6．【解答】解：在棱长为3的正方体中，如图所示：
对于：连接，，，，，
由于，平面，平面，所以平面
同理由得平面，又，，平面，
故平面平面，由于平面，所以对任意点，平面，故正确；
对于：由于，平面，平面，所以平面，故三棱锥的体积为，故正确；
对于：由于，所以过点作，即点为的中点，，故正确，
对于：由于平面，，所以点在平面上的投影在线段上，设点的投影为点，则为与平面所成的角，，
而，所以与平面所成角的正弦值的取值范围是，
而，
所以不存在点，使得与平面所成角的大小为，故错误．
故选：．
三．填空题（共2小题）
7．【解答】解：由题知，该几何体为圆台，上底，下底，
所以，解得，
所以，
则圆台的侧面积为，
故答案为：．
8．【解答】解：连接、，
设，则
，
因为，则，
平面，平面，，
，、平面，平面，
所以，，
，故．
故答案为：．
四．解答题（共3小题）
9．【解答】（1）证明：因为，为线段的中点，所以，
又侧面底面，面面，面，
所以面，
因为面，所以，
连接，
因为，，所以为等边三角形，所以，
所以，即，
因为，分别为线段，的中点，所以，所以，
又，、平面，
所以平面．
（2）解：连接，设与相交于点，连接，
由（1）知，面，
所以为直线与平面所成角，即，
因为，，所以，
所以，
因为面，，
所以为二面角的平面角，
在中，，，
所以，
所以，
故二面角的余弦值为．
10．【解答】解：（1）证明：因为点在平面内的投影在线段上，
所以平面平面，又平面平面，
又平面，且，
所以平面①
又平面，
所以，又，且，且，平面，
所以平面②
由①②可得四个面均为直角三角形，所以三棱锥为鳖臑；
（2）设点到平面的距离为，
由（1）可知，又，，所以，
又，
所以，
即，所以；
（3）过点作，垂足点为，连接，
又底面，根据三垂线定理可得：
二面角的平面角即为，
又，且，，所以，
所以，
所以二面角的平正弦值为．
11．【解答】证明：（1）连接交于点，
底面，平面，
，
又，，，平面，
面，平面，
平面平面；
解：（2）连接，过作交于点，
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，重合，
因为，
所以，又，
所以，所以，
点到底面的距离为，又，
．

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