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平面向量
知识体系：
期末考情：（以2020-2021重庆七校联考为例）
板块 期末分值 试题分布
平面向量 25 4、5、16、17
解三角形 29 10、18、22
复数 15 1、12、13
立体几何 44 6、7、11、15、19、21
概率与统计 37 2、3、8、9、14、20
知识清单：
平面向量
一、向量的基本概念
1.向量的概念
既有大小又有方向的量，没有位置，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.
零向量
长度为的向量叫零向量，记作：
规定：零向量的方向是任意的，但只有一个方向.
3.单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）
4.相等向量
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性
5.相反向量
长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量记作.
6.平行向量（也叫共线向量）
方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：
规定：零向量和任意向量平行.
注：
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有)；
④三点共线、共线.
二、平面向量的线性运算
1.加减法运算
加减法 运算法则 作图 运算形式
加法 平行四边形 法则 若，，
三角形 法则 若，，
减法 三角形 法则 若，， （共起点，后指前）
2.数乘运算
实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：
(1)模：；
(2)方向：当时，的方向与的方向相同，当时，的方向与的方向相反，当时，，注：.
三、平面向量的数量积
1.两个向量的夹角：对于非零向量，，作，，则把称为向量，的夹角，记作.
当时，，同向；当时，，反向；当时，，垂直.
2.平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即.
规定：. 注：数量积是一个实数，不再是一个向量.
3.向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于0.
4. 向量在向量上的投影向量：
5.的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积.
6.向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：
(1)；
(2)当、同向时，，是、同向的充要条件，
特别地，（模长计算：先平方再开方）；
当、反向时，，是反向的充要条件;
当为锐角时，，且不同向，是为锐角的必要不充分条件;
当为钝角时，，且不反向；是为钝角的必要不充分条件.
(3)非零向量，夹角的计算公式：；
(4).
四、平面向量的基本定理及坐标运算
1.定理：设是同一平面内的一组基底向量，是该平面内任一向量，则存在唯一实数对，使.
向量的坐标表示：建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示.
结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.
2.坐标运算：
设，
(1)加减法运算：，.
(2)数乘运算：.
(3)若，，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
.
(4)平面向量数量积：.
(5)向量的模：.
(6)向量的夹角：
3.向量的运算律
(1)交换律：，，；
(2)结合律：，；
注：
分配律：，，.
五、向量平行(共线)与垂直的充要条件
1.向量平行的充要条件
（交叉乘相等）.
2.向量垂直的充要条件
（对应乘和为0）.
特别地.
六、向量中一些常用的结论
1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用.
2.模的性质：.
(1)右边等号成立条件：同向或中有；
(2)左边等号成立条件：反向或中有；
(3)当不共线.
3.三角形重心公式
在中，若，，，则其重心的坐标为.
4.奔驰定理
在中，点是内一点，则
5.三角形“四心”的向量表示
(1)为△的重心；
特别地为△的重心；
向量所在直线过△的重心.；
向量所在直线过△的重心.
(2)为△的垂心；
为△的垂心；
向量所在直线过△的垂心.
(3)为△的内心；
向量所在直线过△的内心.
(4)为△的外心；
为△的外心.
七、平面向量数量积解题方法总结
数量积：（为与共起点时的夹角，也可以写作）
1、基底法
定义：不共线的向量、叫做这一平面内所有向量的一组基底。
基本思路：（模长、夹角已知）
①根据问题中所给的条件，选取一组向量作为基底向量；
②用基底向量表示所求的向量；
③运用平面向量的相关公式（如：运算法则、数量积公式、模的公式等）进行运算，求得结果。
2、坐标法
基本思路：（有直角）
①根据几何图形的特点，寻找垂直关系；
②建立平面直角坐标系，写出各个向量的坐标；
③根据向量的坐标运算法则来解题，求得结果。
注：隐藏的垂直关系有：
①特殊三角形（直角三角形、等腰三角形和正三角形的高等）；
②矩形、直角梯形或直角梯形；
③非零向量和，当时有（即两向量夹角为90度）。
3、几何法
基本思路：
①观察题目，已知条件中、模长、夹角等有常见的勾股关系；
②利用向量的运算法则作图，得到直观的向量间关系；
此外：在向量的数量积中，可以看作为
即在方向上的投影 乘以的模长。
4、三点共线定理
已知，，为不共线三点，为平面内任意一点，若＝＋，则，，三点共线的充要条件为；特殊地当为中点时，则
基本思路：，，三点共线，有且。
5.爪子模型
在中，是线段上一点，且，则：
。
适用条件：已知在上的分割比例，则可用、表示出。
易错点：对于爪子模型，一定要记清楚：前的系数，是其所对边与的比值。同样，前的系数为其对边与的比值（所占比值交叉）。
6、极化恒等式
公式原型：
①三角形：在中，为的中点:
②平行四边形：
7、角平分线定理
角平分线：这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。
定理：若为的角平分线，则有.
8、梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）
定义：当一条直线交三边所在的直线, ,分别于点,,时，则有
使用场景：图形中被不过顶点的线切割。
期末押题：
一．单选题（共3小题）
1．在平行四边形中，为的中点，，则　　
A． B． C． D．
2．已知是单位向量，向量满足与成角，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
3．已知点、为所在平面内的点，，，记、分别为、的面积，那么　　
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
4．已知，是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有　　
A． B．
C．的最大值为 D．设，，则，
5．已知向量，其中，下列说法正确的是　　
A．若，则
B．若与夹角为锐角，则
C．若，则在方向上投影向量为
D．若，则
6．两个非零平面向量，的夹角为，定义一种新运算，则对于两个非零平面向量，，下列结论一定成立的有　　
A．若，则
B．
C．
D．若，，则
三．填空题（共2小题）
7．点是棱长为2的正四面体表面上的动点，若是该四面体外接球的一条直径，则的最小值是 　　．
8．已知向量，，，满足，，，，若，则的最小值为 　　．
四．解答题（共2小题）
9．已知向量，满足，，．
（1）求向量与的夹角；
（2）求．
10．如图，边长为2的等边所在平面内一点满足，点在边上，．的面积为，记，．
（1）用，及表示；
（2）求的最小值．
参考答案
一．单选题（共3小题）
1．【解答】解：，
又，
．
故选：．
2．【解答】解：作，则，如图，
，
，与成角，且，点在射线上，
，
的取值范围为：．
故选：．
3．【解答】解：已知，
则，
即，
又，
则点为的重心，
过、分别作、，
则，，
则．
故选：．
二．多选题（共3小题）
4．【解答】解：设，，，则是边长为1的正三角形，
所以，即选项错误；
，即选项正确；
因为，所以，即，也即，
所以点在以为直径的圆上，设该圆的圆心为，半径为，则，，
由图知，，当且仅当，，三点共线时，等号成立，即选项正确；
由题意知，，，，
当与同向共线时，最小，为0，所以，
当与圆相切，即点与点重合时，最大，此时，所以，
综上，，，即选项正确．
故选：．
5．【解答】解：对于，，，
，解得，故正确，
对于，与夹角为锐角，
，解得，
且与不共线，，解得，
综上所述，与夹角为锐角，则且，故错误，
对于，若，则，
在方向上投影向量为，故正确，
对于，，
，即与的夹角为，
与同向共线，即，解得，故正确．
故选：．
6．【解答】解：对于，由，知，
因为，所以或，所以，即选项正确；
对于，在棱长为1的正方体中，三个向量，，如图所示，则左式，右式，显然左式右式，即选项错误；
对于，在棱长为1的正方体中，三个向量，，如图所示，则左式，右式，所以左式右式，即选项错误；
对于，
，即选项正确．
故选：．
三．填空题（共2小题）
7．【解答】解：设正四面体的外接球球心为，外接球半径为，内切球半径为，
取中点，连接，作平面于，交于，
则，，，
由题意得，解得，，
是该正四面体外接球的一条直径，
则
．
当为正四面体的内切球与各面的切点时，取等号，
的最小值是．
故答案为：．
8．【解答】解：因为，，，，，
设，
则，
所以，
，
根据二次函数的性质可知，，
所以，
所以，
则的最小值．
故答案为：．
四．解答题（共2小题）
9．【解答】解：（1）因为，，
所以，
因为，所以，解得．
而，所以，
又，，所以．
（2）因为，，，
所以，
所以．
10．【解答】（1）解：因为是边长为2的等边三角形，，
所以，，
所以；
（2）解：因为，
，
，
设三角形在边上的高为，则，所以，
因为，所以，
所以，即，
所以，，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．

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