10.2事件的相互独立性 课件(共27张PPT)

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10.2事件的相互独立性 课件(共27张PPT)

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前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质,还研究过和事件的概率计算方法.
性质1 对任意的事件A,都有P(A) 0.
性质2 P(Ω)= ,P( )= .
性质3 如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)= .
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)= ,P(A)= .
性质5 如果A B,那么 .
性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)= .

1
0
P(A)+P(B)
1-P(B)
1-P(A)
P(A)≤P(B)
P(A)
+P(B)-P(A∩B)
对于积事件的概率,你能提出什么值得研究的问题吗?
积事件AB就是事件A与事件B同时发生.
积事件AB发生的概率一定与事件A,B发生的概率有关系.
这种关系会是怎样的呢
下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题.
事件的相互独立性
学习目标
1.在具体情境中,了解两个事件相互独立的概念.
2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.
探究
下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B,你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗
试验1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币,A=“第一枚硬币正面朝上”,B=“第二枚硬币反面朝上”.
试验2:一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球,除标号外没有其他差异,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”.
我们发现:对于试验1,因为两枚硬币分别抛掷,第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响,所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.
对于试验2,因为是有放回摸球,第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响,所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.
在试验1中,样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本点.
A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)}
AB={(1,0)}
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
由古典概型概率计算公式,
得P(A)=P(B)= , P(AB)= .
∴P(AB)=P(A)P(B)
试验1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币,A=“第一枚硬币正面朝上”,B=“第二枚硬币反面朝上”.
试验2:一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球,除标号外没有其他差异,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”.
在试验2中,样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}包含16个等可能的样本点.
A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}, B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}, AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},
于是也有P(AB)=P(A)P(B).
积事件AB的概率P(AB)也等于P(A),P(B)的乘积.
1.相互独立事件的定义
对于任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称独立.
①事件A与事件B相互独立就是:事件A是否发生不影响事件B发生的概率,事件B是否发生不影响事件A发生的概率.
说明:
注意:
①互斥事件:两个事件不能同时发生.
②相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响.
②公式变形:
③相互独立的定义,既可以用来判断两个事件是否独立,也可以在相互独立的条件下求积事件的概率
必然事件一定发生,不受任何事件是否发生的影响
不可能事件一定不会发生,不受任何事件是否发生的影响
当然,它们也不影响其他事件的发生.
问题 必然事件与任意事件是否相互独立?
必然事件与任意事件相互独立,
不可能事件与任意事件相互独立
不可能事件与任意事件是否相互独立?
探究:互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系. 如果事件A与事件B相互独立,那么它们的对立事件是否也相互独立 以有放回摸球试验为例,验证A与 , 与B, 与 是否独立,你有什么发现
我们就先以试验2来验证:一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球,除标号外没有其他差异,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”, B=“第二次摸到球的标号小于3”.
1 2 3 4
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
n(B)=8,
n( )=8,
n( )=4,
n( )=4,
n( )=4,
所以P(A )=
P(A)
P( )=
P( )
P( B)=
P(B)=
易得,
n(Ω)=16,
n(A)=8,
n( )=8,
P( )
P( )=
P( )=
因此A与 , 与B, 与 是独立的.
对于A与 ,因为A=AB∪A ,而且AB与A 互斥,所以
P(A)=P(AB∪A )=P(AB)+P(A )=P(A)P(B)+P(A )
P(A )=P(A)-P(A)P(B)=
所以
P(A)(1-P(B))=
P(A)P( )
由事件的独立性定义,A与 相互独立.
类似地,可以证明事件 与B, 与 也都相互独立.
我们再用理论来验证:
(1)必然事件 及不可能事件 与任何事件A相互独立.
(2)若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立:
2.相互独立事件的性质
Why?
例1 判断下列各对事件A与B是不是相互独立事件:
(1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件A“从甲组中选出1名男生”与事件B“从乙组中选出1名女生”;
(2)掷一枚骰子一次,事件A“出现偶数点”与事件B“出现3点或6点”.
(3)一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球,除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次. 事件A=“第一次摸出球的标号小于3"”与事件B=“第二次摸出球的标号小于3”.
解:(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件.
(2)A={2,4,6},B={3,6},AB={6},
所以P(A)=3/6=1/2,P(B)=2/6=1/3,P(AB)=1/6,所以P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B相互独立.
例1 判断下列各对事件A与B是不是相互独立事件:
(3)一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球,除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次. 事件A=“第一次摸出球的标号小于3"”与事件B=“第二次摸出球的标号小于3”.
B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},
解:(3)因为样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n},
A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)},
此时P(AB)≠P(A)P(B)
AB={(1,2),(2,1)}.
所以
P(A)=
P(B)=
P(AB)=
因此,事件A与事件B不独立.
反思感悟
判断两个事件相互独立的方法:
①定义法:P(AB)=P(A)P(B)
②直接法:由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响.
③转化法:判断A与B是否相互独立, 转化为判断A与 , 与B, 与 是否具有独立性.
 分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A是“第一枚为正面”,事件B是“第二枚为正面”,事件C是“两枚结果相同”,则下列事件具有相互独立性的是________.(填序号)
①A,B;②A,C;③B,C.
跟踪训练1
①②③
【2021年·新高考Ⅰ卷】
有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
B
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率:
(1)两人都中靶; (2)恰好有一人中靶;
(3)两人都脱靶; (4)至少有一人中靶.
(1)AB=“两人都中靶”,由事件独立性的定义,得
P(AB)=P(A)P(B)= 0.8×0.9=0.72
由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立,
解:设A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,则 =“甲脱靶”,=“乙脱靶”,
A与 , 与B, 与 都相互独立,
由已知可得,P(A)=0.8,P(B)=0.9,P( )=0.2,P( )=0.1
(2)“恰好有一人中靶”=A ∪ B,且A 与 B互斥,
P(A ∪ B)=P(A )+P( B)
     =P(A)P( )+P( )P(B)
=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率:
(1)两人都中靶; (2)恰好有一人中靶;
(3)两人都脱靶; (4)至少有一人中靶.
由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立,
解:设A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,则 =“甲脱靶”,=“乙脱靶”,
A与 , 与B, 与 都相互独立,
由已知可得,P(A)=0.8,P(B)=0.9,P( )=0.2,P( )=0.1
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率:
(1)两人都中靶; (2)恰好有一人中靶;
(3)两人都脱靶; (4)至少有一人中靶.
由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立,
解:设A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,则 =“甲脱靶”,=“乙脱靶”,
A与 , 与B, 与 都相互独立,
由已知可得,P(A)=0.8,P(B)=0.9,P( )=0.2,P( )=0.1
(3)事件“两人都脱靶”= ,
所以P( )=P( )P( )=0.2×0.1=0.02
“大化小”
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率:
(1)两人都中靶; (2)恰好有一人中靶;
(3)两人都脱靶; (4)至少有一人中靶.
由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立,
解:设A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,则 =“甲脱靶”,=“乙脱靶”,
A与 , 与B, 与 都相互独立,
由已知可得,P(A)=0.8,P(B)=0.9,P( )=0.2,P( )=0.1
(4) ①事件“至少有一人中靶 ,

∵事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”
∴事件“至少有一人中把”的概率为
“正难则反”
练习3 天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2,乙地的降雨概率是0.3,假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响,计算在这段时间内:
(1)甲、乙两地都降雨的概率;
(2)甲、乙两地都不降雨的概率;
(3)至少一个地方降雨的概率;
解:设事件A=“甲地降雨”,事件B=“乙地降雨”,由题意知P(A)=0.2,P(B)=0.3,
且事件A与B相互独立.
归纳:求较为复杂事件的概率的方法
已知两个事件A,B,那么:
(1)A,B中至少有一个发生为事件A+B.
2.对事件分解时,要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
(2)A,B中至多有一个发生为事件 .
(3)A,B恰好有一个发生为事件 .
(5)A,B都不发生为事件 .
(4)A,B都发生为事件AB.
(6)A,B不都发生为事件 .
1.对事件进行分解,一方面分解为互斥的几类简单事件求概率;
另一方面分解为独立的事件, 利用事件同时发生(乘法)求出概率.
甲、乙两人破译一密码,他们能破译的概率分别为 ,两人能否破译密码相互独立,求两人破译时,以下事件发生的概率:
(1)两人都能破译的概率;
跟踪训练3
记事件A为“甲独立地破译出密码”,事件B为“乙独立地破译出密码”.两个人都破译出密码的概率为
(2)恰有一人能破译的概率;
(3)至多有一人能破译的概率.
(2)恰有一人能破译的概率;
恰有一人破译出密码分为两类:甲破译出乙破译不出,乙破译出甲破译不出,
(3)至多有一人能破译的概率.
至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码,
课堂
小结
1.知识清单:
(1)相互独立事件的判断.
(2)相互独立事件概率的计算.
2.方法归纳:用列举法、定义法求相互独立事件的概率.
3.常见误区:对事件是否相互独立判断错误.

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