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平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法，但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策。
总体集中趋势的估计
众 数：最高矩形的中点
中位数：中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等
平均数：每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和
这节课我们共同来研究总体离散趋势的有关知识.
9.2.4总体离散程度估计
9.2用样本估计总体
学习目标
1.理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差.
2.掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方法.
问题3 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下:
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价 如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择
甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7. 从这个角度看，两名运动员之间没有差别.
作出甲、乙射击成绩的条形图。
两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数各为多少？
借助条形图可以直观看出，甲的成绩比较分散,乙的成绩相对集中,即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定.可见，他们的射击成绩是存在差异的.
10 环数
频率
4
5
6
7
8
9
（甲）
10 环数
频率
4
5
6
7
8
9
（乙）
那么，如何度量成绩的这种差异呢
一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差.
可以发现甲的成绩波动范围比乙的大.
根据甲、乙运动员的10次射击成绩，可以得到
甲命中环数的极差=10-4=6，
乙命中环数的极差=9-5=4.
极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.
但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息,对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少.
若射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；
相反，若射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远.
因此，可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度.
假设一组数据是x1, x2,…, xn，用 表示这组数据的平均数. 我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即 作为xi到 的“距离”.
可以得到这组数据x1, x2,…, xn到 的“平均距离”为
.
为了避免式中含有绝对值，
通常改用平方来代替，
即
方差
一组数据是x1，x2，…，xn，用 表示这组数据的平均数，这组数据的方差为____________=____________，
标准差为_______________.
1、方差、标准差的定义
思考：标准差的取值范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？
标准差s≥0；
s=0表示这组数据中的每个数据到平均数的距离都是0，这组数据的每个数据是相等的．
在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的．就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常我们也用样本标准差去估计总体标准．在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性．
2、总体方差、总体标准差的定义
如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为 ，则称 S2=_______________为总体方差，S=________为总体标准差 ．
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…， k），则总体方差为
3、样本方差、样本标准差的定义
标准差和方差刻画了数据的______程度或波动幅度．
标准差（或方差）越大，数据的离散程度越____，越不稳定；
标准差（或方差）越小，数据的离散程度越____，越稳定．
在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.
但在解决实际问题中，一般多采用_______.
在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的，就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常也用样本标准差估计总体标准差。
在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性。
离散
大
小
标准差
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为 ，则称 s2=_______________为样本方差，
s=________为样本标准差 ．
由s甲>s乙可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小.
由此可以估计，乙比甲的射击成绩稳定.
s甲=2，s乙≈1.095
如果要从这两名选手中选择一名参加比赛，要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置。如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手，否则可以选甲.
问题3中有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下:
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为(单位：cm)：
甲：99　100　98　100　100　103
乙：99　100　102　99　100　100
(1) 分别计算两组数据的平均数及方差；
(2) 根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．
跟踪训练1
用样本的标准差、方差估计总体的方法：
(1) 用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似值．实际应用中，当所得数据的平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳定情况．
(2) 标准差、方差的取值范围是[0，＋∞)．
(3) 因为标准差与原始数据的单位相同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．　
方差、标准差与统计图表的综合应用
　甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50,100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为
跟踪训练2
A.s1>s2>s3 B.s1>s3>s2
C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1
√
比较三个频率分布直方图知，甲为“双峰”直方图，两端数据最多，最分散，方差最大；
乙为“单峰”直方图，数据最集中，方差最小；
丙为“单峰”直方图，但数据分布相对均匀，方差介于甲、乙之间.综上可知s1>s3>s2.
分层随机抽样的方差
例6　在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高作出估计吗？
根据方差的定义，总样本方差为
因此，
把已知男生、女生样本平均数和方差的取值代入①，可得
故总样本的方差为51.486 2，据此估计高一年级全体学生身高的总体方差为51.486 2.
方法总结
某中学为研究该校男女学生在生活费(单位：元)支出上的差异，在高一年级400名学生(其中男生220人，女生180人)中随机抽取了22名男生与18名女生，统计他们的生活费支出，得到下面的结果：
跟踪训练3
试根据以上数据估计该校高一学生生活费支出的总体均值、总体方差.
样本标准差刻画了数据离平均数波动的幅度大小，平均数和标准差一起能反映数据取值的信息. 例如，根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，可以计算出样本平均数=8.79，样本标准差s≈6.20.
总结：平均数、方差性质
课堂
小结
1.知识清单：
(1)方差、极差的计算与应用.
(2)分层随机抽样的方差.
2.方法归纳：数据统计、数据分析.
3.常见误区：方差、标准差易混淆.
再见

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