10.1.3古典概型 课件(31张)

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10.1.3古典概型 课件(31张)

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研究随机现象,最重要的是知道随机事件发生的可能性大小,对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.
我们知道,通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计.但这种方法耗时多,而且得到的仅是概率的近似值.能否通过建立适当的数学模型,直接计算随机事件的概率呢
古典概型
1.理解古典概型的概念及特点.
2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题.
学习目标
在10.1.1节中,我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验. 它们的共同特征有哪些
考察这些试验的共同特征,就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性.
可以发现,它们具有如下共同特征:
具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
练习1 向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点落在圆内任意. 点都是等可能的,你认为这是古典概型吗?为什么?
有限性
等可能性
练习2 某同学随机向一靶心进行射击,这一试验的结果有“命中10环”“命中9环”“命中8环”,“命中7环”“命中6环”“命中5环”和“不中环”,这是古典概型吗?为什么?
10
9
9
9
9
8
8
8
8
7
7
7
7
6
6
6
6
5
5
5
5
有限性
等可能性
概念辨析
练习3 判断下列概率模型是否是古典概型:
(1)从1~10中任取一个整数,求取到1的概率;
(2)从区间[1,10]中任取一个数,求取到1的概率;
(3)在一次掷骰子的试验中,求事件“出现的点数是2的倍数”的概率.
判断一个试验是不是古典概型抓住两个要点:
一是样本点个数有限性;
二是每个样本点发生是等可能的.
下面我们就来研究如何求古典概型的概率。

不是

考虑下面两个随机试验,如何度量事件A和B发生的可能性大小
(1)一个班级中有18名男生、22名女生.采用抽签的方式,从中随机选择一名学生,事件A=“抽到男生”;
(2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次,事件B=“恰好一次正面朝上”.
对于问题(1),班级中共有40名学生,从中选择一名学生,因为是随机选取的,所以选到每个学生的可能性都相等,这是一个古典概型.
抽到男生的可能性大小,取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小.因此,可以用男生数与班级学生数的比值来度量.显然,这个随机试验的样本空间中有40个样本点,而事件A=“抽到男生”包含18个样本点.因此,事件A发生的可能性大小为
对于问题(2),我们用1表示硬币“正面朝上”,用0表示硬币“反面朝上”,则试验的样本空间
Ω={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)},
共有8个样本点,且每个样本点是等可能发生的,这是一个古典概型。
事件B发生的可能性大小,取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小,因此,可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量.
因为B={ (1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)},
有3个样本点,所以事件B发生的可能性大小为
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率
P(A)=
其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
古典概型的概率计算公式:
例7 单项选择题是标准化考试中常用的题型,一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个正确答案,如果考生掌握了考查的内容,他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做,他随机地选择一个答案,答对的概率是多少
解:试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果,试验的样本空间可以表示为Ω={A,B,C,D}. 考生随机选择一个答案,表明每个样本点发生的可能性相等,所以这是一个古典概型.
设M=“选中正确答案”,因为正确答案是唯一的,所以n(M)=1.
所以,考生随机选择一个答案,答对的概率
P(M)=
?思考:在标准化考试中也有多选题,多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确的答案(四个选项中至少有两个选项是正确的).你认为单选题和多选题哪种更难选对 为什么
一名考生随机选择的可能性大?还是掌握一定知识的可能性大?为什么
如果是不定项选题呢?
掌握知识
重要吗?
正确答案的所有可能的结果:
①若有1个对,则有A,B,C,D,共4种
②若有2个对,则正解可以是AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种
③若有3个对,则正解可以是ABC,ABD,ACD,BCD,共4种
④若4个都对,则正解只有ABCD ,共1种
跟踪训练3
例8 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.(1)写出此试验的样本空间,并判断这个试验是否为古典概型;
样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}}. 共有36个样本点.
由于骰子的质地均匀,所有各个样本点出现的可能性相等,因此这个试验是古典概型.
m \ n
解:用m表示Ⅰ号出现的点数为m,用n表示Ⅱ号出现的点数为n
则用(m,n)表示这个实验的一个样本点,则试验的样本点为
树状图:
1
2
3
4
5
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1
2
2
3
4
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3
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6
1
m \ n
列表:
例8 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
(2)求下列事件的概率:
A=“两个点数之和是5”; B=“两个点数相等”;
C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
解:
m \ n
m \ n
解:
例8 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
(2)求下列事件的概率:
A=“两个点数之和是5”; B=“两个点数相等”;
C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
例8 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
(2)求下列事件的概率:
A=“两个点数之和是5”; B=“两个点数相等”;
C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
m \ n
解:
在上例中,为什么要把两枚骰子标上记号 如果不给两枚骰子标记号,会出现什么情况 你能解释其中的原因吗
不记号,则不能区分抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子,如 (1,2)和(2,1)的结果将无法区别.
不记号时,试验的样本空间Ω1={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6},且m≤n},则n(Ω1)=21. 其中,事件A =“两个点数之和是5”的结果变为A={(1,4),(2,3)},这时
m \ n
同一个事件的概率,为什么会出现两个不同的结果呢
可以发现,36个结果都是等可能的;
而合并为21个可能结果时,(1,1)和(1,2)发生的可能性大小不等,
这不符合古典概型特征,
所以不能用古典概型公式计算概率,
因此 是错误的。
m \ n
求解古典概型问题的一般思路:
(1)明确试验的条件及要观察的结果,用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果);
(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性;
(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数,求出事件A的概率.
 先后抛掷两枚质地均匀的骰子.
(1)求点数之和为7的概率;
如图所示,从图中容易看出样本点与所描点一一对应,共36个,且每个样本点出现的可能性相等.
跟踪训练3
(2)求掷出两个4点的概率;
(3)求点数之和能被3整除的概率.
(2)求掷出两个4点的概率;
记“掷出两个4点”为事件B,从图中可以看出,事件B包含的样本点只有1个,即(4,4),
(3)求点数之和能被3整除的概率.
记“点数之和能被3整除”为事件C,则事件C包含的样本点共12个,分别为(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6).
例9 袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球,从中不放回地依次随机摸出2个球,求下列事件的概率:
(1)A = “第一次摸到红球”;
(2)B= “第二次摸到红球”;
(3)AB = “两次都摸到红球”.
解:将两个红球编号为1、2,三个黄球编号为3、4、5. 第一次摸球时有5种等可能的结果,对应第一次摸球的每个可能结果,第二次摸球时有4种等可能的结果. 将两次摸球的结果配对,组成20种等可能的结果,用下表表示.
解:(1)
由表知n(A)=8,
(2)
由表知n(B)=8,
(3)
由表知n(AB)=2,
从而P(A)=
从而P(B)=
从而P(AB)=
思考:如果同时摸出2个球,那么事件AB的概率是多少
第二次 第一次 1 2 3 4 5
1 × (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
2 (2,1) × (2,3) (2,4) (2,5)
3 (3,1) (3,2) × (3,4) (3,5)
4 (4,1) (4,2) (4,3) × (4,5)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) ×
1 2 3 4 5
1 × {1,2} {1,3} {1,4} {1,5}
2 × × {2,3} {2,4} {2,5}
3 × × × {3,4} {3,5}
4 × × × × {4,5}
5 × × × × ×
【思考】如果同时摸出2个球,那么事件AB的概率是多少
第二次 第一次 1 2 3 4 5
1 × (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
2 (2,1) × (2,3) (2,4) (2,5)
3 (3,1) (3,2) × (3,4) (3,5)
4 (4,1) (4,2) (4,3) × (4,5)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) ×
两种抽取方式:“同时抽取”和“不放回地依次抽取”,同一事件的概率相等.
例10 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人.
(1)分别写出有放回简单随机抽样,不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.
(2)在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率.
不放回简单随机抽样的样本空间
Ω2= {(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),B2,G2), (G1,B1),(G1,B2),(G1,G2), (G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)}
按性别等比例分层抽样,先从男生中抽取一人,再从女生中抽取一人,其样本空间: Ω3= {(B1,G1),(B1,G2), (B2,G1), (B2,G2)}.
解:(1)设第一次抽取的人记为X1第二次抽取的人记为X2,则可用数组(X1,X2)表示样本点.
有放回简单随机抽样的样本空间
Ω1= {(B1,B1),(B1,B2), (B1,G1), (B1,G2), (B2,B1),(B2,B2), (B2,G1), (B2,G2), (G1,B1),(G1,B2),(G1,G1), (G1,G2), (G2,B1),(G2,B2),(G2,G1), (G2,G2)}
对于不放回简单随机抽样,A={(B1,B2), (B2,B1)},
且这是古典概型,因此
对于有放回简单随机抽样, A={(B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2)}
且这是古典概型,因此
(2)设事件A= “抽到两名男生”,则
按性别等比例分层抽样,不可能抽到两名男生,所以
A= ,因此 P(A)=0.
通过例10,对于不同的抽样方法有什么区别?
例10表明,同一个事件A=“抽到两名男生”发生的概率,在按性别等比例分层样时最小,在不放回简单随机抽样时次之,在有放回简单随机抽样时最大.因此,抽样方法不同,则样本空间不同,某个事件发生的概率也可能不同.
上述计算表明,在总体的男、女生人数相同的情况下:
用有放回简单随机抽样进行抽样,出现全是男生的样本的概率为0.25;
用不放回简单随机抽样进行抽样,出现全是男生的样本的概率约为0.167,可以有效地降低出现“极端”样本的概率;
特别是,在按性别等比例分层抽样中,全是男生的样本出现的概率为0,真正避免了这类极端样本的出现.
所以,改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要.
课堂小结
1. 古典概型: (1)有限性; (2)等可能性.
其中,n(A) 和 n(Ω)分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.
2. 古典概型概率计算公式:
3. 求解古典概型问题的一般思路:
(1)明确试验的条件及要观察的结果,用适当的符号表示试验的可能结果
(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性;
(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数,求出事件A的概率.
再见

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