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从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件。
这些事件有的简单，有的复杂。
我们希望从简单事件的概率推算出复杂的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算。
事件的关系与运算
学习目标
1.理解事件的关系和运算.
2.通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念.
探究：在掷骰子的试验中，观察骰子朝上面的点数，我们可以定义许多事件，例如:
Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6;
D1 =“点数不大于3”, D2 =“点数大于3”
E1 =“点数为1或2”, E2 =“点数为2或3”
F=“点数为偶数”，G=“点数为奇数”……
你还能否写出这个试验中其他的一些事件吗？
请用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系与运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
我们把上述事件用集合的形式写出来得到下列集合：
C1 ={1}；C2={2}； C3={3}；C4 ={4}；C5={5}；C6={6}；
D1={1，2,3}； D2={4,5,6}； E1={1,2}；
E2 ={2,3}; F={2,4,6}; G={1,3,5};
利用样本空间的子集表示事件，我们可以利用集合的知识研究随机事件。
1、包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）,记作
观察事件：C1={1}，G={1，3，5}
显然，如果事件C1发生，那么事件G一定会发生，事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{1} {1，2，3}，即C1 G这时我们说事件G包含事件C1
特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即 B A且A B，则称事件A与事件B相等，记作A=B 。
A（B）
A
B
Ω
观察事件：
可以发现，事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生，用集合表示就是 ： ，即 ，这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件。
2、并事件（和事件）
一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A和事件B的并事件（或和事件），记作 。
A
B
Ω
观察事件：
可以发现，事件E1和事件E2同时发生，相当于事件C2发生，用集合表示就是： ，即 ，这时我们称事件C2为事件E1和事件E2的交事件。
3、交事件（积事件）
一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这个事件为事件A和事件B的交事件（或积事件），记作 。
A
B
Ω
可以发现，事件C3和事件C4不可能同时发生，用集合表示就是： ，即 ，这时我们称事件C3与事件C4互斥。
4、互斥事件
一般地，如果事件A与事件B不可能同时发生，也就是
是一个不可能事件，即 ，则称事件A与事件B互斥（或互不相容）。
A
B
Ω
观察事件：
一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即 ，且 ，那么称事件A与事件B互为对立。
5、对立事件
在任何一次试验中，事件F与事件G两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中之一。用集合表示就是
，即 ，且 ，即 。此时我们称事件F与事件G互为对立事件。
A
Ω
事件A的对立事件记作 .
综上所述,事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 AUB或A+B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=Φ
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B=Φ,AUB=Ω
类似地,我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.
例如,对于三个事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)发生,当且仅当A,B,C中至少一个发生,
A∩B∩C(或ABC)发生,当且仅当A,B,C同时发生,等等.
①互斥事件可以是两个或两个以上事件的关系，
而对立事件只针对两个事件而言.
②从定义上看，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，也就是不可能同时发生；而对立事件除了要求这两个事件不同时发生外，还要求这二者之间必须要有一个发生.
互斥事件与对立事件的区别：
因此，对立事件是互斥事件，是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件.
不互斥
互斥不对立
不互斥
互斥且对立
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．
(1)恰有一名男生与恰有2名男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
跟踪训练
例5 如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.
(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件；
(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件 ,并说明它们的含义及关系.
解：(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态. 以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间Ω={(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}.
A∪B表示电路工作正常， 表示电路工作不正常；
A∪B和 互为对立事件.
（2）根据题意，可得
解：(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态. 以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间Ω={(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}.
例6、一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件
R1=“第一次摸到红球”, R2=“第二次摸到红球”, R=“两次都摸到红球”,
G=“两次都摸到绿球”, M=“两个球颜色相同”, N=“两个球颜色不同”
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2)事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系？
(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
解：(1)所有的试验结果如图所示.
用数组（x1,x2）表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，
则试验的样本空间
Ω={(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), （3,2), (3,4),（4,1), (4,2), (4,3)}
事件R1=“第一次摸到红球”，即x1=1或2
于是R1={(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4)，}
事件R2=“第二次摸到红球”, 即x2=1或2
于是R2={(2,1), (3,1), (4,1), (1,2), (3,2), (4,2)}
同理, 于是有R={(1,2), (2,1)}, G={(3,4), (4,3)},
M={(1,2), (2,1), (3,4), (4,3)}，N={(1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2) }.
(2)因为R R1, 所以R1包含事件R；
因为R∩G=Φ, 所以事件R与事件G互斥；
因为RUG=Ω, M∩N=Φ，所以事件M与事件N互为对立事件.
(3)因为RUG=M，所以事件M是事件R与事件G的并事件.
因为R1∩R2=R，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)事件的包含关系与相等关系.
(2)并事件和交事件.
(3)互斥事件和对立事件.
2.方法归纳：列举法、Venn图法.
3.常见误区：互斥事件和对立事件之间的关系易混淆.
再见

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