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第二章 机械振动
2.3 简谐运动的回复力和能量
restoring force and energy
做简谐运动的小球：受力情况有什么特点？
一、简谐运动的回复力
C
B
O
规定向右为正方向
胡克定律：F = -k x
做简谐运动的小球：受力情况有什么特点？
一、简谐运动的回复力
规定向右为正方向
O
B
C
O
B
C
Q
P
O
B
C
Q
P
O
B
C
Q
P
O
B
C
Q
P
O
B
C
Q
P
O
B
C
Q
P
O
B
C
Q
P
O
C
Q
P
B


小球的受力满足什么条件时才会做简谐运动呢？
C
B
O
规定向右为正方向
做简谐运动的物体偏离平衡位置向一侧运动时，一定有一个力迫使物体的运动速度逐渐减小直到减为0，然后物体在这个力的作用下，运动速度又由0逐渐增大并回到平衡位置；
一、简谐运动的回复力
物体由于具有惯性，到达平衡位置后会继续向另一侧运动，这个力使它再一次回到平衡位置。正是在这个力的作用下， 物体在平衡位置附近做往复运动。我们把这样的力称为回复力（restoring force）。
一、简谐运动的回复力
1. 回复力有什么特点？
（1）当小球在O点（平衡位置）时，所受的合力为0；
（2）在O点右侧任意选择一个位置P，无论小球向右运动还是向左运动，小球在P点相对平衡位置的位移都为x，受到的弹簧弹力均向左。
（3）从图中可以看出，迫使小球回到平衡位置的回复力应该是由弹簧弹力提供的，回复力的大小为F＝ kx，方向指向平衡位置。
一、简谐运动的回复力
1. 回复力有什么特点？
（4）同样道理，当小球在O点左侧某一位置Q时，迫使小球回到平衡位置的回复力还是由弹簧弹力提供，大小仍为F＝ kx，方向指向平衡位置（如图丙所示）。
（5）从上面的分析可以看出，弹簧对小球的弹力是小球做简谐运动的回复力，这个力的大小与小球相对平衡位置的位移成正比，方向与位移方向相反，可表示为：F = - kx， 式中“-”号表示F与x反向。
理论上可以证明，如果物体所受的合力具有F = - kx的形式，物体就做简谐运动。
一、简谐运动的回复力
C
B
O
规定向右为正方向
做简谐运动的物体一定会受到指向平衡位置的作用力，
这个力叫做回复力。
注意：
类似向心力，回复力是根据力的作用效果命名的，充当回复力的可以是某一个力，也可以是某个力的分力，还可以是几个力的合力。
k 不一定是劲度系数，也可以是任意常数 !
F = - kx
理论上可以证明，如果物体所受的合力具有F = - kx的形式，物体就做简谐运动。
一、简谐运动的回复力
C
B
O
规定向右为正方向
x 表示相对平衡位置的位移，方向总是背离平衡位置；
“-”号表示F与x方向相反，即总是指向平衡位置。
k 不一定是劲度系数，也可以是任意常数 !
做简谐运动的物体一定会受到指向平衡位置的作用力，
这个力叫做回复力。
F = - kx
理论上可以证明，如果物体所受的合力具有F = - kx的形式，物体就做简谐运动。
一、简谐运动的回复力
C
B
O
规定向右为正方向
判断物体是否做简谐运动的方法：
（2）根据回复力的规律去判断；
（1）根据物体的振动图像是正弦曲线；
1. 证明：竖直的弹簧振子做的是简谐运动？
证明：平衡位置：
mg=kx0
向下相对平衡位置的位移为x时振子的合力：
F=mg-k(x+x0)=mg-kx-kx0=-kx
理论上可以证明，如果物体所受的合力具有F = - kx的形式，物体就做简谐运动。
一、简谐运动的回复力
C
B
O
规定向右为正方向
判断物体是否做简谐运动的方法：
（2）根据回复力的规律去判断；
（1）根据物体的振动图像是正弦曲线；
2. 把倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开。假设空气阻力可忽略不计，试证明小球的运动是简谐运动。
证明：平衡位置：
mgsinθ=kx0
向下相对平衡位置的位移为x时振子的合力：
F=mgsinθ-k(x+x0)=mgsinθ-kx-kx0=-kx
一、简谐运动的回复力
3. 粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。 把木筷往上提起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动。
证明：是简谐运动？
空气阻力可忽略。
证明：平衡位置：
mg=ρɡsx0
向下相对平衡位置的位移为x时振子的合力：
F=mg-ρɡs(x+x0)=mg-ρɡsx-ρɡsx0=-ρɡsx=-kx
一、简谐运动的回复力
4. 光滑圆弧面上有一个小球，把它从最低点移开一小段距离，放手后，小球以最低点为平衡位置左右振动。
证明：是简谐运动？
空气阻力可忽略。
证明：小球重力沿切线方向分力提供回复力：
F回=-mgsinθ=-mgx/R=-kx
二、简谐运动的能量
C
B
O
规定向右为正方向
弹簧振子的能量变化具有什么规律呢？
小球的速度在不断变化
动能在变化；
弹簧的伸长量或压缩量在不断变化
势能也在变化。
假设P、Q 为最大位移处：
二、简谐运动的能量
弹性势能的大小取决于弹簧的形变量。
理论上可以证明，在弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，遵守机械能守恒定律。
二、简谐运动的能量
小球到达最大位移时，动能为O，势能最大。
小球通过平衡位置时，动能最大，势能为O。
二、简谐运动的能量
实际的运动都有一定的能量损耗，所以简谐运动是一种理想化的模型。
当小球运动到最大位移时，动能为0，弹性势能最大，系统的机械能等于最大弹性势能。对于弹簧劲度系数和小球质量都一定的系统，振幅越大，机械能越大。
C
B
O
规定向右为正方向
物体处于最大位移处，
速度为零，动能为零，只有势能。
三、练习与应用
4. 做简谐运动的物体经过A点时，加速度的大小是2 m/s2，方向指向B点；当它经过B点时，加速度的大小是3 m/s2，方向指向A点。若AB之间的距离是10 cm，请确定它的平衡位置。
三、练习与应用
5. 图为某物体做简谐运动的图像，在 0~1.5 s 范围内回答下列问题。
（1）哪些时刻物体的回复力与 0.4 s 时的回复力相同？
（2）哪些时刻物体的速度与 0.4 s 时的速度相同？
三、练习与应用
5. 图为某物体做简谐运动的图像，在 0~1.5 s 范围内回答下列问题。
（3）哪些时刻的动能与 0.4 s 时的动能相同？
（4）哪段时间的加速度在减小？
（5）哪段时间的势能在增大？
简谐运动与圆的故事
四、有趣的事情…
有趣的是：
绿色小球做匀速周周运动一圈
红色振子做简谐运动一个周期
匀速圆周运动和简谐运动肯定有着密切的联系
有趣的事发生了…
小球和振子任意时刻均在同一竖直线上
简谐运动与圆的故事
质点在x轴上投影的运动是简谐振动
简谐振动的周期与周圆运动的周期相同
（具有普遍性，对所有的简谐运动都适用）
简谐振动的位移随时间变化：
四、有趣的事情…
w
O
x
A

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