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成对数据的统计分析
知识体系：
2022-2023年度七校联考范围：
板块 期末分值 大题分布
导数 65 3个大题
计数原理 20 无
随机变量及其分布 65 3个大题
成对数据的统计分析
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知识清单：
回归分析
1．两个变量线性相关
(1)散点图：将样本中个数据点(i＝1,2，…，)描在平面直角坐标系中得到的图形．
(2)正相关与负相关
①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域．
②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．
2．回归直线的方程
(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
(2)回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程．
(3)回归方程的推导过程：
①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据,,．
②设所求回归方程为，其中是待定参数．
③由最小二乘法得
相关系数：
样本相关系数r的取值范围为[-1,1].
若r>0时，成对样本数据正相关；
②若r<0时，成对样本数据负相关；
③当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；
④当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.
其中，是回归方程的斜率，是截距．
回归直线方程
注意：在回归直线上
比较两个模型的拟合效果：
参数越大，残差平方和越小，拟合效果越好
参数越小，残差平方和越大，拟合效果越差
独立性检验
1．列联表
设，为两个变量，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(列联表)如下：
总计
总计
2．独立性检验
利用随机变量(也可表示为)(其中为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．
随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强；反之，越弱。
3．独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据列出列联表；
(2)计算随机变量的观测值k，查下表确定临界值k0：
(3)如果，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“X与Y有关系”．
注意:
(1)通常认为时，样本数据就没有充分的证据显示“X与Y有关系”．
(2)独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．
（3）先进行零假设
期末押题：
．选择题（共3小题）
1．下列说法正确的序号是　　
①在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.8个单位；
②利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理；
③已知，是两个分类变量，若它们的随机变量的观测值越大，则“与有关系”的把握程度越小；
④在一组样本数据，，，，，，，，，，不全相等）的散点图中，若所有样本，，2，，都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为．
A．①③ B．①② C．②④ D．③④
2．用模型拟合一组数据组，，2，，，其中；设，得变换后的线性回归方程为，则　　
A． B．70 C． D．35
3．设两个相关变量和分别满足下表：
1 2 3 4 5
1 2 8 8 16
若相关变量和可拟合为非线性回归方程，则当时，的估计值为　　
（参考公式：对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；
A．33 B．37 C．65 D．73
二．多选题（共2小题）
4．下列说法中，正确的命题有　　
A．已知随机变量服从正态分布，，则
B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则， 的值分别是和0.3
C．8个完全相同的球放入编号为1，2，3的三个空盒中，要求放入后3个盒子均不空且数量均不同，则有12种放法
D．若样本数据，，，的方差为2，则数据的方差为4
5．下列命题正确的是　　
A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1
B．对具有线性相关关系的变量、，有一组观测数据，，2，，，其线性回归方程是，且，则实的值是
C．已知样本数据，，，的方差为4，则，，，的标准差是4
D．已知随机变量，若，则
三．解答题（共3小题）
6．经验表明，一般树的直径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．由于测量树高比测量直径困难，因此研究人员希望由树的直径预测树高．在研究树高与直径的关系时，某林场收集了某种树的一些数据如表：
编号 1 2 3 4 5 6
直径 19 22 26 29 34 38
树高 5 7 10 12 14 18
（1）请用样本相关系数（精确到说明变量和满足一元线性回归模型；
（2）建立关于的一元线性回归方程；并估计当树的直径为时，树高为多少？（精确到
附参考公式：相关系数回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
参考数据：
7．根据国家统计局统计，我国年的新生儿数量如下：
年份编号 1 2 3 4 5
年份 2018 2019 2020 2021 2022
新生儿数量（单位：万人） 1523 1465 1200 1062 956
（1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合新生儿数量与年份编号的关系，请用相关系数说明相关关系的强弱；，则认为与线性相关性很强）
（2）建立关于的回归方程，并预测我国2025年的新生儿数量．
参考公式及数据：，，，，，．
8．奥密克戎变异毒株的潜伏期又缩短了，但具体到个人，感染后潜伏期的长短还是有个体差异的．潜伏期是指已经感染了奥密克戎变异株，但未出现临床症状的和体征的一段时期，奥密克戎潜伏期做核算检测可能为阴性，建议可以多做几次核算检测，有助于明确诊断．某研究机构对某地1000名患者进行了调查和统计，得到如下表：
潜伏期：（单位：天） ， ， ， ， ， ， ，
人数 80 210 310 250 130 15 5
（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均值．
（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取300人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关．
潜伏期天 潜伏期天 总计
50岁以上（含 150
50岁以下 85
总计 300
（3）为了做好防疫工作，各个部门、单位抓紧将各项细节落到实处，对“确诊”、“疑似”、“无法明确排除”和“确诊密接者”等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．若在排查期间，某小区有5人被确认为“确诊患者的密接接触”，现医护人员要对这5人进行逐一“单人单管”核酸检测，只要出现一例阳性，则该小区将被划为“封控区”．假设每人被确诊的概率为且相互独立，若当时，至少检测了4人该小区就被划为“封控区”的概率取得最大值，求．
附：，其中
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．【解答】解：对于①，在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.8个单位，故①正确；
对于②，用离差的平方和，即：作为总离差，并使之达到最小；
这样回归直线就是所有直线中取最小值的那一条，
由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和为最小”的方法叫做最小二乘法；
所以利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理；故②正确；
对于③，对分类变量与，对它们的随机变量的观测值来说，越小，则“与有关系”的把握程度越小，故③错误；
对于④，相关系数反映的是两变量之间线性相关程度的强弱，与回归直线斜率无关，题中样本数据的线性相关系数为，故④错误．
故选：．
2．【解答】解：因为，所以，，
即．，
所以．
故选：．
3．【解答】解：令，则，
，，
，
，
故，
当时，．
故选：．
二．多选题（共2小题）
4．【解答】解：对于，服从正态分布，且，于是得，故错误；
对于，由得，依题意得，，即，故正确；
对于，将8个相同的球放进三个不同的盒子，可以等价于在8个球中间插两个板，将它分成3份并对应放到三个不同盒子中，共有种分法，
要求每个盒子中球的数量不相同，考虑存在相同的情况，首先不可能三个盒子数量均相同，只有两个盒子数量相同共3种情况：1、1、6，2、2、4，3、3、2，有种放法，故正确；
对于，若样本数据，，，的方差为2，则数据的方差为，故错误．
故选：．
5．【解答】解：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故正确；
，，由得，故正确；
样本数据，，，的方差为4，则样本数据，，，的方差为，标准差为4，正确；
随机变量，若，则，
则，故错误．
故选：．
三．解答题（共3小题）
6．【解答】解：（1），故，
，故，
，
故和成线性正相关，满足一元回归模型．
（2），，
，当 时，．
7．【解答】解：（1），，
，，
．
新生儿数量与年份编号具有很强的负相关性；
（2），
．
．
取，得．
预测我国2025年的新生儿数量为472.7万人．
8．【解答】解：（1）根据统计数据，计算平均数为（天；
（2）依题意潜伏期不超过6天的抽取人，
所以超过6天的抽取人，
所以可得列联表如下：
潜伏期天 潜伏期天 总计
50岁以上（含 95 55 150
50岁以下 85 65 150
总计 180 120 300
零假设：潜伏期和年龄独立。
根据列联表计算，
所以没有的把握认为潜伏期与年龄有关；
（3）至少检测4人该小区被测定为“封控区”包含两种情况：
①检测4次被确定，②检测5次被确定，
则至少检测了4人该小区被确定为“封控区”的概率为，
设，
，
，当时，当时，
即在上单调递增，在上单调递减，
所以时函数取得极大值即最大值，
当时，最大，．

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