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新知一览
与三角形有关的线段
与三角形有关的角
三角形
三角形的高、中线与角平分线
三角形的边
三角形内角和
三角形的外角
多边形与内角和
多边形
多边形的内角和
直角三角形的判定和性质
三角形的稳定性
第 2 课时 直角三角形的性质和判定
第十一章 三角形
11.2.1 三角形的内角
观察下列视频，点 C 在射线 BC 上移动，移动过程中会形成不同类型(内角大小不同)的三角形 ABC，请依次画出.
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
问题 以上三种三角形的内角大小确定么？如果确定是多少呢？
知识点1：直角三角形的两个锐角互余
探究新知
合作探究
如图，在刚刚形成的直角△ABC 中，∠C＝90°，两锐角的和等于多少？
三角形内角和定理
∠A +∠B +∠C＝180°
∠A + ∠B＝90°
直角三角形的性质：
直角三角形的两个锐角_____.
互余
几何语言：
在 Rt△ABC 中，
∵∠C＝90°，
∴∠A +∠B＝90°．
“Rt△”
解法一 (利用平行线的判定和性质)：
∵∠B＝∠C＝90°，
∴ AB∥CD.
∴∠A＝∠D.
解法二 (利用直角三角形和对顶角的性质)：
∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠A + ∠AOB＝90°，∠D + ∠COD＝ 90°.
∵∠AOB＝∠COD，∴∠A＝∠D.
例1 (1) 如图①，∠B＝∠C＝90°，AD 交 BC 于点 O，∠A 与 ∠D 有什么关系？
图①
解：∠A＝∠C. 理由如下：
∵∠B＝∠D＝ 90°，
∴∠A + ∠AOB＝90°，∠C + ∠COD＝90°.
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A＝∠C.
(2)如图②，∠B ＝∠D ＝ 90°，AD 交 BC 于点 O，∠A 与∠C 有什么关系？请说明理由.
图②
与图①有哪些共同点与不同点？
例2 如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC 相交于点 E. ∠CAE 与 ∠DBE 有什么关系？为什么？
∠AEC＝∠BED
90° - ∠AEC＝90° -∠BED
∠CAE＝∠DBE
分析：
解：∵ CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E，
∴∠BEA＝∠BDF＝90°.
∴∠ABE +∠A＝90°，
∠ABE +∠DFB＝90°.
∴∠A＝∠DFB.
∵∠DFB +∠BFC＝180°，
∴∠A +∠BFC＝180°.
1.如图，△ABC 中，CD⊥AB 于 D，BE⊥AC于 E，CD，BE 相交于点 F，∠A 与∠BFC 又有什么关系？为什么？
通过前面的例题 ，你能画出这些题型的基本图形吗？
∠A + ∠B＝∠C + ∠D
8 字形
∠A＝∠D
∠A + ∠B＝∠C + ∠D
∠A＝∠C
知识点2：直角三角形的判定
如图，在 △ABC 中，∠A +∠B＝90°， 那么△ABC 是直角三角形吗？
问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
∠A +∠B +∠C ＝180°
∠A +∠B＝90°
∠C＝90°
直角三角形的判定：
有两个角_____的三角形是直角三角形.
互余
几何语言：
尝试翻译成几何语言.
在△ABC 中，
∵∠A +∠B＝90°，
∴△ABC 是直角三角形．
1.如图，在 △ABC 中：∠C＝90°，点 D 在 AC 上 DE∥AB，若∠CDE＝160°，则 ∠B 的度数为_____.
70°
延长 ED 交 BC 于点 F
∠DFC ＝ 20°
∠DFC ＝ 70°
DE∥AB
∠B ＝∠DFC＝70°
分析：
判定
直角三角形的性质和判定
有两个角_____的三角形是直角三角形
性质
直角三角形的两个锐角_____
互余
互余
基础练习
1.具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是 ( )
D
A. ∠A + ∠B = ∠C
B. ∠A = ∠B = ∠C
C. ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3
D. ∠A = 2∠B = 3∠C
2. 如图所示，△ABC 为直角三角形，∠ACB = 90°，
CD⊥AB，则与∠1 互余的角有 ( )
A. ∠B
B. ∠A
C. ∠BCD 和 ∠A
D. ∠BCD
C
3.如图，在 △ABC 中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为 D、E，∠AFD＝158°，求 ∠EDF 的度数.
解：∵∠AFD＝158°，
∴∠DFC＝180° -∠AFD＝22°.
∵FD⊥BC，∴∠FDC＝90°.
∴∠DFC +∠C＝90°.
∵ DE⊥AB，∴∠BED＝90°.
∴∠B +∠BDE＝90°.
∵∠B＝∠C，∴∠BDE＝∠DFC＝22°.
∴∠EDF＝180° -∠FDC -∠BDE
＝ 180° - 90° - 22°＝68°.

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