资源简介

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平面向量
概念及线性运算
向量的定义：有大小，有方向，以有向线段表示
零向量，单位向量
共线向量，相等向量，相反向量
加减法：三角形/平行四边形法则
数乘：
平面向量基本定理与三点共线充要条件
基本定理： ，不共线，任意向量可由唯一表示
三点共线充要条件：①
②，
鸡爪模型：
向量的数量积
，
投影：
坐标运算公式
1.，，则，
2.，，则 ，
3.，，
4.，
题型一 平面向量基本定理[把一个向量用另外两个向量表示，即]
例：在中，，，，求.
解：
题型二 遇模就平方
例：，，，求.
解：
（注意开方！）
题型三 数量积应用
求数量积常用方法：①拆分基底；②建系坐标；③极化恒等式
拆分基底[往已知边，夹角去拆，尤其注意直角]
例：在中，，，，求.
解：
建系坐标[题目中存在明显的直角，各点坐标易得]
例：边长为6的正三角形中，为中点，，与交于，求.
解：由三角形相似可知为中点，
，，
，，.
极化恒等式
中，为中点，则.
例：是边长为2的等边三角形，是平面内任一点，求.
解：取中点，则，取中点，
则.
三角形的四心
已知是平面内任一点
1. 为重心，重心是中线的交点且分中线成比例
2. 为的垂心，垂心是高的交点
3. 为的内心，内心是角平分线的交点[分别为角的对边]
4. 为的外心，外心是中垂线的交点
解三角形
一 正弦定理
（外接圆直径）
适用条件：(1)两角一边
(2)两边一对角，求角
[利用正弦定理求解两边一对角问题，由正弦值一般会得到互补的两个角，此时须观察与已知角相加是否超过，或是否满足题设要求的形状（如锐角）]
二 余弦定理
（和轮换）
适用条件：(1)已知三边
(2)已知两边一夹角
(3)已知两边一对角，求边
[遇到类似于式子时，也要想到余弦定理]
三 正余弦定理的应用
1.齐次式边角互化（通常解题第一步都是利用边角互化进行化简）
/
[当等式左右两边，分式上下同时出现边或角的正弦值的齐次式时，可用上式进行变形化简]
例：，求.
,.
2.
遇到式子含有,,,时，要想到往哪个方向去变形化简，因此对三角恒等变换的公式必须熟练.
3.三角形面积公式
题型一 正余弦结合求面积
例:中，已知，求周长
解：
[1.题中给了哪个角，一般就用这个角的正先来表示面积，余弦求边长；
2.出现两边之和/差时，将其完全平方会出现用于表示周长，面积，且余弦定理里边也有]
题型二 面积/周长最值问题(面积常用基本不等式找最值，周长除基本不等式外，还可以用三角函数)
例1:已知求
解：
例2:，求周长的最大值
法一：
法二：
，
注意：在限制三角形的形状后要注意角的范围
如：假设上题为锐角三角形
则
后续做法相同
复数
一 概念
形如的数叫复数，一般用表示，为实部，为虚部，为虚数单位.规定：
二 分类
三 复数相等
1.相等复数：实部和虚部分别对应相等，即：
2.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数，记作，即：
四 复数的运算
(1)加法：
(2)减法：
(3)乘法：
(4)除法：(分母实数化)
例:
五 复数的几何意义
复数与复平面上一一对应
复数的模，指复平面上到原点的距离，且
立体几何
一 空间几何体
【知识点】
多面体：由多个平面组成的几何体
旋转体：一个平面图形绕所在平面内一条定直线旋转一周形成的几何体
1.棱柱：(1)上下平面平行；(2)侧棱平行
直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；
正棱柱：底面为正多边形的直棱柱；
表面积：所有面积之和
侧面积：所有侧面面积之和
体积：
2.棱锥：(1)侧面是三角形；(2)侧棱交于一点
正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的投影为底面中心
(正四面体：四个面都是正三角形的三棱锥)
体积：
3.棱台：(1)上下底面平行；(2)侧棱交于一点.(用平行于底面的平面去截棱锥，得到平面与底面之间的几何体)
4.圆柱：以矩形的一条直角边为旋转轴
，，
5.圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴
，，
6.圆台：以直角梯形的直角边为旋转轴
，，
7.球：以半圆的直径为旋转轴
，
斜二测画法：
画法：平行于轴的，直观图中平行于，方向同理；
平行于轴的线段长度不变，平行于轴的长度减半.
二 点线面位置关系
1.线线关系
平行
相交
异面：不同在任一平面内的两条直线
2.线面关系
平行
相交
线在面内
3.面面关系
平行
相交
题型 异面直线夹角求解
方法：平移，通过平行使得两条直线在同一个平面内，再利用余弦定理求解
范围：
例：已知三棱锥的各棱长均相等，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为？
取中点，连结，
均为中点，
则异面直线与成角大小即为（或其补角）
设三棱锥棱长为，
在中，
异面直线与所成角的余弦值为
[当平移后直线不在几何体表面/内部时，可通过“补体”使其共面，常用于棱柱]
例：
解：向下补出相同三棱柱，，
异面直线与成角即为（或其补角），
再取利用余弦定理即可
三 平行证明
1.线面平行的判定定理
文字：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行
图形：
符号：
要点：找线线平行，通常采用中位线，平行四边形，长度比例关系找
2.线面平行的性质定理
文字：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
图形：
符号：
3.面面平行的判定定理
文字：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
图形：
符号：
4.面面平行的性质定理
文字：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
图形：
符号：
[面面平行的性质定理拓展]
文字：如果两个平面平行，那么一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面
图形：
符号：
四 垂直证明
1.线面垂直的判定定理
文字：一条直线与平面内两条相交直线垂直，则该直线与平面垂直.
图形：
符号：
2.线面垂直的性质定理
文字：直线与平面垂直，则直线与平面内任一直线垂直.
图形：
符号：
3.面面垂直的判定定理
文字：一条直线与平面垂直，则过该直线的任一平面与此平面垂直.
图形：
符号：
[注意：证明，要找内的直线垂直，还是内的直线垂直]
4.面面垂直的性质定理
文字：两个平面垂直，其中一个平面内有一条直线垂直两平面的交线，则该直线垂直于另外一个平面.
图形：
符号：
[提示：已知面面垂直则必找两平面交线及其垂线].
五 外接球
1.直四棱柱模型
墙角三棱锥
两两垂直
垂歪了的三棱锥(鳖臑)
，面
正四面体(或对棱相等的四面体)
各棱长均相等
有一条侧棱垂直于底面的四棱锥(阳马)
面
2.直三棱柱模型
面，底面外接圆直径通过
来求.
3.正棱锥模型
取，,
即,解出即可,
六 等体积法
三棱锥个面均为三角形，因此可以以任意一个面为底面，另一个点为顶点来求其体积.
例1:
在正方体中，，为中点，为棱上动点(包含)，求三棱锥的体积.
[分析：题目中所给的三棱锥底面是个不确定的平面，且点到平面的距离也一直在变化，但观察到没有变化，且点到平面的距离恒定]
故：.
注：除了换底求体积之外，等体积法在求点到面的距离中应用也非常广泛，由，，画线部分知道三项可求另外一项.
例2:
在如图所示三棱锥中，，面，，，，求点到平面的距离.
解：，
，
，，，，.
，代入式，
有，
.
[在算出点到面的距离之后，线面角也随之可求：
，，
.
距离即垂直，达到我们所需的线面垂直的条件]
七 空间角
1.线面角定义：平面内一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，.
要点：要找到与平面所成角的平面角，只需找到点在面的投影，即证明面即可.
例1：
在如图所示四棱锥中，底面为梯形，
面，，，，，，求与平面所成角.
解：由长度关系知，，，又面，，面，即为线面角的平面角，再利用勾股/余弦将求解即可.
2.二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所形成的图形，直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面，.
二面角的平面角：过二面角的棱上一点，在两个半平面内分别作，，则就叫做二面角的平面角[证明出交线面].
例2：
在如图所示四棱锥中，底面为正方形，
面，，，求二面角的余弦值.
解：连，显然，
面，,
，面，
过作，垂足为，连接，
面，，
，，面，
即为二面角的平面角，再将取出，利用余弦求角即可.
习题
1.(高2022届一中高一下期末5)已知，则向量与的夹角为　　
A． B． C． D．
2.(高2022届一外高一下6月月考8)已知，，则在方向上的投影为　　
A． B． C． D．
3.(高2022届七校联考高一下期末12)已知在中，，，，点为的外心，若，则实数的值为　　
A． B． C． D．
4.(高2022届康德卷高一下期末12)已知为所在平面内的一点，，，若点在线段上运动，则的最小值为　　
A． B． C． D．
5.(高2022届一中高一下期末9)已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且满足面积为，，，则的周长为　　
A． B． C． D．
6.(高2022届一外高一下6月月考10)在中，角、、所对的边分别为、、，且，若，则的形状是　　
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
7.(高2022届康德卷高一下期末11)在中，角，，的对边分别为，，，若，则角的最大值为　　
A． B． C． D．
8.(高2022届八中高一下期末12)在锐角中，若，且，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
9.(高2022届一中高一下期末19)已知，，分别为三个内角，，的对边，且满足：．
（1）求；
（2）若，且，求的面积．
10.(高2022届七校联考高一下期末21)已知，，分别是锐角的内角，，的对边，．
（1）求；
（2）若，且边上的高为，求的周长．
11.(高2021届南岸区高一下期末17)中，角，，所对边分别是、、，且．
（1）求的值；
（2）若，求面积的最大值．
12.(高2021届一中高一下期末21)在中，角，，所对的边分别为，，，，，，且．
（1）求角的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．
13.(高2021届一中高二下期末2)已知复数（其中是虚数单位），则　　
A． B． C．1 D．2
14.(高2022届八中高二下期中13)已知复数，则　　．
15.(高2022届南开高二下期中9)(多选)复数，则下列结论正确的是　　
A．的虚部为
B．在复平面内对应的点位于第一象限
C．
D．若，则
16.(2021八省联考10)(多选)设，，为复数，．下列命题中正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
17.(高2022届七校联考高二上期末5)设，是两条不同直线，，是两个不同平面，，下列说法正确的是　　
A．若，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，则
18.(高2021届一中高二上期末8)在三棱锥中，底面，是的中点，已知，，，，则异面直线与所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
19.(高2021届西附高二上期末15)设、、为三条不同的直线，、为两个不同的平面，下面给出四个命题：
①若，，则②若，、，、、则；
③若，，则④若且，，，则
其中假命题有　　（写出所有假命题的序号）
20.(高2021届南开高二上期末8)已知一个圆柱和圆锥等底等高，且圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则此圆锥和圆柱的表面积之比为　　
A． B． C． D．
21.(高2022届七校联考高二上期末11)(多选)在棱长为2的正方体中，点，，分别是线段，线段，线段上的动点，且，则下列说法正确的有　　
A．三棱锥的体积为定值
B．异面直线与所成的角为
C．的长的最小值为
D．点到平面的距离为
22.(高2021届南开高二上期末7)如图，在正方体中，是正方形的中心，、分别为棱、的中点，则　　
A．直线与共面 B．
C．平面平面 D．与所成角为
23.(高2021届南开高二上期末12)如图所示，直平行六面体的所有棱长都为2，，过体对角线的截面与棱和分别交于点、，给出下列命题中：
①四边形的面积最小值为；
②直线与平面所成角的最大值为；
③四棱锥的体积为定值；
④点到截面的距离的最小值为．
其中，所有真命题的序号为　　
A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④
24.(高2022届七校联考高二上期末14)已知三棱锥，三条侧棱长相等且两两互相垂直，则侧棱与底面所成的角的正切值　　．
25.(高2022届七校联考高二上期末9)设，，，是半径为的球的球面上四点，是以为斜边的等腰直角三角形且其面积为16，若三棱锥体积的最大值为，则该球的表面积为　　
A． B． C． D．
26.(高2021届西附高二上期末10)已知四棱锥中，平面平面，其中为边长为4的正方形，为等腰三角形，，则四棱锥外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
27.(高2021届南开高二上期末16)四面体中，，，，二面角的大小为，则该四面体外接球的体积为　　．
28.(高2021届南开高二上期末21)如图，在直角梯形中，，为边上的点，且，现将沿折起到达的位置（折起后点记为，并使得．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）设，
若点在线段上，且满足，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值
（ⅱ）设是的中点，则在内（含边界）是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由．
29.(高2021届七校联考高二上期末21)如图：多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，，．
（1）求证：平面；
（2）线段上一点，若锐二面角的正弦值为，求．
30.(高2022届七校联考高二上期末21)如图，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的正弦值．
31.(高2022届缙云教育联盟高二上期末19)已知中，，，，分别取边，的中点，，将沿折起到△的位置，设点为棱的中点，点为的中点，棱上的点满足．
（1）求证：平面；
（2）试探究在的折起过程中，是否存在一个位置，使得三棱锥的体积为18，若存在，求出二面角的大小，若不存在，请说明理由．
32.(高2022届九龙坡联考高一下期末8)已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
137　966　191　925　271　932　812　458　569　683
431　257　393　027　556　488　730　113　537　989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为　　
A．0.40 B．0.35 C．0.30 D．0.25
33.(高2022届七校联考高一下期末10)2019年底，武汉发生新冠肺炎疫情，2020年初开始蔓延．党中央，国务院面对“突发灾难”果断采取措施，举国上下万众一心支援武汉，全国各地医疗队陆续增援湖北，纷纷投身疫情防控与救治病人之中，为了协助“抗疫英雄”的工作，武汉洪山区某街道办事处有志愿者甲、乙、丙、丁4人，俩人分成一组，进行测量体温，街道喷药消毒，搬运物资等等工作，则甲、乙志愿者在同一组的概率为　　
A． B． C． D．
34.(高2022届七校联考高一下期末20)重庆市实验中学高一年级全体学生的一次某学科考试成绩（单位：分）分成5组得到的频率分布直方图，如图所示其中落在，内的频数为280．
（1）请根据图中所给数据，求出及本次考试成绩的众数；
（2）从这5组中按分层抽样的方法选取40名学生的成绩作为一个样本，在，与，内的样本中，再随机抽取两名学生的成绩，求所抽取两名学生成绩的平均分低于70分的概率．
习题解析
1.(高2022届一中高一下期末5)已知，则向量与的夹角为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，，所以；
又，
即，
所以，
解得；
又，，
所以向量与的夹角．
故选：．
2.(高2022届一外高一下6月月考8)已知，，则在方向上的投影为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
在方向上的投影为．
故选：．
3.(高2022届七校联考高一下期末12)已知在中，，，，点为的外心，若，则实数的值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：中，，，，
则，
，，
又，同理可得：，代入上式，
，解得：，，
故选：．
4.(高2022届康德卷高一下期末12)已知为所在平面内的一点，，，若点在线段上运动，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，画图如下，
根据题意及图，可知
，，
，
，
整理，得，
则
，
设，很明显，，
故
，
根据二次函数的性质，可知：
当时，取得最小值为．
故选：．
5.(高2022届一中高一下期末9)已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且满足面积为，，，则的周长为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
，
，
为锐角三角形，
，
，
，
由余弦定理可得，
，
，
的周长为，
故选：．
6.(高2022届一外高一下6月月考10)在中，角、、所对的边分别为、、，且，若，则的形状是　　
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解答】解：在中，，，
，．
，
，
代入，，解得．
的形状是等边三角形．
故选：．
7.(高2022届康德卷高一下期末11)在中，角，，的对边分别为，，，若，则角的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
为三角形内角，，且在上单调递减，
故，
角的最大值为，
故选：．
8.(高2022届八中高一下期末12)在锐角中，若，且，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：由，得，，
，．
由正弦定理知，，
由余弦定理知，，
，，化简整理得，，
，，
由正弦定理，有，，，
锐角，且，，，解得，，
，
，，，，，，
的取值范围为，．
故选：．
9.(高2022届一中高一下期末19)已知，，分别为三个内角，，的对边，且满足：．
（1）求；
（2）若，且，求的面积．
【解答】解：（1），
由正弦定理以及，可得，
，
，
，
，
，
，
；
（2），，
由余弦定理可得，①
又，，
两边平方，可得，
，可得，②
②①可得：，
．
10.(高2022届七校联考高一下期末21)已知，，分别是锐角的内角，，的对边，．
（1）求；
（2）若，且边上的高为，求的周长．
【解答】解：（1）因，故，（2分）
由于，可得，
可得，
可得，（4分）
因为为锐角三角形，故，，为锐角，，
可得，得，
故．（6分）
（2）由的面积，得，（8分）
可得，（10分）
所以的周长为．（12分）
11.(高2021届南岸区高一下期末17)中，角，，所对边分别是、、，且．
（1）求的值；
（2）若，求面积的最大值．
【解答】解：（1）
；
（2），可得，
由余弦定理可得
，
即有，当且仅当，取得等号．
则面积为．
即有时，的面积取得最大值．
12.(高2021届一中高一下期末21)在中，角，，所对的边分别为，，，，，，且．
（1）求角的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．
【解答】解：（1），，，且，
，
利用正弦定理化简得：，即，
，
，
；
（2）由（1）得，即，
又为锐角三角形，
，
解得：，
，
由正弦定理得：，
，，
，
，，
，即，
则的取值范围为．
13.(高2021届一中高二下期末2)已知复数（其中是虚数单位），则　　
A． B． C．1 D．2
【解答】解：复数，
，
故选：．
14.(高2022届八中高二下期中13)已知复数，则　　．
【解答】解：因为，所以，
则．
故答案为：15．
15.(高2022届南开高二下期中9)(多选)复数，则下列结论正确的是　　
A．的虚部为
B．在复平面内对应的点位于第一象限
C．
D．若，则
【解答】.
16.(2021八省联考10)(多选)设，，为复数，．下列命题中正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【解答】解：由复数的形式可知，选项错误；
当时，有，
又，
所以，故选项正确；
当时，则，
所以，故选项正确；
当时，则，
可得，
所以，故选项错误．
故选：．
17.(高2022届七校联考高二上期末5)设，是两条不同直线，，是两个不同平面，，下列说法正确的是　　
A．若，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，则
【解答】解：由，是两条不同直线，，是两个不同平面，，得：
对于，若，则或，故正确；
对于，若，，则由线面垂直的判定定理得，故正确；
对于，若，，，则与不一定垂直，故错误；
对于，若，，则与相交、平行或异面，故错误．
故选：．
18.(高2021届一中高二上期末8)在三棱锥中，底面，是的中点，已知，，，，则异面直线与所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：在三棱锥中，底面，是的中点，
，，，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，，，，0，，，0，，，，，
，，，，，，
设异面直线与所成角为，
则．
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
19.(高2021届西附高二上期末15)设、、为三条不同的直线，、为两个不同的平面，下面给出四个命题：
①若，，则②若，、，、、则；
③若，，则④若且，，，则
其中假命题有　　（写出所有假命题的序号）
【解答】解：①若，，则或，故①为假命题；
②若，、，、，当与相交时，，当时，与不一定垂直，故②为假命题；
③若，，则，故③正确；
④若且，，则，又，则或与相交或与异面，故④为假命题．
故答案为：①②④．
20.(高2021届南开高二上期末8)已知一个圆柱和圆锥等底等高，且圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则此圆锥和圆柱的表面积之比为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设圆柱和圆锥的底面半径为，
圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，圆锥的高，圆锥的母线，
圆柱的高，
圆锥的表面积，圆柱的表面积，
圆锥和圆柱的表面积之比为：，
故选：．
21.(高2022届七校联考高二上期末11)(多选)在棱长为2的正方体中，点，，分别是线段，线段，线段上的动点，且，则下列说法正确的有　　
A．三棱锥的体积为定值
B．异面直线与所成的角为
C．的长的最小值为
D．点到平面的距离为
【解答】解：对于，，因为不是定值，所以错；
对于，因为，所以异面直线与所成的角为，为，
因为△为正三角形，从而，所以对；
对于，将空间四边形展开成平面图形，线段最短，长度为：
，所以对；
对于，过作交于，点到平面的距离等于
点到平面的距离等于，所以错；
故选：．
22.(高2021届南开高二上期末7)如图，在正方体中，是正方形的中心，、分别为棱、的中点，则　　
A．直线与共面 B．
C．平面平面 D．与所成角为
【解答】解：在正方体中，是正方形的中心，
、分别为棱、的中点，
在中，，，直线与异面，故错误；
在中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为2，
则，0，，，2，，，1，，，2，，
，0，，，1，，
，，故正确；
在中，，1，，，2，，
，1，，，2，，，1，，，1，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，2，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
，不共线，平面与平面不平行，故错误；
在中，，1，，，0，，，0，，
，，
与所成角不为，故错误．
故选：．
23.(高2021届南开高二上期末12)如图所示，直平行六面体的所有棱长都为2，，过体对角线的截面与棱和分别交于点、，给出下列命题中：
①四边形的面积最小值为；
②直线与平面所成角的最大值为；
③四棱锥的体积为定值；
④点到截面的距离的最小值为．
其中，所有真命题的序号为　　
A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④
【解答】解：在①中，当、分别是棱和的中点时，
，，
此时，四边形的面积取最小值为：，故①正确；
在②中，连结，，交于点，
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
，1，，，0，，，1，，
设，，，则，0，，，0，，
，，，，0，，，0，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
设直线与平面所成角为，
则，
当时，即当时，直线与平面所成角的最大值为，故②错误；
在③中，，平面．
四棱锥的体积为定值，故③正确；
在④中，，，，，，0，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
此时点到截面的距离的最小值为：
，
当时，．故④错误．
故选：．
24.(高2022届七校联考高二上期末14)已知三棱锥，三条侧棱长相等且两两互相垂直，则侧棱与底面所成的角的正切值　　．
【解答】解：三棱柱，三条侧棱长相等且两两互相垂直，
不妨直接将三棱锥放入正方体中，
设三棱锥的侧棱长为1，
则，，
过点作平面的垂线，垂足为，则为的重心，
所以，
由勾股定理可得，，
又侧棱与底面所成的角为，
在中，，
所以侧棱与底面所成的角的正切值为．
故答案为：．
25.(高2022届七校联考高二上期末9)设，，，是半径为的球的球面上四点，是以为斜边的等腰直角三角形且其面积为16，若三棱锥体积的最大值为，则该球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
是斜边的等腰直角三角形且面积为16，
故其直角边长为，斜边长为8，
则当位于直径的端点时，三棱锥体积取最大值为，
由，，，可得斜边上的高，
由，解得，
则．
球的直径为，
则球的半径为：．
该球的表面积为．
故选：．
26.(高2021届西附高二上期末10)已知四棱锥中，平面平面，其中为边长为4的正方形，为等腰三角形，，则四棱锥外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：取的中点，连接，
中，，，，
设的中心为，球心为，则，
设到平面的距离为，则，
，，
四棱锥的外接球的表面积为．
故选：．
27.(高2021届南开高二上期末16)四面体中，，，，二面角的大小为，则该四面体外接球的体积为　　．
【解答】解：由，，二面角的大小为可得，
即三角形为等边三角形，设三角形的外接圆半径为，则，所以，
，，，面，将此三棱锥放在直三棱柱中，
设三棱锥的外接球的半径为，则，所以，
所以外接球的体积，
故答案为：．
28.(高2021届南开高二上期末21)如图，在直角梯形中，，为边上的点，且，现将沿折起到达的位置（折起后点记为，并使得．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）设，
若点在线段上，且满足，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值
（ⅱ）设是的中点，则在内（含边界）是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）证明：，，，平面．
平面，，，，
平面．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，故，，两两垂直，
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
，0，，，2，，，2，，，0，，
设平面与平面所成的锐二面角为，
，，
，
设是平面的一个法向量，
则，即，取，得；
是平面的一个法向量，
则，
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
（ⅱ）法一：存在，点为棱中点时，满足平面，
下证之：取中点，连结，，
则，四边形为平行四边形，
又等腰直角中，，，
平面，平面，，
又，平面，平面．
法二：设存在平面上的点符合题意，
，为实数，且，，，
，，，
等腰直角，斜边上的中线垂直于平面，
则是平面的一个法向量，
则，即，解得，
此时，即平面上存在点，
当为中点时，平面．
29.(高2021届七校联考高二上期末21)如图：多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，，．
（1）求证：平面；
（2）线段上一点，若锐二面角的正弦值为，求．
【解答】解：（1）证明：四边形为矩形，，面，平面，
，面，面，
，，面，面面，
面，面．
（2）解：由题意知：，，
即为二面角的平面角，，面，
在平面上过作，，
，，两两垂直，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示直角坐标系
设，则，，，，，3，，
面，面法向量，
设面法向量为，，，
则，得，令得，，
，
，解之可得：，（舍
．
30.(高2022届七校联考高二上期末21)如图，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：如图，取的中点，的中点，连接，，，
因为，，是的中点，所以，，
又，所以平面，平面，，
，是的中点，所以，
因为平面平面．平面平面，平面，所以平面．
又平面，所以，且，
平面；
（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，0，，，0，，，，，，，，
则，，0，，，，，
设平面的法向量为，，，
由可得，，，
设与平面所成角的为，
则，，解答．
从而，2，，，，，
设平面的法向量为，
，可得，
，，
故平面与平面所成角的正弦值为．
31.(高2022届缙云教育联盟高二上期末19)已知中，，，，分别取边，的中点，，将沿折起到△的位置，设点为棱的中点，点为的中点，棱上的点满足．
（1）求证：平面；
（2）试探究在的折起过程中，是否存在一个位置，使得三棱锥的体积为18，若存在，求出二面角的大小，若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：取中点，连接，，
为棱的中点，且，
在中，，为边，的中点，则，且，
，即，且，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面．
（2）解：在中，，，，
在立体图中，，，
，是二面角的平面角，且平面，
平面，平面平面，
在面内，作于，则平面，为三棱锥的高．
，
，
解得，到的距离为6，
当为锐角时，，，
符合要求的的位置存在，且二面角的大小为或．
32.(高2022届九龙坡联考高一下期末8)已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
137　966　191　925　271　932　812　458　569　683
431　257　393　027　556　488　730　113　537　989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为　　
A．0.40 B．0.35 C．0.30 D．0.25
【解答】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：137、271、932、812、431、393、．
共6组随机数，
所求概率为，
故选：．
33.(高2022届七校联考高一下期末10)2019年底，武汉发生新冠肺炎疫情，2020年初开始蔓延．党中央，国务院面对“突发灾难”果断采取措施，举国上下万众一心支援武汉，全国各地医疗队陆续增援湖北，纷纷投身疫情防控与救治病人之中，为了协助“抗疫英雄”的工作，武汉洪山区某街道办事处有志愿者甲、乙、丙、丁4人，俩人分成一组，进行测量体温，街道喷药消毒，搬运物资等等工作，则甲、乙志愿者在同一组的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：甲、乙、丙、丁4人，俩人分成一组，进行测量体温，街道喷药消毒，搬运物资等等工作，
则可能的分组有：甲乙，丙丁；甲丙，乙丁；甲丁，乙丙，包含的基本事件总数，
其中，甲、乙志愿者在同一组的情况只有一种：甲乙，丙丁，
则甲、乙志愿者在同一组的概率．
故选：．
34.(高2022届七校联考高一下期末20)重庆市实验中学高一年级全体学生的一次某学科考试成绩（单位：分）分成5组得到的频率分布直方图，如图所示其中落在，内的频数为280．
（1）请根据图中所给数据，求出及本次考试成绩的众数；
（2）从这5组中按分层抽样的方法选取40名学生的成绩作为一个样本，在，与，内的样本中，再随机抽取两名学生的成绩，求所抽取两名学生成绩的平均分低于70分的概率．
【解答】解：（1）因为，
所以，
本次考试成绩的众数为75．
（2），这组中应抽：人，记作，，
，这组中应抽：人，记作，，，
那么从这两组中抽取2个人有：
，，，，，，，，，，共10种情况，
其中平均分低于70分有1种：，
所以所抽取两名学生成绩的平均分低于70分的概率为．
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