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综合专题讲解—手拉手模型
第十二章 全等三角形
一、手拉手模型的定义
1. 定义：两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形.(左手拉左手，右手拉右手)
2. 满足条件：
两个等腰三角形(也可以是等边三角形、正方形等)；
共顶点；
顶角相等.
A(头)
B(左手)
C(右手)
A(头)
B(左手)
C(右手)
二、手拉手模型的类型
手拉手模型的类型主要有：“等腰△+等腰△”；“等腰直角△+等腰直角△”；“等边△+等边△”；“正方形+正方形”、“正方形+等腰直角△”.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
等腰△+等腰△
等腰直角△+等腰直角△
B
A
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
等边△+等边△
正方形+正方形
正方形+等腰直角△
“等腰△+等腰△”
观察：△ADE 在绕着顶点 A 旋转的过程中，△ABD 与△ACE 是否一直全等？
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
证明以下重要结论：
△ABD≌△ACE
BD = CE
∠BFC = ∠BAC = ∠DAE
A
B
C
D
E
F
例1 已知：△ABC、△ADE 都是等腰三角形，且∠BAC =∠DAE，连接 CE，BD，线段 BD 与 AC 交于 G 点，且其延长线交 CE 于 F 点.
G
解：∵△ABC、△ADE 都是等腰三角形，
∴ AB = AC，AD = AE.
又∵∠BAC = ∠DAE，
∴∠BAC + ∠CAD =∠DAE +∠CAD，
即∠BAD = ∠CAE.
在△ABD 和△ACE 中
∴ △ABD≌△ACE(SAS).
∴ BD = CE.
∴ ∠ABD =∠ACE.
∵ ∠BGC =∠ABD +∠BAC = ∠ACE + ∠BFC，
∴ ∠BFC = ∠BAC =∠DAE.
A
B
C
D
E
F
G
1. 如图，已知 AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE，∠BAD = 22°，∠ACE = 30°，则∠ADE 的度数是_______.
A
B
C
D
E
F
52°
练一练
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
“等腰直角△+等腰直角△”
观察：△ADE 在绕着顶点 A 旋转的过程中，△ABD 与△ACE 是否一直全等？
证明重要结论：
△ABD≌△ACE；
BD = CE；
BD 的延长线 BF⊥CE；
例2 已知：△ABC、△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC = ∠DAE = 90°，连接 CE，BD，线段 BD 延长线交 CE 于 F 点.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
解：∵△ABC、△ADE 都是等腰直角三角形，
∴ AB = AC，AD = AE.
在△ABD 和△ACE 中，
∴ △ABD≌△ACE(SAS).
∴ BD = CE.
∴ ∠ABD = ∠ACE.
∵ ∠BDC = ∠ABD + ∠BAC
=∠ACE + ∠BFC，
∴ ∠BFC = ∠BAC = 90°.
∴ BF⊥CE.
练一练
2. 如图，△ABC、△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC = ∠DAE = 90°，连接 BD、CE 交于点 F.
(1) 求证：BD = CE； (2) 求证：BD⊥CE.
解：(1)∵△ABC、△ADE 都是等腰直角三角形，
∴ AB = AC，AD = AE.
∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°，
∴ ∠BAC +∠DAC = ∠DAE + ∠DAC，
即∠BAD = ∠CAE.
A
B
C
D
E
F
在△ABD 和△ACE 中
∴ △ABD≌△ACE(SAS).
∴ BD = CE.
A
B
C
D
E
F
AB = AC，
∠BAD =∠CAE，
AD = AE，
(2)∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD =∠ACE.
∵∠CGB = ∠ABD + ∠CAB =∠ACE + ∠CFG，
∴∠CFG = ∠CAB = 90°.
∴ BD⊥CE.
G
B
A
C
D
E
B
A
C
D
E
“等边△+等边△”
典型图形讲解
重要结论：
△ABD≌△ACE
BD = CE
BD 与 CE 的夹角(锐角)为 60°
△ABH≌△ACG(BH = CG)
△AEG≌△ADH(EG = DH)
FA 平分∠CFD
GH∥CD
CF = AF + BF
B
A
C
D
E
F
G
H
∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，
∴ AB = AC，AD = AE，∠1 = ∠2 = 60°.
∴ ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3，即∠BAD = ∠CAE.
在△ABD 和△ACE 中
∴△ABD≌△ACE (SAS).
∴ BD= CE，∠4=∠5，∠7=∠8.
∵∠BGC = ∠2 +∠4 =∠5 +∠6，
∴∠2=∠6=60°，即 BD 与 CE 所成的夹角(锐角)为 60°.
B
A
C
D
E
F
G
H
1
4
2
8
5
6
7
AB = AC，
∠BAD =∠CAE，
AD = AE，
3
∵∠1 =∠2 = 60°，
∴∠3 = 180° - ∠1 - ∠2 = 60°.
∴∠1 = ∠2 = ∠3.
在△ABH 和△ACG 中，
∴△ABH≌△ACG (ASA).
∴ BH = CG，AH = AG.
B
A
C
D
E
F
G
H
1
4
2
8
5
6
7
∠3 =∠2，
AB = AC，
∠5 =∠4，
3
在△AEG 和△ADH 中
∴△AEG≌△ADH(ASA).
∴ EG = DH.
∵ AG = AH，∠3 = 60°，
∴△AGH为等边三角形.
∴∠AGH = 60°.
∴∠AGH = ∠2.
∴ GH∥CD.
B
A
C
D
E
F
G
H
1
4
2
8
5
6
7
∠3 =∠1，
AE = AD，
∠7 =∠8，
3
过 A 点作 AN⊥BD，AM⊥CE，垂足分别为 N，M.
∵△ABD≌△ACE，
∴S△ABD = S△ACE.
∵ S△ABD = BD · AN，
S△ACE = CE · AM
又∵ BD = CE，∴ AN = AM.
∵ AN⊥BD，AM⊥CE，且 AN = AM，
∴ FA 平分∠CFD.
B
A
C
D
E
M
N
F
在△BAF 和△BCK 中，
∴△BAF≌△BCK(SAS).
∴ AF = CK. ∴CF = CK + KF = AF + BF.
在线段 CF上截取 KF = BF.
∵ KF = BF，∠6 = 60°，
∴△BFK 是等边三角形
∴ BF = BK，∠KBF = 60°.
又∵△ABC 是等边三角形，
∴ BA = BC，∠CBA = 60°.
∴∠5 +∠10 = ∠9 +∠10 = 60°.∴∠5 = ∠9.
B
A
C
D
E
F
G
H
1
4
2
8
5
6
7
K
BA = BC，
∠5 =∠9，
BF = BK，
9
10
3. 如图，C 为线段 AE 上一动点（不与 A，E 重合），在 AE 同侧分别作等边△ABC 和等边△ECD，AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连接 PQ，则有以下五个结论：
① AD = BE； ② PQ∥AE；
③ AP = BQ； ④ DE = DP；
⑤∠AOB = 60°．
其中正确的结论有___________.
①②③⑤
练一练
B
A
C
D
E
P
Q
O

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