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圆的有关性质
点和圆、直线和圆的位置关系
正多边形和圆
圆
弧、弦、圆心角
新知一览
圆
点和圆的位置关系
切线长定理及三角形的内切圆
圆周角
切线的判定与性质
垂直于弦的直径
弧长和扇形面积
弧长和扇形面积
圆锥的侧面积和全面积
直线与圆的位置关系
24.3 正多边形和圆
第二十四章 圆
下图的这些图案，都是我们在日常生活中经常看到的.你能从这些图案中找出基本的几何图形吗
知识点 1：圆的内接正多边形
问题 下面图形统称为什么图形，各边和各内角什么特点呢？怎么样由圆得到这种图形呢？
正多边形
各边相等
各内角相等
弦相等
圆周角相等
圆上弧相等
下面以圆内接正五边形为例进行证明作法的正确性.
证明：如图，把⊙O 分成相等的 5 段弧，依次连接各分点得到正五边形 ABCDE.
∴∠A =∠B. 同理 ∠B =∠C =∠D =∠E.
又∵五边形 ABCDE 的顶点都在⊙O 上，
∴五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，⊙O 是五边形 ABCDE 的外接圆.
O
总结
像上面这样，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆.
能否类比圆学习一下圆内正多边形.
类比学习
圆内接正多边形
外接圆的圆心
正多边形的中心
外接圆的半径
正多边形的半径
每一条边所
对的圆心角
正多边形的中心角
圆心到弦的距离
正多边形的边心距
正多边形的边数 边长 半径 边心距 周长 面积
3 2
4 2
6 2
1
8
4
2
12
例1 如图，有一个亭子，它的地基半径为 4 m 的正六边形，求地基的周长和面积(结果保留小数点后一位).
抽象成
亭子地基的面积
解：连接 OB，过点 O 作 OP⊥BC 于 P.
亭子地基的周长 l = 6×4 = 24 (m)，
2. 作边心距，构造直角三角形.
1. 连半径，得中心角；
O
边心距 r
边长一半
半径 R
B
P
中心角一半
圆内接正多边形的辅助线:
总结
1. 如图，已知 ⊙O 的周长等于 6π，则该圆内接正六边形 ABCDEF 的边心距 OG 为 ( )
C
2. 如图，正六边形ABCDEF 内接于 ⊙O ，点 M 在 上，则 ∠CME 的度数为 ( )
A.30° B.36°
C.45° D.60°
D
请探索其他等分圆周的方法作任意的正 n 边形.
先作圆心角
再截等弧
知识点 2：正多边形作图
合作探究
量角器等分圆周
正三角形为例.
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？
计算圆心角
(旋转角)
旋转作图等分圆周
正三角形为例.
A
C
B
n=120°
尺规作图等分圆周
正六边形为例.
总结
正多边形作图多样，要注意每种方法作图限制及原理.
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正多边形的性质
正多边形和圆
圆内接正多边形
正多边形作图
各边____，各内角____
中心
半径
边心距
中心角
相等
相等
1. 在半径 R 的圆上依次截取等于 R 的弦，顺次连接各分点得到的多边形是 ( )
A.正三角 B.正方形
C.正五边形 D.正六边形
D
2. 已知正六边形 ABCDEF 内接于⊙O ，正六边形的周长是 24 ，则⊙O 的半径长是 ( )
O
30°
24÷6÷2 = 2
R
B
P
B
3. 如图，已知点 O 是正六边形 ABCDEF 的对称中心，G，H 分别是 AF，BC 上的点，且 AG = BH．
(1) 求∠FAB 的度数；
(2) 求证：OG = OH．
(1) 解：∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形，
O
∴∠FAB = .
(2) 证明：连接 OA、OB.
∵ OA = OB，
∴∠OAB =∠OBA.
∵∠FAB =∠CBA，
∴∠OAG =∠OBH.
∴△AOG≌△BOH (SAS).
∴ OG = OH．
又∵ AG = BH，
O
拓广探索：如图，M，N 分别是☉O 内接正多边形的边AB，BC 上的点，且 BM = CN.
(1) 图①中∠MON = °，图②中∠MON = °，
图③中∠MON = °；
(2) 试探究∠MON 的度数与正 n 边形的边数 n 的关系.
90
72
120
.
A
B
C
M
N
O
图①
A
B
C
D
M
N
O
图②
A
B
C
D
E
M
N
O
图③

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