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新知一览
随机事件与概率
用频率估计概率
概率初步
随机事件
用列举法求概率
概率
运用直接列举或列表法求概率
画树状图法求概率
25.3 用频率估计概率
第二十五章 概率初步
新课导入
点击观看视频：(“NBA”某一年赛季，科比·布莱恩罚球片段)
想一想 科比·布莱恩罚进的概率有多大？
这一年赛季科比·布莱恩罚篮命中率为 90.8%.
引例 科比·布莱恩罚篮命中率是怎么统计出来的？
罚球的概率有没有规律，或者说有没有其他的办法探求概率呢？
这个比值叫什么？
这一年赛季的罚中个数与罚球总数的比值
知识点：用频率估计概率
探究新知
问题1 抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面向上”的概率为 0.5，这个概率能否利用刚才计算投篮命中率的方法，即统计很多次掷硬币的结果来得到呢？
活动探究
全班共分 10 个小组，每小组 5 人，共抛掷硬币 合计 50 次，推荐组长一名，组长不参与抛掷.
(1) 抛掷要求：
① 抛掷时，请将书本、文具收入课桌内；
② 一小组分两人一对，各对完成 25 次抛掷，一人抛掷硬币，一人画 “正”记数，抛掷一次划记一次，“正面向上”一次划记一次，将结果填入表1；
姓名 抛掷次数 划记 正面向上的次数 划记
25
表1：个人抛掷硬币情况统计表
③ 抛的高度要达到自己坐姿时的头顶，请将书本、文具收入课桌内；
(2) 组长职责：① 检查组员抛掷是否符合要求；
② 收集本组数据，把数据计算后录入小组抛掷统计
表 2.
表2：小组抛掷硬币情况统计表
小组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
“正面向上”的次数 m
“正面向上”的频率
(3) 填写硬币抛掷统计表 3 ：将第一组数据填在第一列，第一二组的数据之和填在第二列，······十组的数据之和填在第十列. 同时在图 1 中描点.
表3：硬币抛掷情况统计表
小组 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
“正面向上”的次数 m
“正面向上”的频率
1组
2组
3组
4组
5组
6组
7组
8组
9组
10组
“正面向上”的频率
组别
0.5
1
(1) 随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率
在哪个数字的附近摆动？
(2) 随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率
在 0.5 附近摆动的幅度有何规律？
图1
问题探究：
当增加试验次数，看看有什么新的发现.历史上有许多数学家做了如下试验
试验者 抛掷次数 n “正面向上”次数 m “正面向上”
频率( )
棣莫弗 2 048 1 061 0.518 1
布 丰 4 040 2 048 0.506 9
费 勒 10 000 4 979 0.497 9
皮尔逊 12 000 6 019 0.501 6
皮尔逊 24 000 12 012 0.500 5
(3) 观看折线图2，频率在 0.5 附近摆动的幅度有何规律？
“正面向上”的频率
2048
抛掷次数n
4040
10000
12000
24000
0.5
1
在 0.5 附近摆动的幅度越来越小
与图1 反映的规律为什么不同？
图2
(4) 出现的规律与试验次数有什么关系？
(5) 当“正面向上”的频率逐渐稳定于 0.5 时，“反面向上”的频率呈现什么规律？ 概率与频率稳定值的关系是什么呢？
试验次数越多，频率越接近于 0.5，即频率稳定于概率.
同样频率逐渐稳定于 0.5. 概率就是频率稳定值.
所以可以用计算罚篮球命中率的方法来得到硬币“正面向上”的概率.
归纳总结
一般地，在大量重复试验下，随机事件 A 发生的频率 (这里 n 是试验总次数，它必须相当大，m 是在这 n 次试验中随机事件 A 发生的次数) 会稳定到某个常数 p. 于是，我们用 p 这个常数表示事件 A 发生的概率，即
P(A) = p.
判断正误:
(1) 连续掷一枚质地均匀硬币 10 次，结果 10 次全部是正面，则正面向上的概率是 1.
(2) 小明掷硬币 10000 次，则正面向上的频率在 0.5 附近.
(3) 设一大批灯泡的次品率为 0.01，那么从中抽取 1000 只灯泡，一定有 10 只次品.
错误
错误
正确
练一练
问题2 投一枚图钉，你能根据上面的方法估计出“钉尖朝上”的概率吗？
追问1 动手做试验前，先猜一猜：“钉尖朝上”的可能性大还是“钉尖朝下”的可能性大？“钉尖朝上”的概率大约是多少？
追问2 如何获得这一概率值？
(1) 选取 20 名同学，每位学生依次使图钉从高处落下 20
次，并根据试验结果填写下表.
试验累计次数 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
钉帽着地的次数(频数) 9 19 36 50 61 68 77 84 95 109
钉帽着地的频率(%) 45 47.5 60 62.5 61 57 55 52.5 53 54.5
试验累计次数 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400
钉帽着地的次数(频数) 122 135 143 155 162 177 194 203 215 224
钉帽着地的频率(%) 55 56.25 55 55 54 55 57 56.4 56.6 56
20
60
钉帽着地的频率(%)
试验累计次数
50
100
56.5 (%)
100
140
400
200
300
(2) 根据上表画出统计图表示“顶帽着地”的频率.
∴“钉尖朝上”的概率为 56.5%.
追问3 能否用列举法求上述随机试验？为什么？用频率估计概率与用列举法求概率在实用范围上有什么不同？
不能.用列举法求概率仅适用于“各种结果出现的可能性相等”的随机事件，用频率估计概率不受这个条件限制.
问题3 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么具体做法？
在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率，随着移植数 n 越来越大，频率 会越来越稳定，于是就可以把频率作为成活率的估计值.
右表是一张模拟的统计表，请补全表中空缺.
移植总数n 成活数m 成活的频率
10 8 0.80
50 47
270 235 0.870
400 369
750 662
1 500 1 335 0.890
9 000 8 073
14 000 12 628 0.902
0.940
0.923
0.883
0.897
随着移植数的增加，幼树移植成活的频率有什么趋势？
从上表可以发现，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定，当移植总数为 14000 时，成活的频率为 0.902，于是可以估计幼树移植成活的概率为_______.
想一想
0.9
问题4 　某水果公司以 2 元/ kg 的成本价新进 10 000 kg柑橘．如果公司希望这些柑橘能够获得利润 5 000 元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
分析：首先要确认损坏的柑橘有多少，可以通过统计“柑橘损坏率”进行确认.
柑橘在运输、储存中会有损坏，公司必须估算出可能损坏的柑橘总数，以便将损坏的柑橘的成本折算到没有损坏的柑橘售价中.
柑橘总质量 n /kg 损坏柑橘质量 m /kg 柑橘损坏的频率 （结果保留小数点后三位）
50 5.50 0.110
100 10.50 0.105
150 15.15
200 19.42
250 24.25
300 30.93
350 35.32
400 39.24
450 44.57
500 51.54
0.101
0.097
0.097
0.103
0.101
0.098
0.099
0.103
填完表后，从上表可以看出，随着柑橘质量的增加，柑橘损坏的频率越来越稳定，于是可以估计柑橘损坏的概率为_________(结果保留小数点后一位).
由此可知，柑橘完好的概率为________.
0.1
0.9
想一想
　解：根据估计的概率可以知道，在 10 000 kg 柑橘中完好柑橘的质量为
　　 10 000×0.9＝9 000(kg)．
设每千克柑橘售价为 x 元，则
　　 9 000x - 2×10 000＝5 000．
　　解得 x ≈ 2.8 (元)．
　　因此，出售柑橘时，每千克定价大约 2.8 元可获利润 5 000 元．
频率与概率的关系
联系： 频率 概率
事件发生的频繁程度
事件发生的
可能性大小
在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为它的估计值.
区别：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的频率都可能不同；而概率是一个确定数，是客观存在的，与每次试验无关.
稳定性
大量重复试验
归纳总结
链接中考
1. (辽宁) 一个不透明的箱子里装有红球、蓝球、黄球共 20 个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，通过大量摸球试验，小明发现摸到红球、黄球的频率分别稳定在 10%、15%，则估计箱子里蓝球有_____个.
15
当堂小结
频率估计概率
大量重复试验
求非等可能性事件概率
列举法
不能适应
频率稳定
常数附近
统计思想
用样本(频率)估计总体(概率)
一种关系
频率与概率的关系
频率稳定时可看作是概
率但概率与频率无关
当堂练习
1. 一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共 1 000 尾，一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是 31% 和 42%，则这个水塘里约有鲤鱼 尾，鲢鱼 尾.
310
270
2. 在一个不透明的盒子里装有除颜色不同其余均相同的黑、白两种球，其中白球 24 个，黑球若干.小兵将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据：
(1) 请估计：当 n 很大时，摸到白球的频率将会接近
（精确到 0.1）；
(2) 假如你摸一次，估计你摸到白球的概率 P (白球) =
.
0.6
0.6
摸球的次数 n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球次数 m 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球概率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
3. 某池塘里养了鱼苗 10 万尾，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为 95%，一段时间准备打捞出售，第一网捞出 40 尾，称得平均每尾鱼重 2.5 千克，第二网捞出 25 尾，称得平均每尾鱼重 2.2 千克，第三网捞出 35 尾，称得平均每尾鱼重 2.8 千克，试估计这池塘中鱼的总质量.
解：先计算每尾鱼的平均质量是：
(2.5×40 + 2.2×25 + 2.8×35)÷(40 + 25 + 35)
= 2.53 (千克).
所以这池塘中鱼的总质量约 2.53×100 000×95%
= 240 350 (千克).

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