资源简介

(共31张PPT)
圆的有关性质
点和圆、直线和圆的位置关系
正多边形和圆
圆
弧、弦、圆心角
新知一览
圆
点和圆的位置关系
切线长定理及三角形的内切圆
圆周角
切线的判定与性质
垂直于弦的直径
弧长和扇形面积
弧长和扇形面积
圆锥的侧面积和全面积
直线与圆的位置关系
24.1 圆的有关性质
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角
C
A
E
D
B
思考： 回想足球射门的过程，图中过球门 A、E 两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置 B、C、D 有关(张开的角度大小)、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？
为什么呢？
知识点 1：圆周角的定义
问题1：∠ACB 有什么特点？它与 ∠AOB 有何异同？
问题2：你能仿照圆心角的定义给 ∠ACB 取一个名字并下定义吗？
A
B
O
C
如图，把圆心角∠AOB 的顶点 O 拉到圆上，得到∠ACB.
总结
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
例如：∠ACB.
A
B
O
C
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
1.下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由.
顶点 A 不在圆上
顶点 A 不在圆上
边 AC 没有和圆相交
√
√
√
练一练
知识点 2：圆周角定理及其推论
　　图中圆周角∠ACB 和圆心角∠AOB 有怎样的关系？
A
B
O
C
合作探究
先猜一猜，再用量角器量一量.
圆心 O 在∠BAC 的内部
圆心 O 在
∠BAC 的一边上
圆心 O 在
∠BAC 的外部
推导论证圆周角∠ACB 和圆心角∠AOB 之间的数量关系.
情况一：圆心 O 在∠BAC 的一边上 (特殊情形)
OA = OC
∠A = ∠C
∠BOC = ∠A + ∠C
O
A
B
C
O
A
B
D
O
A
C
D
D
O
A
C
D
O
A
B
D
情况二：圆心 O 在∠BAC 的内部
O
A
B
D
O
C
A
D
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
情况三：圆心 O 在∠BAC 的外部
总结
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
在同圆(或等圆)中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等.
上节课我们学习了一个反映圆心角、圆心角所对的弧、圆心角所对的弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？
那么，圆周角与圆周角所对的弧、弦有什么关系吗？
圆周角与弧的关系
问题1 如图，OB，OC 都是⊙O 的半径，点 A ，D 是圆上任意两点，连接 AB，AC，BD，CD. ∠BAC 与∠BDC 相等吗？请说明理由.
D
∠BAC=∠BDC
问题2 如图，若 ∠A 与∠B 相等吗？
D
A
B
O
C
E
F
圆周角推论1：同弧或等弧所对的圆周角______.
相等
想一想：反过来，如果∠A =∠B，那么 成立吗？
圆周角与弦的关系
问题3 如图，线段 AB 是☉O 的直径，点 C 是☉O 上的任意一点 (除点 A、B 外)，那么∠ACB 就是直径 AB 所对的圆周角. 想一想，∠ACB 会是怎样的角？
·
O
A
C
B
AB 是直径
∠AOB = 180°
∠ACB 是直径 AB 所对的圆周角
∠ACB = 90°
圆周角推论 2：
半圆（或直径）所对的圆周角是______，90° 的圆周角所对的弦是______.
直径
直角
例1 如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm.
∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长.
在 Rt△ABC 中
CD 平分∠ACB
连接 OD
∠ACD =∠BCD
∠AOD =∠BOD
AD = BD
Rt△ABD 中
∵ CD 平分∠ACB，
∴ AD = BD.
∴∠AOD =∠BOD.
∴∠ACD =∠BCD.
在 Rt△ABD 中，AD2 + BD2 = AB2，
解：如图，连接 OD.
在 Rt△ABC 中，
∴∠ACB =∠ADB = 90°.
∵ AB 是直径，
总结
解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则应考虑构造直角三角形来求解.
AB 为直径
∠ADB = 90°
1. (济南)如图，AB、CD 是 ⊙O 的直径，∠ACD = 25°，求∠BAD 的度数.
∠ACD = 25°
∠B = 25°
∠BAD
= 90°-∠B
= 65°
解：∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB = 90°.
∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD = 25°，
∴∠B = 25°.
∴∠BAD = 90°-∠B = 65°.
知识点 3：圆内接四边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
知识讲解
如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形.探究 ∠A 与∠C，∠B 与∠D 之间的关系.
∠A +∠C = 180°，
∠B +∠D = 180°.
如何证明呢？
∵ ∠A 所对的圆心角是∠β，∠C 所对的圆心角是∠α，
∴
证明：连接 OB，OD．
总结
圆的内接四边形的对角互补.
∴
同理，
2.(长春) 如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形,若∠BCD = 121° ，则 ∠BOD 的度数为 ( )
A. 138°
B. 121°
C. 118°
D. 112°
C
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理的推论
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的_____.
1.同弧或等弧所对的圆周角_____. 2.半圆(或直径)所对的圆周角是_____.
90°的圆周角所对的弦是_____.
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
圆内接四边形
圆内接四边形的对角_____.
一半
相等
直角
直径
互补
基础练习
1. (泗阳县期末)如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD 交AB 与点 E，∠ADC = 26°，求∠CAB 的度数.
解：连接 BC.
∵AB 是 ⊙O 直径，
∴∠ACB = 90°.
∴∠B = ∠D = 26°.
∴∠CAB = 90° - 26° = 64°.
3. (肥城)如图，四边形 ABCD 内接⊙O ，
∠ABC = 135°，AC = 4，则⊙O 的半径为( )
A. 4 B.
C. D.
2. (阜宁县期末)如图，AB 是⊙O 的直径， C、D 是 ⊙O 的两点，且 AD = DC ，∠DAC = 25°，
求∠BAC 的度数 ( )
A. 30° B. 35°
C. 40° D. 50°
C
B
4. (武汉)如图，以 AB 为直径的⊙O 经过△ABC 的顶点 C，AE，BE 分别平分 ∠BAC 和 ∠ABC，AE 的延长线交⊙O 于点 D. 连接 BD. 判断△BDE 的形状，并证明你的结论.
能力提升
解：△BDE 为等腰直角三角形.
证明：∵ AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC.
∴ ∠BAE = ∠CAD = ∠CBD，∠ABE = ∠EBC.
∵ ∠BED =∠BAE +∠ABE，
∠DBE =∠DBC +∠CBE，
∴ ∠BED =∠DBE.
∴ BD = ED.
∵ AB 为直径，
∴ ∠ADB = 90°.
∴ △BDE 是等腰直角三角形.

展开更多......

收起↑