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人教B版（2019）选择性必修第三册《第五章 数列》单元测试
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）若数列满足，，则数列中的项的值不可能为
A. B. C. D.
2.（5分）在等比数列中，，是方程的两根，则
A. B. C. D.
3.（5分）在等差数列中，若，是方程的两根，则的值为
A. B. C. D.
4.（5分）设等差数列的前项和为，若已知，则
A. B. C. D.
5.（5分）等差数列和的前项和分别为与，对一切自然数，都有，则等于
A. B. C. D.
6.（5分）已知数列满足，，则
A. B. C. D.
7.（5分）在数列中，，则此数列最大项的值是
A.
B.
C.
D.
8.（5分）张丘建算经是我国北魏时期数学家张丘建所著．现传本有问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等．“张丘建算经卷上第题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织尺布，一月按天计共织尺布，则从第天起每天比前一天多织尺布．
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则
A. B.
C. D.
10.（5分）已知数列的前项和是，前项的积是则其中正确命题的有
A. 若是等差数列，则是等差数列
B. 若是等比数列，则是等比数列
C. 若等差数列，则是等差数列
D. 若是等比数列，则是等比数列
11.（5分）等差数列的前项和为，若，公差，则
A. 若，则 B. 若，则是中最大的项
C. 若，则 D. 若，则
12.（5分）已知等差数列满足，前项和，等比数列满足，，的前项和为则下列命题错误的是
A. 的通项公式为
B. 等差数列的前 项和为
C. 等比数列的公比为
D.
13.（5分）已知等差数列的首项为，公差为，若是该数列中的一项，则公差可能的值是
A. B. C. D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样的题目：把个面包分给个人注：每个面包可以分割，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小份是______，公差为______．
15.（5分）①在中，若，则；
②若满足条件，，的有两个，则；
③在等比数列中，若其前项和，则实数；
④若等比数列中和是方程的两根，则，且．
其中正确的命题序号有 ______ 把你认为正确的命题序号填在横线上．
16.（5分）已知各项均为正项的等比数列，，，则______ .
17.（5分）已知数列的前项和为，若，，则_______.
18.（5分）已知数列满足：为正整数，若，则所有可能的取值为______．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知等比数列中，，公比．
求的通项公式；
为的前项和，证明：；
设，求数列的通项公式．
20.（12分）已知等差数列和等比数列均不是常数列，若，且，，成等比数列，，，成等差数列．
求和的通项公式；
设，是正整数，若存在正整数，，，使得，，成等差数列，求的最小值；
令，记的前项和为，的前项和为若数列满足，且对 ，，都有，设的前项和为，求证：
21.（12分）数列满足 ，是常数Ⅰ当时，求及的值；Ⅱ数列是否可能为等差数列若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；设 ，试证明时，．
22.（12分）设数列的通项公式为数列定义如下：对于正整数，是使得不等式成立的所有中的最小值．
若，求；
若，，求数列的前项和公式；
是否存在和，使得？如果存在，求和的取值范围；如果不存在，请说明理由．
23.（12分）已知正项数列满足：，
求，；
设数列满足，证明：数列是等差数列，并求数列的通项．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：，
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得；
由此可知，数列是以为周期的周期数列．
故选：
求出数列的前几项可知数列是以为周期的周期数列，进而得解．
此题主要考查数列递推关系的运用，考查数列的周期，考查运算求解能力及数学思维能力，属于基础题．
2.【答案】D;
【解析】
由韦达定理和等比数列的性质易得答案，属于基础题.

解：因为，是方程的两根，
所以由韦达定理可得，
又因为是等比数列，
所以
故选：
3.【答案】D;
【解析】解：，是方程的两根，
由韦达定理可得，
由等差数列的性质可得
故选：．
由等差数列的性质和韦达定理可得．
该题考查等差数列的性质，涉及韦达定理，属基础题．
4.【答案】B;
【解析】
本题以等差数列前项和为载体，考查等差数列的性质，属于容易题.

解：由数列为等差数列，得，
由等差数列的性质得，
解得，
故选
5.【答案】B;
【解析】解：，，
，，
又当时，，
则．
故选：．
利用等差数列的前项和公式分别表示出等差数列和的前项的和分别为和，利用等差数列的性质化简后，得到，，然后将代入已知的等式中求出的值，即为所求式子的值．
该题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式，熟练掌握等差数列的性质及求和公式是解本题的关键．
6.【答案】D;
【解析】解：数列满足，，
，
，
，
，
，
，
，

，
，
，
，

综上，．
故选：．
由数列满足，，依次求出数列的前项，归纳总结得到．
该题考查的前项中偶数项和的求法，考查数列的递推公式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想，是中档题．
7.【答案】D;
【解析】
这道题主要考查数列最大项的求解，属于基础题利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．
结合抛物线的性质判断函数的对称轴，结合抛物线的性质进行求解即可．

解：对应的抛物线开口向下，对称轴为，
是整数，且，
当时，数列取得最大值，此时最大项的值为，
故选D．
8.【答案】D;
【解析】解：设此等差数列的公差为，
则，
解得，
故选：．
利用等差数列的求和公式即可得出．
该题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查等比数列的通项公式和前项和公式及等比数列的性质，属于中档题．
由条件可得，设等比数列的公比为，由，结合数列单调递增，可得，即可得

解：由可得，
即，
设等比数列的公比为，
由，得，
即，
解得，
因为数列单调递增，
所以，
所以，解得，
所以，
，故正确，
故选
10.【答案】ACD;
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若是等差数列，设其公差为，对于数列，有，则是等差数列，正确；
对于，是等比数列，当其公比时，则是各项都为的常数列，不是等比数列，错误；
对于，若等差数列，设，其公差为，变形可得，当时，，当时，，
综合可得：，是公差为的等差数列，正确；
对于，若是等比数列，设其公比为，则……，则，是公比为的等比数列，正确；
故选：
根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
此题主要考查等比数列、等差数列的性质，涉及等差数列、等比数列的判断，属于基础题．
11.【答案】BC;
【解析】解：对于，，
，即，
，
对于，，
对称轴为，是中最大的项，故正确，
对于，，
，
又，
，，
，故正确，
对于，，
，但不能推出 是否为负，
故不一定有，故错误．
故选：
根据已知条件，结合等差数列的前项和的性质，即可依次求解．
此题主要考查等差数列前项和的性质，属于基础题．
12.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
设等差数列的公差为，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断；由等差数列的求和公式，可判断；由等比数列的通项公式，解方程可得公比，可判断；由等比数列的求和公式，可判断

解：设等差数列的公差为，
因为，，所以，，解得，，
所以，故错误；
，故正确；
设等比数列的公比为，由，，
可得，解得，故错误；
，故正确．
故选：
13.【答案】ACD;
【解析】解：，
，，
和都为正整数时，
时，，故正确；
当时，，不成立，故错误；
时，，故正确；
时，，故正确．
故选：
由，得到，由和都为正整数时，能求出结果．
此题主要考查等差数列的公差的可能取值的判断，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
14.【答案】 ; ;
【解析】解；设每人所得成等差数列，不妨设．
则，，
，，
联立解得：，．
故答案为：，．
设每人所得成等差数列，不妨设由题意可得，，利用通项公式与求和公式即可得出．
该题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15.【答案】①③;
【解析】解：①在中，若，利用正弦定理可得，因此，正确；
②若满足条件，，的有两个，则，因此不正确；
③在等比数列中，若其前项和，可得，当时，，，，则，解得，因此正确；
④若等比数列中和是方程的两根，，，则，，，因此，因此不正确．
其中正确的命题序号有①③．
①在中，由，利用正弦定理可得，可得，即可判断出正误；
②由，即可判断出正误；
③由，可得，当时，，利用，解得，即可判断出正误；
④若等比数列中和是方程的两根，，，可得，，，因此，即可判断出正误．
该题考查了正弦定理、递推关系、等比数列的定义通项公式及其性质、一元二次的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16.【答案】;
【解析】解：由是等比数列，得，解得或舍去，
所以
故答案为：
利用等比数列的性质可得，计算出后再利用即可．
此题主要考查等比数列的通项公式，考查运算求解的能力，属于基础题．
17.【答案】;
【解析】
此题主要考查了数列的递推关系

解：，
再令，，
数列是以为首项，为公比是等比数列，，
故答案为
18.【答案】4，5，32;
【解析】解：由题意知中任何一项均为正整数，，
若为奇数，则，得不满足条件．
若为偶数，则，满足条件．．
若为奇数，则，得不满足条件．
若为偶数，则，满足条件．．
若为奇数，则，满足条件．
若为奇数，则，不满足条件．
若为偶数，则满足条件．
若为奇数，则，得不满足条件．
若为偶数，则，满足条件．
若为偶数，则，满足条件．
若为奇数，则，得不满足条件．
若为偶数，则，满足条件．
若为奇数，则，得，满足条件．
若为偶数，则，满足条件．
故的取值可以是，，．
故答案为：，，．
由题意知中任何一项均为正整数，若为奇数，得到不满足条件．若为偶数，则，满足条件；若为奇数，得不满足条件．若为偶数，则，满足条件．由此能求出的取值．
该题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．
19.【答案】解：（1）等比数列{}中，=，公比q=．
∴=．
（2）证明：Sn==（1-）．
∴Sn=．
（3）lo=-n．
∴=lo+lo+……+lo=-1-2-……-n=-．;
【解析】
利用等比数列的通项公式即可得出．
利用求和公式即可证明．
由于利用等差数列的求和公式即可得出．
该题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：设等差数列的公差为，等比数列在公比为，
由题意得： ， ，
解得，，

解：由，，成等差数列，
有，
即 ，
，且为正整数，，
，
，
即，
①当时，不等式不成立；
②当 或 时 成立；
③当时，，，即，则有；
的最小值为，当且仅当，且 或 时取得．
证明：由题意得： ，
，

得 ，
求得 ，
所以 ，
设，则，
所以 在上单调递增，有，
可得
当，且时，，
有 ，
所以，
可得，
所以;
【解析】此题主要考查了数列通项公式的求解，考查了错位相减法的应用，考查了数列与不等式的应用.
利用等比数列以及等差数列的性质求解即可；
利用等差数列的性质得到，再结合已知得到，进而分段讨论的取值，进而则可以得到结果；
根据已知求出，再利用错位相减法求出，进而得到，最后利用不等式的性质证出结论.
21.【答案】解：（I因为n=2+（1）n+1 （1+λn）∈N*），
得λ=．（2分）
（i）当n为正奇数，式化为．
因2-随着正数的增大而增大，
若存在λ，{n为差列，则2a2=a1+a，（5分）
因为着正数n的增大而增大，
由n=2n+（-1）+1 1+λ（n∈*），得
证明下：
III由an＞0，得2n（-）n+1 +λn）＞0，
以n=2a2=-2λ．（1分）
得λ=．6分）
于是，a2a1=-3=，a4-a=-λ=，与{a}为等差数列矛！
（i）当n偶数时，化简为．
欲使上式对任意正偶数成立则＜2=．9分）
由3-2λ1，
上式变形为（-）n，其中n∈*．
上若对于任nN*，都有an＞0则λ的取值范是[-2，）．（1分）;
【解析】
过在中令，计算即得结论；
通过可知，分为奇数、正偶数两种情即可．
本考查数列的推式，注解题方法的积累于中档题．
22.【答案】解：由题意，得，
解，得．
成立的所有中的最小正整数为，即．

由题意，得，
对于正整数，由，得．
根据的定义可知
当时，；
当时，
2m


．
假设存在和满足条件，由不等式及得．
，根据的定义可知，对于任意的正整数都有，
即对任意的正整数都成立．
当或时，得或，这与上述结论矛盾
当，即时，得，
解得经检验符合题意
存在和，使得；和的取值范围分别是，．;
【解析】先得出，再解关于的不等式，利用正整数的条件得出具体结果；
先得出，再解关于的不等式，根据的定义求得再求得；
根据的定义转化关于的不等式恒成立问题．
这道题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题．
23.【答案】解：根据题意，数列满足，
当时，有，而，
，即
而，则
又由，，
，即
而，则
，
由已知条件可知：，
，
则，
而，
，数列为等差数列．
而，
故;
【解析】此题主要考查数列的递推公式的应用，关键是对的变形．
根据题意，由数列的递推公式以及，依次令、、，计算即可得答案；
由已知条件可知：，变形可得，结合等差数列的性质分析可得答案．

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