浙教版九年级下册第1章解直角三角形 综合素质评价(含答案 )

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浙教版九年级下册第1章解直角三角形 综合素质评价(含答案 )

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九下·第1章综合素质评价
一、选择题(每题3分,共30分)
1.下列计算错误的有(  )
①sin 60°-sin 30°=sin 30°;②sin2 45°+cos2 45°=1;③tan2 60°=;④4tan 30°=.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=3,则AC的长为(  )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图,一个小球从坡脚沿着坡比为1∶2的坡面向上滚动了2 m,此时小球距离地面的高度为(  )
A.5 m B.2 m C.2 m D. m
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=12,AB的垂直平分线EF交AC于点D,连结BD.若cos∠BDC=,则BC的长是(  )
A.10 B.8 C.4 D.2
5.在平面直角坐标系内有一点P,连结OP,则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是(  )
A. B. C. D.
6.如图,某博物馆大厅电梯的截面图中,AB的长为12米,AB与AC的夹角为α,则高BC是(  )
A.12sin α米 B.12cos α米 C.米 D.米
7.如图,AB为⊙O的直径,弦CD交AB于点E,BC=BD,∠CDB=30°,AC=2 ,则OE=(  )
A. B. C.1 D.2
8.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,AE交BF于点H,CG∥AE交BF于点G,下列结论,①sin∠HBE=cos∠HEB;②CG·BF=BC·CF;③BH=FG;④= .其中正确的是(  )
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④
9.消防云梯的示意图如图所示,AB⊥BC于B,当C点刚好在A点的正上方时,DF的长是(  )
A.acos θ+bsin θ B.acos θ+btan θ
C.+bsin θ D.+
10.如图,矩形AOBC的顶点A,B在坐标轴上,点C的坐标是(-10,8),点D在AC上,将△BCD沿BD折叠,点C恰好落在OA边上的点E处,则tan∠DBE等于(  )
A. B. C. D.
二、填空题(每题4分,共24分)
11.在Rt△ABC中,AB是斜边,AB=10,BC=6,则cos A=________.
12.若tan A=4,则sin A=________.
13.如图,已知⊙O的半径为6 cm,弦AB的长为8 cm,P是AB延长线上一点,BP=2 cm,则tan∠OPA的值是________.
14.如图,由边长为1的小正方形构成的网格中,点A,B,C都在格点上,以AB为直径的圆经过点C,D,则cos∠ADC的值为________.
15.在△ABC中,tan B=,AB=2,AC=,则BC的长为________.
16.为了学生的安全,某校决定将一段如图所示的步梯路段进行改造.已知四边形ABCD为矩形,DE=10 m,其坡比为i1=1:,将步梯DE改造为斜坡AF,其坡比为i2=1:4,则斜坡AF的长是________.(结果保留根号)
三、解答题(17~19题每题6分,20,21题每题8分,22,23题每题10分,24题12分,共66分)
17.计算:0-2cos 45°-+|1-|.
18.周末,王老师布置了一项综合实践作业,要求利用所学知识测量一栋楼的高度.小希站在自家阳台上,看对面一栋楼顶部的仰角为45°,看这栋楼底部的俯角为37°,已知两栋楼之间的水平距离为30m,求这栋楼的高度.(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
19.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,-4).
(1)请在图中画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1.
(2)以点O为位似中心,将△ABC缩小为原来的,在y轴右侧得到△A2B2C2,请在图中画出△A2B2C2,直接写出∠A2C2B2的正切值.
20.如图,在矩形 ABCD中,AD=10,E为BC 上的一点,tan∠AEB=,ED平分∠AEC.求:
(1)BE的长.
(2)sin∠EDC的值.
21.如图,某渔船沿正东方向以10海里/时的速度航行,在A处测得岛C在北偏东60°方向,1小时后渔船航行到B处,测得岛C在北偏东30°方向,已知岛C周围9海里内有暗礁.(参考数据:≈1.732,sin 75°≈0.966,cos 75°≈0.259)
(1)B处离岛C有多远?如果渔船继续向东航行,有无触礁危险?
(2)如果渔船在B处改为向东偏南 15°方向航行,有无触礁危险?
22.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=4,tan B=,D,E分别是AB,BC边上的动点,以BD为直径的⊙O交BC于点F.
(1)当AD=DF时,求证:△CAD≌△CFD.
(2)当△CED是等腰三角形,且△DEB是直角三角形时,求AD的长.
23.如图是放在水平桌面上的台灯的示意图,已知台灯底座的高度为2 cm,固定支点O到水平桌面的距离为7.5 cm,AB+AO+OM=31.64 cm,OM与底座垂直,经调试发现,当∠OAB=115°,∠AOM=160°时,台灯所投射的光线最适合写作业,测量得点A到点B的水平距离为10 cm,求此时点B到水平桌面的距离.(参考数据:sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94,tan 20°≈0.36,≈1.414)
24.已知四边形ABCD内接于⊙O,AB=AD.
(1)如图①,求证:点A到∠C两边的距离相等.
(2)如图②,已知BD与AC相交于点E,BD为⊙O的直径.
①求证:tan∠CAD=.
②若∠CBD=30°,AD=3,求AE的长.
INCLUDEPICTURE"2章.EPS" INCLUDEPICTURE \d "D:\\0%\\初中\\23秋 典中点 9 数学 ZJ\\2章.EPS" \* MERGEFORMATINET 答案
一、1.C 2.B 3.C 4.D 5.C 6.A 7.C 8.D
9.C  【点拨】如图,连结AC,则AC= EF,
∠CAB+θ=90°.∵AB⊥BC,∴∠ABC = 90°,
∴∠BAC+∠BCA=90°,
∴∠BCA = θ.
在Rt△ABC中,BC=a,
∴AC==,
∴EF=AC=.
在Rt△CDE中,∠DCE=θ,CD=b,
∴DE=CD·sin θ=bsin θ,
∴DF=DE+EF= bsin θ+.
10.D  【点拨】∵四边形AOBC为矩形,且点C的坐标为(-10,8),
∴AC=OB=8,AO=BC=10,
∠C=∠CAO=∠EOB=90°.
∵△BCD 沿 BD 折叠,点C恰好落在OA边上的点E 处.
∴∠C=∠BED=90°.CD=DE,BC=BE=10.
∴在Rt△OBE 中,OE===6.
设CD=DE=m,则AD=8-m.
∵∠ADE+∠AED=∠AED+∠OEB=90°,
∴∠ADE=∠OEB.
又∵∠CAO=∠EOB,
∴△ADE∽△OEB.
∴=,即=,
解得m=5.∴DE=5.
在Rt△BDE中,DE=5,BE=10.
∴tan ∠DBE===.
二、11.  12. 13.  14.
15.7或5 【点拨】如图①,过A作AD⊥BC于D,
在Rt△ABD中,∵tan B=,
∴设AD=x,则BD=3x,
在Rt△ABD中,
∵AD2+BD2=AB2,即x2+(3x)2=(2 )2,
∴x=2(舍去负值),
∴AD=2,BD=6,
在Rt△ADC中,CD===1,
∴BC=BD+CD=7;
 
如图②,过A作AD⊥BC交BC的延长线于D,
在Rt△ABD中,∵tan B=,
∴设AD=y,则BD=3y,
在Rt△ADB中,∵AD2+BD2=AB2,即y2+(3y)2 =(2)2,
∴y=2(舍去负值),∴AD=2,BD=6.
在Rt△ADC中,CD===1,
∴BC=BD-CD=5.
16.5 m 【点拨】∵DE=10 m,坡比i1=1:,
设DC=x m(x>0),则CE=x m,
∴在Rt△DCE中,DE==2x=10,
解得x=5,∴DC=5 m.
∵四边形ABCD为矩形,
∴AB=CD=5 m.
∵斜坡AF的坡比为i2=1:4,
∴=,∴BF=4AB=20 m.
∴在Rt△ABF中,AF===5 (m).
三、17.【解】原式=1-2×-4+-1=1--4+-1=-4.
18.【解】过点A作AE⊥BC于E,则AE=CD=30 m,
在Rt△ABE中,∠BAE=45°,AE=30 m,
∴BE=AE=30 m,
在Rt△ACE中,∠CAE=37°,AE=30 m,
∴CE=tan37°×AE≈0.75×30=22.5(m),
∴BC=BE+CE≈52.5 m.
答:这栋楼的高度大约为52.5 m.
19.【解】(1)如图,△A1B1C1即为所求.
(2)如图,△A2B2C2即为所求.
 
∠A2C2B2的正切值为.
20.【解】(1)∵ ED平分∠AEC,
∴∠AED=∠CED.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠B=90°.
∴∠ADE=∠CED.
∴∠AED=∠ADE.
∴AE=AD=10.
∵tan∠AEB=,∴=.
设AB=3k,则BE=4k,
∴AE===5k=10.
解得k=2.
∴BE=8.
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AD=BC,∠C=90°.
∵AD=10,∴BC=10.
又∵BE=8,
∴EC=BC-BE=2.
由(1)可得AB=6,∴CD=6.
∴DE===2 .
∴sin∠EDC===.
21.【解】(1)如图,过点C作CO⊥直线AB于点O,易知当渔船航行到O处时与岛C的距离最短.
∵在A处测得岛C在北偏东60°方向,
∴∠CAB=30°.
∵在B处测得岛C在北偏东30°方向,
∴∠CBO=60°.
又∵∠CBO=∠ACB+∠CAB,
∴∠ACB=30°=∠CAB,
∴BC=AB=10×1=10(海里),即B处离岛C有10海里远.
∵CO⊥AB,∠CBO=60°,
∴CO=BC·sin 60°≈8.66海里.
∵8.66海里<9海里,
∴如果渔船继续向东航行,有触礁危险.
(2)如图,过点C作CD⊥BF于点D,易知当渔船航行到D处时与岛C的距离最短.
∵∠CBO=60°,∠OBF=15°,
∴∠CBF=∠CBO+∠OBF=75°.
又∵∠CDB=90°,
∴CD=BC·sin∠CBF≈9.66海里.
∵9.66海里>9海里,
∴如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行,没有触礁危险.
22.(1)【证明】∵BD是⊙O的直径,
∴∠DFB=90°.
∴∠DFC=90°.
在Rt△CAD和Rt△CFD中,
∴Rt△CAD≌Rt△CFD.
(2)【解】∵∠A=90°,tan B=,
∴=.
∵AB=4,∴AC=3.
∴BC==5.
∵△DEB是直角三角形,且∠B<90°,
∴∠EDB=90°或∠DEB=90°.
①如图①,若∠EDB=90°.
由∠DEB<90°,易得∠CED为钝角.
又∵△CED是等腰三角形,
∴∠ECD=∠EDC,即CE=DE.
设CE=DE=x,
则BE=BC-CE=5-x.
∵∠EDB=∠A=90°,∴DE∥AC,
∴△DEB∽△ACB,=.
∴=.∴=,解得x=.
∴CE=.
∴=.∴AD=.
②如图②,若∠DEB=90°,
则∠CED=180°-∠DEB=90°.
∵△CED为等腰三角形,
∴∠ECD=∠EDC,即CE=DE.
设CE=DE=y,
∵在Rt△DEB中,tan B==,∴BE=y.
∵BC=5,∴CE+BE=5,
∴y+y=5.∴y=.
∴CE=DE=.
在Rt△ABC中,AC=3,BC=5,
∴sin B==,
∴在Rt△DEB中,BD===.
∴AD=AB-BD=.
综上所述,AD的长为或.
23.【解】如图,过点A作AC平行于水平桌面,过点B作BC⊥AC于点C,延长MO交AC于点D,
由题意可知OD⊥AC,AC=10 cm,
OM=7.5-2=5.5(cm).∴∠ADO=90°.
∵∠AOM=160°,
∴∠AOD=180°-∠AOM=20°.
∴∠OAD=70°.
∵∠OAB=115°,
∴∠BAC=∠OAB-∠OAD=45°.
∵BC⊥AC,∴∠ACB=90°,
∴∠ABC=45°=∠BAC,
∴BC=AC=10 cm.
在Rt△ABC中,cos∠BAC=,
∴AB==≈14.14(cm).
又∵AB+AO+OM=31.64 cm,∴AO≈12 cm.
在Rt△AOD中,cos∠AOD=,
∴OD=AO·cos∠AOD≈12×0.94=11.28(cm),
∴BC+OD+7.5≈10+11.28+7.5=28.78(cm).
∴此时点B到水平桌面的距离约为28.78 cm.
24.(1)【证明】如图①,连结AC.
∵AB=AD,∴=.
∴∠ACB=∠ACD.∴CA平分∠BCD.
∴点A到∠BCD两边的距离相等.
(2)①【证明】∵BD为⊙O的直径,∴∠BCD=90°.
又∵∠CAD=∠CBD,
∴tan∠CAD=tan∠CBD=.
如图②,过点D作DQ∥EC,交BC的延长线于点Q,
则∠ACB=∠Q,∠ACD=∠CDQ.
∵AB=AD,∴=.
∴∠ACB=∠ACD.∴∠CDQ=∠Q.∴CD=CQ.
∵EC∥DQ,∴=.∴=.
∴tan∠CAD=.
②【解】∵∠CAD=∠CBD,∠CBD=30°,
∴∠CAD=30°.
∴tan∠CAD==.
设DE=a,则BE=a.
∵BD为⊙O的直径,
∴∠BAD=90°.∵AB=AD=3 ,
∴BD==6.
∵BD=BE+DE,
∴a+a=6,解得a=3 -3.
∴DE=3 -3.
∵∠BCD=90°,
∴CD=BD·sin∠CBD=6×sin 30°=3.
∵∠BAC=∠BDC,∠ABD=∠ACD,
∴△BAE∽△CDE.
∴=.
∴=.
∴AE=3 -3 .

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