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2022-2023学年宁夏吴忠重点中学高二（下）期中数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
3. 命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
5. 曲线在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
6. 已知双曲线的实轴长为，虚轴长为，则其渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7. 已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 某产品的销售收入万元是产量千台的函数，且函数解析式为，生产成本万元是产量千台的函数，且函数解析式为，要使利润利润收入成本最大，则该产品应生产( )
A. 千台 B. 千台 C. 千台 D. 千台
9. 已知椭圆的焦点分别为，点在椭圆上，若，则三角形的面枳为( )
A. B. C. D.
10. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 函数在上是增函数
B.
C.
D. 是函数的极小值点
11. 过点的直线与椭圆交于，两点，且点平分弦，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
12. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，是双曲线右支上的一点，交双曲线的左支于点，若：：：：，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，若，则 ______ ．
14. 过抛物线的焦点作弦，点，，且，则 ______ ．
15. 已知函数的导数为，且满足，则 ______ ．
16. 定义在上的函数满足：有成立且，则不等式的解集为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
求函数的极值．
18. 本小题分
给定两个命题，：“方程是焦点在轴负半轴上的抛物线”命题：“关于的方程”有实数根．
若是真命题，求实数的取值范围．
如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围．
19. 本小题分
大学生王蕾利用暑假参加社会实践，对机械销售公司月份至月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如表所示：
月份
销售单价元
销售量件
根据至月份的数据，求出关于的回归直线方程；
若剩下的月份的数据为检验数据，并规定由回归直线方程得到的估计数据与检验数据的误差不超过件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问中所得到的回归直线方程是否理想？
注：，，参考数据：
20. 本小题分
已知椭圆，、分别为其左、右焦点，短轴长为，离心率，过倾斜角为的直线，直线与椭圆交于、两点．
求椭圆的标准方程；
求的周长和面积．
21. 本小题分
设抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，且．
求抛物线的方程；
设直线：与抛物线交于，两点，若，求证：线段的垂直平分线过定点．
22. 本小题分
设函数．
讨论函数的单调性；
若函数有且只有一个零点时，实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
可求出集合，然后进行交集的运算即可．
本题考查了一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，集合的描述法和列举法的定义，考查了计算能力，属于容易题．
2.【答案】
【解析】解：复数，
复数的共轭复数是，
故选：．
先求出复数的最简形式，格局复数的共轭复数的定义求出其共轭复数．
本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数，化简到最简形式后，
再求出其共轭复数．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查全称量词命题的否定，属于基础题．
由全称量词命题的否定是存在量词命题，即可求解．
【解答】
解：全称量词命题的否定是存在量词命题，
命题“，”的否定是“，”
故选B．
4.【答案】
【解析】解：整理抛物线方程得
焦点在轴，
焦点坐标为
故选：．
先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和，进而求得焦点坐标．
本题主要考查了抛物线的简单性质．求抛物线的焦点时，注意抛物线焦点所在的位置，以及抛物线的开口方向．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】
解：，
，
当时，得切线的斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为：
，即．
故选A．
6.【答案】
【解析】解：由题知双曲线中，，
所以，，双曲线焦点在轴上，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选：．
根据双曲线几何性质解决即可．
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：函数函数，．
函数在上为单调递增函数，转化为在上恒成立，
从而有，．
并且，，解得
故选：．
求出导函数，利用导函数非负，列出不等式，转化求解即可．
本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调区间的求法，考查转化思想以及计算能力．
8.【答案】
【解析】解：设利润为，则，．
，
可得时，，此时函数单调递增；时，，此时函数单调递减．
千台时，函数取得极大值即最大值，利润最大．
故选：．
设利润为，可得，利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：椭圆的焦点分别为，点在椭圆上，
则：，
若，所以，．
利用余弦定理：，
所以，
则：．
故选：．
直接利用退椭圆性质的应用和余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：椭圆的性质的应用，余弦定理和三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
10.【答案】
【解析】解：对于，由图象知，当时，，
此时函数为减函数，故A错误；
对于，当时，，函数为增函数，
则成立，故B正确；
对于，由图象可知，故C错误；
对于，当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
则是函数的极大值点，故D错误，
故选：．
根据导数图象，逐项分析即可求得结论．
本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数单调性与导数之间的关系是解决本题的关键，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：设，，代入椭圆的方程可得：
，，
两式相减可得：，
又，，，
即为，
则直线的方程为：，化为．
故选：．
设，，代入椭圆的方程，两式相减，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，即可解出直线的斜率，由点斜式方程可得直线的方程．
本题考查了直线与椭圆相交问题，注意运用“点差法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：如下图所示：
因为是双曲线右支上的一点，交双曲线的左支于点，
若：：：：，
由双曲线的定义，可得，
，则，
所以，
故为等边三角形，则，
在中，，，，
由余弦定理，可得
，
因此，双曲线的离心率为．
故选：．
利用双曲线的定义，可知为等边三角形，求出、，利用余弦定理求出，即可求得双曲线的离心率的值．
本题考查双曲线的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
，
．
解得．
故答案为：
直接求出函数的导数，令，建立关于的方程，即可解得．
本题主要考查导数的计算和求值，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：依题意可知，准线方程为，
根据抛物线的定义，可知
，
故答案为：
根据抛物线方程可求得准线方程，进而根据抛物线的定义可知，由此可得答案．
本题考查抛物线过焦点的弦长，解题的关键是利用抛物线的定义，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
将代入得，
解得．
故答案为：．
将看作常数利用导数的运算法则求出，然后将代入即可．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：令，，
因为定义在上的函数满足：有成立，
所以，
所以在上单调递增，
因为，所以，
则当时，不等式可转化为，即，
解得，．
故答案为：．
令，，然后对其求导，结合导数研究函数的单调性，进而可求．
本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，函数的构造及导数的应用是求解问题的关键，属于基础题．
17.【答案】解：，
令，解得：或，
令，解得：，
函数在，递增，在递减，
由得：时，函数取得极大值，
时，函数取得极小值．
【解析】先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；根据函数的单调性，从而求出函数的极值．
本题考查了函数的单调性、函数的极值问题，是一道基础题．
18.【答案】解：命题：方程是焦点在轴负半轴上的抛物线，
所以解得，
所以若是真命题，求实数的取值范围；
命题：关于的方程有实数根，
所以，
为真命题，为假命题，
真假，或假真，
如果真且假，有，且，，
如果假且真，有或，且，，
综上，实数的取值范围为．
【解析】由题意知，得到命题的等价命题；
为真命题，为假命题，即，一真一假，分别写出对应不等式组求解即可．
本题主要考查了抛物线的定义，考查了复合命题真假的判断，属于中档题．
19.【答案】解：由表中数据可得，，
，
故，，
故关于的回归直线方程为．
当时，，
则，
故可以认为所得到的回归直线方程是理想的．
【解析】根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．
将代入上式的线性回归方程中，并对所得的结果与作差，再通过比较，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于基础题．
20.【答案】解：因为椭圆短轴长为，离心率，
则，解得，
因此，椭圆的标准方程为．
的周长为，
设点、，由可得、，
过倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，则直线的方程为，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
所以，，
所以，．
【解析】根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程；
利用椭圆的定义可求得的周长，写出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可求得的面积．
本题考查椭圆的几何性质，化归转化思想，属中档题．
21.【答案】解：由抛物线的焦半径公式可得，解得，
即抛物线的方程为．
证明：设，，
由可得，
因为直线与抛物线有两个交点，
所以，，即，
，
因为，所以，
所以，
所以，
所以线段的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线方程为，
即，
所以线段的垂直平分线过定点．
【解析】由条件可得，解出即可；
设，，联立直线与抛物线的方程联立消元，然后韦达定理可得，由可得，然后表示出线段的垂直平分线方程可得答案．
本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：的定义域为，，
当时，，在单调递增，
当时，令解得，令解得，
所以函数在单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在单调递增，
当时，函数在单调递增，在上单调递减．
由可得，
令，得，
记，，
因为函数有且只有一个零，所以函数与有且只有一个交点，
令，得，函数单调递增，
令，得，函数单调递减，
又，于是可得的图象如图，
由图可知，或，即或，
所以实数的取值范围为或
【解析】求导，分和讨论可得；
将问题转化为，与有且只有一个交点，利用导数讨论的单调性，结合图象可解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
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