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3.5共点力的平衡
一、共点力平衡的条件及三力平衡问题 1
二、物体在三个力或多个力作用下的平衡问题的解法 6
三、利用正交分解法分析多力平衡问题 11
【巩固提高】 14
[学习目标]
课程标准 课标解读
知道共点力，理解物体的平衡状态。 掌握共点力的平衡条件。 能运用共点力的平衡条件求解实际问题。 掌握求解共点力平衡问题的基本方法。 1、知道什么是共点力。 2、在二力平衡的基础上，经过科学推理，得出共点力平衡的条件：物体所受合力为 0。 3、会用共点力平衡的条件，分析生活和生产中的实际 问题，体会物理学知识的实际应用价值。
[知识分析]
一、共点力平衡的条件及三力平衡问题
1．平衡状态：物体处于静止或匀速直线运动的状态．
2．平衡条件：合外力等于0，即F合＝0或.
3．推论
(1)二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向．
(2)三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向．
(3)多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意(n－1)个力的合力必定与第n个力等大、反向．
（2023 南开区校级模拟）蹦床表演的安全网如图甲所示，网绳的结构为正方形格子，O、a、b、c、d等为网绳的结点，安全网水平张紧后，重为mg的运动员从高处落下，恰好落在O点上。该处下凹至最低点时，网绳dO与eO、bO与gO间的夹角均为120°，如图乙所示，两侧对称。此时O点受到向下的作用力大小为4mg，则这时O点周围每根网绳承受的张力大小为（　　）
A．2mg B．mg C． D．
【解答】解：设每根绳子张力为T，对O点由共点力平衡有
4mg＝4Tcos60°
解得T＝2mg
故BCD错误，A正确。
故选：A。
（2023 山东模拟）如图所示，某工厂生产的卷纸缠绕在中心轴上，卷纸的直径为d，轴及卷纸的总质量为m。用细绳分别系在轴上的P、Q点，将卷纸通过细绳挂在光滑竖直墙壁上的O点，已知OP＝OQ＝PQ＝L，重力加速度的大小为g。则下列说法正确的是（　　）
A．每根绳的拉力大小
B．每根绳的拉力大小
C．卷纸对墙的压力大小
D．卷纸对墙的压力大小
【解答】解：AB、对卷纸和轴整体受力分析，如图所示
设两绳所在平面与竖直墙面间的夹角为α，两绳形成的合力为FT合
由几何关系得：
由平衡条件得：
联立解得：
每根绳中拉力为FT，如图：
由几何关系得：FT合＝2FTcos30°
解得：
故A错误，B正确；
CD、根据平衡条件得：
解得：
由牛顿第三定律得，卷纸对墙的压力F压
故CD错误。
故选：B。
（2023 青羊区校级二模）每个工程设计都蕴含一定的科学道理。如图的两种家用燃气炉架都有四个爪，若将总质量为m的锅放在图乙所示的炉架上，忽略爪与锅之间的摩擦力，设锅为半径为R的球面，则每个爪与锅之间的弹力（　　）
A．等于 B．小于
C．R越大，弹力越大 D．R越大，弹力越小
【解答】解：设每个爪与锅之间的弹力为F，根据对称性可知，正对的一对爪对锅的弹力的合力方向竖直向上，则四个爪对锅的弹力在竖直方向的分力等于锅的重力；设正对的一对爪之间的距离为d，则F与竖直方向之间的夹角：sinθ
竖直方向根据平衡条件可得：4Fcosθ＝mg
解得：F
可知R越大，则F越小；故D正确，ABC错误。
故选：D。
（2023 重庆模拟）足球比赛开始前，裁判将一质量为m的足球静置于球员入场通道口的桌面支架上，如图（侧视图）所示。该支架由三个相同立柱组成，三个立柱成正三角形固定在水平桌面上，每个立柱和足球的接触点与足球球心的连线与竖直方向的夹角均为θ。不计足球与立柱间的摩擦，重力加速度为g，则（　　）
A．单个立柱对足球的作用力竖直向上
B．单个立柱对足球的作用力大小为
C．只增大夹角θ，三个立柱对足球的合力变大
D．只增大夹角θ，单个立柱对足球的作用力变大
【解答】解：A．单个立柱对足球的弹力方向沿立柱和足球的接触点与球心的连线并指向球心，故A错误；
B．对足球受力分析，如图所示：
根据几何关系可得：3Fcosθ＝mg
可得：，故B错误；
C．足球静止，三个立柱对足球的合力始终等于足球的重力，故C错误；
D．根据可知增大夹角θ，力F变大，故D正确。
故选：D。
（2022秋 清远期末）用厢式货车运送三根均匀圆木的截面示意图如图所示，已知三根圆木的质量均为m，直径都相等，且直径等于车厢宽度的一半。已知货车在水平路面上匀速运动，重力加速度大小为g，不计一切摩擦，下列说法正确的是（　　）
A．车厢底对B的支持力大小为3mg
B．B对A的支持力大小为mg
C．车厢壁对B的弹力大小为mg
D．B对A的支持力大小为mg
【解答】解：A．对A、B、C整体进行受力分析，设车厢底对B的支持力大小为N1，根据平衡条件：2N1＝3mg，解得，故A错误；
BD．对A进行受力分析，设B对A的支持力大小为N2，根据平衡条件：2N2cos30°＝mg
解得
故B正确，D错误；
C．对B进行受力分析，设车厢壁对B的弹力大小为N3，根据平衡条件：N3＝N2sin30°
解得
故C错误。
故选：B。
二、物体在三个力或多个力作用下的平衡问题的解法
1．力的合成法——一般用于受力个数为三个时
(1)确定要合成的两个力；
(2)根据平行四边形定则作出这两个力的合力；
(3)根据平衡条件确定两个力的合力与第三力的关系(等大反向)；
(4)根据三角函数或勾股定理解三角形．
2．正交分解法——一般用于受力个数为三个或三个以上时
(1)建立直角坐标系；
(2)正交分解各力；
(3)沿坐标轴方向根据平衡条件列式求解．
（2022秋 龙川县校级期末）如图所示，质量为M的斜面体放在水平地面上，质量为m的光滑小球被轻绳拴住挂在天花板上。已知斜面倾角为30°，轻绳与竖直方向的夹角为30°，整个装置处于静止状态。下列说法正确的是（　　）
A．轻绳对小球的拉力大小为mg
B．斜面对小球的支持力大小为mg
C．斜面体受到地面的摩擦力大小为mg
D．地面受到的压力大小为（m+M）g
【解答】解：AB、根据题意，对小球受力分析，受重力mg、绳子的拉力F和斜面的支持力N，如图所示：
根据平衡条件有：Fsin30°＝Nsin30°；Fcos30°+Ncos30°＝mg
联立解得：F＝N，故B错误，A正确；
CD、根据题意，对整体受力分析，受重力（M+m）g、绳子的拉力F、地面支持力N1和地面的摩擦力f，如图2所示：
根据平衡条件有：
Fsin30°＝f
Fcos30°+N1＝（M+m）g
解得：fmg，N1＝Mg
由牛顿第三定律得，地面受到的压力为：N1′＝N1＝Mgmg，故CD错误。
故选：A。
（2023 聊城一模）挂灯笼的习俗起源于西汉，过年期间，家家户户都挂起了各式各样的灯笼．如图所示，由五根等长的轻质细绳悬挂起质量均为m的灯笼A、B、C、D，中间细绳是水平的，上面两细绳与水平方向夹角为θ1，中间两细绳与竖直方向夹角为θ2，AB间和BC间的绳中张力分别是FAB和FBC，重力加速度为g。下列关系式正确的是（　　）
A．θ1＝θ2 B．
C．FBC＝mgtanθ2 D．
【解答】解：设两侧绳子拉力为T，对A上面的结点受力分析可知水平方向：Tcosθ1＝FABsinθ2
竖直方向：Tsinθ1＝FABcosθ2+mg
对四个灯笼的整体分析可知：2Tsinθ1＝4mg
解得tanθ1 tanθ2＝2；；；FBC＝mgtanθ2
故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2023 定州市校级开学）如图所示，一个半球形的碗放在水平桌面上，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑，一根细线跨在碗上，线的两端分别连有两小球A、B，两小球均可视为质点。当两小球平衡时，小球B与O点的连线与水平方向的夹角为60°，已知小球A的质量为0.1kg，则小球B的质量为（　　）
A．0.1kg B．kg C．kg D．0.2kg
【解答】解：对小球受力分析，如图所示，设碗对小球B支持力大小为F。AB间绳上受力大小为T，则T＝mAg
由几何关系可得△OBC为等边三角形，故有
α＝β＝30°
小球B静止，合力为零，由水平方向平衡关系有
Fsinα＝Tsinβ
由竖直方向平衡关系有
Fcosα+Tcosβ＝mBg
联立上述各等式，代入数据解得，故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2023 金凤区校级一模）如图，用筷子夹起一块重为G的小球静止在空中，球心与两根筷子在同一竖直面内，且筷子根部（较粗且紧靠的一端）与球心连线在竖直方向，筷子张角为θ。若已知每根筷子对小球的压力大小为N，则每根筷子对小球的摩擦力大小为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：小球受力如图所示
由平衡条件可得
解得，故ABC错误；故D正确。
故选：D。
（2022秋 宁波期末）如图所示，在光滑墙壁上用网兜把足球挂在A点，足球与墙壁的接触点为B。足球的质量为m，悬绳与墙壁的夹角为α，网兜的质量不计。下列说法正确的是（　　）
A．悬绳对网兜的拉力大小为mgcosα
B．墙壁对足球的支持力大小为mgtanα
C．若悬绳长度变短，则悬绳对网兜的拉力变小
D．若悬绳长度变短，则墙壁对足球的支持力保持不变
【解答】解：足球受到重力、支持力和悬绳的拉力，如图所示：
小球处于静止状态，故由平衡条件可得悬绳对足球的拉力大小为：，墙壁对足球的弹力大小为：N＝mgtanα，
若悬绳变长，则角度α变小，则悬绳对足球的拉力变小，墙壁对足球的支持力变小，故B正确，ACD错误。
故选：B。
三、利用正交分解法分析多力平衡问题
1．将各个力分解到x轴和y轴上，根据共点力的平衡条件列式(Fx＝0，Fy＝0)求解．
2．对x、y轴方向的选择原则是：使尽可能多的力落在x、y轴上，需要分解的力尽可能少，被分解的力尽可能是已知力．
3．此方法多用于三个或三个以上共点力作用下的物体平衡，三个以上共点力平衡一般要采用正交分解法．
（2022秋 鄞州区校级期中）如图所示，质量为m的物体在推力F的作用下，在水平地面上做匀速直线运动．已知物体与地面间动摩擦因数为μ，则物体受到的摩擦力的大小为（　　）
A．μ（mg+Fsinθ） B．μmg
C．μ（Fcosθ+mg） D．Fsinθ
【解答】解：对物体受力分析如图所示，在水平方向上有：f＝Fcosθ；
在竖直方向上有：N＝mg+Fsinθ，
则摩擦力为：f＝μN＝μ（mg+Fsinθ）。故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2022秋 汉中期末）小明推木箱，箱子质量m＝20kg，与地面间的动摩擦因数为0.5，第一次用水平拉力F推着箱子沿水平面做匀速直线运动（图甲）。第二次若保持F的大小不变，而方向与水平面成θ角（图乙）拉箱子，也恰好做匀速直线运动，求：（g＝10m/s2）
（1）拉力F的大小；
（2）θ大小。
【解答】解：（1）当F水平时，对物体受力分析可得
F＝f＝μmg
代入数据解得：F＝100N
（2）当F保持大小不变，而方向与水平面成θ角，对物体受力分析，则有：
Fcosθ＝f'
Fsinθ+N＝mg
f'＝μN
联立解得：sinθ＝0.8
即θ＝53°
答：（1）拉力F的大小为100N；
（2）θ为53°。
（2023 定州市校级开学）如图所示，质量为mA的物块A悬挂在绳结点O上，轻绳C偏离竖直方向的夹角为θ，轻绳B在水平方向上，且连在质量为mB的木块B上，木块B静止于倾角为θ的斜面上，木块B与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）求轻绳TB、TC的拉力大小；
（2）若系统始终处于静止状态，求mA：mB的最大值。
【解答】解：（1）对轻绳节点O受力分析如图所示
根据平衡条件，水平方向：TB＝TCsinθ
竖直方向：TCcosθ＝mAg
解得：TC
TB＝mAgtanθ
（2）当A的质量较大时，B有相对斜面向下滑动的趋势，当A与B质量的比值达到最大值时，B所受的静摩擦力达到最大值。对物块B受力分析如图所示
由平衡条件得，沿斜面方向有：fB＝mBgsinθ+TBcosθ
沿垂直斜面方向有：FNB+TBsinθ＝mBgcosθ
其中fB＝μFNB
联立解得：TBmBg
由（1）得，TB＝mAgtanθ
联立解得：mA：mB＝（μ﹣tanθ）：（tanθ+μ2tanθ）
答：（1）轻绳TB的大小为mAgtanθ，TC的拉力大小为；
（2）若系统始终处于静止状态，mA：mB的最大值为（μ﹣tanθ）：（tanθ+μ2tanθ）。
【巩固提高】
一．选择题（共9小题）
1．（2023 株洲三模）如图是码头利用可升降传动装置在水平地面由高处向下堆砌而成的沙堆，该公司为了得知沙堆的具体信息，测出沙堆的周长为s，查资料测得砂砾间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．地面对沙堆的摩擦力不为零
B．由已知条件可估算沙堆的高度
C．由已知条件可估算沙堆的质量
D．若相同质量的沙堆靠墙堆放，则占地面积会增大
【解答】解：A．分析沙堆时，选择整体为研究对象，只在竖直方向受重力及支持力，不受摩擦力作用，故A错误；
B．沙堆表面上的沙粒相当于斜面模型，受力分析如图：
沿斜面和垂直斜面方向正交分解，得mgsinθ＝μmgcosθ，整理得μ＝tanθ，由三角函数得高度h，故B正确；
C．由m＝ρV可知，ρ未知，不能求m，故C错误；
D．当沙堆靠墙时形成半个圆锥据V＝Sh得，质量不变则体积不变，底面积会减小，故D错误。
故选：B。
2．（2023春 浙江期中）如图所示，一只气球在风中处于静止状态，细绳与竖直方向的夹角为α。若风对气球作用力的大小为F，方向水平向右，则绳的拉力大小为（　　）
A．
B．
C．Fsinα
D．空气浮力未知，故无法求解
【解答】解：对气球受力分析，受重力、拉力、浮力、风对气球的作用力，如图所示：
根据平衡条件
水平方向：Tsinα＝F
绳的拉力大小为，故A正确，BCD错误。
故选：A。
3．（2023 台州模拟）如图所示，一玻璃清洁工人坐在简易的小木板BC上，通过楼顶的滑轮和轻质绳索OA在竖直平面内缓慢下降。工人两腿并拢伸直，腿与竖直玻璃墙的夹角，β＝53°，在下降过程中β角保持不变。玻璃墙对脚的作用力始终沿腿方向，小木板BC保持水平且与玻璃墙平行。某时刻轻绳OA与竖直玻璃墙的夹角α＝37°，连接小木板的两等长轻绳AB、AC的夹角θ＝120°，且与OA在同一倾斜平面内。已知工人及工具的总质量m＝60kg，小木板的质量可忽略不计。工人在稳定且未擦墙时，下列说法正确的是（　　）
A．从该时刻起，工人在缓慢下移的过程中，脚对墙的作用力增大
B．从该时刻起，工人在缓慢下移的过程中，绳OA的弹力增大
C．此时若工人不触碰轻绳，小木板受的压力大小为360N
D．此时若工人不触碰轻绳，绳AB的张力大小为600N
【解答】解：对工人受力分析如图：
A．从该时刻起，工人在缓慢下移的过程中，由相似三角形对应边成比例有
OA长度增加，OD、DE长度不变，所以F1不变，F2增加，即绳OA的弹力增大，脚对墙的作用力大小为F1sinβ，在下降过程中β角保持不变。所以脚对墙的作用力大小不变。故A错误；
B．由A选项得，OA长度增加，OD、DE长度不变，所以F1不变，F2增加，即绳OA的弹力增大，故B正确；
C．此时若工人不触碰轻绳，小木板受的压力大小等于F2，由于α＝37°，β＝53°则
根据平衡条件有F2＝mgcosα＝60×10×0.8N＝480N
故C错误；
D．连接小木板的两等长轻绳AB、AC的夹角θ＝120°，所以绳AB的张力大小
根据平衡条件有
故D错误。
故选：B。
4．（2023 青岛模拟）如图是某种双层晾衣篮，用质地均匀的圆形钢圈穿进网布构成两个完全相同的篮子，上、下两篮通过四根等长轻绳与钢圈的四等分点相连；另有四根等长轻绳，它们一端与穿过轻杆的挂钩系在一起，另一端连接上篮的四等分点。已知不装衣物时，两篮保持水平，晾衣篮的尺寸如图中所示。下列说法正确的是（　　）
A．挂钩受到绳的拉力大小是上方某一根轻绳拉力的4倍
B．挂钩受到绳的拉力大小是下方某一根轻绳拉力的4倍
C．上方某一根轻绳的拉力大小是下方某一根轻绳拉力的2.5倍
D．上方四根轻绳的拉力之和与下方四根轻绳的拉力之和大小相等
【解答】解：A．如果上方的绳子是竖直，则挂钩受到的拉力大小是上方某一根轻绳拉力的四倍，但上方的绳子不是竖直的，故挂钩受到的拉力大小不是上方某一根轻绳拉力的四倍，故A错误。
B．没有考虑上方篮子的重力，挂钩受到的拉力大小是下方某一根轻绳拉力的四倍与上方篮子的重力之和，故B错误。
C．下方每一根绳子的拉力
上方分析左边这根绳子，高度为h，长度L＝40cm
半径r＝24cm
绳子与竖直方向的夹角为37°，根据平衡条件可知，1根绳子的拉力
又因为，可知
故C正确；
D．上方四根轻绳的拉力之和的大小为2G，下方四根轻绳的拉力之和大小G，故D错误；
故选：C。
5．（2023 和平区校级模拟）如图所示，轻绳OA将一质量为m的小球悬挂于O点，OA与竖直方向的夹角为β＝30°，力F作用于小球，保持A点位置不变，现使力F沿逆时针方向缓慢旋转，则（　　）
A．力F逐渐变小
B．力F一直增大
C．力F与水平方向夹角为30°时，取最小值为
D．轻绳OA上的拉力先增大再减小
【解答】解：小球受重力mg、拉力F和轻绳的拉力FT，其中重力的大小和方向均不变，轻绳的拉力的方向不变；
三力平衡时，三个力可以构成首尾相连的矢量三角形，作图如下：
力F沿逆时针方向缓慢旋转时，由图可看出，力F先减小后增大，且当力F与水平方向的夹角a＝30°时，F最小，最小值为：Fmin＝mgsin30°mg；
而轻绳OA上的拉力FT一直减小，故C正确、ABD错误。
故选：C。
6．（2023 韶关模拟）学校农耕园施肥体验课，两位同学抬肥的示意图如图所示，重为G的肥料桶用绕过光滑细直硬木杆的轻绳悬挂处于静止状态两侧绳子的夹角为θ，下列说法正确的是（　　）
A．增加绳子长度，木杆两侧绳子的拉力都会减小
B．减小绳子长度，木杆两侧绳子的拉力都会减小
C．增加绳子长度，两同学肩膀受到的压力都会减小
D．减小绳子长度，两同学肩膀受到的压力都会减小
【解答】解：A．对桶分析，根据几何关系可得：
解得：
若增加绳子长度，减小，可知，木杆两侧绳子的拉力都会减小，故A正确；
B．根据上述，若减小绳子长度，根据几何关系可知增大，可知，木杆两侧绳子的拉力都会增大，故B错误；
CD．根据平衡条件，可知，两人向上的支持力的和值大小等于重力G，若仅仅改变绳子的长度，两人向上的支持力不变，即两同学肩膀受到的压力均不变，故CD错误。
故选：A。
7．（2022秋 邢台期末）如图所示，轻杆AB的左端用铰链与竖直墙壁连接，轻杆CD的左端固定在竖直墙上，图甲中两轻绳分别挂着质量为m1、m2的物体，另一端系于B点，图乙中两轻绳分别挂着质量为m3、m4的物体，另一端系于D点。四个物体均处于静止状态，图中轻绳OB、O'D与竖直方向的夹角均为θ＝30°，下列说法一定正确的是（　　）
A．m1：m2＝1：1 B．
C．m3：m4＝1：1 D．
【解答】解：AB．根据平衡条件：OB绳张力T＝m1g
对结点B受力分析，由平衡条件：m2g＝cosθ m1g
则
故A错误，B正确；
CD．CD杆固定在墙上，由于杆弹力方向不确定，故m3、m4比例不确定，故CD错误。
故选：B。
8．（2023 重庆模拟）如图所示，质量为m的书放在表面粗糙的斜面上处于静止状态，斜面与水平面的夹角为α，重力加速度为g，则（　　）
A．书所受摩擦力的大小为mgcosα
B．书所受摩擦力的大小与α无关
C．书所受支持力的大小为mgsinα
D．书所受合外力为0
【解答】解：ABD、静止在斜面上的物体合外力为0，所受静摩擦力大小为f＝mgsinα，与角度α有关，故AB错误，D正确；
C、支持力大小为N＝mgcosα，故C错误；
故选：D。
9．（2023 莆田模拟）如图，“人字梯”是日常生活中常见的一种登高工具，使用时四根梯杆与地面间的夹角总保持相等。现有一个人站在“人字梯”的最高处，当梯杆与地面间的夹角变大时，则（　　）
A．“人字梯”对地面的压力不变
B．“人字梯”对地面的压力减小
C．地面对每根梯杆的作用力增大
D．地面对每根梯杆的作用力减小
【解答】解：AB、以人和“人字梯”为一整体，其总重力与地面对其的支持力是一对平衡力，当梯杆与地面间的夹角变大时，总重力与支持力的关系不变，由牛顿第三定律可知“人字梯”对地面的压力不变；故A正确，B错误；
CD、由对称性可知地面对任一梯杆的支持力为人和“人字梯”总重力的一半，并且梯杆与地面的夹角变大对这一关系并没有影响，则由牛顿第三定律可知地面对每根梯杆的作用力不变，故CD错误；
故选：A。
二．计算题（共4小题）
10．（2022秋 漳州期末）如图，质量为m的小球通过水平轻绳AO、竖直轻绳BO和轻弹簧CO相连接，处于平衡状态。已知弹簧劲度系数为k，CO与竖直方向夹角为60°，重力加速度为g，求：
（1）水平轻绳AO的拉力T多大；
（2）轻弹簧的伸长量x。
【解答】解：（1）对小球B受力分析，受重力和拉力，受力平衡，则F＝mg
对O受力分析，如图所示：
根据平衡条件，A的拉力：T＝mgtan60°mg
（2）同理可知OC的拉力：FCkx
解得：轻弹簧的伸长量x
答：（1）水平轻绳AO的拉力为mg；
（2）轻弹簧的伸长量为。
11．（2022秋 宁波期末）如图所示，建筑工地上某人正在用图示装置缓慢拉升质量为m0＝200kg的重物，在某一时刻，OA绳与竖直方向夹角为θ＝37°，OA与OB绳恰好垂直。已知此人不存在翻转可能，故可将他视为质点。已知人与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，并视最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6。则：
（1）OA绳和OB绳的拉力分别为多大；
（2）若此人相对地面未发生相对滑动，求他受到的摩擦力；
（3）为保证人与地面不发生相对滑动，则他的质量m至少多大？
【解答】解：（1）对O点进行受力分析，如图所示
由平衡条件，TA，TB的合力与重力等大方向，由力的合成可知
TA＝m0gcosθ，解得TA＝1600N
TB＝m0gsinθ，解得TB＝1200N
即OA绳和OB绳的拉力分别为1600N、1200N；
（2）人所受摩擦力大小为
f＝TBcosθ，解得f＝960N
方向水平向右；
（3）对人进行受力分析，如图所示
由平衡条件：水平方向的合力为零，竖直方向的合力为零
TBcosθ＝f，NB＝TBsinθ+mg
由题意，人刚要滑动时
f＝μNB
联立解得
m＝120kg
答：（1）OA绳的拉力1600N，OB绳的拉力1200N；
（2）他受到的摩擦力960N，水平向右；
（3）他的质量m至少120kg。
12．（2022秋 海门市期末）整体与隔离法是物理学中常用的方法．如图所示，用五根等长的细线a、b、c、d、e将重均为G的三个小球1、2、3连接并悬挂。三个小球均处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，细线b竖直，细线e水平。求：
（1）细线a、e分别对小球1和2的拉力大小；
（2）细线d对小球3的拉力大小；
（3）细线c对小球2的拉力大小。
【解答】解：（1）对1、2、3三个小球整体受力分析有：Facos30°＝3G
Fasin30°＝Fe
解得：Fa＝2G
FeG
（2）对小球3受力分析可知小球3受重力与b绳对小球3的拉力Fb；
则Fb＝G，Fd＝0
（3）由题意：细线c与水平方向夹角为30°，对小球2受力分析：
Fcsin30°＝G
解得：Fc＝2G
答：（1）细线a、e分别对小球1和2的拉力大小分别为2G，G；
（2）细线d对小球3的拉力大小为0；
（3）细线c对小球2的拉力大小为2G。
13．（2022秋 徐汇区校级期末）如图所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O。轻绳OB水平且B端与放置在水平面上的质量为m2的物体乙相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝53°，物体甲、乙均处于静止状态。（已知：sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，重力加速度为g）求：
（1）轻绳OA、OB受到的拉力是多大？
（2）物体乙受到的摩擦力是多大？方向如何？
（3）乙受水平面的最大静摩擦力为它们间正压力的k倍，为维持乙不动，k的范围是多少？
【解答】解：（1）以节点O进行受力分析如图：
对甲可知F＝m1g
根据共点力平衡条件可知竖直方向有：FAcosθ＝m1g
水平方向上有：FAsinθ＝FB
解得：FAm1g，FBm1g
（2）由二力平衡得：物体乙受到的摩擦力f＝FBm1g，方向水平向左。
（3）由（2）可知，物体乙所受静摩擦力为fm1g，
故有fmax＝kN＝km2g＞fm1g
解得：k
答：（1）轻绳OA、OB受到的拉力分别为m1g，m1g；
（2）物体乙受到的摩擦力是m1g，方向水平向左；
（3）乙受水平面的最大静摩擦力为它们间正压力的k倍，为维持乙不动，k的范围是。
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3.5共点力的平衡
一、共点力平衡的条件及三力平衡问题 1
二、物体在三个力或多个力作用下的平衡问题的解法 4
三、利用正交分解法分析多力平衡问题 6
【巩固提高】 7
[学习目标]
课程标准 课标解读
知道共点力，理解物体的平衡状态。 掌握共点力的平衡条件。 能运用共点力的平衡条件求解实际问题。 掌握求解共点力平衡问题的基本方法。 1、知道什么是共点力。 2、在二力平衡的基础上，经过科学推理，得出共点力平衡的条件：物体所受合力为 0。 3、会用共点力平衡的条件，分析生活和生产中的实际 问题，体会物理学知识的实际应用价值。
[知识分析]
一、共点力平衡的条件及三力平衡问题
1．平衡状态：物体处于静止或匀速直线运动的状态．
2．平衡条件：合外力等于0，即F合＝0或.
3．推论
(1)二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向．
(2)三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向．
(3)多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意(n－1)个力的合力必定与第n个力等大、反向．
（2023 南开区校级模拟）蹦床表演的安全网如图甲所示，网绳的结构为正方形格子，O、a、b、c、d等为网绳的结点，安全网水平张紧后，重为mg的运动员从高处落下，恰好落在O点上。该处下凹至最低点时，网绳dO与eO、bO与gO间的夹角均为120°，如图乙所示，两侧对称。此时O点受到向下的作用力大小为4mg，则这时O点周围每根网绳承受的张力大小为（　　）
A．2mg B．mg C． D．
（2023 山东模拟）如图所示，某工厂生产的卷纸缠绕在中心轴上，卷纸的直径为d，轴及卷纸的总质量为m。用细绳分别系在轴上的P、Q点，将卷纸通过细绳挂在光滑竖直墙壁上的O点，已知OP＝OQ＝PQ＝L，重力加速度的大小为g。则下列说法正确的是（　　）
A．每根绳的拉力大小
B．每根绳的拉力大小
C．卷纸对墙的压力大小
D．卷纸对墙的压力大小
（2023 青羊区校级二模）每个工程设计都蕴含一定的科学道理。如图的两种家用燃气炉架都有四个爪，若将总质量为m的锅放在图乙所示的炉架上，忽略爪与锅之间的摩擦力，设锅为半径为R的球面，则每个爪与锅之间的弹力（　　）
A．等于 B．小于
C．R越大，弹力越大 D．R越大，弹力越小
（2023 重庆模拟）足球比赛开始前，裁判将一质量为m的足球静置于球员入场通道口的桌面支架上，如图（侧视图）所示。该支架由三个相同立柱组成，三个立柱成正三角形固定在水平桌面上，每个立柱和足球的接触点与足球球心的连线与竖直方向的夹角均为θ。不计足球与立柱间的摩擦，重力加速度为g，则（　　）
A．单个立柱对足球的作用力竖直向上
B．单个立柱对足球的作用力大小为
C．只增大夹角θ，三个立柱对足球的合力变大
D．只增大夹角θ，单个立柱对足球的作用力变大
（2022秋 清远期末）用厢式货车运送三根均匀圆木的截面示意图如图所示，已知三根圆木的质量均为m，直径都相等，且直径等于车厢宽度的一半。已知货车在水平路面上匀速运动，重力加速度大小为g，不计一切摩擦，下列说法正确的是（　　）
A．车厢底对B的支持力大小为3mg
B．B对A的支持力大小为mg
C．车厢壁对B的弹力大小为mg
D．B对A的支持力大小为mg
二、物体在三个力或多个力作用下的平衡问题的解法
1．力的合成法——一般用于受力个数为三个时
(1)确定要合成的两个力；
(2)根据平行四边形定则作出这两个力的合力；
(3)根据平衡条件确定两个力的合力与第三力的关系(等大反向)；
(4)根据三角函数或勾股定理解三角形．
2．正交分解法——一般用于受力个数为三个或三个以上时
(1)建立直角坐标系；
(2)正交分解各力；
(3)沿坐标轴方向根据平衡条件列式求解．
（2022秋 龙川县校级期末）如图所示，质量为M的斜面体放在水平地面上，质量为m的光滑小球被轻绳拴住挂在天花板上。已知斜面倾角为30°，轻绳与竖直方向的夹角为30°，整个装置处于静止状态。下列说法正确的是（　　）
A．轻绳对小球的拉力大小为mg
B．斜面对小球的支持力大小为mg
C．斜面体受到地面的摩擦力大小为mg
D．地面受到的压力大小为（m+M）g
（2023 聊城一模）挂灯笼的习俗起源于西汉，过年期间，家家户户都挂起了各式各样的灯笼．如图所示，由五根等长的轻质细绳悬挂起质量均为m的灯笼A、B、C、D，中间细绳是水平的，上面两细绳与水平方向夹角为θ1，中间两细绳与竖直方向夹角为θ2，AB间和BC间的绳中张力分别是FAB和FBC，重力加速度为g。下列关系式正确的是（　　）
A．θ1＝θ2 B．
C．FBC＝mgtanθ2 D．
（2023 定州市校级开学）如图所示，一个半球形的碗放在水平桌面上，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑，一根细线跨在碗上，线的两端分别连有两小球A、B，两小球均可视为质点。当两小球平衡时，小球B与O点的连线与水平方向的夹角为60°，已知小球A的质量为0.1kg，则小球B的质量为（　　）
A．0.1kg B．kg C．kg D．0.2kg
（2023 金凤区校级一模）如图，用筷子夹起一块重为G的小球静止在空中，球心与两根筷子在同一竖直面内，且筷子根部（较粗且紧靠的一端）与球心连线在竖直方向，筷子张角为θ。若已知每根筷子对小球的压力大小为N，则每根筷子对小球的摩擦力大小为（　　）
A． B．
C． D．
（2022秋 宁波期末）如图所示，在光滑墙壁上用网兜把足球挂在A点，足球与墙壁的接触点为B。足球的质量为m，悬绳与墙壁的夹角为α，网兜的质量不计。下列说法正确的是（　　）
A．悬绳对网兜的拉力大小为mgcosα
B．墙壁对足球的支持力大小为mgtanα
C．若悬绳长度变短，则悬绳对网兜的拉力变小
D．若悬绳长度变短，则墙壁对足球的支持力保持不变
三、利用正交分解法分析多力平衡问题
1．将各个力分解到x轴和y轴上，根据共点力的平衡条件列式(Fx＝0，Fy＝0)求解．
2．对x、y轴方向的选择原则是：使尽可能多的力落在x、y轴上，需要分解的力尽可能少，被分解的力尽可能是已知力．
3．此方法多用于三个或三个以上共点力作用下的物体平衡，三个以上共点力平衡一般要采用正交分解法．
（2022秋 鄞州区校级期中）如图所示，质量为m的物体在推力F的作用下，在水平地面上做匀速直线运动．已知物体与地面间动摩擦因数为μ，则物体受到的摩擦力的大小为（　　）
A．μ（mg+Fsinθ） B．μmg
C．μ（Fcosθ+mg） D．Fsinθ
（2022秋 汉中期末）小明推木箱，箱子质量m＝20kg，与地面间的动摩擦因数为0.5，第一次用水平拉力F推着箱子沿水平面做匀速直线运动（图甲）。第二次若保持F的大小不变，而方向与水平面成θ角（图乙）拉箱子，也恰好做匀速直线运动，求：（g＝10m/s2）
（1）拉力F的大小；
（2）θ大小。
（2023 定州市校级开学）如图所示，质量为mA的物块A悬挂在绳结点O上，轻绳C偏离竖直方向的夹角为θ，轻绳B在水平方向上，且连在质量为mB的木块B上，木块B静止于倾角为θ的斜面上，木块B与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）求轻绳TB、TC的拉力大小；
（2）若系统始终处于静止状态，求mA：mB的最大值。
【巩固提高】
一．选择题（共9小题）
1．（2023 株洲三模）如图是码头利用可升降传动装置在水平地面由高处向下堆砌而成的沙堆，该公司为了得知沙堆的具体信息，测出沙堆的周长为s，查资料测得砂砾间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．地面对沙堆的摩擦力不为零
B．由已知条件可估算沙堆的高度
C．由已知条件可估算沙堆的质量
D．若相同质量的沙堆靠墙堆放，则占地面积会增大
2．（2023春 浙江期中）如图所示，一只气球在风中处于静止状态，细绳与竖直方向的夹角为α。若风对气球作用力的大小为F，方向水平向右，则绳的拉力大小为（　　）
A．
B．
C．Fsinα
D．空气浮力未知，故无法求解
3．（2023 台州模拟）如图所示，一玻璃清洁工人坐在简易的小木板BC上，通过楼顶的滑轮和轻质绳索OA在竖直平面内缓慢下降。工人两腿并拢伸直，腿与竖直玻璃墙的夹角，β＝53°，在下降过程中β角保持不变。玻璃墙对脚的作用力始终沿腿方向，小木板BC保持水平且与玻璃墙平行。某时刻轻绳OA与竖直玻璃墙的夹角α＝37°，连接小木板的两等长轻绳AB、AC的夹角θ＝120°，且与OA在同一倾斜平面内。已知工人及工具的总质量m＝60kg，小木板的质量可忽略不计。工人在稳定且未擦墙时，下列说法正确的是（　　）
A．从该时刻起，工人在缓慢下移的过程中，脚对墙的作用力增大
B．从该时刻起，工人在缓慢下移的过程中，绳OA的弹力增大
C．此时若工人不触碰轻绳，小木板受的压力大小为360N
D．此时若工人不触碰轻绳，绳AB的张力大小为600N
4．（2023 青岛模拟）如图是某种双层晾衣篮，用质地均匀的圆形钢圈穿进网布构成两个完全相同的篮子，上、下两篮通过四根等长轻绳与钢圈的四等分点相连；另有四根等长轻绳，它们一端与穿过轻杆的挂钩系在一起，另一端连接上篮的四等分点。已知不装衣物时，两篮保持水平，晾衣篮的尺寸如图中所示。下列说法正确的是（　　）
A．挂钩受到绳的拉力大小是上方某一根轻绳拉力的4倍
B．挂钩受到绳的拉力大小是下方某一根轻绳拉力的4倍
C．上方某一根轻绳的拉力大小是下方某一根轻绳拉力的2.5倍
D．上方四根轻绳的拉力之和与下方四根轻绳的拉力之和大小相等
5．（2023 和平区校级模拟）如图所示，轻绳OA将一质量为m的小球悬挂于O点，OA与竖直方向的夹角为β＝30°，力F作用于小球，保持A点位置不变，现使力F沿逆时针方向缓慢旋转，则（　　）
A．力F逐渐变小
B．力F一直增大
C．力F与水平方向夹角为30°时，取最小值为
D．轻绳OA上的拉力先增大再减小
6．（2023 韶关模拟）学校农耕园施肥体验课，两位同学抬肥的示意图如图所示，重为G的肥料桶用绕过光滑细直硬木杆的轻绳悬挂处于静止状态两侧绳子的夹角为θ，下列说法正确的是（　　）
A．增加绳子长度，木杆两侧绳子的拉力都会减小
B．减小绳子长度，木杆两侧绳子的拉力都会减小
C．增加绳子长度，两同学肩膀受到的压力都会减小
D．减小绳子长度，两同学肩膀受到的压力都会减小
7．（2022秋 邢台期末）如图所示，轻杆AB的左端用铰链与竖直墙壁连接，轻杆CD的左端固定在竖直墙上，图甲中两轻绳分别挂着质量为m1、m2的物体，另一端系于B点，图乙中两轻绳分别挂着质量为m3、m4的物体，另一端系于D点。四个物体均处于静止状态，图中轻绳OB、O'D与竖直方向的夹角均为θ＝30°，下列说法一定正确的是（　　）
A．m1：m2＝1：1 B．
C．m3：m4＝1：1 D．
8．（2023 重庆模拟）如图所示，质量为m的书放在表面粗糙的斜面上处于静止状态，斜面与水平面的夹角为α，重力加速度为g，则（　　）
A．书所受摩擦力的大小为mgcosα
B．书所受摩擦力的大小与α无关
C．书所受支持力的大小为mgsinα
D．书所受合外力为0
9．（2023 莆田模拟）如图，“人字梯”是日常生活中常见的一种登高工具，使用时四根梯杆与地面间的夹角总保持相等。现有一个人站在“人字梯”的最高处，当梯杆与地面间的夹角变大时，则（　　）
A．“人字梯”对地面的压力不变
B．“人字梯”对地面的压力减小
C．地面对每根梯杆的作用力增大
D．地面对每根梯杆的作用力减小
二．计算题（共4小题）
10．（2022秋 漳州期末）如图，质量为m的小球通过水平轻绳AO、竖直轻绳BO和轻弹簧CO相连接，处于平衡状态。已知弹簧劲度系数为k，CO与竖直方向夹角为60°，重力加速度为g，求：
（1）水平轻绳AO的拉力T多大；
（2）轻弹簧的伸长量x。
11．（2022秋 宁波期末）如图所示，建筑工地上某人正在用图示装置缓慢拉升质量为m0＝200kg的重物，在某一时刻，OA绳与竖直方向夹角为θ＝37°，OA与OB绳恰好垂直。已知此人不存在翻转可能，故可将他视为质点。已知人与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，并视最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6。则：
（1）OA绳和OB绳的拉力分别为多大；
（2）若此人相对地面未发生相对滑动，求他受到的摩擦力；
（3）为保证人与地面不发生相对滑动，则他的质量m至少多大？
12．（2022秋 海门市期末）整体与隔离法是物理学中常用的方法．如图所示，用五根等长的细线a、b、c、d、e将重均为G的三个小球1、2、3连接并悬挂。三个小球均处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，细线b竖直，细线e水平。求：
（1）细线a、e分别对小球1和2的拉力大小；
（2）细线d对小球3的拉力大小；
（3）细线c对小球2的拉力大小。
13．（2022秋 徐汇区校级期末）如图所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O。轻绳OB水平且B端与放置在水平面上的质量为m2的物体乙相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝53°，物体甲、乙均处于静止状态。（已知：sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，重力加速度为g）求：
（1）轻绳OA、OB受到的拉力是多大？
（2）物体乙受到的摩擦力是多大？方向如何？
（3）乙受水平面的最大静摩擦力为它们间正压力的k倍，为维持乙不动，k的范围是多少？
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