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微专题Ⅱ 动力学连接体问题和临界问题
一、动力学的连接体问题 1
二、动力学的临界问题 3
【巩固提高】 6
[知识分析]
一、动力学的连接体问题
1．连接体：两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同加速度的整体叫连接体．如几个物体叠放在一起，或并排挤放在一起，或用绳子、细杆等连在一起，在求解连接体问题时常用的方法为整体法与隔离法．
2．整体法：把整个连接体系统看做一个研究对象，分析整体所受的外力，运用牛顿第二定律列方程求解．其优点在于它不涉及系统内各物体之间的相互作用力．
3．隔离法：把系统中某一物体(或一部分)隔离出来作为一个单独的研究对象，进行受力分析，列方程求解．其优点在于将系统内物体间相互作用的内力转化为研究对象所受的外力，容易看清单个物体(或一部分)的受力情况或单个过程的运动情形．
4．整体法与隔离法的选用
求解各部分加速度都相同的连接体问题时，要优先考虑整体法；如果还需要求物体之间的作用力，再用隔离法．求解连接体问题时，随着研究对象的转移，往往两种方法交替运用．一般的思路是先用其中一种方法求加速度，再用另一种方法求物体间的作用力或系统所受合力．无论运用整体法还是隔离法，解题的关键还是在于对研究对象进行正确的受力分析．
（2022秋 浦东新区校级期末）如图，光滑水平面上放置有紧靠在一起但并不黏合的A、B两个物体，A、B的质量分别为mA＝2kg，mB＝3kg，从t＝0开始，推力FA和拉力FB分别作用于A、B上，FA、FB大小随时间变化的规律分别为FA＝（7﹣2t）N，FB＝（3+2t）N。则（　　）
A．A、B两物体一直做匀加速直线运动
B．当FA＝FB时，A、B两物体之间的弹力为零
C．t＝2s时开始A、B两物体之间的弹力为零
D．t＝6s时，B物体的加速度为5m/s2
（2022秋 安次区校级期末）如图所示，夹在物块A、B之间的轻弹簧劲度系数为k＝100N/m，物块A、B的质量分别为mA＝2kg和mB＝3kg，两物块与地面之间的动摩擦因数均为μ＝0.1，现用与水平方向成37°角的恒定拉力F＝10N作用在物块B上，当系统达到稳定状态时A、B间保持相对静止，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度为g＝10m/s2，此时弹簧的伸长量为（　　）
A．4.8cm B．5.16cm C．3.44cm D．7.74cm
（2022秋 越秀区校级期末）如图所示，质量分别为mA、mB的A、B两物块用轻细绳连接放在水平面上，用水平拉力F拉A，使它们一起匀加速运动，A、B与水平面的动摩擦因数均为μ，为了增大轻细绳上的拉力，可行的办法是（　　）
A．减小A的质量mA B．减小B的质量mB
C．减小动摩擦因数μ D．增大动摩擦因数μ
（多选）（2022秋 北海期末）如图所示的粗糙水平面上放置两相同材料制成的质量均为m的物体，两物体间用一质量不计的轻绳拴接在一起，现在物体A上施加一水平向右的外力F使两物体共同向右做匀加速直线运动，假设轻绳始终不断。下列说法正确的是（　　）
A．仅将外力加倍，则两物体的加速度加倍
B．仅将两物体的质量减半，则两物体的加速度加倍
C．仅将B的质量减半，则轻绳的拉力为
D．两物体的质量和外力同时减半，则轻绳的拉力为
（2022春 崂山区校级期末）一轻弹簧的一端固定在倾角为37°的固定光滑斜面的底部，另一端和质量为1kg的小物块a相连，如图所示。质量为0.4kg的小物块b紧靠a静止在斜面上，此时弹簧的压缩量为20cm，从t＝0时开始，对b施加沿斜面向上的外力，使b始终做匀加速直线运动。经过一段时间后，物块a、b分离；再经过同样长的时间，b距其出发点的距离恰好也为20cm。弹簧的形变始终在弹性限度内，重力加速度大小g＝10m/s2。求：
（1）弹簧的劲度系数；
（2）物块b加速度的大小；
（3）在物块a、b分离前，外力大小随时间变化的关系式。
二、动力学的临界问题
1．临界问题：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态．
2．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件．
3．临界问题的常见类型及临界条件：
(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触(或脱离)的临界条件是弹力为零．
(2)相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力．
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是绳上的张力为零．
(4)加速度最大与速度最大的临界条件：当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度．当出现加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值．
4．解答临界问题的三种方法
(1)极限法：把问题推向极端，分析在极端情况下可能出现的状态，从而找出临界条件．
(2)假设法：有些物理过程没有出现明显的临界线索，一般用假设法，即假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况与题设是否相同，然后再根据实际情况处理．
(3)数学法：将物理方程转化为数学表达式，如二次函数、不等式、三角函数等，然后根据数学中求极值的方法，求出临界条件．
（2022 庐阳区校级模拟）如图所示，质量为m的两个相同物块A、B叠放在轻弹簧上，并处于静止状态，轻弹簧下端固定在地面上，重力加速度为g。现对物块A施加竖直向上的力F，则下列说法正确的是（　　）
A．若F＝1.8mg且为恒力，则力F作用的瞬间，A、B间的弹力大小为0.2mg
B．若F＝1.8mg且为恒力，则A、B分离的瞬间，弹簧的弹力大小为1.9mg
C．若在F作用下，物体A以0.5g匀加速向上运动，则A、B分离时，弹簧处于原长状态
D．若在F作用下，物体A以0.5g匀加速向上运动，则A、B分离前，两者组成的系统合外力大小始终不变
（多选）（2022秋 会宁县校级期末）如题图所示，质量m＝10kg的小球挂在倾角θ＝30°，质量M＝40kg的光滑斜面的固定铁杆上，欲使小球在斜面一起加速向右运动，则作用于斜面上的水平向右的外力F的大小可能的是（　　）
A．250N B．500 C．10 N D．0
（2022秋 吉水县校级月考）如图所示，A、B两物体紧靠着放在粗糙水平面上，A、B间接触面光滑．在水平推力F作用下两物体一起加速运动，物体A恰好不离开地面，则物体B的受力个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
（多选）（202 沛县校级模拟）如图所示，在倾角为θ的光滑斜劈P的斜面上有两个用轻质弹簧相连的物块A、B，C为一垂直固定在斜面上的挡板。A、B质量均为m，斜面连同挡板的质量为M，弹簧的劲度系数为k，系统静止于光滑水平面。现开始用一水平恒力F作用于P，（重力加速度为g）下列说法中正确的是（　　）
A．若F＝0，挡板受到B物块的压力为2mgsinθ
B．力F较小时A相对于斜面静止，F大于某一数值，A相对于斜面向上滑动
C．若要B离开挡板C，弹簧伸长量需达到
D．若F＝（M+2m）gtanθ且保持两物块与斜劈共同运动，弹簧将保持原长
（多选）（2022秋 迎泽区校级期末）如图甲所示，平行于光滑斜面的轻弹簧劲度系数为k，一端固定在倾角为θ的斜面底端，另一端与物块A连接；两物块A、B质量均为m，初始时均静止。现用平行于斜面向上的力F拉动物块B，使B做加速度为a的匀加速运动，A、B两物块在开始一段时间内的v﹣t关系分别对应图乙中A、B图线（t1时刻A、B的图线相切，t2时刻对应A图线的最高点），重力加速度为g，则（　　）
A．t2时刻，弹簧形变量为0
B．t1时刻，弹簧形变量为
C．从开始到t1时刻，拉力F逐渐增大
D．从t1时刻到t2时刻，拉力F逐渐增大
（多选）（2023 思明区二模）如图所示，A、B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平地面上．A、B间的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为．最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g．现对A施加一水平拉力F，则（　　）
A．当 F＜2 μmg 时，A、B 都相对地面静止
B．当 Fμmg 时，A 的加速度为μg
C．当 F＞3μmg 时，A 相对 B 滑动
D．无论 F 为何值，B 的加速度不会超过μg
【巩固提高】
一．选择题（共7小题）
1．（2021秋 延庆区期末）如图所示，木块A和B叠放在粗糙的水平地面上，B与水平地面间的动摩擦因数为0.2。用一个水平向右的推力F作用于B。木块A的质量为1kg，木块B的质量为2kg，A与B之间的最大静摩擦力为3N。若保持木块A和B相对静止，则该推力F的最大值为（　　）
A．9N B．15N C．6N D．3N
2．（2022 新乡一模）如图甲所示，水平地面上叠放着小物块B和木板A（足够长），其中A的质量为1.5kg，整体处于静止状态。现对木板A施加方向水平向右的拉力F，木板A的加速度a与拉力F的关系图像如图乙所示。已知A、B间以及A与地面间的动摩擦因数相同，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g＝10m/s2。下列说法正确的是（　　）
A．当拉力大小为5N时，A、B开始相对滑动
B．A与地面间的动摩擦因数为0.2
C．B的质量为0.5kg
D．图乙中的x＝7.5
3．（2023 湖北模拟）如图所示，一根轻绳跨过一轻质定滑轮，轻绳一端系一个质量为m的物体A。将物体A固定，质量为2m的人抓着轻绳匀速向下爬，轻绳处于竖直状态。已知重力加速度大小为g，某时刻释放物体A，若人相对于轻绳匀速向下爬，则物体A的加速度（　　）
A．大小为g，方向向上 B．大小为g，方向向下
C．大小为g，方向向上 D．大小为g，方向向下
4．（2023 定州市校级开学）如图所示，在倾角为α的固定光滑斜面上，有一个用绳子拴着的长木板，木板上站着一只猫。已知猫与木板的质量分别是mA、mB。当绳子突然断开时，猫立即沿着板向上跑，以保持其相对斜面的位置不变。重力加速度大小为g，则此时木板沿斜面下滑的加速度大小为（　　）
A．gsinα B．gsinα
C．gsinα D．gsinα
5．（2022秋 河西区期末）如图所示，物块A、B用一条绕过轻质定滑轮的轻绳相连，轻绳两部分分别处于竖直和水平状态，A、B的质量分别为M、m，重力加速度为g，不计一切摩擦．现将系统由静止释放，B向左运动，则（　　）
A．B对桌面的压力小于mg
B．A、B的加速度相同
C．B的加速度大小为
D．轻绳对滑轮的作用力小于mg
6．（2023 河南模拟）如图所示，质量为m2的物体2放在正沿平直轨道行驶的车厢底板上，并用竖直细绳通过光滑定滑轮连接质量为m1的物体1，某时刻观察到与物体1相连接的细绳与竖直方向成θ角，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．车厢向右减速运动
B．物体2所受底板的摩擦力大小为m2gtanθ，方向向右
C．车厢向左加速运动
D．物体2对底板的压力大小为m2g﹣m1gsinθ
7．（2022秋 东胜区校级期末）如图所示，物体P置于光滑的水平面上，用轻细线跨过质量不计的光滑定滑轮连接一个重力G＝15N的重物Q，物体P向右运动的加速度为a1；若细线下端不挂重物，而用F＝15N的力竖直向下拉细线下端，这时物体P的加速度为a2，则下列说法正确的是（　　）
A．a1＜a2 B．a1＝a2
C．a1＞a2 D．质量未知，无法判断
二．计算题（共2小题）
8．（2022秋 香坊区校级期中）如图所示，用力F向上提通过细绳连在一起的A、B两物体，使A、B以2m/s2的加速度匀加速竖直上升，已知A、B的质量分别是1kg和2kg，绳子所能承受的最大拉力是30N，取g＝10m/s2，则：
（1）力F的大小是多少？
（2）为使绳子不被拉断，加速上升时F最大值为多大？
9．（2022秋 临川区校级月考）如图所示，足够长的固定光滑斜面的倾角θ＝30°，斜面顶端有一轻质光滑定滑轮。质量为m的滑块P通过不可伸长的细线绕过定滑轮与重物Q相连。开始时托着重物Q使细线竖直且恰好处于绷直状态，滑块P与滑轮间的轻绳与斜面平行。现由静止释放重物Q，重物Q竖直向下运动经过时间t0时，细线突然被烧断，发现滑块P又经过时间2t0回到了出发位置，重力加速度为g，求：
（1）重物Q的质量M；
（2）滑块P从开始运动到返回出发位置过程中运动的路程。
10．（2023 杨浦区二模）风洞训练可以模拟高空跳伞下落过程中人体所承受气流的状态，是跳伞初学者学习跳伞的必要项目。在空中运动的物体受到的空气阻力FCdρSv2，式中S为迎风面积，Cd为风阻系数，与物体的迎风面积、光滑程度和整体形状等有关．空气密度ρ取1.29kg/m3。已知跳伞运动员的质量约为65kg。重力加速度g取10m/s2。
（1）如图1，风洞竖直向上送风，当风速达65m/s时该运动员悬浮在风洞内，Cd取0.326，求其身体的迎风面积S；
（2）在室外高空跳伞时，Cd取1.26，跳伞总装备的质量为20kg，打开的降落伞伞面面积为56m2。运动员身上的传感器记录了运动员由静止起在空中竖直下落的加速度a与速度v并绘制图（2）的图像，分析并求出图2中坐标值x0和运动员落地时的速率。
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微专题Ⅱ 动力学连接体问题和临界问题
一、动力学的连接体问题 1
二、动力学的临界问题 5
【巩固提高】 11
[知识分析]
一、动力学的连接体问题
1．连接体：两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同加速度的整体叫连接体．如几个物体叠放在一起，或并排挤放在一起，或用绳子、细杆等连在一起，在求解连接体问题时常用的方法为整体法与隔离法．
2．整体法：把整个连接体系统看做一个研究对象，分析整体所受的外力，运用牛顿第二定律列方程求解．其优点在于它不涉及系统内各物体之间的相互作用力．
3．隔离法：把系统中某一物体(或一部分)隔离出来作为一个单独的研究对象，进行受力分析，列方程求解．其优点在于将系统内物体间相互作用的内力转化为研究对象所受的外力，容易看清单个物体(或一部分)的受力情况或单个过程的运动情形．
4．整体法与隔离法的选用
求解各部分加速度都相同的连接体问题时，要优先考虑整体法；如果还需要求物体之间的作用力，再用隔离法．求解连接体问题时，随着研究对象的转移，往往两种方法交替运用．一般的思路是先用其中一种方法求加速度，再用另一种方法求物体间的作用力或系统所受合力．无论运用整体法还是隔离法，解题的关键还是在于对研究对象进行正确的受力分析．
（2022秋 浦东新区校级期末）如图，光滑水平面上放置有紧靠在一起但并不黏合的A、B两个物体，A、B的质量分别为mA＝2kg，mB＝3kg，从t＝0开始，推力FA和拉力FB分别作用于A、B上，FA、FB大小随时间变化的规律分别为FA＝（7﹣2t）N，FB＝（3+2t）N。则（　　）
A．A、B两物体一直做匀加速直线运动
B．当FA＝FB时，A、B两物体之间的弹力为零
C．t＝2s时开始A、B两物体之间的弹力为零
D．t＝6s时，B物体的加速度为5m/s2
【解答】解：AC、A、B开始时一起做匀加速直线运动，对A、B整体受力分析，由牛顿第二定律得：FA+FB＝（mA+mB）a0
代入数据解得：
当A、B两物体恰好分离时，对A，由牛顿第二定律得：FA＝mAa0
结合FA＝（7﹣2t）N，代入数据解得：t＝1.5s
所以t＝1.5s内A、B两物体一起向右做匀加速直线运动，t＝1.5s后A、B两物体分离，t＝1.5s时开始A、B两物体之间的弹力为零。之后，由于FA、FB是变力，则两物体加速度发生改变，故AC错误；
B、当t＝1.5s时，A、B两物体之间的弹力为零，此时FA＝（7﹣2×1.5）N＝4N，FB＝（3+2×1.5）N＝6N，则FA≠FB，故B错误；
D、当t＝6s时，对B受力分析，由牛顿第二定律得：FB＝mBaB
其中FB＝（3+2t）N，代入数据解得，B物体的加速度为，故D正确。
故选：D。
（2022秋 安次区校级期末）如图所示，夹在物块A、B之间的轻弹簧劲度系数为k＝100N/m，物块A、B的质量分别为mA＝2kg和mB＝3kg，两物块与地面之间的动摩擦因数均为μ＝0.1，现用与水平方向成37°角的恒定拉力F＝10N作用在物块B上，当系统达到稳定状态时A、B间保持相对静止，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度为g＝10m/s2，此时弹簧的伸长量为（　　）
A．4.8cm B．5.16cm C．3.44cm D．7.74cm
【解答】解：设此时弹簧的伸长量为x。对A，由牛顿第二定律得
kx﹣μmAg＝mAa
对B，由牛顿第二定律得
水平方向，有Fcos37°﹣kx﹣f＝mBa
竖直方向，有Fsin37°+FN＝mBg
又f＝μFN
联立以上各式解得
x＝0.0344m＝3.44cm
故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2022秋 越秀区校级期末）如图所示，质量分别为mA、mB的A、B两物块用轻细绳连接放在水平面上，用水平拉力F拉A，使它们一起匀加速运动，A、B与水平面的动摩擦因数均为μ，为了增大轻细绳上的拉力，可行的办法是（　　）
A．减小A的质量mA B．减小B的质量mB
C．减小动摩擦因数μ D．增大动摩擦因数μ
【解答】解：对AB整体，根据牛顿第二定律得
F﹣μ（mA+mB）g＝（mA+mB）a
对B，由牛顿第二定律得：FT﹣μmBg＝mBa
联立解得：
A、减小A物块的质量mA，细绳上的拉力FT增大，故A正确；
B、减小B物块的质量mB，细绳上的拉力FT减小，故B错误；
CD、FT与μ无关，增大或减小动摩擦因数μ，细绳上的拉力FT不变，故CD错误。
故选：A。
（多选）（2022秋 北海期末）如图所示的粗糙水平面上放置两相同材料制成的质量均为m的物体，两物体间用一质量不计的轻绳拴接在一起，现在物体A上施加一水平向右的外力F使两物体共同向右做匀加速直线运动，假设轻绳始终不断。下列说法正确的是（　　）
A．仅将外力加倍，则两物体的加速度加倍
B．仅将两物体的质量减半，则两物体的加速度加倍
C．仅将B的质量减半，则轻绳的拉力为
D．两物体的质量和外力同时减半，则轻绳的拉力为
【解答】解：AB．以两物体为整体，由整体的牛顿第二定律：F﹣2μmg＝2ma
解得
质量不变，仅将外力加倍，则由牛顿第二定律加速度
外力不变，仅将两物体质量减半，则由牛顿第二定律加速度为
故AB错误；
C．仅将B质量减半，以两物体为整体，由整体的牛顿第二定律：
以B为对象，由牛顿第二定律得
解得
故C正确；
D．两物体质量和外力同时减半，以两物体为整体，由整体的牛顿第二定律：
以B为对象，由牛顿第二定律：
解得
故D正确。
故选：CD。
（2022春 崂山区校级期末）一轻弹簧的一端固定在倾角为37°的固定光滑斜面的底部，另一端和质量为1kg的小物块a相连，如图所示。质量为0.4kg的小物块b紧靠a静止在斜面上，此时弹簧的压缩量为20cm，从t＝0时开始，对b施加沿斜面向上的外力，使b始终做匀加速直线运动。经过一段时间后，物块a、b分离；再经过同样长的时间，b距其出发点的距离恰好也为20cm。弹簧的形变始终在弹性限度内，重力加速度大小g＝10m/s2。求：
（1）弹簧的劲度系数；
（2）物块b加速度的大小；
（3）在物块a、b分离前，外力大小随时间变化的关系式。
【解答】解：（1）a、b静止时，对a、b整体受力分析，根据平衡条件得：kx0＝（ma+mb）gsinθ
代入数据解得：k＝42N/m
（2）设a、b分离时的时间为t1，此时a、b的位移为x1at12
再经过同样长的时间，b的位移为x0a（2t1）2＝4x1
则当二者分离时，弹簧形变量为x2＝x0
此时对a受力分析，根据牛顿第二定律得：kx2﹣magsinθ＝maa
代入数据联立解得：a＝0.3m/s2
（3）设时间为t，则经时间t时，ab前进的位移xat2
形变量变为Δx＝x0﹣x
对整体分析可知，由牛顿第二定律得：
F+kΔx﹣（ma+mb）gsinθ＝（ma+mb）a
解得：F＝（6.3t2+0.42N）
因分离时位移x
由xat2
解得：ts
故应保证0≤ts，F表达式才能成立。
答：（1）弹簧的劲度系数为42N/m；
（2）物块b加速度的大小为0.3m/s2；
（3）在物块a、b分离前，外力大小随时间变化的关系式为F＝（6.3t2+0.42N）（0≤ts）。
二、动力学的临界问题
1．临界问题：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态．
2．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件．
3．临界问题的常见类型及临界条件：
(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触(或脱离)的临界条件是弹力为零．
(2)相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力．
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是绳上的张力为零．
(4)加速度最大与速度最大的临界条件：当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度．当出现加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值．
4．解答临界问题的三种方法
(1)极限法：把问题推向极端，分析在极端情况下可能出现的状态，从而找出临界条件．
(2)假设法：有些物理过程没有出现明显的临界线索，一般用假设法，即假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况与题设是否相同，然后再根据实际情况处理．
(3)数学法：将物理方程转化为数学表达式，如二次函数、不等式、三角函数等，然后根据数学中求极值的方法，求出临界条件．
（2022 庐阳区校级模拟）如图所示，质量为m的两个相同物块A、B叠放在轻弹簧上，并处于静止状态，轻弹簧下端固定在地面上，重力加速度为g。现对物块A施加竖直向上的力F，则下列说法正确的是（　　）
A．若F＝1.8mg且为恒力，则力F作用的瞬间，A、B间的弹力大小为0.2mg
B．若F＝1.8mg且为恒力，则A、B分离的瞬间，弹簧的弹力大小为1.9mg
C．若在F作用下，物体A以0.5g匀加速向上运动，则A、B分离时，弹簧处于原长状态
D．若在F作用下，物体A以0.5g匀加速向上运动，则A、B分离前，两者组成的系统合外力大小始终不变
【解答】解：A、在力F作用下A、B一起向上加速，根据牛顿第二定律可得A、B整体加速度大小a0.9g；
隔离A，利用牛顿第二定律有：F+T﹣mg＝ma，可求得A、B间的弹力大小为F＝0.1mg，故A错误；
B、物块A、B刚分离时，A、B间的弹力大小为0，对A利用牛顿第二定律可得A的加速度大小为aA0.8g；
此时B的加速度大小也为0.8g，对B根据牛顿第二定律可得：T1﹣mg＝maA，可得弹簧的弹力为T1＝1.8mg，故B错误；
C、若在F作用下，物体A以0.5g匀加速向上运动，A、B分离时，设弹簧的压缩量为x，对B根据牛顿第二定律得：kx﹣mg＝0.5mg，解得：x，故C错误；
D、若在F作用下，物体A以0.5g匀加速向上运动，则A、B分离前，两者组成的系统合外力大小：F合＝2ma，保持不变，故D正确。
故选：D。
（多选）（2022秋 会宁县校级期末）如题图所示，质量m＝10kg的小球挂在倾角θ＝30°，质量M＝40kg的光滑斜面的固定铁杆上，欲使小球在斜面一起加速向右运动，则作用于斜面上的水平向右的外力F的大小可能的是（　　）
A．250N B．500 C．10 N D．0
【解答】解：当斜面对小球的支持力为零时，斜面和小球向右运动的加速度最大，
对小球进行受力分析，小球只受重力和拉力，合力水平向右，则有：
mgcot30°＝ma
a＝gcot30°＝10m/s2，
对整体进行受力分析，根据牛顿第二定律得：
F＝（m+M）a＝50×10500N，
所以只要500N≥F＞0，小球就能在斜面上，一起加速向右运动，故ABC正确，D错误。
故选：ABC。
（2022秋 吉水县校级月考）如图所示，A、B两物体紧靠着放在粗糙水平面上，A、B间接触面光滑．在水平推力F作用下两物体一起加速运动，物体A恰好不离开地面，则物体B的受力个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：对物体A：由题，物体A恰好不离开地面，B对A有垂直于接触面向上的支持力，根据牛顿第三定律得知，A对B有垂直于接触向下的压力，则B受到如下4个力：重力GB、地面的支持力N和滑动摩擦力、A的压力N1。
故选：B。
（多选）（202 沛县校级模拟）如图所示，在倾角为θ的光滑斜劈P的斜面上有两个用轻质弹簧相连的物块A、B，C为一垂直固定在斜面上的挡板。A、B质量均为m，斜面连同挡板的质量为M，弹簧的劲度系数为k，系统静止于光滑水平面。现开始用一水平恒力F作用于P，（重力加速度为g）下列说法中正确的是（　　）
A．若F＝0，挡板受到B物块的压力为2mgsinθ
B．力F较小时A相对于斜面静止，F大于某一数值，A相对于斜面向上滑动
C．若要B离开挡板C，弹簧伸长量需达到
D．若F＝（M+2m）gtanθ且保持两物块与斜劈共同运动，弹簧将保持原长
【解答】解：A、F＝0时，对物体A、B整体受力分析，受重力、斜面的支持力N1和挡板的支持力N2，根据共点力平衡条件，沿平行斜面方向，有N2﹣（2m）gsinθ＝0，故正确；
B、只要F不为零，a就有向左的加速度，原来a是处于平衡状态的，当a有向左的加速度时，弹簧弹力会在原来的基础上变化，所以a会沿斜面向上滑动，故B错误；
C、物体B恰好离开挡板C的临界情况是物体B对挡板无压力，此时，整体向左加速运动，对物体B受力分析，受重力、支持力、弹簧的拉力，如图
据牛顿第二定律，有
mg﹣Ncosθ﹣kxsinθ＝0
Nsinθ﹣kxcosθ＝ma
解得：kx＝mgsinθ﹣macosθ，x
故C错误；
D、若F＝（M+2m）gtanθ且保持两物块与斜劈共同运动，则根据牛顿第二定律，整体加速度为gtanθ；
对物体A受力分析，受重力，支持力和弹簧弹力，如图
根据牛顿第二定律，有
mgsinθ﹣kx＝macosθ
解得
kx＝0
故弹簧处于原长，故D正确；
故选：AD。
（多选）（2022秋 迎泽区校级期末）如图甲所示，平行于光滑斜面的轻弹簧劲度系数为k，一端固定在倾角为θ的斜面底端，另一端与物块A连接；两物块A、B质量均为m，初始时均静止。现用平行于斜面向上的力F拉动物块B，使B做加速度为a的匀加速运动，A、B两物块在开始一段时间内的v﹣t关系分别对应图乙中A、B图线（t1时刻A、B的图线相切，t2时刻对应A图线的最高点），重力加速度为g，则（　　）
A．t2时刻，弹簧形变量为0
B．t1时刻，弹簧形变量为
C．从开始到t1时刻，拉力F逐渐增大
D．从t1时刻到t2时刻，拉力F逐渐增大
【解答】解：A、由图知，t2时刻A的加速度为零，速度最大，根据牛顿第二定律和胡克定律得：mgsinθ＝kx，
则得：x，故A错误；
B、由图读出，t1时刻A、B开始分离，对A根据牛顿第二定律：kx﹣mgsinθ＝ma
解得x，故B正确；
C、从开始到t1时刻，A与B整体做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律，有：F+kx﹣（2m）gsinθ＝（2m）a，解得：F＝2m（a+gsinθ）﹣kx，由于x逐渐减小，故F逐渐增加，故C正确；
D、从t1时刻到t2时刻，B物体做匀加速运动，根据牛顿第二定律可知F﹣mgsinθ＝ma，解得F＝mgsinθ+ma，拉力恒定，故D错误
故选：BC。
（多选）（2023 思明区二模）如图所示，A、B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平地面上．A、B间的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为．最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g．现对A施加一水平拉力F，则（　　）
A．当 F＜2 μmg 时，A、B 都相对地面静止
B．当 Fμmg 时，A 的加速度为μg
C．当 F＞3μmg 时，A 相对 B 滑动
D．无论 F 为何值，B 的加速度不会超过μg
【解答】解：D、物块A、B之间的最大静摩擦力为：fmax＝2μmg
物块B与地面间的最大静摩擦力为：f′max（2m+m）g＝1.5μmg
物块B的最大加速度为：amμg，则无论 F 为何值，B 的加速度不会超过μg，故D正确；
C、物块A、B相对静止与相对滑动的临界条件为：A、B之间的静摩擦力达到最大值，处于临界时A、B整体的加速度等于B的最大加速度为am，则有：
F（2m+m）g＝3mam，解得：F＝3μmg
可知当 F＞3μmg 时，A相对B发生滑动，故C正确；
A、因物块B与地面间的最大静摩擦力为1.5μmg，小于A、B之间的最大静摩擦力2μmg，以A、B整体为研究对象，当F＜1.5μmg时，A、B 都相对地面静止。结合C选项的结论，可知当1.5μmg＜F≤3μmg时，A、B相对静止一起相对地面滑动，故A错误；
B、由A选项的分析，当Fμmg时，A、B相对静止一起相对地面滑动，以A、B整体为研究对象，由牛顿第二定律有：a，故B正确。
故选：BCD。
【巩固提高】
一．选择题（共7小题）
1．（2021秋 延庆区期末）如图所示，木块A和B叠放在粗糙的水平地面上，B与水平地面间的动摩擦因数为0.2。用一个水平向右的推力F作用于B。木块A的质量为1kg，木块B的质量为2kg，A与B之间的最大静摩擦力为3N。若保持木块A和B相对静止，则该推力F的最大值为（　　）
A．9N B．15N C．6N D．3N
【解答】解：A与B之间的最大静摩擦力为3N，所以A的最大加速度为3m/s2，若要保持木块A和B相对静止，则系统的最大加速度为3m/s2，对整体由牛顿第二定律得：F﹣μ（mA+mB）g＝（mA+mB）a，解得F＝15N，故B正确，ACD错误。
故选：B。
2．（2022 新乡一模）如图甲所示，水平地面上叠放着小物块B和木板A（足够长），其中A的质量为1.5kg，整体处于静止状态。现对木板A施加方向水平向右的拉力F，木板A的加速度a与拉力F的关系图像如图乙所示。已知A、B间以及A与地面间的动摩擦因数相同，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g＝10m/s2。下列说法正确的是（　　）
A．当拉力大小为5N时，A、B开始相对滑动
B．A与地面间的动摩擦因数为0.2
C．B的质量为0.5kg
D．图乙中的x＝7.5
【解答】解：A．由图可知，当F＞10N时，木板A的加速度增加的更快，说明此时A和B发生相对滑动，A错误；B．当F＝10N时，B的加速度达到最大，此时有
a
则μ＝0.25，故B错误；
C．对A和B整体，当F＝10N时，有
a
a＝2.5m/s2
代入数据解得：mB＝0.5kg，故C正确；
D．A开始滑动时，可得F＝μ（mB+mA）g＝0.25×（0.5+1.5）×10N＝5N
则x＝5N，故D错误。
故选：C。
3．（2023 湖北模拟）如图所示，一根轻绳跨过一轻质定滑轮，轻绳一端系一个质量为m的物体A。将物体A固定，质量为2m的人抓着轻绳匀速向下爬，轻绳处于竖直状态。已知重力加速度大小为g，某时刻释放物体A，若人相对于轻绳匀速向下爬，则物体A的加速度（　　）
A．大小为g，方向向上 B．大小为g，方向向下
C．大小为g，方向向上 D．大小为g，方向向下
【解答】解：释放A后，A的加速度方向向上，且人和A加速度大小相等。
对人和物体组成的系统整体分析受力，由牛顿第二定律F＝ma得：2mg﹣mg＝（2m+m）a
解得
故C正确，ABD错误。
故选：C。
4．（2023 定州市校级开学）如图所示，在倾角为α的固定光滑斜面上，有一个用绳子拴着的长木板，木板上站着一只猫。已知猫与木板的质量分别是mA、mB。当绳子突然断开时，猫立即沿着板向上跑，以保持其相对斜面的位置不变。重力加速度大小为g，则此时木板沿斜面下滑的加速度大小为（　　）
A．gsinα B．gsinα
C．gsinα D．gsinα
【解答】解：对猫进行分析，猫相对斜面静止，加速度为0，所以猫沿斜面方向合力为0。设猫与木板间的摩擦力大小为f，由平衡条件有：mAgsinα﹣f＝0
对木板，由牛顿第二定律有mBgsinα+f＝mBa，联立解得木板沿斜面下滑的加速度大小：，故A正确，BCD错误。
故选：A。
5．（2022秋 河西区期末）如图所示，物块A、B用一条绕过轻质定滑轮的轻绳相连，轻绳两部分分别处于竖直和水平状态，A、B的质量分别为M、m，重力加速度为g，不计一切摩擦．现将系统由静止释放，B向左运动，则（　　）
A．B对桌面的压力小于mg
B．A、B的加速度相同
C．B的加速度大小为
D．轻绳对滑轮的作用力小于mg
【解答】解：A、水平方向上对B进行受力分析，B只受拉力作用向左加速，竖直方向上处于平衡状态，所以根据牛顿第二、三定律可知，B对桌面的压力FN′＝mg，故A错误；
B、由题意可知，A的加速度方向向下，而B的加速度水平向左，两者的方向不同，加速度一定不同，故B错误；
C、虽然AB加速度方向不同，但大小是相等的，对AB整体，由牛顿第二定律得：Mg＝（m+M）a
可以得到AB的加速度大小a，故C错误；
D、对B物体，根据牛顿第二定律有：T＝ma，代入得到轻绳的拉力T。对滑轮受到水平和竖直两个方向轻绳的拉力作用，所以滑轮受到轻绳的作用力为F绳＝2Tcos45°，故D正确。
故选：D。
6．（2023 河南模拟）如图所示，质量为m2的物体2放在正沿平直轨道行驶的车厢底板上，并用竖直细绳通过光滑定滑轮连接质量为m1的物体1，某时刻观察到与物体1相连接的细绳与竖直方向成θ角，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．车厢向右减速运动
B．物体2所受底板的摩擦力大小为m2gtanθ，方向向右
C．车厢向左加速运动
D．物体2对底板的压力大小为m2g﹣m1gsinθ
【解答】解：AC、以物体1为研究对象，受到竖直向下的重力和沿绳向上的拉力，其合力水平向右，如图1所示，则由牛顿第二定律得
m1gtanθ＝m1a
所以物体1的加速度大小为a＝gtanθ，方向水平向右，所以车厢向右加速运动或者向左减速运动，故AC错误；
B、物体2的加速度与物体1的加速度相同，分析物体2 的受力，如图2所示，根据牛顿第二定律得：
f＝m2a＝m2gtanθ，方向水平向右，故B正确；
D、对物体1，有Tcosθ＝m1g
对物体2，竖直方向有
N+T＝m2g
联立解得：N＝m2g
根据牛顿第三定律知，物体2对底板的压力大小为N′＝N＝m2g，故D错误。
故选：B。
7．（2022秋 东胜区校级期末）如图所示，物体P置于光滑的水平面上，用轻细线跨过质量不计的光滑定滑轮连接一个重力G＝15N的重物Q，物体P向右运动的加速度为a1；若细线下端不挂重物，而用F＝15N的力竖直向下拉细线下端，这时物体P的加速度为a2，则下列说法正确的是（　　）
A．a1＜a2 B．a1＝a2
C．a1＞a2 D．质量未知，无法判断
【解答】解：挂重物时，选连接体为研究对象，根据牛顿第二定律得，共同运动的加速度大小为：a1；
当改为F＝15N拉力后，由牛顿第二定律得P的加速度为：a2，故a1＜a2，故A正确、BCD错误。
故选：A。
二．计算题（共2小题）
8．（2022秋 香坊区校级期中）如图所示，用力F向上提通过细绳连在一起的A、B两物体，使A、B以2m/s2的加速度匀加速竖直上升，已知A、B的质量分别是1kg和2kg，绳子所能承受的最大拉力是30N，取g＝10m/s2，则：
（1）力F的大小是多少？
（2）为使绳子不被拉断，加速上升时F最大值为多大？
【解答】解：（1）对A、B整体受力分析，根据牛顿第二定律得：F﹣mAg﹣mBg＝（mA+mB）a
代入数据解得：F＝36N
（2）绳子拉力最大时，对B受力分析，根据牛顿第二定律得：Tm﹣mBg＝mBa′
代入数据解得：a′＝5m/s2
对A、B整体受力分析，根据牛顿第二定律得：Fm﹣mAg﹣mBg＝（mA+mB）a′
代入数据解得：Fm＝45N
答：（1）力F的大小是36N；
（2）为使绳子不被拉断，加速上升时F最大值为45N。
9．（2022秋 临川区校级月考）如图所示，足够长的固定光滑斜面的倾角θ＝30°，斜面顶端有一轻质光滑定滑轮。质量为m的滑块P通过不可伸长的细线绕过定滑轮与重物Q相连。开始时托着重物Q使细线竖直且恰好处于绷直状态，滑块P与滑轮间的轻绳与斜面平行。现由静止释放重物Q，重物Q竖直向下运动经过时间t0时，细线突然被烧断，发现滑块P又经过时间2t0回到了出发位置，重力加速度为g，求：
（1）重物Q的质量M；
（2）滑块P从开始运动到返回出发位置过程中运动的路程。
【解答】解：（1）设绳子没有断时P的加速度大小为a1，绳子断后P的加速度大小为a2。
取沿斜面向上为正方向，加速上滑过程中，根据位移—时间关系可得：x
细线突然被烧断瞬间P的速度为v1＝a1t0，滑块P又经过时间2t0回到了出发位置，则有：﹣x＝v1 2t0
联立解得：a2a1。
细线断前，设绳子拉力为FT，由牛顿第二定律可知，对滑块P有：FT﹣mgsin30°＝ma1
对重物Q有：Mg﹣FT＝Ma1
细线断后，对P根据牛顿第二定律可得：mgsinθ＝ma2
联立解得：a1g，a2g，M＝1.5m；
（2）加速上滑过程中，根据位移—时间关系可得：xgt02
减速上滑的距离x′，解得：x′gt02
所以滑块P从开始运动到返回出发位置运动的路程：s＝2（x+x′）
解得sgt02。
答：（1）重物Q的质量为1.5m；
（2）滑块P从开始运动到返回出发位置过程中运动的路程为gt02。
10．（2023 杨浦区二模）风洞训练可以模拟高空跳伞下落过程中人体所承受气流的状态，是跳伞初学者学习跳伞的必要项目。在空中运动的物体受到的空气阻力FCdρSv2，式中S为迎风面积，Cd为风阻系数，与物体的迎风面积、光滑程度和整体形状等有关．空气密度ρ取1.29kg/m3。已知跳伞运动员的质量约为65kg。重力加速度g取10m/s2。
（1）如图1，风洞竖直向上送风，当风速达65m/s时该运动员悬浮在风洞内，Cd取0.326，求其身体的迎风面积S；
（2）在室外高空跳伞时，Cd取1.26，跳伞总装备的质量为20kg，打开的降落伞伞面面积为56m2。运动员身上的传感器记录了运动员由静止起在空中竖直下落的加速度a与速度v并绘制图（2）的图像，分析并求出图2中坐标值x0和运动员落地时的速率。
【解答】解：（1）当风速达65m/s时该运动员悬浮在风洞内，则重力和风力平衡，有mgCdρSv2，S，
代入数据解得S＝0.73m2；
（2）根据图像可知横坐标是加速度，坐标值x0实际应该是速度为0时对应的加速度，根据FCdρSv2可知，速度为0则空气阻力为0，这时应该对应刚刚开始下落，这时只受重力，根据牛顿第二定律可知，此时加速度为重力加速度，所以x0＝g＝10m/s2；
根据图像可知运动员落地时加速度为0，则跳伞总装备和运动员的整体重力等于阻力，有MgCdρSv2，v
代入数据得v4.3m/s。
答：（1）运动员身体的迎风面积S为0.73m2；
（2）图2中坐标值x0为10m/s2，运动员落地时的速率为4.3m/s。
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