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数列的概念 1
【课前诊断】 1
【知识点一 数列的基本概念】 2
【知识点二 数列的通项公式与递推公式】 3
【知识点三 数列的表示与分类】 4
【知识点四 数列求和】 4
【典型例题】 4
【小试牛刀】 5
【巩固练习——基础篇】 6
【巩固练习——提高篇】 8
数列的概念
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1.下列说法正确的是（ ）
A．数列1，3，5，7可以表示为
B．数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1是相同数列
C．数列的第项为
D．数列0，2，4，6，…，可记作
【答案】C
2.下列说法不正确的是（ ）
A．数列可以用图形来表示 B．数列的通项公式不唯一
C．数列的项不能相等 D．数列可以用一群孤立的点表示
【答案】C
3.已知数列满足，，则的值
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点一 数列的基本概念】
数列的定义：按一定顺序排列的一列数叫做数列，其中每一个数叫做该数列的项。
（1）数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”。因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列。
（2）在数列中同一个数可以重复出现。
（3）项与项数是两个根本不同的概念。
（4）数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列。
【典型例题】
例1.下列说法正确的是（ ）
A．数列1，3，5，7可以表示为
B．数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1是相同数列
C．数列的第项为
D．数列0，2，4，6，…，可记作
【答案】C
练1.下列说法不正确的是（ ）
A．数列可以用图形来表示 B．数列的通项公式不唯一
C．数列的项不能相等 D．数列可以用一群孤立的点表示
【答案】C
【知识点二 数列的通项公式与递推公式】
通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即。
递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式.
如数列中，，其中是数列的递推公式.
【典型例题】
例1.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)，，，，…；
(2)1，3，6，10，15，…；
(3)，-，，-，，…；
(4)3,33,333,3 333，….
【答案】（1）（2）（3）（4）
练1：写出下列数列的一个通项公式：
(1)0,1,3,7,15,31,63，…通项公式：________.
(2)0.3,0.33,0.333,0.3333，…，an＝________.
(3)-3，，-，，…，an＝________.
【答案】（1）（2）（3）
例2.已知数列满足，，则的值
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点三 数列的表示与分类】
数列的表示方法：解析法、图象法、列举法、递推法.
数列的分类：（1）有穷数列，无穷数列；
（2）递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；
（3）有界数列，无界数列.
①递增数列:对于任何，均有.
②递减数列:对于任何，均有.
③摆动数列:例如：
④常数数列:例如：6,6,6,6,…….
⑤有界数列:存在正数使.
⑥无界数列:对于任何正数,总有项使得.
【知识点四 数列求和】
数列的前项和与通项的公式
①； ②.
【典型例题】
例1.若为递减数列,则的通项公式可以为
A. B. C. D.
【答案】D
例2.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝2n－3 B．an＝2n＋3
C．an＝ D．an＝
【答案】C　[解析] 当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于n＝1时a1的值不适合n≥2的解析式，故通项公式为C.
练1.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式为________．
【答案】当n＝1时，a1＝S1＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－2n－1＝2n－1，a1不适合此等式．所以an＝
【小试牛刀】
1.数列的一个通项公式是
A． B．
C． D．
【答案】D
2. 在数列中，，则的值是.
【答案】-3
3.数列的前项和为，且，则
A.32 B.31 C.16 D.15
【答案】A
4.数列满足，则
A. B. C. D.
【答案】B
5.数列{an）满足a1=1，an+1=an－3（nN*），则a4=
A．10 B．8 C．－8 D．－10
【答案】C
6.已知一个数列的通项公式是．
（1）问是否是这个数列中的项？
（2）当分别为何值时，？
（3） 当为何值时，有最大值？并求出最大值．
【答案】（1）是（2）6；1,2,3,4,5；（3）2,3
【巩固练习——基础篇】
1. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，则a10＝(　　)
A．64 B．32
C．16 D．8
【答案】B[解析] 因为an＋1an＝2n，所以an＋2an＋1＝2n＋1，两式相除得＝2.又a1a2＝2，a1＝1，所以a2＝2.
···＝24，即a10＝25＝32.
2. 在数列1，2，，，，…中，2是这个数列的第(　　)
A．16项 B．24项
C．26项 D．28项
【答案】C
3. 已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
【答案】(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，
解得a2＝3a1＝3.
由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，
解得a3＝(a1＋a2)＝6.
(2)由题设知a1＝1.
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
整理得an＝an－1.
于是
a1＝1，
a2＝a1，
a3＝a2，
…
an－1＝an－2，
an＝an－1.
将以上n个等式两端分别相乘，
整理得an＝.
显然，当n＝1时也满足上式．
综上可知，{an}的通项公式an＝.
【巩固练习——提高篇】
1．已知n∈N*，给出四个表达式：
①an＝ ②an＝
③an＝， ④an＝.
其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是(　　)
A．①②③　　　　　　　　　 B．①②④
C．②③④ D．①③④
【答案】A
2．已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，则是这个数列的(　　)
A．第8项 B．第9项
C．第10项 D．第12项
【答案】C
3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
(2)若对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围。
[解] (1)由n2－5n＋4<0，解得1所以数列中有两项是负数，即为a2，a3.
因为an＝n2－5n＋4＝－，
由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.
(2)由an＋1>an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，即得k>－3.所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．目录
数列的概念 2
【课前诊断】 2
【知识点一 数列的基本概念】 3
【知识点二 数列的通项公式与递推公式】 4
【知识点三 数列的表示与分类】 5
【知识点四 数列求和】 5
【典型例题】 5
【小试牛刀】 6
【巩固练习——基础篇】 7
【巩固练习——提高篇】 8
数列的概念
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1.下列说法正确的是（ ）
A．数列1，3，5，7可以表示为
B．数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1是相同数列
C．数列的第项为
D．数列0，2，4，6，…，可记作
2.下列说法不正确的是（ ）
A．数列可以用图形来表示 B．数列的通项公式不唯一
C．数列的项不能相等 D．数列可以用一群孤立的点表示
3.已知数列满足，，则的值
A. B. C. D.
【知识点一 数列的基本概念】
数列的定义：按一定顺序排列的一列数叫做数列，其中每一个数叫做该数列的项。
（1）数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”。因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列。
（2）在数列中同一个数可以重复出现。
（3）项与项数是两个根本不同的概念。
（4）数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列。
【典型例题】
例1.下列说法正确的是（ ）
A．数列1，3，5，7可以表示为
B．数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1是相同数列
C．数列的第项为
D．数列0，2，4，6，…，可记作
练1.下列说法不正确的是（ ）
A．数列可以用图形来表示 B．数列的通项公式不唯一
C．数列的项不能相等 D．数列可以用一群孤立的点表示
【知识点二 数列的通项公式与递推公式】
通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即。
递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式.
如数列中，，其中是数列的递推公式.
【典型例题】
例1.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)，，，，…；
(2)1，3，6，10，15，…；
(3)，-，，-，，…；
(4)3,33,333,3 333，….
练1：写出下列数列的一个通项公式：
(1)0,1,3,7,15,31,63，…通项公式：________.
(2)0.3,0.33,0.333,0.3333，…，an＝________.
(3)-3，，-，，…，an＝________.
例2.已知数列满足，，则的值
A. B. C. D.
【知识点三 数列的表示与分类】
数列的表示方法：解析法、图象法、列举法、递推法.
数列的分类：（1）有穷数列，无穷数列；
（2）递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；
（3）有界数列，无界数列.
①递增数列:对于任何，均有.
②递减数列:对于任何，均有.
③摆动数列:例如：
④常数数列:例如：6,6,6,6,…….
⑤有界数列:存在正数使.
⑥无界数列:对于任何正数,总有项使得.
【知识点四 数列求和】
数列的前项和与通项的公式
①； ②.
【典型例题】
例1.若为递减数列,则的通项公式可以为
A. B. C. D.
例2.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝2n－3 B．an＝2n＋3
C．an＝ D．an＝
练1.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式为________．
【小试牛刀】
1.数列的一个通项公式是
A． B．
C． D．
2. 在数列中，，则的值是.
3.数列的前项和为，且，则
A.32 B.31 C.16 D.15
4.数列满足，则
A. B. C. D.
5.数列{an）满足a1=1，an+1=an－3（nN*），则a4=
A．10 B．8 C．－8 D．－10
6.已知一个数列的通项公式是．
（1）问是否是这个数列中的项？
（2）当分别为何值时，？
（3） 当为何值时，有最大值？并求出最大值．
【巩固练习——基础篇】
1. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，则a10＝(　　)
A．64 B．32
C．16 D．8
2. 在数列1，2，，，，…中，2是这个数列的第(　　)
A．16项 B．24项
C．26项 D．28项
3. 已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
【巩固练习——提高篇】
1．已知n∈N*，给出四个表达式：
①an＝ ②an＝
③an＝， ④an＝.
其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是(　　)
A．①②③　　　　　　　　　 B．①②④
C．②③④ D．①③④
2．已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，则是这个数列的(　　)
A．第8项 B．第9项
C．第10项 D．第12项
3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
(2)若对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围。
4.已知数列满足，，则的值
A. B. C. D.
5.数列的前项和为，且，则
A.32 B.31 C.16 D.15
6.数列满足，则
A. B. C. D.
7.数列{an）满足a1=1，an+1=an－3（nN*），则a4=
A．10 B．8 C．－8 D．－10

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