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数列问题之数学归纳法 2
【课前诊断】 2
【知识梳理】 3
【典型例题】 4
【小试牛刀】 12
【巩固练习——基础篇】 15
【巩固练习——提高篇】 18
数列问题之数学归纳法
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1. 数列的通项公式,设其前项和为,则等于
A．100 B. C. 200 D.
【答案】：B
2.设数列为等差数列, 为数列的前项和,已知.
（Ⅰ）求数列的通项公式与前项和公式;
（Ⅱ）设为数列的前项和,求.
【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）
3. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，满足
.
（Ⅰ）求数列,通项公式;
（Ⅱ）设,求数列的前项和
【答案】：（Ⅰ）设公差为等差数列的前项和为, 公比为的等比数列的前项和为，满足
所以，解的，所以；.
（Ⅱ）由于；所以
【知识梳理】
1.数学归纳法适用的范围：关于正整数的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明
2.第一数学归纳法：通过假设成立，再结合其它条件去证成立即可。证明的步骤如下：
（1）归纳验证：验证（是满足条件的最小整数）时，命题成立
（2）归纳假设：假设成立，证明当时，命题也成立
（3）归纳结论：得到结论：时，命题均成立
3.第一归纳法要注意的地方：
（1）数学归纳法所证命题不一定从开始成立，可从任意一个正整数开始，此时归纳验证从开始
（2）归纳假设中，要注意，保证递推的连续性
（3）归纳假设中的，命题成立，是证明命题成立的重要条件。在证明的过程中要注意寻找与的联系
4.第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设命题成立时，可用的条件只有，而不能默认其它的时依然成立。第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设，命题均成立，然后证明命题成立。可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：
（1）归纳验证：验证（是满足条件的最小整数）时，命题成立
（2）归纳假设：假设成立，证明当时，命题也成立
（3）归纳结论：得到结论：时，命题均成立
【典型例题】
例1.用数学归纳法证明，则当时左端应在的基础上加上(　　)．
A．
B．
C.
D．
答案　∵当时，左侧＝，
当时，
左侧＝，
∴当时，左端应在的基础上加上
.
选D
练1.下列代数式能被9整除的是(　　)
A． B．
C． D．
答案(1)当时，显然只有能被9整除．
(2)假设当时，命题成立，即能被9整除，
那么
这就是说，时命题也成立．
由(1)(2)可知，命题对任何都成立．
选D
练2.用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上(　　)．
A. B．
C. D.
答案　∵当时，左侧＝，当时，
左侧＝
选C
练3.用数学归纳法证明：
＋＋…＋＝；当推证当n＝k＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是　　　　　.
答案 当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋
＝＋
故只需证明＋
＝即可.
例2.已知等比数列的首项，公比，设是它的前项和，求证：
思路：根据等比数列求和公式可化简所证不等式：，时，不等式为；当时，所证不等式为，可明显看到与中，两个不等式的联系，从而想到利用数学归纳法进行证明
证明：，所证不等式为：
，下面用数学归纳法证明：
（1）验证：时，左边右边，不等式成立
（2）假设时，不等式成立，则时，
所以时，不等式成立
总结：数学归纳法的证明过程，关键的地方在于寻找所证与条件之间的联系，一旦找到联系，则数学归纳法即可使用。
练1.已知数列满足，其前项和，且
（1）求数列的通项公式
（2）设，并记为数列的前项和，求证：
解：（1） ①
②
①②可得：
所以两边同除以可得：
是公差为的等差数列
，在中令可得：
（舍）或
（2）思路：利用（1）可求出和，从而简化不等式可得：，若直接证明则需要进行放缩，难度较大。而如果选择数学归纳法证明，则目标相对明确，难度较小。
解：由（1）可得：
所证不等式为：
下面用数学归纳法证明：
当时，不等式为成立
假设当时成立，则时，
所以只需证：即可，尝试进行等价变形：
，所证不等式为：
练2.设数列的前项和为，满足，且
（1）求
（2）求数列的通项公式
解：（1）在中， 时，有
时，，另有
，解得：
（2）思路：由可得：，两式相减可得：，从递推公式很难直接求出通项公式。观察，可猜想，从而考虑“先猜再证”利用数学归纳法证明：
证明：由猜想，下面用数学归纳法进行证明：
（1）验证当时，符合题意
（2）假设时，，则时
，
则
所以，满足通项公式
练3.在数列中，已知，且，求证：
证明：用数学归纳法证明：
当时，，命题成立
假设时，命题成立，即，则时
考虑
，即
时，均有
练4.已知数列满足，当时，
求证：数列的第项能被3整除
证明：（数学归纳法）
（1）当时，，能被3整除
（2）假设当时，能被3整除，那么当时
能被3整除，能被3整除 能被3整除
即时，命题成立 对一切的，均能被3整除
练5.设正整数数列满足：，且对于任何，由
（1）求
（2）求数列的通项公式
解：（1）思路：虽然所给条件为不等式，但因为为正整数，所以依然可由不等式确定的值，可先解出范围，再求出满足的整数即可。
由已知不等式得：
当时，即
解得：，则
当时，即
解得：，则
综上：
（2）思路：由可猜想，且条件为递推的不等式，刚好能体现与的联系。所以考虑利用数学归纳法证明
证明：由，猜想，下面用数学归纳法证明的情况：
验证：时，符合通项公式
假设时，，则时，
而
因为时，， （均在时，取到1）
所以时，
，命题成立
而均符合通项公式
总结：（1）利用整数的离散性，在求整数的值时，不仅可用等式（方程）去解，也可用不等式先求出范围，再取范围内的整数，同样可以达到求值的目的
（2）为什么对开始进行数学归纳法而不是从开始？因为在，中时，不能满足条件。所以也许一开始入手是从开始证明，但在证明过程中发现条件的对变量取值有所限制，则要进行适当的调整。
练6.已知数列满足，其中常数
（1）若，求的取值范围
（2）若，求证：对任意的，都有
解：（1）由已知可得：时
或
（2）思路：条件给出递推公式，故考虑利用的范围去推出的范围，可尝试数学归纳法
解：（数学归纳法）
当时，成立
假设时，命题成立，即，则当时，
，即时，命题成立
所以时，均有
【小试牛刀】
1.如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有行，在这些数中非1的数字之和是________________．
1
1　　1
1　　2　　1
1　　3　　3　　1
1　　4　　6　　4　　1
…
答案　所有数字之和，
除掉1的和.
2.在数列{an}中，且，通过计算，猜想的表达式是________．
答案　当时，，即；
当时，，
即；
当时，，
即
∴，，，，
故猜想.
3.设，求证：．
解：（1）当时，，所以时不等式成立．
（2）假设（，且）时，不等式成立，即
，那么时，
因为，所以．
所以．
所以．
所以当时，不等式也成立．
由（1）（2）可知，对一切的，且，此不等式都成立．
4.数列满足，，．
（1）写出，，，猜想通项公式，用数学归纳法证明你的猜想；
（2）求证：，．
解：（1）因为数列满足，，，
所以，，，
猜想．
证明：①当时，，猜想成立．
②假设当时猜想成立，即，
那么，，
所以当时猜想也成立．
由①②可知猜想对任意都成立，即．
（2）因为，
要证，，
即证，
由均值不等式知，
则
所以，成立．
【巩固练习——基础篇】
1.是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式：
a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2) 都成立，并证明你的结论．
分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n=1，2，3时找出来{an}，然后再证明一般性．
解：将n=1，2，3分别代入等式得方程组．
，
解得a1=6，a2=9，a3=12，则d=3．
故存在一个等差数列an=3n+3，当n=1，2，3时，已知等式成立．
下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an=3n+3，对大于3的自然数，等式
a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．
因为起始值已证，可证第二步骤．
假设n=k时，等式成立，即
a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2)
那么当n=k+1时，
a1+2a2+3a3+…+kak +(k+1)ak+1
= k(k+1)(k+2)+ (k+1)[3(k+1)+3]
=(k+1)(k2+2k+3k+6)
=(k+1)(k+2)(k+3)
=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]
这就是说，当n=k+1时，也存在一个等差数列an=3n+3使a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)成立．
综合上述，可知存在一个等差数列an=3n+3，对任何自然数n，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．
2.证明不等式 (n∈N)．
证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．
左边<右边，不等式成立．
②假设n=k时，不等式成立，即．
那么当n=k+1时，
这就是说，当n=k+1时，不等式成立．
由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立．
说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是
，当代入归纳假设后，就是要证明：
．
认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．
3.已知数列{an}满足a1=0，a2=1，当n∈N时，an+2=an+1+an．
求证：数列{an}的第4m+1项(m∈N)能被3整除．
分析：本题由an+1=an+1+an求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．
①当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除．
②当m=k时，a4k+1能被3整除，那么当n=k+1时，
a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3
=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1
=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1
=3a4k+2+2a4k+1
由假设a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除．
因此，当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除．
由①、②可知，对一切自然数m∈N，数列{an}中的第4m+1项都能被3整除．
【巩固练习——提高篇】
1.已知数列的前项和为，且
（1）求
（2）设满足：且，求证：
解：（1） ①
②
①②
从第二项开始成等差数列
令 则，代入可得：
时，
（2）解：由（1）可得所证不等式为：，考虑使用数学归纳法：
当时，
假设时，命题成立，即，则时
而
所以时，命题成立
时，
2.已知的三边长为有理数
（1）求证：是有理数
（2）求证：对任意的正整数，是有理数
证明：（1） 又
，即是有理数
（2）思路：题目条件很少，无法直接入手，所以考虑利用数学归纳法制造条件并找到与条件的联系，假设，则，可知为有理数，但未知，且题目中再无可用条件。所以要想证明，则需将制造条件加强，设，代价就是在证明时也要证明成立。只需，是可证明的
证明：使用数学归纳法证明与均为有理数
当时，由（1）可得，且
假设时，命题成立，即，则时
，
，由假设可得
综上所述：时，命题成立
时，为有理数
总结：
（1）涉及到关于的命题，若所给条件过少，则可通过数学归纳法制造条件，以便于证明题目
（2）本题在利用数学归纳法证明时，对所证问题做了一个加强，即对于同一个，有两个命题同时成立，这样做的好处在于在归纳假设时会再多一个条件进行使用，但是代价就是归纳证明时也要多证明一个结论。有时针对条件较少的题目还是值得的
3.设实数，整数
（1）证明：当且时，
（2）数列满足，求证：
解：（1）思路：所证不等式含有两个变量，若以为核心变量，则为大于1的正整数，且在不等式左边位于指数的位置，在证明不等式时可以考虑利用数学归纳法，从而证明时，左边，与取得联系。
证明：用数学归纳法证明：
当时，，原不等式成立
假设时，不等式成立，即，则时，
所以时，不等式成立
时，
（2）思路：本题证明易想到对两边同时除以与1进行比较：，进而要证明，所以只能先证后面的不等式，由递推公式可想到利用数学归纳法证明。
证明：用数学归纳法证明
当时，
假设，命题成立，即，则时，
由（1）可得：
即
时，命题成立
时，
下面证明：
考虑
总结：第一问中如果以为研究对象，也可以利用导数去解决：设，则，因为，所以可得：时，，时，。所以在单调递减，在单调递增。
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20目录
数列问题之数学归纳法 2
【课前诊断】 2
【知识梳理】 3
【典型例题】 4
【小试牛刀】 8
【巩固练习——基础篇】 9
【巩固练习——提高篇】 10
数列问题之数学归纳法
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1. 数列的通项公式,设其前项和为,则等于
A．100 B. C. 200 D.
2.设数列为等差数列, 为数列的前项和,已知.
（Ⅰ）求数列的通项公式与前项和公式;
（Ⅱ）设为数列的前项和,求.
3. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，满足
.
（Ⅰ）求数列,通项公式;
（Ⅱ）设,求数列的前项和
【知识梳理】
1.数学归纳法适用的范围：关于正整数的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明
2.第一数学归纳法：通过假设成立，再结合其它条件去证成立即可。证明的步骤如下：
（1）归纳验证：验证（是满足条件的最小整数）时，命题成立
（2）归纳假设：假设成立，证明当时，命题也成立
（3）归纳结论：得到结论：时，命题均成立
3.第一归纳法要注意的地方：
（1）数学归纳法所证命题不一定从开始成立，可从任意一个正整数开始，此时归纳验证从开始
（2）归纳假设中，要注意，保证递推的连续性
（3）归纳假设中的，命题成立，是证明命题成立的重要条件。在证明的过程中要注意寻找与的联系
4.第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设命题成立时，可用的条件只有，而不能默认其它的时依然成立。第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设，命题均成立，然后证明命题成立。可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：
（1）归纳验证：验证（是满足条件的最小整数）时，命题成立
（2）归纳假设：假设成立，证明当时，命题也成立
（3）归纳结论：得到结论：时，命题均成立
【典型例题】
例1.用数学归纳法证明，则当时左端应在的基础上加上(　　)．
A．
B．
C.
D．
练1.下列代数式能被9整除的是(　　)
A． B．
C． D．
练2.用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上(　　)．
A. B．
C. D.
练3.用数学归纳法证明：
＋＋…＋＝；当推证当n＝k＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是　　　　　.
例2.已知等比数列的首项，公比，设是它的前项和，求证：
练1.已知数列满足，其前项和，且
（1）求数列的通项公式
（2）设，并记为数列的前项和，求证：
练2.设数列的前项和为，满足，且
（1）求
（2）求数列的通项公式
练3.在数列中，已知，且，求证：
练4.已知数列满足，当时，
求证：数列的第项能被3整除
练5.设正整数数列满足：，且对于任何，由
（1）求
（2）求数列的通项公式
练6.已知数列满足，其中常数
（1）若，求的取值范围
（2）若，求证：对任意的，都有
【小试牛刀】
1.如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有行，在这些数中非1的数字之和是________________．
1
1　　1
1　　2　　1
1　　3　　3　　1
1　　4　　6　　4　　1
…
2.在数列{an}中，且，通过计算，猜想的表达式是________．
3.设，求证：．恒成立．
4.数列满足，，．
（1）写出，，，猜想通项公式，用数学归纳法证明你的猜想；
（2）求证：，．
【巩固练习——基础篇】
1.是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式：
a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2) 都成立，并证明你的结论．
2.证明不等式 (n∈N)．
3.已知数列{an}满足a1=0，a2=1，当n∈N时，an+2=an+1+an．
求证：数列{an}的第4m+1项(m∈N)能被3整除．
【巩固练习——提高篇】
1.已知数列的前项和为，且
（1）求
（2）设满足：且，求证：
2.已知的三边长为有理数
（1）求证：是有理数
（2）求证：对任意的正整数，是有理数
3.设实数，整数
（1）证明：当且时，
（2）数列满足，求证：
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