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数列的综合应用 2
【课前诊断】 2
【知识点一：通项公式的求法】 3
考点一：公式法求通项 4
考点二：已知求 4
考点三：累加 累乘 5
考点四：递推关系 6
【知识点二：前n项和的求法】 8
考点一：直接求和 10
考点二：分组求和 11
考点三：裂项相消法求和 12
考点四：错位相减法求和 13
考点五：倒序相加法求和 14
【知识点三：数列的证明与单调性最值问题】 15
【典型例题】 16
【小试牛刀】 24
【巩固练习——基础篇】 26
【巩固练习——提高篇】 29
数列的综合应用
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1.已知是等比数列，,,则公比为（ ）
A. B.-2 C.2 D.
【答案】D
2.在等比数列{}中，若—8，则等于
A.— B.— C. D.
【答案】B
3.等比数列中,,,的前项和为
A. B. C. D.
【答案】B
4.各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为________，的值为________.
【答案】 ，
【知识点一：通项公式的求法】
1.通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即.
2.递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，，其中是数列的递推公式.
求解数列通项的方法
1.公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
2.已知：已知（即）求，
用作差法：
累加法：求：
4.累乘法：已知求，用累乘法：.
【典型例题】
考点一：公式法求通项
例1.已知等差数列满足，公差．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
【答案】
例2.已知等比数列的公比为，且，,成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
【答案】
考点二：已知求
例1.若，求
【答案】
例2.中，已知，求
【答案】
练1.设数列的前项和为,且.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
【答案】
练2.若，求
【答案】
例3.已知数列的前项和为，且．
（Ⅰ）求和
【答案】
练1.若，求
【答案】
练2.若，求
【答案】
考点三：累加 累乘
例1.已知数列满足，，求。
【答案】解：由条件知：
分别令，代入上式得个等式累加之，即
所以
，
练1.已知数列满足,则.
【答案】
例2.已知数列满足，，求.
【答案】解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即
又，
练2.已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项
【答案】解：由已知，得，用此式减去已知式，得
当时，，即，又，
，将以上n个式子相乘，得
考点四：递推关系
例1.已知数列中，，，求.
【答案】解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.
练1.已知数列满足
求数列的通项公式；
【答案】解：
是以为首项，2为公比的等比数列
即
例2.已知数列满足（），，数列的通项公式为
【答案】
例3.已知数列中，且，求的前项和
【答案】构造为公差为1的等差数列，
练3.已知数列中，且，求的前项和
【答案】构造为公差为的等差数列，
【知识点二：前n项和的求法】
1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和．
（1）等差数列的求和公式：
（2）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论）
2．分组求和法：把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组
合，或者把整个数列分成两部分等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和.例如对通项公式为an=2n+3n的数列求和.
3．倒序相加法：等差数列前n项和的推导方法，即将倒写 后再与相加，从而达到（化多为少）求和的目的，常用于组合数列求和.
4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两
项的差，以达到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前n项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.例如对通项公式为的数列求和.
常见的拆项公式：
①；
②若为等差数列，且公差d不为0，首项也不为0，则；
③若的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时，则.
④；.
5．错位相减法：如果一个数列的通项是由一个非常数列的等差数列与等比数列的对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为（其中是公差d≠0的等差数列，是公比q≠1的等比数列）（也称为“差比数列”）的数列求前项和.例如对通项公式为的数列求和.
一般步骤：
，则
所以有
【典型例题】
考点一：直接求和
例1.设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{an}的前8项和为( )
A．128 B．80 C．64 D．56
【答案】C
练1.如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等
于( )
A．14 B．21 C．28 D．35
【答案】C
练2.已知为等差数列，且，．
（1） 求 的通项公式；
（2）若等差数列 满足，，求的前项和公式
【答案】(1)
(2)
例2.设数列的通项为则=___________
【答案】153
考点二：分组求和
例1.求和，
【答案】
练1.求和.
【答案】
练2.已知数列的首项，通项（，是常数），且成等差数列.
（1）求的值；
（2）求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
练习3.已知是等比数列,,.数列满足,,且是等差数列.
（Ⅰ）求数列和的通项公式;
（Ⅱ）求数列的前项和.
【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为,由题意得
,解得.
所以.
设等差数列的公差为,由题意得
.
所以.
从而.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
数列的前项和为;数列的前项和为.
所以,数列的前项和为.
考点三：裂项相消法求和
例1.求数列的前n项的和.
【答案】
练1.数列的通项公式是，若前项的和为，则项数（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】C
练2.已知等差数列满足：，.的前项和为.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）令（）,求数列的前项和.
【答案】(1)
(2 )
例2.求数列，，，…，，…的前n项和.
【答案】
练1.已知，求它的前项和．
【答案】
练2.数列的通项公式是，若它的前项和为，则项数___
【答案】
考点四：错位相减法求和
例1.求数列的前项和.
【答案】
练1.设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n-1.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
【答案】(1)
(2)
练2.已知数列的各项均为正数，是数列的前项和，且
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
练3.等差数列中，，，是数列的前项和.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设数列满足，求的前项和．
【答案】(1)
(2)
考点五：倒序相加法求和
例1.已知函数
(1)证明：与的和为定值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
练1.设，求和：
【答案】
【知识点三：数列的证明与单调性最值问题】
1.前项的和或积最大（最小）问题
2.数列的单调性
3.数列与不等式的综合
等差数列 等比数列
定义 （常数，公差） （非零常数，公比）
通项公式 （需注意符号）
中项性质
求和公式
性质应用 若
性质推广，若 等差
等比
如何证明 定义： 中项性质： 定义： 中项性质：
【典型例题】
例1. 已知数列的前项和,且.
（Ⅰ）设,求出的值,并求出数列的通项公式;
（Ⅱ）若,求实数的取值范围.
【答案】：（Ⅰ）
所以数列为等比数列，通项公式为.
（Ⅱ）
即
设，
数列是个单调递减数列,且,又因为
所以实数的取值范围为.
练1.已知数列的前n项和为，，且是与1的等差中项．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若数列的前n项和为，且对任意，恒成立，求实数的最小值．
【答案】：
解：（Ⅰ）因为，所以.
因为是与1的等差中项，所以，即.
所以.
所以是以1位首项，2位公比的等比数列.
所以.………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：.
所以，.
所以是以1位首项，为公比的等比数列.
所以数列的前n项和.
因为，所以.
所以若对任意，恒成立，则.
所以实数的最小值为2.………………………………9分
例2．已知前项和为的数列中，.
（Ⅰ）若是等比数列，，求的通项公式；
（Ⅱ）若是等差数列，，求的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）设等比数列公比为，因为，
所以 ……2分
所以，解得或 ……5分
所以，当时，
当时， ……7分
（Ⅱ）设等差数列公差为，
因为，， ……1分
所以，解得 ……2分
所以，是递减数列. ……3分
又由， ……4分
可知：当时，；
当时，；
当时，， ……5分
所以. ……6分
所以，当或时，有最大值为. ……7分
例3.已知等差数列满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足， 再从①；②；③这三个条件中任选一个作为已知，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为.
由 ，可得.
解得.
所以. ……………… 4分
（Ⅱ）选①：
由，可得，，
所以是等比数列，公比.
所以.
所以
. ……………… 9分
选②：
由，可得，，
所以是等比数列，公比.
所以.
所以
.
选③：
由，可得，，
所以是等比数列，公比，
所以.
所以
.
4.已知数列的前项和为,且.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）若,令时,求数列的前项和.
【答案】
.。
练1.已知数列{an}的通项公式为
an=2n+（－1）n+1·（1+n），其中是常数，n∈N*．
（Ⅰ）当an=－1时，求的值；
（Ⅱ）数列{an}是否可能为等差数列 证明你的结论；
（Ⅲ）若对于任意n∈N*，都有an>0，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）解：因为an=2n+（－1）n+1，
所以n=2时，a2=3－2． 1分
由3－2=－1，
解得=2． 2分
（Ⅱ）解：数列{an}不可能为等差数列，证明如下：
由an=2n+（－1）n+1，得
a1=3+，a2=3－2，a3=7+3，a4=7－4． 4分
若存在，使{an}为等差数列，则2a2=a1+a3, 5分
即2（3－2）=（3+）+（7+3），
解得=． 6分
于是，a2－a1=－3=,a4－a3=－7=,这与{an}为等差数列矛盾！
所以，对任意实数，{an}都不可能是等差数列． 7分
（Ⅲ）解：由an>0，得2n+（－1）n+1，
将上式变形为（－1）n，其中． ①
（Ⅰ）当n为正偶数时，①式化简为．
因为2－随着正偶数n的增大而增大，
欲使上式对于任意正偶数恒成立，则<2=． 9分
（Ⅱ）当n为正奇数时，①式化简为．
因为随着正奇数n的增大而增大，
欲使上式对于任意正奇数恒成立，则． 11分
综上，若对于任意，都有an>0，则的取值范围是[－2，）． 12分
【小试牛刀】
1.设数列的前项和公式为,已知
（Ⅰ）设,证明是等比数列.
（Ⅱ）求数列的通项公式.
【答案】：（Ⅰ）证明:由及有,
故
所以又因为①
故当时,有②
①-②得,所以
又因为,所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,
因此数列是首项为公差为的等差数列.
所以
故.
2.已知数列{}的前项和，其中．
（Ⅰ）求数列{}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}满足，，
（Ⅲ）证明：数列为等差数列；
（Ⅳ）求数列{}的前项和．
【答案】：
（Ⅰ）解：因为数列{}的前项和，
所以。 【2分】
因为时，，也适合上式， 【3分】
所以。 【4分】
（Ⅱ）（ⅰ）证明：当时，，
将其变形为，即。 【6分】
所以，数列是首项为，公差为2的等差数列。 【8分】
（ⅱ）解：由（ⅰ）得，。
所以。 【10分】
因为，
所以。 【12分】
两式相减得。
整理得。 【14分】
【巩固练习——基础篇】
1.（数列的前项和为.
【答案】：
2. 已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和．
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意得
d===3．
∴an=a1+（n﹣1）d=3n（n=1，2，…）．
∴数列{an}的通项公式为：an=3n；
设等比数列{bn﹣an}的公比为q，由题意得：
q3===8，解得q=2．
∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1．
从而bn=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．
∴数列{bn}的通项公式为：bn=3n+2n﹣1；
（2）由（1）知bn=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．
数列{3n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为=2n﹣1．
∴数列{bn}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．
3.已知数列是等比数列，满足，数列满足，且是等差数列．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和。
解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，由题意得，解得.
所以.………………………………3分
设等差数列的公差为d，
所以.即.解得.………………5分
所以.
从而………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
数列的前n项和为，数列的前n项和为
..……………………9分
所以，数列的前n项和为
4.已知等差数列满足,其前项和为
（Ⅰ）求数列的通项公式及
（Ⅱ）令,求数列的前项和.
【答案】：（Ⅰ）设等差数列的公差为,由得,
又,解得
（Ⅱ）由得
设的前项和为,则
.
故数列的前项和为
【巩固练习——提高篇】
1.已知等差数列满足：，．的前n项和为．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）令（）,求数列的前n项和.
【答案】：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
因为，，所以有
，解得，……………………2分
所以；==．……………………4分
（Ⅱ）==，……………………6分
所以==．……………………8分
2. 已知数列满足，当时，．
（Ⅰ）设，证明数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）设，数列的前项和为．是否存在整数，使得恒成立 若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】
解：（Ⅰ）因为，所以
即且，．
故数列是以为首项，为公比的等比数列．………………………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
则．
即．
故数列是以为首项，1为公差的等差数列；
，
所以．………………………………………………………………6分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得
，
，
两式相减，有，
，即．
令，则，，
当时，恒成立，即当时，数列是单调递减数列．
所以，故有．
也即．
又因为恒成立所以．
故存在最小整数，使得恒成立．…………………………………9分目录
数列的综合应用 2
【课前诊断】 2
【知识点一：通项公式的求法】 3
考点一：公式法求通项 4
考点二：已知求 4
考点三：累加 累乘 5
考点四：递推关系 6
【知识点二：前n项和的求法】 7
考点一：直接求和 9
考点二：分组求和 10
考点三：裂项相消法求和 11
考点四：错位相减法求和 12
考点五：倒序相加法求和 13
【知识点三：数列的证明与单调性最值问题】 14
【典型例题】 15
【小试牛刀】 18
【巩固练习——基础篇】 20
【巩固练习——提高篇】 23
数列的综合应用
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1.已知是等比数列，,,则公比为（ ）
A. B.-2 C.2 D.
2.在等比数列{}中，若—8，则等于
A.— B.— C. D.
3.等比数列中,,,的前项和为
A. B. C. D.
4.各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为________，的值为________.
【知识点一：通项公式的求法】
1.通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即.
2.递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，，其中是数列的递推公式.
求解数列通项的方法
1.公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
2.已知：已知（即）求，
用作差法：
累加法：求：
4.累乘法：已知求，用累乘法：.
【典型例题】
考点一：公式法求通项
例1.已知等差数列满足，公差．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
例2.已知等比数列的公比为，且，,成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
考点二：已知求
例1.若，求
例2.中，已知，求
练1.设数列的前项和为,且.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
练2.若，求
例3.已知数列的前项和为，且．
（Ⅰ）求和
练1.若，求
练2.若，求
考点三：累加 累乘
例1.已知数列满足，，求。
练1.已知数列满足,则.
例2.已知数列满足，，求.
练2.已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项
考点四：递推关系
例1.已知数列中，，，求.
.
练1.已知数列满足
求数列的通项公式；
例2.已知数列满足（），，数列的通项公式为
例3.已知数列中，且，求的前项和
练3.已知数列中，且，求的前项和
【知识点二：前n项和的求法】
1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和．
（1）等差数列的求和公式：
（2）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论）
2．分组求和法：把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组
合，或者把整个数列分成两部分等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和.例如对通项公式为an=2n+3n的数列求和.
3．倒序相加法：等差数列前n项和的推导方法，即将倒写 后再与相加，从而达到（化多为少）求和的目的，常用于组合数列求和.
4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两
项的差，以达到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前n项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.例如对通项公式为的数列求和.
常见的拆项公式：
①；
②若为等差数列，且公差d不为0，首项也不为0，则；
③若的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时，则.
④；.
5．错位相减法：如果一个数列的通项是由一个非常数列的等差数列与等比数列的对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为（其中是公差d≠0的等差数列，是公比q≠1的等比数列）（也称为“差比数列”）的数列求前项和.例如对通项公式为的数列求和.
一般步骤：
，则
所以有
【典型例题】
考点一：直接求和
例1.设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{an}的前8项和为( )
A．128 B．80 C．64 D．56
练1.如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等
于( )
A．14 B．21 C．28 D．35
练2.已知为等差数列，且，．
（1） 求 的通项公式；
（2）若等差数列 满足，，求的前项和公式
例2.设数列的通项为则=___________
考点二：分组求和
例1.求和，
练1.求和.
练2.已知数列的首项，通项（，是常数），且成等差数列.
（1）求的值；
（2）求数列的前n项和.
练习3.已知是等比数列,,.数列满足,,且是等差数列.
（Ⅰ）求数列和的通项公式;
（Ⅱ）求数列的前项和.
考点三：裂项相消法求和
例1.求数列的前n项的和.
练1.数列的通项公式是，若前项的和为，则项数（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
练2.已知等差数列满足：，.的前项和为.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）令（）,求数列的前项和.
例2.求数列，，，…，，…的前n项和.
练1.已知，求它的前项和．
练2.数列的通项公式是，若它的前项和为，则项数___
考点四：错位相减法求和
例1.求数列的前项和.
练1.设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n-1.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
练2.已知数列的各项均为正数，是数列的前项和，且
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）已知，求的值．
练3.等差数列中，，，是数列的前项和.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设数列满足，求的前项和．
考点五：倒序相加法求和
例1.已知函数
(1)证明：与的和为定值；
(2)求的值.
练1.设，求和：
【知识点三：数列的证明与单调性最值问题】
1.前项的和或积最大（最小）问题
2.数列的单调性
3.数列与不等式的综合
等差数列 等比数列
定义 （常数，公差） （非零常数，公比）
通项公式 （需注意符号）
中项性质
求和公式
性质应用 若
性质推广，若 等差
等比
如何证明 定义： 中项性质： 定义： 中项性质：
【典型例题】
例1. 已知数列的前项和,且.
（Ⅰ）设,求出的值,并求出数列的通项公式;
（Ⅱ）若,求实数的取值范围.
练1.已知数列的前n项和为，，且是与1的等差中项．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若数列的前n项和为，且对任意，恒成立，求实数的最小值．
例2．已知前项和为的数列中，.
（Ⅰ）若是等比数列，，求的通项公式；
（Ⅱ）若是等差数列，，求的最大值．
例3.已知等差数列满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足， 再从①；②；③这三个条件中任选一个作为已知，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
4.已知数列的前项和为,且.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）若,令时,求数列的前项和.
练1.已知数列{an}的通项公式为an=2n+（－1）n+1·（1+n），其中是常数，n∈N*．
（Ⅰ）当an=－1时，求的值；
（Ⅱ）数列{an}是否可能为等差数列 证明你的结论；
（Ⅲ）若对于任意n∈N*，都有an>0，求的取值范围．
【小试牛刀】
1.设数列的前项和公式为,已知
（Ⅰ）设,证明是等比数列.
（Ⅱ）求数列的通项公式.
2.已知数列{}的前项和，其中．
（Ⅰ）求数列{}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}满足，，
（Ⅲ）证明：数列为等差数列；
（Ⅳ）求数列{}的前项和．
【巩固练习——基础篇】
1.（数列的前项和为.
2. 已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和．
3.已知数列是等比数列，满足，数列满足，且是等差数列．（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和。
4.已知等差数列满足,其前项和为
（Ⅰ）求数列的通项公式及
（Ⅱ）令,求数列的前项和.
【巩固练习——提高篇】
1.已知等差数列满足：，．的前n项和为．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）令（）,求数列的前n项和.
2. 已知数列满足，当时，．
（Ⅰ）设，证明数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）设，数列的前项和为．是否存在整数，使得恒成立 若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．

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