资源简介

等比数列
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1．在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1等于 ( )．
A．－9 B．－8 C．－7 D．－4
【答案】B
2．数列{an}满足a1=1，an+1=an－3（nN*），则a4=
A．10 B．8 C．－8 D．－10
【答案】C
3．已知数列为等差数列，且，那么则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
4.设是公差为正数的等差数列，若，，则等于( )
A．120 B．105
C．90 D．75
【答案】B
5.数列的首项为3，为等差数列且．若,，则 ( )
A．0 B．3 C．8 D．11
【答案】B
【知识点】
1 等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：.
要点诠释：
①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此不能是0；
②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”,这里的项具有任意性和有序性,常数是同一个;
③隐含条件：任一项且;“”是数列成等比数列的必要不充分条件;
④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列.不为0的常数列是公比为1的等比数列；
2.等比数列的通项公式
首项为，公比为的等比数列的通项公式为：
3.等比中项
如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项.其中.
要点诠释：
①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项. 当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项.
②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一. 但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一.
③当时，、、成等比数列.
④是、、成等比数列的必要不充分条件。
4.等比数列的判定
(1)定义法：
(2)等比中项法：
5.等比数列的性质
（1）若，且,则，
特别地，当时.
（2）下标成等差数列且公差为的项,,,…组成的新数列仍为等比数列，
公比为.
（3）若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、(,是常数)、、也是等比数列；
（4）连续项和（不为零）仍是等比数列.即,,，…成等比数列，该等比数列的公比为.
（5）等比数列单调性问题：
当且时，等比数列是递增数列；
当且时，等比数列是递减数列；
当且时，等比数列是递减数列；
当且时，等比数列是递增数列。
当时，等比数列是摆动数列。
6.等比数列的前项和公式：
【典型例题】
考点一： 等比数列通项公式的应用
例1已知等比数列满足，，则等于
A． B． C． D．
【答案】D
练1.若等比数列的第4项和第6项分别是1和16,则其第5项为
A． B． C． D．
【答案】D
例2.已知数列满足，则等于
A. B. C. D.
【答案】A
练1.已知数列是公比为2的等比数列，且满足，则的值为( )
A.2 B.4 C.8 D.16
【答案】C
练2.若数列满足：，，则______ .
【答案】
练3.已知等比数列的公比为，若，则
【答案】6
例3.等比数列中，, ,求.
【答案】
法一：设此数列公比为，则
由(2)得：..........(3)
∴.
由(1)得： , ∴ ......(4)
(3)÷(4)得：，
∴,解得或
当时，，；
当时，，.
法二：∵,又,
∴、为方程的两实数根，
∴ 或
∵, ∴或.
练1.已知等比数列中,,那么的值为 .
【答案】128
考点二：等比中项问题
例1.等比数列中，，，则与的等比中项是(　　)
A.±4 B.4 C.± D.
【答案】A
练1.在等比数列中，，且，则的值为___.
【答案】5
例2.已知数列是公比为的等比数列，，则的值为
A. B. C.或 D.或
【答案】D
例3.若x,2x＋2,3x＋3是一个等比数列的连续三项，则x的值为__________.
【答案】－4
练1.如果成等比数列，那么
A. B.
C. D.
【答案】A
练2.设等差数列的公差不为0，.若是与的等比中项，则等于(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】选B.
练3.在等比数列中，，公比.若，则( )
A.9 B.10 C.11 D.12
【答案】C　
考点三：等比数列性质问题
例1.已知等比数列中，则公比（ ）
A. B. C. D.
【答案】
例2.等比数列中，若,求.
【答案】∵是等比数列，∴
例3.已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是(　　)
A. B. C. D.
【答案】　D
　由S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，
∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，即(21－S10)2＝S10(49－21)，
例4.在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_____.
【答案】216；
法一：设这个等比数列为，其公比为，
∵，，
∴，
∴。
法二：设这个等比数列为，公比为，则，，
加入的三项分别为，，，
由题意，，也成等比数列，
∴，故，
∴.
例5.已知等比数列的公比，则下面说法中不正确的是( )
A.是等比数列 B.对于，，
C.对于，都有 D.若，则对于任意，都
【答案】D
练1.已知等比数列中，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】
练2.等比数列的各项均为正数,且,则
【答案】10
练3.若等比数列满足，则公比为
A.2 B.4 C.8 D.16
【答案】选B
因为等比数列满足 ① 所以 ②
②①得.又因为，所以.
练4.设等比数列 的前 项和为 ，若，则 等于(　　)
A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.1∶3
【答案】　C
考点四：利用定义证明等比数列
例1.已知数列的首项为……，证明：数列是等比数列.
【解析】由得，
∴又
∴数列是首项为，公比为的等比数列.
练1.已知数列中判断数列是等比数列，并说明理由
【答案】是等比数列
∵
∴，
∴数列是首项为2，公比为-2的等比数列
考点五：等比数列前项和
例1.等比数列的前项和为,已知,,则
A. B. C. D.
【答案】
例2.已知等比数列{}中，且，那么的值是( )
A. 15 B. 31 C. 63 D. 64
【答案】B
例3.设等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为.若对,有,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】
练1.已知是由正数组成的等比数列，表示的前项的和，若，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】
练2.已知数列满足,且数列的前项和,则数列的前5项和等于
A. B. C. D.
【答案】
练3.若等比数列满足，，则公比 ；前项和 .
【答案】；
例4.已知等比数列的公比，且，.
（Ⅰ）求公比和的值；
（Ⅱ）若的前项和为，求证：.
【答案】（Ⅰ）法一：因为，所以，所以,
因为，所以 , 因为，所以，即.
法二：因为，所以，所以有，所以.
因为，所以，即.
所以.
（Ⅱ） 当时，,
所以.所以.
因为，所以
法二：当时，.
所以.
所以.
所以，所以.
法三：当时，,
所以,
要证，只需要， 只需,
上式显然成立，得证.
【小试牛刀】
1.若数列满足，则
A.数列不是等比数列 B.数列是公比为的等比数列
C.数列是公比为2的等比数列 D.数列是公比为的等比数列
【答案】B
2.已知等比数列，若，，求.
【答案】或；
3.等比数列中，，，则的值为(　　)
A.3×10－5 B.3×29 C.128 D.3×2－5或3×29
【答案】D
【解析】　∵，a4＝a3q，∴，a4＝12q.∴.即2q2－5q＋2＝0，∴或q＝2. ∴或a10＝12×27＝3×29.故选D.
4.已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad＝________.
【答案】2
解析：∵y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2，∴ad＝bc＝2.
5.在等比数列中，首项，要使数列对任意正整数都有，则公比应满足(　　)
A. B. C. D.
【答案】选B
解析：.an＋1－an＝a1qn－1(q－1)>0对任意正整数n都成立，而a1<0，只能06.已知等比数列中, ，，则_______
【答案】
7.设等比数列的前项和为若则
【答案】3
【巩固练习——基础篇】
1.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则等于
A.33 B.72 C.84 D.189
【答案】C
2.设等比数列的公比为，则数列的前n项和为(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
3.已知等比数列满足，，且，则当时，＝（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】　由a5·a2n－5＝22n(n≥3)得an2＝22n，又an>0，
则an＝2n，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2，故选C.
4.若等比数列满足，，则公比 ；
【答案】2
5.若数列满足，给出以下四个结论：
①是等比数列； ②可能是等差数列也可能是等比数列；
③是递增数列； ④可能是递减数列.
其中正确的结论是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
【答案】D
6.在等比数列中, 是方程的两根，则＝________.
【答案】－3
【巩固练习——提高篇】
1.设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的
A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
2.已知等差数列是无穷数列，若，则数列的前项和
A．无最大值，有最小值 B． 有最大值，无最小值
C．有最大值，有最小值 D． 无最大值，无最小值
【答案】A
3.已知数列的前项和，若恒成立，则实数的最大值是
A． B． C． D．
【答案】C
4.设有四个数的数列，该数列前项成等比数列，其和为，后项成等差数列，其和为. 则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5.已知实数a，b，c成等差数列，a＋1，b＋1，c＋4成等比数列，且a＋b＋c＝15，
求a，b，c.
【答案】由题意，得，解得，或.等比数列
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1．在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1等于 ( )．
A．－9 B．－8 C．－7 D．－4
2．数列{an}满足a1=1，an+1=an－3（nN*），则a4=
A．10 B．8 C．－8 D．－10
3．已知数列为等差数列，且，那么则等于（ ）
A． B． C． D．
4.设是公差为正数的等差数列，若，，则等于( )
A．120 B．105
C．90 D．75
5.数列的首项为3，为等差数列且．若,，则 ( )
A．0 B．3 C．8 D．11
【知识点】
1 等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：.
要点诠释：
①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此不能是0；
②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”,这里的项具有任意性和有序性,常数是同一个;
③隐含条件：任一项且;“”是数列成等比数列的必要不充分条件;
④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列.不为0的常数列是公比为1的等比数列；
2.等比数列的通项公式
首项为，公比为的等比数列的通项公式为：
3.等比中项
如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项.其中.
要点诠释：
①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项. 当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项.
②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一. 但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一.
③当时，、、成等比数列.
④是、、成等比数列的必要不充分条件。
4.等比数列的判定
(1)定义法：
(2)等比中项法：
5.等比数列的性质
（1）若，且,则，
特别地，当时.
（2）下标成等差数列且公差为的项,,,…组成的新数列仍为等比数列，
公比为.
（3）若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、(,是常数)、、也是等比数列；
（4）连续项和（不为零）仍是等比数列.即,,，…成等比数列，该等比数列的公比为.
（5）等比数列单调性问题：
当且时，等比数列是递增数列；
当且时，等比数列是递减数列；
当且时，等比数列是递减数列；
当且时，等比数列是递增数列。
当时，等比数列是摆动数列。
6.等比数列的前项和公式：
【典型例题】
考点一： 等比数列通项公式的应用
例1已知等比数列满足，，则等于
A． B． C． D．
练1.若等比数列的第4项和第6项分别是1和16,则其第5项为
A． B． C． D．
例2.已知数列满足，则等于
A. B. C. D.
练1.已知数列是公比为2的等比数列，且满足，则的值为( )
A.2 B.4 C.8 D.16
练2.若数列满足：，，则______ .
练3.已知等比数列的公比为，若，则
例3.等比数列中，, ,求.
练1.已知等比数列中,,那么的值为 .
考点二：等比中项问题
例1.等比数列中，，，则与的等比中项是(　　)
A.±4 B.4 C.± D.
练1.在等比数列中，，且，则的值为___.
例2.已知数列是公比为的等比数列，，则的值为
A. B. C.或 D.或
例3.若x,2x＋2,3x＋3是一个等比数列的连续三项，则x的值为__________.
练1.如果成等比数列，那么
A. B.
C. D.
练2.设等差数列的公差不为0，.若是与的等比中项，则等于(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
练3.在等比数列中，，公比.若，则( )
A.9 B.10 C.11 D.12
　
考点三：等比数列性质问题
例1.已知等比数列中，则公比（ ）
A. B. C. D.
例2.等比数列中，若,求.
例3.已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是(　　)
A. B. C. D.
例4.在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_____.
例5.已知等比数列的公比，则下面说法中不正确的是( )
A.是等比数列 B.对于，，
C.对于，都有 D.若，则对于任意，都
练1.已知等比数列中，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
练2.等比数列的各项均为正数,且,则
练3.若等比数列满足，则公比为
A.2 B.4 C.8 D.16
练4.设等比数列 的前 项和为 ，若，则 等于(　　)
A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.1∶3
考点四：利用定义证明等比数列
例1.已知数列的首项为……，证明：数列是等比数列.
练1.已知数列中判断数列是等比数列，并说明理由
考点五：等比数列前项和
例1.等比数列的前项和为,已知,,则
A. B. C. D.
例2.已知等比数列{}中，且，那么的值是( )
A. 15 B. 31 C. 63 D. 64
例3.设等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为.若对,有,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
练1.已知是由正数组成的等比数列，表示的前项的和，若，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
练2.已知数列满足,且数列的前项和,则数列的前5项和等于
A. B. C. D.
练3.若等比数列满足，，则公比 ；前项和 .
例4.已知等比数列的公比，且，.
（Ⅰ）求公比和的值；
（Ⅱ）若的前项和为，求证：.
【小试牛刀】
1.若数列满足，则
A.数列不是等比数列 B.数列是公比为的等比数列
C.数列是公比为2的等比数列 D.数列是公比为的等比数列
2.已知等比数列，若，，求.
3.等比数列中，，，则的值为(　　)
A.3×10－5 B.3×29 C.128 D.3×2－5或3×29
4.已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad＝________.
5.在等比数列中，首项，要使数列对任意正整数都有，则公比应满足(　　)
A. B. C. D.
6.已知等比数列中, ，，则_______
7.设等比数列的前项和为若则
【巩固练习——基础篇】
1.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则等于
A.33 B.72 C.84 D.189
2.设等比数列的公比为，则数列的前n项和为(　　)
A. B. C. D.
3.已知等比数列满足，，且，则当时，＝（ ）.
A. B. C. D.
4.若等比数列满足，，则公比 ；
5.若数列满足，给出以下四个结论：
①是等比数列； ②可能是等差数列也可能是等比数列；
③是递增数列； ④可能是递减数列.
其中正确的结论是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
6.在等比数列中, 是方程的两根，则＝________.
【巩固练习——提高篇】
1.设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的
A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知等差数列是无穷数列，若，则数列的前项和
A．无最大值，有最小值 B． 有最大值，无最小值
C．有最大值，有最小值 D． 无最大值，无最小值
3.已知数列的前项和，若恒成立，则实数的最大值是
A． B． C． D．
4.设有四个数的数列，该数列前项成等比数列，其和为，后项成等差数列，其和为. 则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5.已知实数a，b，c成等差数列，a＋1，b＋1，c＋4成等比数列，且a＋b＋c＝15，
求a，b，c.

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