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等差数列 1
【课前诊断】 1
【知识点一：等差数列的定义及其表示】 2
考点一：等差数列的定义等差中项 3
【知识点二：等差数列通项公式及性质】 5
考点一：等差数列求通项及性质应用 6
考点二：等差数列判定 7
【知识点三：等差数列求和公式】 9
考点一：等差数列求和 10
考点二：已知等差数列前ｎ项和，求通项 11
【知识点四：等差数列前项和性质与应用】 12
考点一：等差数列的性质与应用 13
【小试牛刀】 15
等差数列
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1.数列2,3,4,5，…的一个通项公式为(　　)
A.an＝n，n∈N* B.an＝n＋1，n∈N*
C.an＝n＋2，n∈N* D.an＝2n，n∈N*
【答案】B
2.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的(　　)
A.第5项 B.第6项
C.第7项 D.非任何一项
【答案】C
3.数列，，，，…的第10项是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
4.观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，，，，________，，
【答案】3
【知识点一：等差数列的定义及其表示】
1.一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母表示．
①如果一个数列不是从第项起，而是从第项或第项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第项或第项开始是等差数列．
②求公差时。因为是这个数列的后一项与前一项的差，故有,还有
③等差数列的单调性
公差 数列的增减性 举例
数列的递增数列
数列的常数列
数列的递减数列
2.等差中项：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项.
即：或
考点一：等差数列的定义等差中项
例1.“成等差数列”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
练1.已知数列为等差数列，若，则_______
解：为等差数列
也为等差数列
答案：
练2.已知数列且,则下列说法正确的是
A.数列是以为首项, 为公差的等差数列
B.数列是以为首项, 为公差的等差数列
C.数列是以为首项, 为公差的等差数列
D.数列是以为首项, 为公差的等差数列
【答案】：B
练3.等差数列中, 则公差等于
A. B. C. D.
【答案】：A
例2.在等差数列中,已知
那么
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】：A
练1.等差数列中，，则数列的公差为
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
练2.在等差数列中，，则的值为
A.3 B.4 C.5 D.10
【答案】C
练3.如果等差数列中，，那么＝
A.14 B.21 C.28 D.35
【答案】C
【知识点二：等差数列通项公式及性质】
1．等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为，其中为首项，为公差.
注：对公式的理解
（1）从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中和是基本量，只要知道和即可求出等差数列的任一项．
（2）从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，是的一次函数．其图象是直线上均匀排开的一列孤立的点．我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了．
2.等差数列通项的性质：
（1）等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有
（2）在等差数列中，若，则
3.等差数列的判定
定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列
等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列
【典型例题】
考点一：等差数列求通项及性质应用
例1.等差数列中，，若，则等于( )A．79 B．80 C．81 D．82
【答案】C
练1. 在等差数列中,已知,则
A． B． C． D．
【答案】B
练2.数列{an）满足a1=1，an+1=an－3（nN*），则a4=
A．10 B．8 C．－8 D．－10
【答案】C
例2.已知等差数列的公差d>0，且满足，求数列的通项公式.
由，等差数列的公差d＞0，
练1.在等差数列中，，，则_________.
答案：0
例3.等差数列中, 则_________
【答案】38
练1.等差数列中，已知，则__________.
【答案】18
练2.在等差数列中，，是方程的两根，则等于 ( )．
A. B. C．－ D．－
【答案】B
练3.在等差数列中，
(1)已知，求；
(2)已知，，求公差.
【答案】(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，
得4a13＝48，∴a13＝12.
(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34.
即a2＋a5＝17，解得或
∴d＝＝＝3或d＝＝＝－3.
考点二：等差数列判定
【例1】已知等差数列，，公差，若，试判断数列是否为等差数列？并证明你的结论．
【答案】数列{bn}是等差数列，证明如下：
∵等差数列{an}中，a1＝a，d＝1，
∴an＝a＋(n－1)＝n－1＋a，∴bn＝an2－an＋12＝(n－1＋a)2－(n＋1－1＋a)2＝1－2n－2a，
∴bn＋1＝1－2(n＋1)－2a.
∴bn＋1－bn＝[1－2(n＋1)－2a]－(1－2n－2a)＝－2.
所以数列{bn}是以b1＝a12－a22＝－2a－1为首项，－2为公差的等差数列．
【例2】数列满足，，是常数．
(1)当时，求及的值；
(2)数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由．
【答案】(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an，且a1＝1.
所以当a2＝－1时，有－1＝2－λ，故λ＝3.
从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)数列{an}不可能为等差数列，证明如下：
由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，得
a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．
若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，
即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.
故a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.这与{an}为等差数列矛盾．
所以，对任意λ，{an}都不可能是等差数列
【练习1】在数列 中， ．
(1)求 的值；
(2)设 ，证明： 是等差数列．
【答案】
(1)∵a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)，
∴a2＝2a1＋22＋3＝1，a3＝2a2＋23＋3＝13.
(2)证明：对于任意n∈N*，
∵bn＋1－bn＝－＝[(an＋1－2an)－3]＝[(2n＋1＋3)－3]＝1，
∴数列{bn}是首项为＝＝0，公差为1的等差数列．
【知识点三：等差数列求和公式】
一般地，我们称叫数列的前项和，用表示，即
.
等差数列的前项和公式：
（公式一）．
（公式二）．
（1）公式一反映了等差数列的第项与倒数第项的和等于首项与末项的和这个内在性质．推导方法是倒序相加法．
（2）公式二反映了等差数列前项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于的函数：（不含常数项），其中，．
（3）当已知首项、末项和项数时，用公式一较为方便；当已知首项、公差和项数时，用公式二较为方便．
等差数列的前项和
令，则
（1）当（即）时，是关于的常数函数，是各项为的常数列．
（2）当（即）时是关于的一次函数，为各项非零的常数列．
（3）当（即）时是关于的二次函数（常数项为0）．
（4）当(即)时不是等差数列．
考点一：等差数列求和
例1.在等差数列中,已知,则
A． B． C． D．
【答案】C
练1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若S2k+1>0，则一定有
A.ak>0 B.Sk>0 C.ak+l>0 D.Sk+l>0
【答案】C
练2. 设等差数列的前项和是,若,则等于
A.7 B.14 C.21 D.28
【答案】B
练3. 等差数列的前项和为,若则.
【答案】7
例2.等差数列中，若，为的前项和，则
A. B.
C. D.
答案：C
练1.已知数列为等差数列,为其前项的和,若
,则.
答案：25
练2.已知等差数列前项和为.若,,则
,.
【答案】4；110
考点二：已知等差数列前ｎ项和，求通项
例1.已知数列的前项和,则.
【答案】14
练1.已知数列的前项和公式为,则数列
A．是公差为的等差数列 B．是公比为的等比数列
C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列
【答案】A
例2.已知为等差数列,为其前项和.若,,则数列的公差
,通项公式.
【答案】
练1.设等差数列的前项和为.若,,则数列的通项公式可以是
.
【答案】，答案不唯一
练2.已知数列的前项和为则数列的通项公式是.
【答案】
【知识点四：等差数列前项和性质与应用】
方法1：等差数列前项和公式的应用
等差数列的前项和公式为，当时，有最大值；当时，有最小值.下面以最大值为例，探讨求的最值的一般方法．
（1）的图象可看作开口向下的抛物线，离对称轴最近的正整数是取得最大值的.
（2）解出的范围，从而确定此范围中的正整数.
（3）设法确定前几项为正，或是否有零项，那么所有非负整数项的和最大，若有零项，则有两个和相等并且最大．
方法2: 若等差数列的项数为，则，且
若项数为，则(为中间项)，且.
其中.
方法3:利用等差数列前项和通项公式之间的关系解题
等差数列的前项和公式与通项公式之间有着密切的关系，充分利用公式的关系解题．
下面给出一个常用的结论：
若等差数列与的前项和分别是和,则.
等差数列的前项和之比是由等差数列的通项公式和前项和公式经过变换得到的．在理解上述性质时．要从这两者的关系人手，不要死记硬背．
【典型例题】
考点一：等差数列的性质与应用
例1.已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差是
A. B.1 C.2 D.3
【答案】C
例2.已知为等差数列，且前项和分别为，若，则_____
【答案】
例3. 在等差数列中,.
（Ⅰ）求数列的首项和公差;
（Ⅱ）设数列的前项和为,求的最小值.
【答案】
练1.已知为等差数列，为其前n项和。若，，则公差____________；的最小值为_____________．
【答案】：12；-54
【小试牛刀】
1. 已知是数列的前项和，且，则_________________;当______时，取得最大值．
【答案】15；6
2.已知等差数列中，，则的前项和为（ ）
A.90 B.100 C.110 D.120
【答案】C
3.已知为等差数列,为其前项和.若,,则.
【答案】0
4.已知为等差数列,为其前项和,若,则
【答案】18
5.设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A B C D
【答案】B
6.已知等差数列中，，则此数列前项和等于
A. B. C. D.
【答案】D
【巩固练习——基础篇】
1.在等差数列中，，，则_________.
【答案】0
2.等差数列中，若，为的前项和，则
A. B.
C. D.
【答案】C
3. 已知等差数列的前项和为，若，则________
【答案】21
4. 设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C.42 D.
【答案】A
5.设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6.设等差数列的前项和为，若，则等于
A.12 B.18 C.22 D.44
【答案】C
【巩固练习——提高篇】
1. 若数列为等差数列，且，则
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
2. 等差数列的前n项和为，若，则的值是
A.130 B.65 C.70 D.75
【答案】A
3. 已知等差数列{}中，≠0，且，前项的和，则等于_______
【答案】10
4.在等差数列中，设，则是的
充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：D
5.数列满足，，.设，
证明是等差数列.
【答案】证明：由an＋2＝2an＋1－an＋2，
得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2.
又b1＝a2－a1＝1，
所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．目录
等差数列 1
【课前诊断】 1
【知识点一：等差数列的定义及其表示】 2
考点一：等差数列的定义等差中项 3
【知识点二：等差数列通项公式及性质】 5
考点一：等差数列求通项及性质应用 6
考点二：等差数列判定 7
【知识点三：等差数列求和公式】 9
考点一：等差数列求和 10
考点二：已知等差数列前ｎ项和，求通项 11
【知识点四：等差数列前项和性质与应用】 12
考点一：等差数列的性质与应用 13
【小试牛刀】 15
等差数列
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1.数列2,3,4,5，…的一个通项公式为(　　)
A.an＝n，n∈N* B.an＝n＋1，n∈N*
C.an＝n＋2，n∈N* D.an＝2n，n∈N*
2.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的(　　)
A.第5项 B.第6项
C.第7项 D.非任何一项
3.数列，，，，…的第10项是(　　)
A. B. C. D.
4.观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，，，，________，，
【知识点一：等差数列的定义及其表示】
1.一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母表示．
①如果一个数列不是从第项起，而是从第项或第项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第项或第项开始是等差数列．
②求公差时。因为是这个数列的后一项与前一项的差，故有,还有
③等差数列的单调性
公差 数列的增减性 举例
数列的递增数列
数列的常数列
数列的递减数列
2.等差中项：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项.
即：或
考点一：等差数列的定义等差中项
例1.“成等差数列”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
练1.已知数列为等差数列，若，则_______
练2.已知数列且,则下列说法正确的是
A.数列是以为首项, 为公差的等差数列
B.数列是以为首项, 为公差的等差数列
C.数列是以为首项, 为公差的等差数列
D.数列是以为首项, 为公差的等差数列
练3.等差数列中, 则公差等于
A. B. C. D.
例2.在等差数列中,已知那么
A.4 B.5 C.6 D.7
练1.等差数列中，，则数列的公差为
A.1 B.2 C.3 D.4
练2.在等差数列中，，则的值为
A.3 B.4 C.5 D.10
练3.如果等差数列中，，那么＝
A.14 B.21 C.28 D.35
【知识点二：等差数列通项公式及性质】
1．等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为，其中为首项，为公差.
注：对公式的理解
（1）从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中和是基本量，只要知道和即可求出等差数列的任一项．
（2）从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，是的一次函数．其图象是直线上均匀排开的一列孤立的点．我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了．
2.等差数列通项的性质：
（1）等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有
（2）在等差数列中，若，则
3.等差数列的判定
定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列
等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列
【典型例题】
考点一：等差数列求通项及性质应用
例1.等差数列中，，若，则等于( )A．79 B．80 C．81 D．82
练1. 在等差数列中,已知,则
A． B． C． D．
练2.数列{an）满足a1=1，an+1=an－3（nN*），则a4=
A．10 B．8 C．－8 D．－10
例2.已知等差数列的公差d>0，且满足，求数列的通项公式.
练1.在等差数列中，，，则_________.
例3.等差数列中, 则_________
练1.等差数列中，已知，则__________.
练2.在等差数列中，，是方程的两根，则等于 ( )．
A. B. C．－ D．－
练3.在等差数列中，
(1)已知，求；
(2)已知，，求公差.
考点二：等差数列判定
【例1】已知等差数列，，公差，若，试判断数列是否为等差数列？并证明你的结论．
【例2】数列满足，，是常数．
(1)当时，求及的值；
(2)数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由．
【练习1】在数列 中， ．
(1)求 的值；
(2)设 ，证明： 是等差数列．
【知识点三：等差数列求和公式】
一般地，我们称叫数列的前项和，用表示，即
.
等差数列的前项和公式：
（公式一）．
（公式二）．
（1）公式一反映了等差数列的第项与倒数第项的和等于首项与末项的和这个内在性质．推导方法是倒序相加法．
（2）公式二反映了等差数列前项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于的函数：（不含常数项），其中，．
（3）当已知首项、末项和项数时，用公式一较为方便；当已知首项、公差和项数时，用公式二较为方便．
等差数列的前项和
令，则
（1）当（即）时，是关于的常数函数，是各项为的常数列．
（2）当（即）时是关于的一次函数，为各项非零的常数列．
（3）当（即）时是关于的二次函数（常数项为0）．
（4）当(即)时不是等差数列．
考点一：等差数列求和
例1.在等差数列中,已知,则
A． B． C． D．
练1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若S2k+1>0，则一定有
A.ak>0 B.Sk>0 C.ak+l>0 D.Sk+l>0
练2. 设等差数列的前项和是,若,则等于
A.7 B.14 C.21 D.28
练3. 等差数列的前项和为,若则.
例2.等差数列中，若，为的前项和，则
A. B.
C. D.
练1.已知数列为等差数列,为其前项的和,若
,则.
练2.已知等差数列前项和为.若,,则
,.
考点二：已知等差数列前ｎ项和，求通项
例1.已知数列的前项和,则.
练1.已知数列的前项和公式为,则数列
A．是公差为的等差数列 B．是公比为的等比数列
C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列
例2.已知为等差数列,为其前项和.若,,则数列的公差
,通项公式.
练1.设等差数列的前项和为.若,,则数列的通项公式可以是
.
练2.已知数列的前项和为则数列的通项公式是.
【知识点四：等差数列前项和性质与应用】
方法1：等差数列前项和公式的应用
等差数列的前项和公式为，当时，有最大值；当时，有最小值.下面以最大值为例，探讨求的最值的一般方法．
（1）的图象可看作开口向下的抛物线，离对称轴最近的正整数是取得最大值的.
（2）解出的范围，从而确定此范围中的正整数.
（3）设法确定前几项为正，或是否有零项，那么所有非负整数项的和最大，若有零项，则有两个和相等并且最大．
方法2: 若等差数列的项数为，则，且
若项数为，则(为中间项)，且.
其中.
方法3:利用等差数列前项和通项公式之间的关系解题
等差数列的前项和公式与通项公式之间有着密切的关系，充分利用公式的关系解题．
下面给出一个常用的结论：
若等差数列与的前项和分别是和,则.
等差数列的前项和之比是由等差数列的通项公式和前项和公式经过变换得到的．在理解上述性质时．要从这两者的关系人手，不要死记硬背．
【典型例题】
考点一：等差数列的性质与应用
例1.已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差是
A. B.1 C.2 D.3
例2.已知为等差数列，且前项和分别为，若，则_____
例3. 在等差数列中,.
（Ⅰ）求数列的首项和公差;
（Ⅱ）设数列的前项和为,求的最小值.
练1.已知为等差数列，为其前n项和。若，，则公差____________；的最小值为_____________．
【小试牛刀】
1. 已知是数列的前项和，且，则_________________;当______时，取得最大值．
2.已知等差数列中，，则的前项和为（ ）
A.90 B.100 C.110 D.120
3.已知为等差数列,为其前项和.若,,则.
4.已知为等差数列,为其前项和,若,则
5.设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A B C D
6.已知等差数列中，，则此数列前项和等于
A. B. C. D.
【巩固练习——基础篇】
1.在等差数列中，，，则_________.
2.等差数列中，若，为的前项和，则
A. B.
C. D.
3. 已知等差数列的前项和为，若，则________
4. 设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C.42 D.
5.设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
6.设等差数列的前项和为，若，则等于
A.12 B.18 C.22 D.44
【巩固练习——提高篇】
1. 若数列为等差数列，且，则
A.1 B.2 C.3 D.4
2. 等差数列的前n项和为，若，则的值是
A.130 B.65 C.70 D.75
3. 已知等差数列{}中，≠0，且，前项的和，则等于_______
4.在等差数列中，设，则是的
充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.数列满足，，.设，
证明是等差数列.

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