资源简介

目录
直线与方程 1
【课前诊断】 1
知识点一：直线的倾斜角与斜率 3
【典型例题】 5
考点一： 直线的倾斜角 5
考点二： 直线的倾斜角直接求取 5
考点三： 直线倾斜角的含参类型 6
知识点二： 直线的方程 8
【典型例题】 11
考点一： 直线的点斜式方程 11
方法总结： 12
考点二： 直线的斜截式方程 13
考点三： 直线的两点式方程 14
考点四： 直线的截距式方程 14
方法总结： 15
考点五： 直线的一般式方程 17
方法总结： 18
【小试牛刀】 19
【巩固提高】 21
直线与方程
【课前诊断】
1. 下列说法中，正确的是( )
A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0
D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
解析：对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；
对于B，虽然直线的斜率为tanα，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，故选D.
【答案】D
2. 若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
【答案】D.
解析：如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.
3.设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°
解析：选D
当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角是α＋45°.
当135°≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜角为α－135°，
故应选D.
知识点一：直线的倾斜角与斜率
1：直线的倾斜角
1.定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线的倾斜角．一条直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为。
2.倾斜角取值范围：直线的倾斜角的取值范围是.
3．倾斜角与直线形状的关系
倾斜角
直线
【理解】
(1)倾斜角定义中含有三个条件：
①轴正向；②直线向上的方向；③小于的非负角．
(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．
(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对轴的倾斜程度．
(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.
2：直线的斜率
1．斜率的定义：一条直线的倾斜角的正切值值叫做这条直线的斜率．常用小写字母表示，即.
2．斜率公式：经过两点，的直线的斜率公式为.当时，直线没有斜率．
3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度。
【理解】
1．倾斜角与斜率的关系
(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于轴(平行于轴或与轴重合)．
(2)直线的斜率也反映了直线相对于轴的正方向的倾斜程度．
当时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；
当时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
2．斜率公式
(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是，分母必须是；反过来，如果分子是，分母必须是，即.
(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．
【典型例题】
考点一： 直线的倾斜角
例1. 下列说法中，正确的是( )
A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0
D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
解析：对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；
对于B，虽然直线的斜率为tanα，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，故选D.
【答案】D
考点二： 直线的倾斜角直接求取
例2. 若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
【答案】D.
解析：如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.
例3.设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°
解析：选D
当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角是α＋45°.
当135°≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜角为α－135°，
故应选D.
例4.若直线过点 (1,2)，(4，2＋)，则此直线的倾斜角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选A
设直线的倾斜角为α，直线斜率k＝＝，∴tan α＝.
又∵0°≤α＜180°，∴α＝30°.
考点三： 直线倾斜角的含参类型
例5.(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________；
(2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________；
(3)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________．
解析：(1)直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，
又k＝，由＝－1，得y＝－5.
(2)由斜率公式k＝＝1，得m＝1.
(3)当m＝3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在．
当m≠3时，k＝＝－＝1，解得m＝0.
例6.过两点的直线的倾斜角为，求的值.
解析：直线的斜率
由
解得或
当时，点的坐标是，点的坐标是，是同一个点，不符合条件.
当时，点的坐标是，点的坐标是，符合条件.
所以
例7.直线(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.∪
解析：
直线的斜率k＝－(1－a2)＝a2－1，∵a2≥0，∴k＝a2－1≥－1.由倾斜角和斜率的关系(如图所示), 该直线倾斜角的取值范围为∪.故选C.
知识点二： 直线的方程
1：直线的点斜式方程
1.定义：直线过定点，斜率为，则把方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．
2.说明：如图所示，过定点，倾斜角是的直线没有点斜式，其方程为,或.
关于点斜式的几点说明：
(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点和斜率；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．
(2)方程与方程不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点的一条直线．
(3)当取任意实数时，方程表示恒过定点的无数条直线．
2：直线的斜截式方程
1.定义：如图所示，直线的斜率为，且与轴的交点为，则方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
2.说明：一条直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．
【理解】
斜截式与一次函数的解析式相同，都是的形式，但有区别，当k≠0时，即为一次函数；当时，，不是一次函数，一次函数必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．
3：直线的两点式方程
经过两点，且的直线方程，叫做直线的两点式方程。
4：直线的截距式方程
直线与轴交点；与轴交点，其中，则得直线方程，叫做直线的截距式方程。
5：直线的一般式方程
1．直线与二元一次方程的关系
(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于，的二元一次方程表示．
(2)每个关于，的二元一次方程都表示一条直线．
2．直线的一般式方程的定义
我们把关于，的二元一次方程(其中，不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
【理解】
1．求直线的一般式方程的策略
(1)当时，方程可化为，只需求，的值；若，则方程化为，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．
2．直线的一般式转化为其他形式的步骤
(1)一般式化为斜截式的步骤
①移项得；
②当时，得斜截式：.
(2)一般式化为截距式的步骤
①把常数项移到方程右边，得；
②当时，方程两边同除以，得；
③化为截距式：.
由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．
【典型例题】
考点一： 直线的点斜式方程
例1.(1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．
(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________．
(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________．
解析：(1)∵直线平行于y轴，∴直线不存在斜率，∴方程为x＝－5.
(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.
由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1，
又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．
(3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P(1,2)，
∴直线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
例2.从原点O向直线作垂线，垂足为点，则直线的方程为.
【答案】
例3.求证：不论为何值时，直线总过第二象限．
证明　法一　直线l的方程可化为
y－3＝(m－1)(x＋2)，
∴直线l过定点(－2,3)，
由于点(－2,3)在第二象限，故直线l总过第二象限．
法二　直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
令解得
∴无论m取何值，直线l总经过点(－2,3)．
∵点(－2,3)在第二象限，∴直线l总过第二象限．
方法总结：
已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为.
考点二： 直线的斜截式方程
例1.(1)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________．
(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．
解析：(1)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－，
由斜截式可得所求的直线方程为y＝－x－3.
(2)由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，
又∵l∥l1，∴l的斜率k＝k1＝－2.
由题意知l2在y轴上的截距为－2，∴l在y轴上的截距b＝－2，
由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
例2.根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在轴上的截距是5；
(2)倾斜角为，在轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为3.
解　(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－.
由斜截式可得方程为y＝－x－2.
(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝，
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
考点三： 直线的两点式方程
例1.(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________．
(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
解析：(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，
所求的直线方程为x＝2.
(2)由两点式方程得，过A，B两点的直线方程为＝，即x＋y－1＝0.
又点P(3，m)在直线AB上，所以3＋m－1＝0，得m＝－2.
例2.已知三角形的三个顶点，求边所在直线的方程，以及该边上中线所在的直线方程.
解析：如图所示，过，的两点式方程为
整理得.
这就是边所在直线的方程.
边上的中线是顶点与边中点所连线段，
由中点坐标公式可得的坐标为，
过和的直线方程易得：.
考点四： 直线的截距式方程
1．截距相等问题
例1.求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．
解析：(1)当直线过原点时，它在x轴、y轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为，
所以直线方程为y＝x.
(2)当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1，又过A(4,2)，
∴a＝6，∴方程为x＋y－6＝0，
综上，直线方程为y＝x或x＋y－6＝0.
2．截距和为零问题
例2.求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．
解析：(1) 当直线过原点时，它在x轴、y轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为，
所以直线方程为y＝x.
(2)当直线不过原点时，由题意可设直线方程为－＝1.又过A(4,2)，
∴＝1，即a＝2，∴x－y＝2.
综上，直线l的方程为y＝x或x－y＝2.
3．截距成倍数问题
例3.求过点A(4,2)且在x轴上截距是在y轴上截距的3倍，求直线l的方程．
解析：(1)同上
(2)当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1，
又直线过A(4,2)，所以＋＝1，解得a＝，
方程为x＋3y－10＝0.
综上，所求直线方程为y＝x或x＋3y－10＝0.
4．截距和是定数问题
例4.求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l的方程．
解析：设直线l的方程为＋＝1，
由题意
∴4b＋2a＝ab，即4(12－a)＋2a＝a(12－a)，
∴a2－14a＋48＝0，解得a＝6或a＝8.
因此或
∴所求直线l的方程为x＋y－6＝0或x＋2y－8＝0.
方法总结：
1.求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．
2.用截距式方程解决问题的优点及注意事项
(1)由截距式方程可直接确定直线与轴和轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．
(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．
(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．
考点五： 直线的一般式方程
例1.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是，经过点；
(2)经过点，平行于轴；
(3)在轴和轴上的截距分别是；
(4)经过两点 ．
解析：选择合适的直线方程形式．
(1)由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0.
(2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0.
(3)由截距式得＋＝1，即2x－y－3＝0.
(4)由两点式得＝，即x＋y－1＝0.
例2.(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；
(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
解：(1)法一：设直线l的斜率为k，
∵l与直线3x＋4y＋1＝0平行，∴k＝－.
又∵l经过点(1,2)，可得所求直线方程为y－2＝－(x－1)，即3x＋4y－11＝0.
法二：设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0.
∵l经过点(1,2)，
∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11.
∴所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
(2)法一：设直线l的斜率为k.
∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，
∴k·(－2)＝－1，∴k＝.
又∵l经过点A(2,1)，
∴所求直线l的方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0.
法二：设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.
∵直线l经过点A(2,1)，
∴2－2×1＋m＝0，
∴m＝0.
∴所求直线l的方程为x－2y＝0.
方法总结：
1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
【小试牛刀】
1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是(　　)
A．任一直线都有倾斜角，都存在斜率
B．倾斜角为135°的直线的斜率为1
C．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α
D．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)
解析：选D　任一直线都有倾斜角，但当倾斜角为90°时，斜率不存在．所以A、C错误；倾斜角为135°的直线的斜率为－1，所以B错误；只有D正确．
2．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是( )
A．5 B．8
C. D．7
解析：选C　由斜率公式可得＝1，解之得m＝.
3．直线l经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角为________．
解析：kl＝＝－1，
因此倾斜角为135°.
4．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为________．
解析：∵A、B、C三点共线，
∴kAB＝kBC，即＝，∴a＝2或.
5．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于(　　)
A．2,3 B．－3，－3
C．－3,2 D．2，－3
答案：D
6．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是(　　)
A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2
C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋3
解析：选A　∵直线l的斜率k＝tan 45°＝1，
∴直线l的方程为y＋3＝x－2.
7．(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；
(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程．
解：(1)由y＝2x＋7得其斜率为2，由两直线平行知所求直线的斜率是2.
∴所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
(2)由y＝3x－5得其斜率为3，由两直线垂直知，所求直线的斜率是－.
∴所求直线方程为y＋2＝－(x＋2)，即x＋3y＋8＝0.
8.三角形的三个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程．
解析：由两点式，直线AB所在直线方程为：＝，即x＋4y＋1＝0.
同理，直线BC所在直线方程为：＝，即2x＋y－5＝0.
直线AC所在直线方程为：＝，即3x－2y＋3＝0.
9.求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的方程．
解　法一　设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1.
∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线的方程为x＋y－1＝0.
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，直线的方程为x－y－7＝0.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
法二　显然直线l的斜率存在且不为0.
设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)，k≠0.
令x＝0，得y＝－4k－3； 令y＝0，得x＝.
又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k－3|＝，
解得k＝1或k＝－1或k＝－.
∴所求直线的方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
【巩固提高】
1．下列说法正确的有
①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；
②若l1∥l2，则k1＝k2；
③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；
④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选A　若k1＝k2，则这两条直线平行或重合，所以①错；当两条直线垂直于x轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，才有这两条直线垂直，所以③错；④正确．
2．已知△ABC中，A(0,3)、B(2，－1)，E、F分别为AC、BC的中点，则直线EF的斜率为________．
解析：∵E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF∥AB.
∴kEF＝kAB＝＝－2.
3.已知两点，经过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是_______________
【答案】
4.直线的倾斜角是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
5．若直线与直线分别交于点，且线段 的中点坐标为 ，则直线的斜率为
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
6．直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A．[0，π) B．[0，]∪[，π)
C．[0，] D．[0，]∪(，π)
解析：直线xsin α＋y＋2＝0的斜率为k＝－sin α，
又|sin α|≤1，∴|k|≤1，∴倾斜角的取值范围是[0，]∪[π，π)．故选B.
【答案】B
7．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．
解：由题意直线AC的斜率存在，即m≠－1.
∴kAC＝，kBC＝.
∴＝3·.
整理得：－m－1＝(m－5)(m＋1)，
即(m＋1)(m－4)＝0，
∴m＝4或m＝－1(舍去)．
∴m＝4.
8.已知直线过，且与以， 为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围．
解析：根据题中的条件可画出图形，如图所示，
又可得直线PA的斜率kPA＝－，
直线PB的斜率kPB＝，
结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°，故斜率的取值范围为，
当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时，它的倾斜角由90°增大到PA的倾斜角，故斜率的变化范围是.
综上可知，直线l的斜率的取值范围是
∪.
9．直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为(　　)
A．1 B．－1
C．7 D．－7
解析：选B　直线在x轴上截距为3，在y轴上截距为－4，因此截距之和为－1.
10．直线l过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为________．
解析：由题意直线过两点，由直线两点式方程可得：＝，整理得x－y＋3＝0.
答案：x－y＋3＝0
11．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________．
解析：由直线点斜式方程可得
y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
12．三角形的顶点坐标为A(0，－5)，B(－3,3)，C(2,0)，求直线AB和直线AC的方程．
解：∵直线AB过点A(0，－5)，B(－3,3)两点，
由两点式方程，得＝.
整理，得8x＋3y＋15＝0.
∴直线AB的方程为8x＋3y＋15＝0.
又∵直线AC过A(0，－5)，C(2,0)两点，
由截距式得＋＝1，
整理得5x－2y－10＝0，
∴直线AC的方程为5x－2y－10＝0.
13.三角形的三个顶点是,,.
(1)求边上的高所在直线的方程;
(2)求边上的中线所在的方程;
(3)求边的垂直平分线的方程.
答案：(1);(2);(3)
14.求过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．
解析：当直线过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是0，
满足题意．此时，直线的斜率为，所以直线方程为y＝x.
当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1，又过点A，所以＋＝1(1)．
因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a|＝|b|(2)．
由(1)(2)联立方程组，解得或
所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
化简得直线l的方程为x＋y＝6或x－y＝2.
综上，直线l的方程为y＝x或x＋y＝6或x－y＝2.
15．求经过点A(－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．
解：设直线在x轴、y轴上的截距分别是a、b，
则有S＝|a·b|＝1.
∴ab＝±2.设直线的方程是＋＝1.
∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得＋＝1，即b＝.
∴ab＝＝±2.当＝－2时，化简得a2＋a＋2＝0，方程无解；
当＝2时，化简得a2－a－2＝0，
解得或
∴直线方程是＋＝1或＋＝1，即2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.目录
直线与方程 2
【课前诊断】 2
知识点一：直线的倾斜角与斜率 3
【典型例题】 5
考点一： 直线的倾斜角 5
考点二： 直线的倾斜角直接求取 5
考点三： 直线倾斜角的含参类型 6
知识点二： 直线的方程 7
【典型例题】 10
考点一： 直线的点斜式方程 10
方法总结： 10
考点二： 直线的斜截式方程 11
考点三： 直线的两点式方程 12
考点四： 直线的截距式方程 12
方法总结： 12
考点五： 直线的一般式方程 14
方法总结： 14
【小试牛刀】 15
【巩固提高】 16
直线与方程
【课前诊断】
1. 下列说法中，正确的是( )
A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0
D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
2. 若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
3.设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°
知识点一：直线的倾斜角与斜率
1：直线的倾斜角
1.定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线的倾斜角．一条直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为。
2.倾斜角取值范围：直线的倾斜角的取值范围是.
3．倾斜角与直线形状的关系
倾斜角
直线
【理解】
(1)倾斜角定义中含有三个条件：
①轴正向；②直线向上的方向；③小于的非负角．
(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．
(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对轴的倾斜程度．
(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.
2：直线的斜率
1．斜率的定义：一条直线的倾斜角的正切值值叫做这条直线的斜率．常用小写字母表示，即.
2．斜率公式：经过两点，的直线的斜率公式为.当时，直线没有斜率．
3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度。
【理解】
1．倾斜角与斜率的关系
(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于轴(平行于轴或与轴重合)．
(2)直线的斜率也反映了直线相对于轴的正方向的倾斜程度．
当时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；
当时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
2．斜率公式
(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是，分母必须是；反过来，如果分子是，分母必须是，即.
(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．
【典型例题】
考点一： 直线的倾斜角
例1. 下列说法中，正确的是( )
A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0
D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
考点二： 直线的倾斜角直接求取
例2. 若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
例3.设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°
例4.若直线过点 (1,2)，(4，2＋)，则此直线的倾斜角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
考点三： 直线倾斜角的含参类型
例5.(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________；
(2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________；
(3)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________．
例6.过两点的直线的倾斜角为，求的值.
例7.直线(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.∪
知识点二： 直线的方程
1：直线的点斜式方程
1.定义：直线过定点，斜率为，则把方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．
2.说明：如图所示，过定点，倾斜角是的直线没有点斜式，其方程为,或.
关于点斜式的几点说明：
(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点和斜率；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．
(2)方程与方程不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点的一条直线．
(3)当取任意实数时，方程表示恒过定点的无数条直线．
2：直线的斜截式方程
1.定义：如图所示，直线的斜率为，且与轴的交点为，则方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
2.说明：一条直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．
【理解】
斜截式与一次函数的解析式相同，都是的形式，但有区别，当k≠0时，即为一次函数；当时，，不是一次函数，一次函数必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．
3：直线的两点式方程
经过两点，且的直线方程，叫做直线的两点式方程。
4：直线的截距式方程
直线与轴交点；与轴交点，其中，则得直线方程，叫做直线的截距式方程。
5：直线的一般式方程
1．直线与二元一次方程的关系
(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于，的二元一次方程表示．
(2)每个关于，的二元一次方程都表示一条直线．
2．直线的一般式方程的定义
我们把关于，的二元一次方程(其中，不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
【理解】
1．求直线的一般式方程的策略
(1)当时，方程可化为，只需求，的值；若，则方程化为，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．
2．直线的一般式转化为其他形式的步骤
(1)一般式化为斜截式的步骤
①移项得；
②当时，得斜截式：.
(2)一般式化为截距式的步骤
①把常数项移到方程右边，得；
②当时，方程两边同除以，得；
③化为截距式：.
由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．
【典型例题】
考点一： 直线的点斜式方程
例1.(1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．
(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________．
(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________．
例2.从原点O向直线作垂线，垂足为点，则直线的方程为.
例3.求证：不论为何值时，直线总过第二象限．
方法总结：
已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为.
考点二： 直线的斜截式方程
例1.(1)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________．
(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．
例2.根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在轴上的截距是5；
(2)倾斜角为，在轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为3.
考点三： 直线的两点式方程
例1.(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________．
(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
例2.已知三角形的三个顶点，求边所在直线的方程，以及该边上中线所在的直线方程.
考点四： 直线的截距式方程
1．截距相等问题
例1.求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．
2．截距和为零问题
例2.求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．
3．截距成倍数问题
例3.求过点A(4,2)且在x轴上截距是在y轴上截距的3倍，求直线l的方程．
4．截距和是定数问题
例4.求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l的方程．
方法总结：
1.求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．
2.用截距式方程解决问题的优点及注意事项
(1)由截距式方程可直接确定直线与轴和轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．
(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．
(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．
考点五： 直线的一般式方程
例1.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是，经过点；
(2)经过点，平行于轴；
(3)在轴和轴上的截距分别是；
(4)经过两点 ．
例2.(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；
(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
方法总结：
1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
【小试牛刀】
1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是(　　)
A．任一直线都有倾斜角，都存在斜率
B．倾斜角为135°的直线的斜率为1
C．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α
D．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)
2．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是( )
A．5 B．8
C. D．7
3．直线l经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角为________．
4．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为________．
5．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于(　　)
A．2,3 B．－3，－3
C．－3,2 D．2，－3
6．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是(　　)
A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2
C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋3
7．(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；
(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程．
8.三角形的三个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程．
9.求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的方程．
【巩固提高】
1．下列说法正确的有
①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；
②若l1∥l2，则k1＝k2；
③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；
④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．已知△ABC中，A(0,3)、B(2，－1)，E、F分别为AC、BC的中点，则直线EF的斜率为________．
3.已知两点，经过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是_______________
4.直线的倾斜角是
（A） （B） （C） （D）
5．若直线与直线分别交于点，且线段 的中点坐标为 ，则直线的斜率为
（A） （B） （C） （D）
6．直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A．[0，π) B．[0，]∪[，π)
C．[0，] D．[0，]∪(，π)
7．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．
8.已知直线过，且与以， 为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围．
9．直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为(　　)
A．1 B．－1
C．7 D．－7
10．直线l过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为________．
11．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________．
12．三角形的顶点坐标为A(0，－5)，B(－3,3)，C(2,0)，求直线AB和直线AC的方程．
13.三角形的三个顶点是,,.
(1)求边上的高所在直线的方程;
(2)求边上的中线所在的方程;
(3)求边的垂直平分线的方程.
14.求过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．
15．求经过点A(－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．

展开更多......

收起↑