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曲线与轨迹问题 2
【课前诊断】 2
【知识点一：求曲线方程】 4
【典型例题】 4
考点一： 定义法 4
考点二： 直接法 4
考点三： 相关点法 5
考点四： 参数法 6
【小试牛刀】 8
【巩固练习——基础篇】 9
【巩固练习——提高篇】 10
曲线与轨迹问题
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1． 已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
【答案】　B
2． 圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
【答案】C
3． 直线与圆的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　　　　　　 B．相离
C．相交或相切 D．相切
【答案】：C　
4． 设m＞0，则直线与圆的位置关系为(　　)
A．相切　　　　　　　　　　 B．相交
C．相切或相离 D．相交或相切
【答案】：C
5． 直线与圆相交于A，B两点，若弦AB的中点为，则直线l的方程为(　　)
A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0
【答案】：A　
6． 与圆相切，且在轴上的截距相等的直线共有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
【答案】：C
7． 过原点O作圆的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为________．
【答案】：4
8．已知两圆分别为圆C1：x2＋y2＝81和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是(　　)
A．相离　　　　　　　　 B．相交
C．内切 D．外切
【答案】：选C
9．两圆，外切，则正实数r的值是(　　)
A. B.
C. D．5
【答案】：选B
10．圆与圆的公切线条数为(　　)
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
【答案】：选C
11．圆和圆交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　)
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
【答案】：选C
【知识点一：求曲线方程】
一、求曲线方程的常用方法：（1）定义法；（2）直接法；（3）相关点法；（4）参数法；
【典型例题】
考点一： 定义法
例1. 已知中，为直角，且求满足条件的的轨迹方程。
解析：以斜边AB的中点为原点，AB所在的直线为轴建立平面直角坐标系内。
因为在中，为直角，所以点C到直线AB的中点的距离为的一半，即。
所以点C的轨迹是以O(0,0)为圆心，r=1为半径的圆，故圆的方程为：
又因为点C是的顶点，所以A,B,C不共线，即。
所以，点C的轨迹方程为（）。
易错点提示：求出曲线方程后易忽视点C为三角形的顶点，从而忘记去掉点（1,0）与（-1,0）。
总结：定义法求曲线方程：如果动点的轨迹满足某种已知曲线定义，则可由曲线的定义直接写出方程，利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线定义的特征。
练1.已知点A（-5,0），B（5,0），曲线上任意一点M与A,B连接的线段MA,MB互相垂直，求曲线的方程。
【答案】
解析：依题意，,所以点M的轨迹是以O为圆心，半径的圆。
所以，点M的轨迹方程为：。
练2.动点P到点(－1，2)的距离是3，则动点P的轨迹方程为
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
【答案】A
解析　由条件可知，点P的轨迹是以(－1，2)为圆心，以3为半径的圆，方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝9.
考点二： 直接法
例1.求与两定点A,B满足的动点P的轨迹方程。
解析：设以线段AB的中点O为坐标原点，AB所在的直线为轴建立坐标系，
,
因为
所以，
所以点P的轨迹方程为。
练1.动点到两定点的距离的比为3（即）,求动点P的轨迹方程。
解析：
所以，动点的轨迹方程为
背景资料：上题研究的轨迹就是“阿波罗尼斯圆”，“阿波罗尼斯圆”的叙述为：平面上的动点P到同一平面两定点A,B的距离之比为定值（）的点的轨迹是个圆。当时，动点P的轨迹是线段AB的垂直平分线。
这样的轨迹第一次出现在学生面前的是在人教A版《数学必修2》教材第124页
练2.已知A(1，0)，B(－1，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝2，则点M的轨迹方程是
A．y＝0(－1≤x≤1)　　　　 B．y＝0(x≥1)
C．y＝0(x≤－1) D．y＝0(|x|≥1)
解析　设M(x，y)，则－＝2，化简得y＝0(x≤－1)．
【答案】C
考点三： 相关点法
例1. 在圆上人取一点P，过点P作轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
解析：设
因为点P在圆上，所以。
把带入上式得：
所以。点M的轨迹方程是。
总结：相关点法求轨迹方程的基本思路：
①设点：设被动点的坐标，主动点的坐标；
②求关系式：用被动点的坐标表示主动点的坐标，即得关系式
；
③代换：将上述关系式带入主动点满足的方程，化简整理可得所求动点的轨迹方程。
练1. 已知中，，第三个顶点C在曲线上移动，求的重心G的轨迹方程。
解析：设的重心，由重心坐标公式得：
因为点在曲线上，所以，
即的重心G的轨迹方程是。
考点四： 参数法
例1.过点P(2,4)作两条相互垂直的直线，若交轴于点A，交轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程。
解析：设点M。
当直线的斜率垂直且不为0时，可设其方程为：
因为，所以，的方程为：。
所以，交轴于点A，交轴于点B
因为点M为线段AB的中点，所以，
消去，得：
当直线的斜率不存在时，线段AB的中点为M（1,2），也满足上述的轨迹方程。
综上：点M的轨迹方程为：
练1. 过曲线的顶点O，任作两条互相垂直的弦OA,OB，若分别以OA,OB为直径作圆，求两圆的另一交点C的轨迹方程。
解析：设，因为
以OA为直径的圆的方程为： ①
以OB为直径的圆的方程为： ②
因为点C满足①②，由①②知是关于的二次方程
的两根，则：
又因为
所以，。
所以，点C 的轨迹方程为：
【小试牛刀】
1.直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是
A．|x|－|y|＝1 B．|x－y|＝1
C．||x|－|y||＝1 D．|x±y|＝1
解析　设动点(x，y)，由题意可知|x|－|y|＝1或|y|－|x|＝1，即||x|－|y||＝1，选C.
【答案】C
等腰三角形ABC底边两端点是A(－，0)，B(，0)，顶点C的轨迹是
A．一条直线 B．一条直线去掉一点
C．一个点 D．两个点
解析　∵△ABC为等腰三角形，∴|CA|＝|CB|，∴点C的轨迹应是AB的中垂线，又∵C为AB中点时不能构成三角形，∴C的轨迹应是一条直线去掉一点．
答案　B
4.已知A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是
A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
解析　由两点式，得直线AB的方程是＝，
即4x－3y＋4＝0，
线段AB的长度|AB|＝＝5.
设C的坐标为(x，y)，
则×5×＝10，
即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
【巩固练习——基础篇】
1.已知A(－1，0)，B(1，0)，C为平面内的一动点，且满足|AC|＝|BC|，则点C的轨迹方程为
A．x2＋y2＋6x＋1＝0 B．x2＋y2－6x＋1＝0
C．x2＋y2－x＋1＝0 D．x2＋y2＋x＋1＝0
解析　设点C(x，y)，则由题意得(x＋1)2＋y2＝2[(x－1)2＋y2]．整理得x2＋y2－6x＋1＝0.
【答案】B
2.已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上一点，若＝，则点P的轨迹方程是________．
解析　∵＝，∴R，A，P三点共线，且A为RP的中点，设P(x，y)，R(x1，y1)，
则由＝，得(1－x1，－y1)＝(x－1，y)，则即
将其代入直线y＝2x－4，得y＝2x.
答案　y＝2x
【巩固练习——提高篇】
1.已知直线l：2x＋4y＋3＝0，P为l上的动点，O为坐标原点，点Q分线段OP为1∶2两部分，则Q点的轨迹方程是________．
解析　设Q点的坐标为(x，y)，P点的坐标为(x′，y′)，
又Q分OP所成的比例为，即＝，所以(x，y)＝(x′－x，y′－y)，所以得
又P(x′，y′)在2x＋4y＋3＝0上，所以2×(3x)＋4×(3y)＋3＝0，即2x＋4y＋1＝0，故点Q的轨迹方程是2x＋4y＋1＝0.
答案　2x＋4y＋1＝0
2.已知A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为2，P是AB的中点．求动点P的轨迹C的方程．
解析　设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵P是线段AB的中点，∴
∵A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的点，
∴y1＝x1，y2＝－x2，∴
又∵|AB|＝2，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝12.
∴12y2＋x2＝12，
∴动点P的轨迹C的方程为＋y2＝1.
3.已知两点M(－1，0)，N(1，0)，动点P使·，·，·成公差大于零的等差数列，求动点P的轨迹方程．
解析　设动点P(x，y)，由已知M(－1，0)，N(1，0)，
∴＝(x＋1，y)，＝(2，0)，∴＝(－2，0)，
＝(－x－1，－y)，＝(1－x，－y)，＝(x－1，y)．
∴·＝2(x＋1)，·＝(－x－1)(1－x)＋(－y)2＝x2＋y2－1.
·＝－2(x－1)．
依题意有：
化简得：x2＋y2＝3且x＜0.
所以动点P的轨迹方程是x2＋y2＝3(x＜0)．
4.在边长为1的正方形ABCD中，边AB，BC上分别有一个动点Q，R，且|BQ|＝|CR|.求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．
解析　分别以AB，AD边所在的直线为x轴，y轴建立直角坐标系．
如图所示，则点A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)．
设动点P(x，y)．
设|AQ|＝t(0≤t≤1)，则Q(t，0)．
由|BQ|＝|CR|知|AQ|＝|BR|，所以R(1，t)．
当t≠0时，直线AR的方程是：y＝tx.①
直线DQ的方程为＋y＝1.②
由②式得1－y＝.③
①×③得y(1－y)＝tx·，化简得x2＋y2－y＝0.
当t＝0时，点P与原点重合，坐标(0，0)也满足上述方程．
故点P的轨迹方程为x2＋y2－y＝0.
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20目录
曲线与轨迹问题 2
【课前诊断】 2
【知识点一：求曲线方程】 4
【典型例题】 4
考点一： 定义法 4
考点二： 直接法 5
考点三： 相关点法 6
考点四： 参数法 7
【小试牛刀】 8
【巩固练习——基础篇】 9
【巩固练习——提高篇】 9
曲线与轨迹问题
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1． 已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
2． 圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
3． 直线与圆的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　　　　　　 B．相离
C．相交或相切 D．相切
　
4． 设m＞0，则直线与圆的位置关系为(　　)
A．相切　　　　　　　　　　 B．相交
C．相切或相离 D．相交或相切
5． 直线与圆相交于A，B两点，若弦AB的中点为，则直线l的方程为(　　)
A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0
　
6． 与圆相切，且在轴上的截距相等的直线共有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
7． 过原点O作圆的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为________．
8．已知两圆分别为圆C1：x2＋y2＝81和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是(　　)
A．相离　　　　　　　　 B．相交
C．内切 D．外切
9．两圆，外切，则正实数r的值是(　　)
A. B.
C. D．5
10．圆与圆的公切线条数为(　　)
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
11．圆和圆交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　)
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
【知识点一：求曲线方程】
一、求曲线方程的常用方法：（1）定义法；（2）直接法；（3）相关点法；（4）参数法；
【典型例题】
考点一： 定义法
例1. 已知中，为直角，且求满足条件的的轨迹方程。
练1.已知点A（-5,0），B（5,0），曲线上任意一点M与A,B连接的线段MA,MB互相垂直，求曲线的方程。
练2.动点P到点(－1，2)的距离是3，则动点P的轨迹方程为
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
考点二： 直接法
例1.求与两定点A,B满足的动点P的轨迹方程。
练1.动点到两定点的距离的比为3（即）,求动点P的轨迹方程。
练2.已知A(1，0)，B(－1，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝2，则点M的轨迹方程是
A．y＝0(－1≤x≤1)　　　　 B．y＝0(x≥1)
C．y＝0(x≤－1) D．y＝0(|x|≥1)
考点三： 相关点法
例1. 在圆上人取一点P，过点P作轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
练1. 已知中，，第三个顶点C在曲线上移动，求的重心G的轨迹方程。
考点四： 参数法
例1.过点P(2,4)作两条相互垂直的直线，若交轴于点A，交轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程。
练1. 过曲线的顶点O，任作两条互相垂直的弦OA,OB，若分别以OA,OB为直径作圆，求两圆的另一交点C的轨迹方程。
【小试牛刀】
1.直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是
A．|x|－|y|＝1 B．|x－y|＝1
C．||x|－|y||＝1 D．|x±y|＝1
等腰三角形ABC底边两端点是A(－，0)，B(，0)，顶点C的轨迹是
A．一条直线 B．一条直线去掉一点
C．一个点 D．两个点
4.已知A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是
A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
【巩固练习——基础篇】
1.已知A(－1，0)，B(1，0)，C为平面内的一动点，且满足|AC|＝|BC|，则点C的轨迹方程为
A．x2＋y2＋6x＋1＝0 B．x2＋y2－6x＋1＝0
C．x2＋y2－x＋1＝0 D．x2＋y2＋x＋1＝0
2.已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上一点，若＝，则点P的轨迹方程是________．
【巩固练习——提高篇】
1.已知直线l：2x＋4y＋3＝0，P为l上的动点，O为坐标原点，点Q分线段OP为1∶2两部分，则Q点的轨迹方程是________．
2.已知A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为2，P是AB的中点．求动点P的轨迹C的方程．
3.已知两点M(－1，0)，N(1，0)，动点P使·，·，·成公差大于零的等差数列，求动点P的轨迹方程．
4.在边长为1的正方形ABCD中，边AB，BC上分别有一个动点Q，R，且|BQ|＝|CR|.求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．
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