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直线与圆、圆与圆的位置关系 1
【课前诊断】 1
【知识点一：直线与圆位置关系】 3
【典型例题】 5
考点一： 直线与圆位置关系的判定 5
考点二： 圆的切线方程 6
考点三： 直线与圆相交弦 7
【知识点二：圆与圆的位置关系】 8
【典型例题】 9
考点一： 圆与圆的位置关系 9
考点二： 圆与圆的公共弦 9
考点三： 圆与圆的公切线问题 10
【小试牛刀】 11
【巩固练习——基础篇】 12
【巩固练习——提高篇】 14
直线与圆、圆与圆的位置关系
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29
C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116
【答案】　B
2．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
【答案】　B
3．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．
【答案】　(x－2)2＋2＝
4．已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为__________．
【答案】　(0，－1)
5. 圆的方程是，则圆心的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
6. 圆上的点到原点的最大距离是( )
A. B.
C. D.10
【答案】B
7. 过点与且圆心在直线上的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
8. 两圆和的连心线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【知识点一：直线与圆位置关系】
1：直线与圆的位置关系
由平面几何知，直线与圆有三种位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有公共点.
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断一览表
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判定方法 几何法：设圆心到 直线的距离
代数法： 由 消元得到一元二次 方程的判别式
图形
2.圆的切线方程的问题
（1）过圆上一点的切线方程：
与圆相切于点的切线方程是；
与圆相切于点的切线方程是：；
与圆相切于点的切线方程是；
（2）过圆外一点的切线方程：
设是圆外一点，求过点的圆的切线方程.
当两条切线斜率都存在时，设切线方程是，即，再由求出待定系数，就可写出切线方程.当有一条切线斜率不存在时，斜率不存在的切线方程为，切线斜率存在的切线方程的求法同上.
直线与圆相交的弦长的求法
（1）几何法
如图所示，直线l与圆C相交于A，B两点，线段AB的长即为l与圆相交的弦长.
设弦心距为，半径为，弦为AB，则有.
（2）代数法
直线l与圆交于，直线l的斜率存在，设为k，则联立直线方程和圆的方程得方程组.
方法一：解方程组得点A、B的坐标，再由两点间的距离公式求弦长.
方法二：消去一个未知数得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系可得弦长，其中k为直线的斜率且k≠0.特别地，当k=0时，可直接利用计算；当k不存在时，可直接利用计算.
温馨提示
①几何法构造了直角三角形，计算量小，非常适合求直线与圓相交的弦长.
②代数法是方程思想在解析几何中的重要体现，也是解析几何的实质，即用代数法研究几何问题.
【典型例题】
考点一： 直线与圆位置关系的判定
例1.直线与圆的位置关系为
A.相切 B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心 D.相离
【答案】B
例2. 已知直线方程，圆的方程当为何值时，圆与直线
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
【答案】当d<2时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当d>2时，即－例3.已知在圆外，则直线与圆O的位置关系是
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定
【答案】B
练习1. 当为何值时，直线与圆相交、相切、相离？
【答案】 或 ， ，
考点二： 圆的切线方程
例1. 求经过点（1，-7）且与圆相切的直线方程.
【答案】切线方程为或.
例2.圆，在点处的切线方程为
A. B.
C. D.
【答案】D
练习1.过点作圆的切线，求此切线的方程．
【答案】15x＋8y－36＝0或x＝4
练习2. 已知圆的方程为x2 + y2 = 25，则过点(－3，4)的圆的切线方程为.
【答案】
练习3. 已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1)．
【答案】(1)切线方程为x＋y＋1±2＝0.
(2)切线方程为2x＋y±5＝0.
(3)切线方程为y＋1＝－3(x－4)，
考点三： 直线与圆相交弦
例1.直线l经过点P（5，5）并且与圆相交截得的弦长为，求l的方程.
【答案】直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.
例2. 求直线被圆截得的弦长．
【答案】
例3. 圆被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为.
【答案】
例4. 过点的直线中，被圆截得的弦为最短的直线的方程为
A. B.
C. D.
【答案】B
练习1 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为
A. B.2 C. D. 【答案】D
练习2. 直线截圆得的劣弧所对的圆心角为.
【答案】
练习3. 过圆内的点作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程
A. B.
C. D.
【答案】A
【知识点二：圆与圆的位置关系】
由平面几何知，圆与圆有五种位置关系（由远及近）：外离，外切，相交，内切，内含.
设两圆与的圆心距为，我们可以得到：
，则位置关系表示如下（设）：
位置关系 关系式 图示
外离
外切
相交
内切
内含
【典型例题】
考点一： 圆与圆的位置关系
例1 圆与的位置关系是
A.相离 B.外切 C.内切 D.相交
【答案】D
例2 若圆与圆相交，则的取值范围是
A. B.
C. D. 或
【答案】D
练习1. 圆与圆的位置关系是
A.外离 B.相交 C.内切 D.外切
【答案】D
练习2. 如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是______________________．
【答案】(－2，0)∪(0,2)
考点二： 圆与圆的公共弦
例1 两圆和的公共弦所在直线的方程是____________．
【答案】
例2. 若圆与圆的公共弦长为，.
【答案】
练习1. 求经过两圆和的交点且圆心在直线
上的圆的方程．
【答案】x2＋y2－x＋7y－32＝0.
考点三： 圆与圆的公切线问题
例1.两相交圆的公切线有且仅有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】　B
练习1. 到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．
【答案】4
【小试牛刀】
1．两圆和的位置关系是(　　)
（A）内切 （B）相交 （C）外切 （D）外离
【答案】B
2．圆截直线所得弦长是(　　)
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
3. 圆与直线相切，正实数b的值为(　　)
（A） （B）1 （C） （D）3
【答案】B
4.过圆内的点作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是(　　)
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
5.★★已知圆 ，直线，则直线与的位置关系是（ ）
（A）一定相离 （B）一定相切
（C）相交且一定不过圆心 （D）相交且可能过圆心
【答案】D
6.★过点的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的斜率为________．
【答案】 或1
7.★上的点到直线的距离的最大值为________．
【答案】
【巩固练习——基础篇】
1.若直线与圆相切，则的值为
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
2.圆：和：的位置关系是
（A）外切 （B）内切 （C）相交 （D）相离
【答案】B
3.直线和圆的关系是
（A）相离 （B）相切或相交 （C）相交 （D）相切
【答案】C
4．过点(2,1)的直线中，被圆截得的弦为最短的直线的方程为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
5．两圆和的公切线有且仅有
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条
【答案】B
6.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为.
【答案】2
7.设是圆上的点，则M点到直线的最短距离是.
【答案】2
8.过点与圆相切的切线方程为.
【答案】或
9.圆 与圆 的公共弦所在的直线方程为.
【答案】
10．★★当m为何值时，直线与圆相交、相切、相离？
【答案】当d＝2，即m＝0或－时，直线与圆相切；
当d>2，即－当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交．
【巩固练习——提高篇】
1．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为(　　)
A．0.5 h B．1 h
C．1.5 h D．2 h
【答案】：选B
　
2．若圆和外离，则满足的条件是________．
【答案】：a2＋b2>3＋2
3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.
【答案】：1
4．已知点，圆O：x 2＋y 2＝4.
(1)若过点A的圆O的切线只有一条，求实数的值及切线方程；
(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为2，求实数的值．
【答案】：(1)当a＝时，A(1，)，切线方程为x＋y－4＝0；
当a＝－时，A(1，－)，切线方程为x－y－4＝0.
(2)或目录
直线与圆、圆与圆的位置关系 2
【课前诊断】 2
【知识点一：直线与圆位置关系】 3
【典型例题】 5
考点一： 直线与圆位置关系的判定 5
考点二： 圆的切线方程 6
考点三： 直线与圆相交弦 7
【知识点二：圆与圆的位置关系】 8
【典型例题】 9
考点一： 圆与圆的位置关系 9
考点二： 圆与圆的公共弦 9
考点三： 圆与圆的公切线问题 10
【小试牛刀】 10
【巩固练习——基础篇】 11
【巩固练习——提高篇】 12
直线与圆、圆与圆的位置关系
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29
C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116
2．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
3．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．
4．已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为__________．
5. 圆的方程是，则圆心的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
6. 圆上的点到原点的最大距离是( )
A. B.
C. D.10
7. 过点与且圆心在直线上的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 两圆和的连心线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【知识点一：直线与圆位置关系】
1：直线与圆的位置关系
由平面几何知，直线与圆有三种位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有公共点.
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断一览表
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判定方法 几何法：设圆心到 直线的距离
代数法： 由 消元得到一元二次 方程的判别式
图形
2.圆的切线方程的问题
（1）过圆上一点的切线方程：
与圆相切于点的切线方程是；
与圆相切于点的切线方程是：；
与圆相切于点的切线方程是；
（2）过圆外一点的切线方程：
设是圆外一点，求过点的圆的切线方程.
当两条切线斜率都存在时，设切线方程是，即，再由求出待定系数，就可写出切线方程.当有一条切线斜率不存在时，斜率不存在的切线方程为，切线斜率存在的切线方程的求法同上.
直线与圆相交的弦长的求法
（1）几何法
如图所示，直线l与圆C相交于A，B两点，线段AB的长即为l与圆相交的弦长.
设弦心距为，半径为，弦为AB，则有.
（2）代数法
直线l与圆交于，直线l的斜率存在，设为k，则联立直线方程和圆的方程得方程组.
方法一：解方程组得点A、B的坐标，再由两点间的距离公式求弦长.
方法二：消去一个未知数得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系可得弦长，其中k为直线的斜率且k≠0.特别地，当k=0时，可直接利用计算；当k不存在时，可直接利用计算.
温馨提示
①几何法构造了直角三角形，计算量小，非常适合求直线与圓相交的弦长.
②代数法是方程思想在解析几何中的重要体现，也是解析几何的实质，即用代数法研究几何问题.
【典型例题】
考点一： 直线与圆位置关系的判定
例1.直线与圆的位置关系为
A.相切 B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心 D.相离
例2. 已知直线方程，圆的方程当为何值时，圆与直线
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
例3.已知在圆外，则直线与圆O的位置关系是
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定
练习1. 当为何值时，直线与圆相交、相切、相离？
考点二： 圆的切线方程
例1. 求经过点（1，-7）且与圆相切的直线方程.
例2.圆，在点处的切线方程为
A. B.
C. D.
练习1.过点作圆的切线，求此切线的方程．
练习2. 已知圆的方程为x2 + y2 = 25，则过点(－3，4)的圆的切线方程为.
练习3. 已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1)．
考点三： 直线与圆相交弦
例1.直线l经过点P（5，5）并且与圆相交截得的弦长为，求l的方程.
例2.求直线被圆截得的弦长．
例3.圆被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为.
例4.过点的直线中，被圆截得的弦为最短的直线的方程为
A. B.
C. D.
练习1过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为
A. B.2 C. D.
练习2.直线截圆得的劣弧所对的圆心角为.
练习3. 过圆内的点作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程
A. B.
C. D.
【知识点二：圆与圆的位置关系】
由平面几何知，圆与圆有五种位置关系（由远及近）：外离，外切，相交，内切，内含.
设两圆与的圆心距为，我们可以得到：，则位置关系表示如下（设）：
位置关系 关系式 图示
外离
外切
相交
内切
内含
【典型例题】
考点一： 圆与圆的位置关系
例1 圆与的位置关系是
A.相离 B.外切 C.内切 D.相交
例2 若圆与圆相交，则的取值范围是
A. B.
C. D. 或
练习1. 圆与圆的位置关系是
A.外离 B.相交 C.内切 D.外切
练习2. 如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是______________________．
考点二： 圆与圆的公共弦
例1 两圆和的公共弦所在直线的方程是____________．
例2. 若圆与圆的公共弦长为，.
练习1. 求经过两圆和的交点且圆心在直线
上的圆的方程．
考点三： 圆与圆的公切线问题
例1.两相交圆的公切线有且仅有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
练习1. 到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．
【小试牛刀】
1．两圆和的位置关系是(　　)
（A）内切 （B）相交 （C）外切 （D）外离
2．圆截直线所得弦长是(　　)
（A） （B） （C） （D）
3. 圆与直线相切，正实数b的值为(　　)
（A） （B）1 （C） （D）3
4.过圆内的点作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是(　　)
（A） （B）
（C） （D）
5.★★已知圆 ，直线，则直线与的位置关系是（ ）
（A）一定相离 （B）一定相切
（C）相交且一定不过圆心 （D）相交且可能过圆心
6.★过点的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的斜率为________．
7.★上的点到直线的距离的最大值为________．
【巩固练习——基础篇】
1.若直线与圆相切，则的值为
（A） （B） （C） （D）
2.圆：和：的位置关系是
（A）外切 （B）内切 （C）相交 （D）相离
3.直线和圆的关系是
（A）相离 （B）相切或相交 （C）相交 （D）相切
4．过点(2,1)的直线中，被圆截得的弦为最短的直线的方程为
（A） （B）
（C） （D）
5．两圆和的公切线有且仅有
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条
6.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为.
7.设是圆上的点，则M点到直线的最短距离是.
8.过点与圆相切的切线方程为.
9.圆 与圆 的公共弦所在的直线方程为.
10．★★当m为何值时，直线与圆相交、相切、相离？
【巩固练习——提高篇】
1．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为(　　)
A．0.5 h B．1 h
C．1.5 h D．2 h
　
2．若圆和外离，则满足的条件是________．
3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.
4．已知点，圆O：x 2＋y 2＝4.
(1)若过点A的圆O的切线只有一条，求实数的值及切线方程；
(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为2，求实数的值．

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