资源简介

目录
圆及其方程 1
【课前诊断】 1
【知识点一：圆的标准方程】 3
【典型例题】 3
考点一： 圆的标准方程 3
考点二：点与圆的位置关系 4
【知识点二：圆的一般方程】 6
【典型例题】 6
考点一：圆的一般方程 6
考点二：圆相关的对称问题 7
【知识点三：圆相关的最值问题】 8
【典型例题】 8
【小试牛刀】 9
【巩固练习——基础篇】 11
【巩固练习——提高篇】 12
圆及其方程
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1.已知直线l：,则直线在轴上的截距是
（A）1 （B）－1 （C） （D）－2
【答案】D
2.直线的倾斜角及在轴上的截距分别为
（A），2 （B），
（C）， （D）
【答案】B
3．设Q(1,3)，在x轴上有一点P，且|PQ|＝5，则点P的坐标是________．
解析：由题意设P(a,0)，则|PQ|＝＝5，解得a－1＝±4，即a＝5或－3.故点P的坐标是(5,0)或(－3,0)．
4.若两点的坐标分别满足，，则经过、两点的直线方程是______________。
【答案】
5.经过点的直线在两坐标轴上的截距都是正数，且截距之和最小，则直线的方程为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】 B
6.已知、、，则直线必不经过
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
【答案】D
7.若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是(　　)
A．3 B．2
C．3 D．4
解析：选A　由题意，结合图形可知点M必然在直线x＋y－6＝0上，
故M到原点的最小距离为＝3.
8.直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为(　　)
A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0
C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝0
解析：选C　由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，
∵kAB＝＝，∴kl＝－3，
由点斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.
9．若p，q满足p－2q＝1，直线px＋3y＋q＝0必过一个定点，该定点坐标为________．
解析：因为p＝2q＋1代入整理：(2x＋1)q＋3y＋x＝0对q为一切实数恒成立，
即2x＋1＝0，且3y＋x＝0，所以x＝－，y＝.
答案：
【知识点一：圆的标准方程】
1：圆的标准方程
圆的标准方程：
在平面直角坐标系中，圆心，半径长为的圆的标准方程是.
当时，方程为，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
圆的几何要素：圆心和半径；
2：点与圆的位置关系
点与圆的位置关系如下
位置关系 判断方法
几何法 代数法
点在圆上 点M在圆A上 点在圆上
点在圆内 点M在圆A内 点在圆内
点在圆外 点M在圆A外 点在圆外
【典型例题】
考点一： 圆的标准方程
例1. 若一圆的标准方程为，则此圆的圆心和半径分别为
A. B.
C. D.
【答案】C
例2. 根据下列条件求圆的标准方程：
（1）圆心为，且经过点；
（2）圆心在直线上，且过点，；
（3）圆心为，且与直线相切；
（4）过原点，圆心在直线上，截轴所得的弦长为4;
【答案】（1）.
（2）
（3）.
（4）或
例3. 在平面直角坐标系内有三个定点.记ABC的外接圆为E.
求圆E的方程.
【答案】
练习1 已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上，求圆的方程.
【答案】
练习2 根据下列条件，求圆的方程.
（1）经过两点，并且圆心在直线上；
（2）经过两点，并且在轴上截得的弦长为6.
【答案】（1）圆的方程为
（2）圆的方程为或
练习3. 求以为直径两端点的圆的方程
【答案】
考点二：点与圆的位置关系
例1. 若圆的半径为5，点的坐标为，点的坐标为，则点的位置为
A.在圆内 B.在圆上
C.在圆外 D.不确定
【答案】B
例2. 已知点在圆的内部，求实数的取值范围．
【答案】的取值范围是
例3.. 点与圆的位置关系是
A.在圆内 B.在圆外 C.在圆上 D.与t有关
【答案】C
例4. 圆的方程为点到圆上的最大距离为________．
【答案】
练习1. 两个圆心为的甲、乙两圆，半径分别为和，且，那么点在
A.甲圆内 B.乙圆外
C.甲圆外，乙圆内 D.甲圆内，乙圆外
【答案】C
练习2已知点不在圆 的内部，求实数的取值范围．
【答案】a的取值范围是∪(0，＋∞)．
练习3. 使圆上点与点的距离最大的点的坐标是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点二：圆的一般方程】
当时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
表示的圆的圆心为，半径长为.
温馨提示：(1) x2，y2项的系数均为1；(2) 没有xy项；(3) D2＋E2－4F＞0.
【典型例题】
考点一：圆的一般方程
例1. 圆的圆心为
A. B. C. D.
【答案】B
例2. 方程表示一个圆，则实数的取值范围是____________.
【答案】
例3.已知圆，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是
A.(0，－1) B.(1，－1)
C.(－1,0) D.(－1,1)
【答案】A
练习1. 圆的圆心坐标和半径分别是
A. B. C. D.
【答案】C
练习2.方程表示的图形是
A.一个点 B.一个圆 C.一条直线 D.不存在
【答案】A
考点二：圆相关的对称问题
例1.已知点P是圆C：上任意一点，P点关于直线的对称点在圆C上，则实数等于
A.10 B.－10 C.20 D.－20
【答案】B
例2. 圆关于原点对称的圆的方程为 ( )
A． B．
C． D．
【答案】A
练习1.若直线始终平分圆的周长，则mn的取值范围是
A.(0,1) B.(0,1] C.(－∞，1) D.(－∞，1]
【答案】D
练习2. 设圆的方程为,直线的方程为，求关于对称的圆的方程.
【答案】
【知识点三：圆相关的最值问题】
①形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
②形如知形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问
【典型例题】
例1. 已知实数满足方程.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最小值；
（3）求的最大值和最小值.
【答案】（1）最大值为，最小值为.
（2）
（3）
练习1. 已知实数满足，则的最大值是________.
【答案】
练习2. 已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．
【答案】x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.
练习3.已知，则的最大值为
A.9 B.14
C.14－6 D.14＋6
【答案】D
练习4．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．
【答案】74
【小试牛刀】
1. 已知圆的方程是，则点P(3,2)满足
A.是圆心 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆外
【答案】C
2. 已知，则以AB为直径的圆的方程是
A. B.
C. D.
【答案】B
3. 圆关于原点(0,0)对称的圆的方程是
A. B.
C. D.
【答案】A
4. 圆的圆心坐标和半径分别是
A.(－1，)；1 B.(1，－)；1
C.(1，－)； D.(－1，)；
【答案】B
5. 方程表示圆，则a的范围是
A.a<－2或a> B.－C.－2【答案】D
6. 若圆与圆关于直线对称，则直线的方程是
A. B.
C. D.
【答案】C
7. 圆O的方程为，点(2,3)到圆上的最大距离为________．
【答案】
8．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为_______．
【答案】　(x－2)2＋y2＝10
【巩固练习——基础篇】
1．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29
C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116
【答案】　B
2．圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是(　　)
A．(x－)2＋(y－1)2＝4 B．(x－)2＋(y－)2＝4
C．x2＋(y－2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－)2＝4
【答案】　D
3．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是(　　)
A．1＋ B．2
C．1＋ D．2＋2
【答案】　A
4．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
【答案】　(－2，－4)　5
5. 将圆：平分的直线方程可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
6. 经过圆的圆心且与直线平行的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
7. 圆的方程是，则圆心的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
8. 过点与且圆心在直线上的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
9. 圆上的点到原点的最大距离是( )
A. B.
C. D.10
【答案】B
10. 若方程表示的曲线是圆，则实数的取值范围是________.
【答案】
【巩固练习——提高篇】
1．已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为__________．
【答案】　(0，－1)
2．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．
【答案】(1)|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2.
(2)最大值为2＋，最小值为2－.
3. 当为任意实数时，直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的方程为____________________.
【答案】
4. 设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为__________.
【答案】4
5已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
(1) 求的最大值和最小值；
(2) 求x＋y的最大值与最小值．
【答案】(1)的最大值为，最小值为.
所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2.目录
圆及其方程 2
【课前诊断】 2
【知识点一：圆的标准方程】 3
【典型例题】 4
考点一： 圆的标准方程 4
考点二：点与圆的位置关系 5
【知识点二：圆的一般方程】 6
【典型例题】 6
考点一：圆的一般方程 6
考点二：圆相关的对称问题 7
【知识点三：圆相关的最值问题】 7
【典型例题】 8
【小试牛刀】 9
【巩固练习——基础篇】 10
【巩固练习——提高篇】 12
圆及其方程
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1.已知直线l：,则直线在轴上的截距是
（A）1 （B）－1 （C） （D）－2
2.直线的倾斜角及在轴上的截距分别为
（A），2 （B），
（C）， （D）
3．设Q(1,3)，在x轴上有一点P，且|PQ|＝5，则点P的坐标是________．
4.若两点的坐标分别满足，，则经过、两点的直线方程是______________。
5.经过点的直线在两坐标轴上的截距都是正数，且截距之和最小，则直线的方程为
（A） （B）
（C） （D）
6.已知、、，则直线必不经过
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
7.若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是(　　)
A．3 B．2
C．3 D．4
8.直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为(　　)
A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0
C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝0
9．若p，q满足p－2q＝1，直线px＋3y＋q＝0必过一个定点，该定点坐标为________．
【知识点一：圆的标准方程】
1：圆的标准方程
圆的标准方程：
在平面直角坐标系中，圆心，半径长为的圆的标准方程是.
当时，方程为，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
圆的几何要素：圆心和半径；
2：点与圆的位置关系
点与圆的位置关系如下
位置关系 判断方法
几何法 代数法
点在圆上 点M在圆A上 点在圆上
点在圆内 点M在圆A内 点在圆内
点在圆外 点M在圆A外 点在圆外
【典型例题】
考点一： 圆的标准方程
例1. 若一圆的标准方程为，则此圆的圆心和半径分别为
A. B.
C. D.
例2. 根据下列条件求圆的标准方程：
（1）圆心为，且经过点；
（2）圆心在直线上，且过点，；
（3）圆心为，且与直线相切；
（4）过原点，圆心在直线上，截轴所得的弦长为4;
例3. 在平面直角坐标系内有三个定点.记ABC的外接圆E.
求圆E的方程.
练习1 已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上，求圆的方程.
练习2 根据下列条件，求圆的方程.
（1）经过两点，并且圆心在直线上；
（2）经过两点，并且在轴上截得的弦长为6.
练习3. 求以为直径两端点的圆的方程
考点二：点与圆的位置关系
例1. 若圆的半径为5，点的坐标为，点的坐标为，则点的位置为
A.在圆内 B.在圆上
C.在圆外 D.不确定
例2. 已知点在圆的内部，求实数的取值范围．
例3.. 点与圆的位置关系是
A.在圆内 B.在圆外 C.在圆上 D.与t有关
例4. 圆的方程为点到圆上的最大距离为________．
练习1. 两个圆心为的甲、乙两圆，半径分别为和，且，那么点在
A.甲圆内 B.乙圆外
C.甲圆外，乙圆内 D.甲圆内，乙圆外
练习2已知点不在圆 的内部，求实数的取值范围．
练习3. 使圆上点与点的距离最大的点的坐标是( )
A. B.
C. D.
【知识点二：圆的一般方程】
当时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
表示的圆的圆心为，半径长为.
温馨提示：(1) x2，y2项的系数均为1；(2) 没有xy项；(3) D2＋E2－4F＞0.
【典型例题】
考点一：圆的一般方程
例1. 圆的圆心为
A. B. C. D.
例2. 方程表示一个圆，则实数的取值范围是____________.
例3.已知圆，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是
A.(0，－1) B.(1，－1)
C.(－1,0) D.(－1,1)
练习1. 圆的圆心坐标和半径分别是
A. B. C. D.
练习2.方程表示的图形是
A.一个点 B.一个圆 C.一条直线 D.不存在
考点二：圆相关的对称问题
例1.已知点P是圆C：上任意一点，P点关于直线的对称点在圆C上，则实数等于
A.10 B.－10 C.20 D.－20
例2. 圆关于原点对称的圆的方程为 ( )
A． B．
C． D．
练习1.若直线始终平分圆的周长，则mn的取值范围是
A.(0,1) B.(0,1] C.(－∞，1) D.(－∞，1]
练习2. 设圆的方程为,直线的方程为，求关于对称的圆的方程.
【知识点三：圆相关的最值问题】
①形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
②形如知形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问
【典型例题】
例1. 已知实数满足方程.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最小值；
（3）求的最大值和最小值.
练习1. 已知实数满足，则的最大值是________.
练习2. 已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．
练习3.已知，则的最大值为
A.9 B.14
C.14－6 D.14＋6
练习4．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．
【小试牛刀】
1. 已知圆的方程是，则点P(3,2)满足
A.是圆心 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆外
2. 已知，则以AB为直径的圆的方程是
A. B.
C. D.
3. 圆关于原点(0,0)对称的圆的方程是
A. B.
C. D.
4. 圆的圆心坐标和半径分别是
A.(－1，)；1 B.(1，－)；1
C.(1，－)； D.(－1，)；
5. 方程表示圆，则a的范围是
A.a<－2或a> B.－C.－26. 若圆与圆关于直线对称，则直线的方程是
A. B.
C. D.
7. 圆O的方程为，点(2,3)到圆上的最大距离为________．
8．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为_______．
【巩固练习——基础篇】
1．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29
C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116
2．圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是(　　)
A．(x－)2＋(y－1)2＝4 B．(x－)2＋(y－)2＝4
C．x2＋(y－2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－)2＝4
3．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是(　　)
A．1＋ B．2
C．1＋ D．2＋2
4．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
5. 将圆：平分的直线方程可以是（ ）
A. B.
C. D.
6. 经过圆的圆心且与直线平行的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
7. 圆的方程是，则圆心的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
8. 过点与且圆心在直线上的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
9. 圆上的点到原点的最大距离是( )
A. B.
C. D.10
10. 若方程表示的曲线是圆，则实数的取值范围是________.
【巩固练习——提高篇】
1．已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为__________．
2．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．
3. 当为任意实数时，直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的方程为____________________.
4. 设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为__________.
5已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
(1) 求的最大值和最小值；
(2) 求x＋y的最大值与最小值．

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