资源简介 目录两条直线位置关系 1【课前诊断】 1【知识点一】两条直线相交 3【典型例题】 4考点一:两条直线的交点坐标 4考点二:含参数的直线恒过定点问题 5方法总结: 6【知识点二】两直线平行的判定 7考点一:已知坐标判断直线位置关系 7考点二:已知直线平行求直线方程或参数 8【知识点三】两直线垂直的判定 9考点一:已知坐标判断直线位置关系 9考点二:已知直线垂直求参数 10考点三:直线垂直平行综合问题 12【知识点四】两条平行线间的距离 13【典型例题】 13【知识点五】点到直线的距离 15【典型例题】 15【小试牛刀】 17【巩固练习——基础篇】 18【巩固练习——提高篇】 20两条直线位置关系【课前诊断】1.直线3x-2y=4的截距式方程是( )A.-=1 B.-=4C.-=1 D.+=1解析:选D 求直线方程的截距式,必须把方程化为+=1的形式,即右边为1,左边是和的形式.2.过点(-2,-4),倾斜角为60°的直线的点斜式方程是________.解析:α=60°,k=tan 60°=,由点斜式方程,得y+4=(x+2).3.在y轴上的截距为2,且与直线y=-3x-4平行的直线的斜截式方程为________.解析:∵直线y=-3x-4的斜率为-3,所求直线与此直线平行,∴斜率为-3,又截距为2,∴由斜截式方程可得y=-3x+2.答案:y=-3x+24.当a为何值时,直线l1:y=-2ax+2a与直线l2:y=(a2-3)x+2平行?解:∵l1∥l2,∴a2-3=-2a且2a≠2,解得a=-3.5.已知的顶点,边上的中线所在直线方程为,边上的高所在直线方程为.求:(1)顶点的坐标;(2)直线的方程.答案:(1);(2)即·=-1,解得m=-.综上,当l1∥l2时,m的值为3;当l1⊥l2时,m的值为-.【知识点一】两条直线相交两直线的交点坐标几何元素及关系 代数表示点直线点在直线上直线与的交点是 方程组的解是【理解】两直线相交的条件(1)将两直线方程联立解方程组,依据解的个数判断两直线是否相交.当方程组只有一解时,两直线相交.(2)设,,则与相交的条件是或.(3)设两条直线1,,则与相交 k1≠k2.【典型例题】考点一:两条直线的交点坐标例1.判断下列各组直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标:(1)l1:5x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0;(2)l1:2x-6y+3=0,l2:y=x+;(3)l1:2x-6y=0,l2:y=x+.解析:(1)解方程组得所以l1与l2相交,且交点坐标为.(2)解方程组②×6整理得2x-6y+3=0.因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l1与l2重合.(3)解方程组②×6-①得3=0,矛盾.方程组无解,所以两直线无公共点,l1∥l2.例2.求经过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点且过坐标原点的直线l的方程.解:法一:由方程组解得即l1与l2的交点坐标为(-2,2).∵直线过坐标原点,所以其斜率k==-1,直线方程为y=-x,一般式为x+y=0.法二:∵l2不过原点,∴可设l的方程为3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0(λ∈R),即(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0.将原点坐标(0,0)代入上式,解得λ=1,∴l的方程为5x+5y=0,即x+y=0.考点二:含参数的直线恒过定点问题例1.求证:不论m为何实数,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都过某一定点.[证明] 法一:取m=1时,直线方程为y=-4;取m=时,直线方程为x=9.两直线的交点为P(9,-4),将点P的坐标代入原方程左边=(m-1)×9+(2m-1)×(-4)=m-5.故不论m取何实数,点P(9,-4)总在直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5上,即直线恒过点P(9,-4).法二:原方程化为(x+2y-1)m+(-x-y+5)=0.若对任意m都成立,则有得所以不论m为何实数,所给直线都过定点P(9,-4).例2.若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0 ,l3:x+y+a=0能构成三角形,则a应满足的条件是( )A.a=1或a=-2 B.a≠±1C.a≠1且a≠-2 D.a≠±1且a≠-2解析:为使三条直线能构成三角形,需三条直线两两相交且不共点.(1)若三条直线交于一点,由解得将l2,l3的交点(-a-1,1)代入l1的方程解得a=1或a=-2①;(2)若l1∥l2,则由a×a-1×1=0,得a=±1②,当a=1时,l1与l2重合;(3)若l2∥l3,则由1×1-a×1=0,得a=1,当a=1时,l2与l3重合;(4)若l1∥l3,则由a×1-1×1=0,得a=1,当a=1时,l1与l3重合.综上,当a=1时,三条直线重合;当a=-1时,l1∥l2;当a=-2时,三条直线交于一点,所以要使三条直线能构成三角形,需a≠±1且a≠-2.[答案] D例3.直线y=2x+10,y=x+1,y=ax-2交于一点,则a的值为( )A. B.-C. D.-解析:选C 由解得即直线y=2x+10与y=x+1相交于点(-9,-8),代入y=ax-2,解得a=.方法总结:1.判断两直线的位置关系,关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况.(1)解方程组的重要思想就是消元,先消去一个变量,代入另外一个方程能解出另一个变量的值.(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论.(3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系.2.解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一:任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点,从而问题得解.(2)方法二:含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,其中λ是参数,这就说明了它表示的直线必过定点,其定点可由方程组解得.若整理成y-y0=k(x-x0)的形式,则表示的所有直线必过定点(x0,y0).【知识点二】两直线平行的判定对于两条不重合的直线,,其斜率分别为,,有.【注】对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点:(1)成立的前提条件是:两条直线的斜率都存在;与不重合;(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时,与的倾斜角都是90°,则;(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是:或,斜率都不存在.考点一:已知坐标判断直线位置关系例1.已知,试判断直线与的位置关系,并证明你的结论.解析:如图所示,判断:直线与平行证明:易求.所以,与平行例2.试确定m的值,使过点A(m+1,0),B(-5,m)的直线与过点C(-4,3),D(0,5)的直线平行.解析:由题意直线CD的斜率存在,则与其平行的直线AB的斜率也存在.kAB==,kCD==,由于AB∥CD,即kAB=kCD,所以=,得m=-2.经验证m=-2时直线AB的斜率存在,所以m=-2.例3.已知四边形的四个顶点分别为试判断四边形的形状,并给出证明.解析:如图所示,易求,所以,所以.所以此四边形为平行四边形考点二:已知直线平行求直线方程或参数例1.求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程;解:法一:设直线l的斜率为k,∵l与直线3x+4y+1=0平行,∴k=-.又∵l经过点(1,2),可得所求直线方程为y-2=-(x-1),即3x+4y-11=0.法二:设与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程为3x+4y+m=0.∵l经过点(1,2),∴3×1+4×2+m=0,解得m=-11.∴所求直线方程为3x+4y-11=0.例2.当a为何值时,两直线y=-x+4a与y=(a2-2)x+4互相平行?解析:(2)设两直线的斜率分别为k3,k4,则k3=-1,k4=a2-2.∵两条直线互相平行,∴解得a=-1.故当a=-1时,两条直线互相平行.例3.若直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行,则a=________.因为l1∥l2,所以a2-2=-1,且2a≠2,解得a=-1,所以a=-1时两直线平行.答案:-1【知识点三】两直线垂直的判定如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于1;反之,如果它们的斜率之积等于1,那么它们互相垂直,即.【注】(1)成立的前提条件是:①两条直线的斜率都存在;②且.(2)两条直线中,一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率等于零,则两条直线垂直.(3)判定两条直线垂直的一般结论为:或一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率等于零.考点一:已知坐标判断直线位置关系例1.已知,是判断直线和的位置关系.解析:由题目易求:由于,所以直线.例2.已知定点A(-1,3),B(4,2),以A、B为直径作圆,与x轴有交点C,则交点C的坐标是________.解析:以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C,则AC⊥BC.设C(x,0),则kAC=,kBC=,所以·=-1,得x=1或2,所以C(1,0)或(2,0).例3.已知三点,试判断的形状.解析:如图所示,先分析猜想,即.由题目易求:由于,得到,即.所以为直角三角形.考点二:已知直线垂直求参数例1.当a为何值时,两直线y=ax-2与y=(a+2)x+1互相垂直?设两直线的斜率分别为k1,k2,则k1=a,k2=a+2.∵两直线互相垂直,∴k1k2=a(a+2)=-1,解得a=-1.故当a=-1时,两条直线互相垂直.例2.若直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3垂直,则a=________.解析:由题意可知kl1=2a-1,kl2=4.∵l1⊥l2,∴4(2a-1)=-1,解得a=.例3.当a为何值时,直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直?法一:由题意,直线l1⊥l2,①若1-a=0,即a=1时,直线l1:3x-1=0与直线l2:5y+2=0,显然垂直.②若2a+3=0,即a=-时,直线l1:x+5y-2=0与直线l2:5x-4=0不垂直.③若1-a≠0,且2a+3≠0,则直线l1,l2的斜率k1,k2都存在,k1=-,k2=-,当l1⊥l2时,k1·k2=-1,即(-)·(-)=-1,所以a=-1.综上可知,当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.法二:由直线l1⊥l2,所以(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1.将a=±1代入方程,均满足题意.故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.例4.求经过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.法一:设直线l的斜率为k.∵直线l与直线2x+y-10=0垂直,∴k·(-2)=-1,∴k=.又∵l经过点A(2,1),∴所求直线l的方程为y-1=(x-2),即x-2y=0.法二:设与直线2x+y-10=0垂直的直线方程为x-2y+m=0.∵直线l经过点A(2,1),∴2-2×1+m=0,∴m=0.∴所求直线l的方程为x-2y=0.例5.若两条直线与垂直,则的值为(A) (B) (C) (D)答案A例6.已知直线l1经过A(3,m),B(m-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,m+2).(1)若l1∥l2,求m的值;(2)若l1⊥l2,求m的值.当k2≠0②时,直线l2的斜率存在且不为0,则直线l1的斜率也存在,且k1·k2=-1,即-·=-1,解得m=3或m=-4,(10分)所以m=3或m=-4时,l1⊥l.(12分)考点三:直线垂直平行综合问题例1.下列命题①如果两条不重合的直线斜率相等,则它们平行;②如果两直线平行,则它们的斜率相等;③如果两直线的斜率之积为-1,则它们垂直;④如果两直线垂直,则它们的斜率之积为-1.其中正确的为( )A.①②③④ B.①③C.②④ D.以上全错答:B解析:当两直线l1,l2的斜率k1,k2都存在且不重合时,l1∥l2 k1=k2,l1⊥l2 k1k2=-1,故①③正确;当两直线都与x轴垂直时,其斜率不存在,但它们也平行,故②错;当两直线中一条直线与x轴平行(或重合),另一条直线与x轴垂直时,它们垂直,但一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在,故④错.例2.在中,已知角,,所对的边依次为,且,则两条直线:与:的位置关系是(A).平行 (B).重合(C).垂直 (D).相交不垂直【答案】B【知识点四】两条平行线间的距离1.概念:夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离.2.公式:两条平行直线与之间的距离.【理解】(1)利用公式求平行线间的距离时,两直线方程必须是一般式,且,的系数对应相等.(2)当两直线都与轴(或轴)垂直时,可利用数形结合来解决①两直线都与轴垂直时,,,则;②两直线都与轴垂直时,,,则.【典型例题】例1.求两平行线与之间的距离.解析:法一 在直线l1:2x-y-1=0上任取一点,不妨取点P(0,-1)则点P到直线l2:4x-2y+3=0的距离为d==∴l1与l2间的距离为.法二 将直线l2的方程化为:2x-y+=0.又l1的方程为:2x-y-1=0,∴C1=-1,C2=又A=2,B=-1由两平行直线间的距离公式得:d==.例2.求与直线l:5x-12y+6=0平行且到l的距离为2的直线方程.解析:法一:设所求直线的方程为5x-12y+C=0.在直线5x-12y+6=0上取一点P0(0,),则点P0到直线5x-12y+C=0的距离为=,由题意,得=2,所以C=32,或C=-20.故所求直线的方程为5x-12y+32=0,或5x-12y-20=0.法二:设所求直线的方程为5x-12y+C=0,由两平行直线间的距离公式得2=,解得C=32,或C=-20.故所求直线的方程为5x-12y+32=0,或5x-12y-20=0.例3.两直线3x+y-3=0和6x+my-1=0平行,则它们之间的距离为________.解析:因为两直线平行,所以m=2.法一:在直线3x+y-3=0上取点(0,3),代入点到直线的距离公式,得d==.法二:将6x+2y-1=0化为3x+y-=0,由两条平行线间的距离公式得d==.方法总结:求两平行线间的距离,一般是直接利用两平行线间的距离公式,当直线l1:y=kx+b1,l2:y=kx+b2,且b1≠b2时,d=;当直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0且C1≠C2时,d=.但必须注意两直线方程中x,y的系数对应相等.【知识点五】点到直线的距离(1)概念:过一点向直线作垂线,则该点与垂足之间的距离,就是该点到直线的距离.(2)公式:点到直线的距离.【理解】1.点到直线的距离公式需注意的问题(1)直线方程应为一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.例如,求到直线的距离,应先把直线方程化为,得.2.点到几种特殊直线的距离(1)点到轴的距离;(2)点到轴的距离;(3)点到与轴平行的直线的距离;(4)点到与轴平行的直线的距离.【典型例题】例1.求点P(3,-2)到下列直线的距离:y=x+;(2)y=6;(3)x=4.解析:(1)直线y=x+化为一般式为3x-4y+1=0,由点到直线的距离公式可得d==.(2)因为直线y=6与y轴垂直,所以点P到它的距离d=|-2-6|=8.(3)因为直线x=4与x轴垂直,所以点P到它的距离d=|3-4|=1.例2.已知点A(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a=( )A. B.2-C.-1 D.+1解析:选C 由点到直线的距离公式知d===1,得a=-1±.又∵a>0,∴a=-1.例3.已知直线经过直线与的交点.(Ⅰ)若点到的距离为3,求的方程;(Ⅱ)求点到的距离的最大值.解 法一 联立 交点P(2,1),当直线斜率存在时,设l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0,∴=3,解得k=,∴l的方程为y-1=(x-2),即4x-3y-5=0.而直线斜率不存在时直线x=2也符合题意,故所求l的方程为4x-3y-5=0或x=2.法二 经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,∴=3,即2λ2-5λ+2=0,解得λ=2或,∴l的方程为4x-3y-5=0或x=2.(2)由,解得交点P(2,1),过P任意作直线l,设d为A到l的距离,则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立),∴dmax=|PA|=.【小试牛刀】1.原点到直线x+2y-5=0的距离为( )A.1 B.C.2 D.解析:选D d==.2.已知直线的方程为,则直线(A)恒过点且不垂直轴 (B)恒过点且不垂直轴(C)恒过点且不垂直轴 (D)恒过点且不垂直轴答案B3.直线4x-3y+5=0与直线8x-6y+5=0的距离为________.解析:直线8x-6y+5=0化简为4x-3y+=0,则由两平行线间的距离公式得=.4.已知直线:,:.若∥,则实数_______.5.已知△ABC三个顶点坐标A(-1,3),B(-3,0),C(1,2),求△ABC的面积S.解:由直线方程的两点式得直线BC的方程为=,即x-2y+3=0.由两点间距离公式得|BC|==2,点A到BC的距离为d,即为BC边上的高,d==,所以S=|BC|·d=×2×=4,即△ABC的面积为4.【巩固练习——基础篇】1.“直线的方程为”是“直线经过点”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件答案A2.已知直线和直线平行,则实数的值为(A) (B) (C)和 (D)答案B3.已知在 ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4).(1)求点D的坐标;(2)试判定 ABCD是否为菱形?解析:(1)a,b),∵四边形ABCD为平行四边形,∴kAB=kCD,kAD=kBC,∴,解得,∴D(-1,6).(2)∵kAC==1,kBD==-1,∴kAC·kBD=-1.∴AC⊥BD.∴ ABCD为菱形.4.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根,若l1⊥l2,则b=________________;若l1∥l2,则b=________________.答案:2,-解析:当l1⊥l2时,k1k2=-1,∴-=-1.∴b=2.当l1∥l2时,k1=k2,∴Δ=(-3)2+4×2b=0.∴b=-.5.若p,q满足p-2q=1,直线px+3y+q=0必过一个定点,该定点坐标为________.解析:因为p=2q+1代入整理:(2x+1)q+3y+x=0对q为一切实数恒成立,即2x+1=0,且3y+x=0,所以x=-,y=.答案:6.分别求经过两条直线2x+y-3=0和x-y=0的交点,且符合下列条件的直线方程.(1)平行于直线l1:4x-2y-7=0;(2)垂直于直线l2:3x-2y+4=0.解:解方程组得交点P(1,1).(1)若直线与l1平行,∵k1=2,∴斜率k=2,∴所求直线方程为y-1=2(x-1)即:2x-y-1=0.(2)若直线与l2垂直,∵k2=,∴斜率k=-=-,∴y-1=-(x-1)即:2x+3y-5=0.7.求经过两直线l1:x-3y-4=0与l2:4x+3y-6=0的交点,且和点A(-3,1)的距离为5的直线l的方程.解:由解得,即直线l过点B.①当l与x轴垂直时,方程为x=2,点A(-3,1)到l的距离d=|-3-2|=5,满足题意.②当l与x轴不垂直时,设斜率为k,则l的方程为y+=k(x-2),即kx-y-2k-=0,由点A到l的距离为5,得=5,解得k=,所以l的方程为x-y--=0,即4x-3y-10=0.综上,所求直线方程为x=2或4x-3y-10=0.【巩固练习——提高篇】1.已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求m的值;解析:法一:由l1:2x+(m+1)y+4=0.l2:mx+3y-2=0.①当m=0时,显然l1与l2不平行.②当m≠0时,l1∥l2,需=≠.解得m=2或m=-3.∴m的值为2或-3.法二:令2×3=m(m+1),解得m=-3或m=2.当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,显然l1与l2不重合,∴l1∥l2.同理当m=2时,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,l1与l2不重合,l1∥l2,∴m的值为2或-3.2.已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有( )A.b=a3B.b=a3+C.(b-a3)(b-a3-)=0D.|b-a3|+|b-a3-|=0答案:C分析:△OAB为直角三角形,没有指明哪个角度为直角,所以要对A,B,O角分别为直角进行讨论,利用斜率的定义,两条直线相互垂直的条件找出参数,a,b的关系.解析:显然角O不能为直角(否则得a=0,不能组成三角形).若A为直角,则根据A,B纵坐标相等,所以b-a3=0.若B为直角,则利用kOBkAB=-1,得b-a3-=0.3.已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若直线AB⊥CD,求m的值.解析:因为A,B两点纵坐标不等,所以AB与x轴不平行.因为AB⊥CD,所以CD与x轴不垂直,故m≠-3.当AB与x轴垂直时,-m-3=-2m-4,解得m=-1,而m=-1时,C,D纵坐标均为-1,所以CD∥x轴,此时AB⊥CD,满足题意.当AB与x轴不垂直时,由斜率公式得kAB==,kCD==.因为AB⊥CD,所以kAB·kCD=-1,解得m=1.综上,m的值为1或-1.4.已知两直线,求分别满足下列条件的的值。(Ⅰ)直线过点,并且直线与垂直;(Ⅱ)直线与直线平行,并且坐标原点到的距离相等。【答案】5.已知直线与直线垂直,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为,求直线的方程。解析:设直线l的方程为y=kx+m,因直线l与直线4x 3y+5=0垂直,故有k 43= 1得k= 34故直线l的方程为y= 34x+m,其与x轴、y轴的交点坐标分别为(43m,0)与(0,m),故直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为:S=12|43m||m|=23m2=24,解得m=±6,因此,所求直线l的方程为y= 34x+6或y= 34x 6,即3x+4y 24=0或3x+4y+24=0.6.已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x+3y-13=0,对角线AC,BD的交点为P(1,5),求正方形ABCD其他三边所在直线的方程.解析:(1)点P(1,5)到lCD的距离为d,则d= .∵lAB∥lCD,∴可设lAB:x+3y+m=0.点P(1,5)到lAB的距离也等于d,则=,又∵m≠-13,∴m=-19,即lAB:x+3y-19=0.∵lAD⊥lCD,∴可设lAD:3x-y+n=0,则P(1,5)到lAD的距离等于P(1,5)到lBC的距离,且都等于d=,=,n=5,或n=-1,则lAD:3x-y+5=0,lBC:3x-y-1=0.所以,正方形ABCD其他三边所在直线方程为x+3y-19=0,3x-y+5=0,3x-y-1=0.目录两条直线位置关系 2【课前诊断】 2【知识点一】两条直线相交 3【典型例题】 4考点一:两条直线的交点坐标 4考点二:含参数的直线恒过定点问题 4方法总结: 5【知识点二】两直线平行的判定 6考点一:已知坐标判断直线位置关系 6考点二:已知直线平行求直线方程或参数 7【知识点三】两直线垂直的判定 7考点一:已知坐标判断直线位置关系 7考点二:已知直线垂直求参数 8考点三:直线垂直平行综合问题 8【知识点四】两条平行线间的距离 9【典型例题】 9【知识点五】点到直线的距离 10【典型例题】 10【小试牛刀】 11【巩固练习——基础篇】 12【巩固练习——提高篇】 13两条直线位置关系【课前诊断】1.直线3x-2y=4的截距式方程是( )A.-=1 B.-=4C.-=1 D.+=12.过点(-2,-4),倾斜角为60°的直线的点斜式方程是________.3.在y轴上的截距为2,且与直线y=-3x-4平行的直线的斜截式方程为________.4.当a为何值时,直线l1:y=-2ax+2a与直线l2:y=(a2-3)x+2平行?5.已知的顶点,边上的中线所在直线方程为,边上的高所在直线方程为.求:(1)顶点的坐标;(2)直线的方程.【知识点一】两条直线相交两直线的交点坐标几何元素及关系 代数表示点直线点在直线上直线与的交点是 方程组的解是【理解】两直线相交的条件(1)将两直线方程联立解方程组,依据解的个数判断两直线是否相交.当方程组只有一解时,两直线相交.(2)设,,则与相交的条件是或.(3)设两条直线1,,则与相交 k1≠k2.【典型例题】考点一:两条直线的交点坐标例1.判断下列各组直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标:(1)l1:5x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0;(2)l1:2x-6y+3=0,l2:y=x+;(3)l1:2x-6y=0,l2:y=x+.例2.求经过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点且过坐标原点的直线l的方程.考点二:含参数的直线恒过定点问题例1.求证:不论m为何实数,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都过某一定点.例2.若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0 ,l3:x+y+a=0能构成三角形,则a应满足的条件是( )A.a=1或a=-2 B.a≠±1C.a≠1且a≠-2 D.a≠±1且a≠-2例3.直线y=2x+10,y=x+1,y=ax-2交于一点,则a的值为( )A. B.-C. D.-方法总结:1.判断两直线的位置关系,关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况.(1)解方程组的重要思想就是消元,先消去一个变量,代入另外一个方程能解出另一个变量的值.(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论.(3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系.2.解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一:任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点,从而问题得解.(2)方法二:含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,其中λ是参数,这就说明了它表示的直线必过定点,其定点可由方程组解得.若整理成y-y0=k(x-x0)的形式,则表示的所有直线必过定点(x0,y0).【知识点二】两直线平行的判定对于两条不重合的直线,,其斜率分别为,,有.【注】对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点:(1)成立的前提条件是:两条直线的斜率都存在;与不重合;(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时,与的倾斜角都是90°,则;(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是:或,斜率都不存在.考点一:已知坐标判断直线位置关系例1.已知,试判断直线与的位置关系,并证明你的结论.例2.试确定m的值,使过点A(m+1,0),B(-5,m)的直线与过点C(-4,3),D(0,5)的直线平行.例3.已知四边形的四个顶点分别为试判断四边形的形状,并给出证明.考点二:已知直线平行求直线方程或参数例1.求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程;例2.当a为何值时,两直线y=-x+4a与y=(a2-2)x+4互相平行?例3.若直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行,则a=________.【知识点三】两直线垂直的判定如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于1;反之,如果它们的斜率之积等于1,那么它们互相垂直,即.【注】(1)成立的前提条件是:①两条直线的斜率都存在;②且.(2)两条直线中,一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率等于零,则两条直线垂直.(3)判定两条直线垂直的一般结论为:或一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率等于零.考点一:已知坐标判断直线位置关系例1.已知,是判断直线和的位置关系.例2.已知定点A(-1,3),B(4,2),以A、B为直径作圆,与x轴有交点C,则交点C的坐标是________.例3.已知三点,试判断的形状.考点二:已知直线垂直求参数例1.当a为何值时,两直线y=ax-2与y=(a+2)x+1互相垂直?例2.若直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3垂直,则a=________.例3.当a为何值时,直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直?例4.求经过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.例5.若两条直线与垂直,则的值为(A) (B) (C) (D)例6.已知直线l1经过A(3,m),B(m-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,m+2).(1)若l1∥l2,求m的值;(2)若l1⊥l2,求m的值.考点三:直线垂直平行综合问题例1.下列命题①如果两条不重合的直线斜率相等,则它们平行;②如果两直线平行,则它们的斜率相等;③如果两直线的斜率之积为-1,则它们垂直;④如果两直线垂直,则它们的斜率之积为-1.其中正确的为( )A.①②③④ B.①③C.②④ D.以上全错例2.在中,已知角,,所对的边依次为,且,则两条直线:与:的位置关系是(A).平行 (B).重合(C).垂直 (D).相交不垂直【知识点四】两条平行线间的距离1.概念:夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离.2.公式:两条平行直线与之间的距离.【理解】(1)利用公式求平行线间的距离时,两直线方程必须是一般式,且,的系数对应相等.(2)当两直线都与轴(或轴)垂直时,可利用数形结合来解决①两直线都与轴垂直时,,,则;②两直线都与轴垂直时,,,则.【典型例题】例1.求两平行线与之间的距离.例2.求与直线l:5x-12y+6=0平行且到l的距离为2的直线方程.例3.两直线3x+y-3=0和6x+my-1=0平行,则它们之间的距离为________.方法总结:求两平行线间的距离,一般是直接利用两平行线间的距离公式,当直线l1:y=kx+b1,l2:y=kx+b2,且b1≠b2时,d=;当直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0且C1≠C2时,d=.但必须注意两直线方程中x,y的系数对应相等.【知识点五】点到直线的距离(1)概念:过一点向直线作垂线,则该点与垂足之间的距离,就是该点到直线的距离.(2)公式:点到直线的距离.【理解】1.点到直线的距离公式需注意的问题(1)直线方程应为一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.例如,求到直线的距离,应先把直线方程化为,得.2.点到几种特殊直线的距离(1)点到轴的距离;(2)点到轴的距离;(3)点到与轴平行的直线的距离;(4)点到与轴平行的直线的距离.【典型例题】例1.求点P(3,-2)到下列直线的距离:y=x+;(2)y=6;(3)x=4.例2.已知点A(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a=( )A. B.2-C.-1 D.+1例3.已知直线经过直线与的交点.(Ⅰ)若点到的距离为3,求的方程;(Ⅱ)求点到的距离的最大值.【小试牛刀】1.原点到直线x+2y-5=0的距离为( )A.1 B.C.2 D.2.已知直线的方程为,则直线(A)恒过点且不垂直轴 (B)恒过点且不垂直轴(C)恒过点且不垂直轴 (D)恒过点且不垂直轴3.直线4x-3y+5=0与直线8x-6y+5=0的距离为________.4.已知直线:,:.若∥,则实数_______.5.已知△ABC三个顶点坐标A(-1,3),B(-3,0),C(1,2),求△ABC的面积S.【巩固练习——基础篇】1.“直线的方程为”是“直线经过点”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件2.已知直线和直线平行,则实数的值为(A) (B) (C)和 (D)3.已知在 ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4).(1)求点D的坐标;(2)试判定 ABCD是否为菱形?4.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根,若l1⊥l2,则b=________________;若l1∥l2,则b=________________.5.若p,q满足p-2q=1,直线px+3y+q=0必过一个定点,该定点坐标为________.6.分别求经过两条直线2x+y-3=0和x-y=0的交点,且符合下列条件的直线方程.(1)平行于直线l1:4x-2y-7=0;(2)垂直于直线l2:3x-2y+4=0.7.求经过两直线l1:x-3y-4=0与l2:4x+3y-6=0的交点,且和点A(-3,1)的距离为5的直线l的方程.【巩固练习——提高篇】1.已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求m的值;2.已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有( )A.b=a3B.b=a3+C.(b-a3)(b-a3-)=0D.|b-a3|+|b-a3-|=03.已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若直线AB⊥CD,求m的值.4.已知两直线,求分别满足下列条件的的值。(Ⅰ)直线过点,并且直线与垂直;(Ⅱ)直线与直线平行,并且坐标原点到的距离相等。5.已知直线与直线垂直,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为,求直线的方程。6.已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x+3y-13=0,对角线AC,BD的交点为P(1,5),求正方形ABCD其他三边所在直线的方程. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 19 两条直线位置关系专题复习讲义-2024届高考数学一轮复习专题讲义 (学生版).docx 19 两条直线位置关系专题复习讲义-2024届高考数学一轮复习专题讲义 (教师版).docx