资源简介

目录
两条直线位置关系 1
【课前诊断】 1
【知识点一】两条直线相交 3
【典型例题】 4
考点一：两条直线的交点坐标 4
考点二：含参数的直线恒过定点问题 5
方法总结： 6
【知识点二】两直线平行的判定 7
考点一：已知坐标判断直线位置关系 7
考点二：已知直线平行求直线方程或参数 8
【知识点三】两直线垂直的判定 9
考点一：已知坐标判断直线位置关系 9
考点二：已知直线垂直求参数 10
考点三：直线垂直平行综合问题 12
【知识点四】两条平行线间的距离 13
【典型例题】 13
【知识点五】点到直线的距离 15
【典型例题】 15
【小试牛刀】 17
【巩固练习——基础篇】 18
【巩固练习——提高篇】 20
两条直线位置关系
【课前诊断】
1．直线3x－2y＝4的截距式方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝4
C.－＝1 D.＋＝1
解析：选D　求直线方程的截距式，必须把方程化为＋＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．
2．过点(－2，－4)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是________．
解析：α＝60°，k＝tan 60°＝，
由点斜式方程，得y＋4＝(x＋2)．
3．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________．
解析：∵直线y＝－3x－4的斜率为－3，所求直线与此直线平行，
∴斜率为－3，又截距为2，∴由斜截式方程可得y＝－3x＋2.
答案：y＝－3x＋2
4.当a为何值时，直线l1：y＝－2ax＋2a与直线l2：y＝(a2－3)x＋2平行？
解：∵l1∥l2，∴a2－3＝－2a且2a≠2，
解得a＝－3.
5.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.求：
(1)顶点的坐标；
(2)直线的方程.
答案：(1);(2)
即·＝－1，解得m＝－.
综上，当l1∥l2时，m的值为3；当l1⊥l2时，m的值为－.
【知识点一】两条直线相交
两直线的交点坐标
几何元素及关系 代数表示
点
直线
点在直线上
直线与的交点是 方程组的解是
【理解】两直线相交的条件
(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．
(2)设，，则与相交的条件是
或．
(3)设两条直线1，，则与相交 k1≠k2.
【典型例题】
考点一：两条直线的交点坐标
例1.判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：
(1)l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0；
(2)l1：2x－6y＋3＝0，l2：y＝x＋；
(3)l1：2x－6y＝0，l2：y＝x＋.
解析：(1)解方程组得
所以l1与l2相交，且交点坐标为.
(2)解方程组
②×6整理得2x－6y＋3＝0.
因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．
(3)解方程组
②×6－①得3＝0，矛盾．
方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.
例2．求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．
解：法一：由方程组
解得即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．
∵直线过坐标原点，所以其斜率k＝＝－1，
直线方程为y＝－x，一般式为x＋y＝0.
法二：∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，
即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.
将原点坐标(0,0)代入上式，解得λ＝1，
∴l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.
考点二：含参数的直线恒过定点问题
例1.求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过某一定点．
[证明]　法一：取m＝1时，直线方程为y＝－4；取m＝时，直线方程为x＝9.
两直线的交点为P(9，－4)，
将点P的坐标代入原方程左边＝(m－1)×9＋(2m－1)×(－4)＝m－5.
故不论m取何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，
即直线恒过点P(9，－4)．
法二：原方程化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0.
若对任意m都成立，
则有得
所以不论m为何实数，所给直线都过定点P(9，－4)．
例2.若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0 ，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是(　　)
A．a＝1或a＝－2 B．a≠±1
C．a≠1且a≠－2 D．a≠±1且a≠－2
解析：为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．
(1)若三条直线交于一点，由解得将l2，l3的交点(－a－1,1)代入l1的方程解得a＝1或a＝－2①；
(2)若l1∥l2，则由a×a－1×1＝0，得a＝±1②，
当a＝1时，l1与l2重合；
(3)若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，得a＝1，当a＝1时，l2与l3重合；
(4)若l1∥l3，则由a×1－1×1＝0，得a＝1，当a＝1时，l1与l3重合．
综上，当a＝1时，三条直线重合；
当a＝－1时，l1∥l2；当a＝－2时，三条直线交于一点，
所以要使三条直线能构成三角形，需a≠±1且a≠－2.
[答案]　D
例3.直线y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选C　由解得即直线y＝2x＋10与y＝x＋1相交于点(－9，－8)，代入y＝ax－2，解得a＝.
方法总结：
1.判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．
(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．
(3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．
2．解含有参数的直线恒过定点的问题
(1)方法一：
任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
(2)方法二：
含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．
若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．
【知识点二】两直线平行的判定
对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有．
【注】对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点：
（1）成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；与不重合；
（2）当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是90°，则；
（3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在．
考点一：已知坐标判断直线位置关系
例1.已知，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论.
解析：如图所示，判断：直线与平行
证明：易求.所以，与平行
例2．试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．
解析：由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．
kAB＝＝，kCD＝＝，
由于AB∥CD，即kAB＝kCD，所以＝，得m＝－2.
经验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.
例3.已知四边形的四个顶点分别为试判断四边形的形状，并给出证明.
解析：如图所示，易求
，所以
，所以.
所以此四边形为平行四边形
考点二：已知直线平行求直线方程或参数
例1．求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；
解：法一：设直线l的斜率为k，
∵l与直线3x＋4y＋1＝0平行，∴k＝－.
又∵l经过点(1,2)，可得所求直线方程为y－2＝－(x－1)，即3x＋4y－11＝0.
法二：设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0.
∵l经过点(1,2)，
∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11.
∴所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
例2.当a为何值时，两直线y＝－x＋4a与y＝(a2－2)x＋4互相平行？
解析：
(2)设两直线的斜率分别为k3，k4，则k3＝－1，k4＝a2－2.
∵两条直线互相平行，
∴解得a＝－1.
故当a＝－1时，两条直线互相平行．
例3.若直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行，则a＝________.
因为l1∥l2，所以a2－2＝－1，且2a≠2，解得a＝－1，所以a＝－1时两直线平行．
答案：－1
【知识点三】两直线垂直的判定
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1；反之，如果它们的斜率之积等于1，那么它们互相垂直，即．
【注】
(1)成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；②且．
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
考点一：已知坐标判断直线位置关系
例1.已知，是判断直线和的位置关系.
解析：由题目易求：由于，所以直线.
例2．已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A、B为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________．
解析：以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.
设C(x,0)，则kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，得x＝1或2，所以C(1,0)或(2,0)．
例3.已知三点，试判断的形状.
解析：如图所示，先分析猜想，即.
由题目易求：由于，
得到，即.
所以为直角三角形.
考点二：已知直线垂直求参数
例1.当a为何值时，两直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直？
设两直线的斜率分别为k1，k2，则k1＝a，k2＝a＋2.
∵两直线互相垂直，∴k1k2＝a(a＋2)＝－1，解得a＝－1.
故当a＝－1时，两条直线互相垂直．
例2.若直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直，则a＝________.
解析：由题意可知kl1＝2a－1，kl2＝4.
∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝.
例3.当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
法一：由题意，直线l1⊥l2，
①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0，显然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．
③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－，当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，
即(－)·(－)＝－1，所以a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
法二：由直线l1⊥l2，
所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
解得a＝±1.
将a＝±1代入方程，均满足题意．
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
例4.求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
法一：设直线l的斜率为k.
∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，
∴k·(－2)＝－1，∴k＝.
又∵l经过点A(2,1)，
∴所求直线l的方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0.
法二：设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.
∵直线l经过点A(2,1)，
∴2－2×1＋m＝0，
∴m＝0.
∴所求直线l的方程为x－2y＝0.
例5.若两条直线与垂直，则的值为
（A） （B） （C） （D）
答案A
例6.已知直线l1经过A(3，m)，B(m－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，m＋2)．
(1)若l1∥l2，求m的值；
(2)若l1⊥l2，求m的值．
当k2≠0②时，直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，且k1·k2＝－1，
即－·＝－1，解得m＝3或m＝－4，(10分)
所以m＝3或m＝－4时，l1⊥l.(12分)
考点三：直线垂直平行综合问题
例1．下列命题
①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；
②如果两直线平行，则它们的斜率相等；
③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；
④如果两直线垂直，则它们的斜率之积为－1.
其中正确的为( )
A．①②③④ B．①③
C．②④ D．以上全错
答：B
解析：当两直线l1，l2的斜率k1，k2都存在且不重合时，l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1，故①③正确；当两直线都与x轴垂直时，其斜率不存在，但它们也平行，故②错；当两直线中一条直线与x轴平行(或重合)，另一条直线与x轴垂直时，它们垂直，但一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在，故④错．
例2.在中，已知角，，所对的边依次为，且，则两条直线：与：的位置关系是
（A）．平行 （B）．重合
（C）．垂直 （D）．相交不垂直
【答案】B
【知识点四】两条平行线间的距离
1.概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．
2.公式：两条平行直线与之间的距离.
【理解】
(1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且，的系数对应相等．
(2)当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决
①两直线都与轴垂直时，，，则；
②两直线都与轴垂直时，，，则.
【典型例题】
例1.求两平行线与之间的距离．
解析：法一　在直线l1：2x－y－1＝0上任取一点，不妨取点P(0，－1)
则点P到直线l2：4x－2y＋3＝0的距离为d＝＝
∴l1与l2间的距离为.
法二　将直线l2的方程化为：2x－y＋＝0.
又l1的方程为：2x－y－1＝0，∴C1＝－1，C2＝
又A＝2，B＝－1
由两平行直线间的距离公式得：d＝＝.
例2.求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．
解析：法一：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0.
在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，)，
则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为＝，
由题意，得＝2，
所以C＝32，或C＝－20.
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.
法二：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，
由两平行直线间的距离公式得2＝，
解得C＝32，或C＝－20.
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.
例3．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．
解析：因为两直线平行，所以m＝2.
法一：在直线3x＋y－3＝0上取点(0,3)，代入点到直线的距离公式，
得d＝＝.
法二：将6x＋2y－1＝0化为3x＋y－＝0，由两条平行线间的距离公式
得d＝＝.
方法总结：
求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，
当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；
当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝.
但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．
【知识点五】点到直线的距离
(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．
(2)公式：点到直线的距离.
【理解】
1．点到直线的距离公式需注意的问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求到直线的距离，应先把直线方程化为，得.
2．点到几种特殊直线的距离
(1)点到轴的距离；
(2)点到轴的距离；
(3)点到与轴平行的直线的距离；
(4)点到与轴平行的直线的距离.
【典型例题】
例1.求点P(3，－2)到下列直线的距离：
y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.
解析：(1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，
由点到直线的距离公式可得d＝＝.
(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.
(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.
例2.已知点A(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(　　)
A. B．2－
C.－1 D.＋1
解析：选C　由点到直线的距离公式知d＝＝＝1，
得a＝－1±.又∵a＞0，∴a＝－1.
例3.已知直线经过直线与的交点．
(Ⅰ)若点到的距离为3，求的方程；
(Ⅱ)求点到的距离的最大值．
解　法一　联立 交点P(2,1)，
当直线斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，
∴＝3，解得k＝，
∴l的方程为y－1＝(x－2)，即4x－3y－5＝0.
而直线斜率不存在时直线x＝2也符合题意，
故所求l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.
法二　经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
∴＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，
解得λ＝2或，
∴l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.
(2)由，解得交点P(2,1)，
过P任意作直线l，设d为A到l的距离，
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)，
∴dmax＝|PA|＝.
【小试牛刀】
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)
A．1 B.
C．2 D.
解析：选D　d＝＝.
2.已知直线的方程为，则直线
（A）恒过点且不垂直轴 （B）恒过点且不垂直轴
（C）恒过点且不垂直轴 （D）恒过点且不垂直轴
答案B
3．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．
解析：直线8x－6y＋5＝0化简为4x－3y＋＝0，
则由两平行线间的距离公式得＝.
4.已知直线:，:.若∥，则实数_______.
5．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.
解：由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x－2y＋3＝0.
由两点间距离公式得|BC|＝＝2，
点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，d＝＝，
所以S＝|BC|·d＝×2×＝4，即△ABC的面积为4.
【巩固练习——基础篇】
1.“直线的方程为”是“直线经过点”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
答案A
2.已知直线和直线平行，则实数的值为
（A） （B） （C）和 （D）
答案B
3．已知在 ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．
(1)求点D的坐标；
(2)试判定 ABCD是否为菱形？
解析：(1)a，b)，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴kAB＝kCD，kAD＝kBC，
∴，解得，
∴D(－1,6)．
(2)∵kAC＝＝1，kBD＝＝－1，
∴kAC·kBD＝－1.∴AC⊥BD.∴ ABCD为菱形．
4．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________________；若l1∥l2，则b＝________________.
答案：2，－
解析：当l1⊥l2时，k1k2＝－1，∴－＝－1.∴b＝2.
当l1∥l2时，k1＝k2，∴Δ＝(－3)2＋4×2b＝0.∴b＝－.
5．若p，q满足p－2q＝1，直线px＋3y＋q＝0必过一个定点，该定点坐标为________．
解析：因为p＝2q＋1代入整理：(2x＋1)q＋3y＋x＝0对q为一切实数恒成立，
即2x＋1＝0，且3y＋x＝0，所以x＝－，y＝.
答案：
6.分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．
(1)平行于直线l1：4x－2y－7＝0；
(2)垂直于直线l2：3x－2y＋4＝0.
解：解方程组得交点P(1,1)．
(1)若直线与l1平行，
∵k1＝2，∴斜率k＝2，
∴所求直线方程为y－1＝2(x－1)即：2x－y－1＝0.
(2)若直线与l2垂直，
∵k2＝，∴斜率k＝－＝－，
∴y－1＝－(x－1)即：2x＋3y－5＝0.
7.求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．
解：由解得，即直线l过点B.
①当l与x轴垂直时，方程为x＝2，
点A(－3,1)到l的距离d＝|－3－2|＝5，满足题意．
②当l与x轴不垂直时，设斜率为k，
则l的方程为y＋＝k(x－2)，即kx－y－2k－＝0，
由点A到l的距离为5，得＝5，解得k＝，
所以l的方程为x－y－－＝0，即4x－3y－10＝0.
综上，所求直线方程为x＝2或4x－3y－10＝0.
【巩固练习——提高篇】
1.已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
解析：法一：由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0.
l2：mx＋3y－2＝0.
①当m＝0时，显然l1与l2不平行．
②当m≠0时，l1∥l2，
需＝≠.解得m＝2或m＝－3.∴m的值为2或－3.
法二：令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，
l1与l2不重合，l1∥l2，
∴m的值为2或－3.
2．已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有(　　)
A．b＝a3
B．b＝a3＋
C．(b－a3)(b－a3－)＝0
D．|b－a3|＋|b－a3－|=0
答案：C
分析：△OAB为直角三角形，没有指明哪个角度为直角，所以要对A，B，O角分别为直角进行讨论，利用斜率的定义，两条直线相互垂直的条件找出参数，a，b的关系．
解析：显然角O不能为直角(否则得a＝0，不能组成三角形)．
若A为直角，则根据A，B纵坐标相等，所以b－a3＝0.
若B为直角，则利用kOBkAB＝－1，得b－a3－＝0.
3.已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
解析：因为A，B两点纵坐标不等，所以AB与x轴不平行．
因为AB⊥CD，所以CD与x轴不垂直，故m≠－3.
当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1，
而m＝－1时，C，D纵坐标均为－1，所以CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．
当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得
kAB＝＝，kCD＝＝.
因为AB⊥CD，所以kAB·kCD＝－1，解得m＝1.
综上，m的值为1或－1.
4.已知两直线，求分别满足下列条件的的值。
（Ⅰ）直线过点，并且直线与垂直；
（Ⅱ）直线与直线平行，并且坐标原点到的距离相等。
【答案】
5.已知直线与直线垂直，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程。
解析：设直线l的方程为y=kx+m，
因直线l与直线4x 3y+5=0垂直,故有k 43= 1得k= 34
故直线l的方程为y= 34x+m，
其与x轴、y轴的交点坐标分别为(43m,0)与(0,m)，
故直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为：
S=12|43m||m|=23m2=24，解得m=±6，
因此,所求直线l的方程为y= 34x+6或y= 34x 6，
即3x+4y 24=0或3x+4y+24=0.
6．已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．
解析：(1)点P(1,5)到lCD的距离为d，则d＝ .
∵lAB∥lCD，∴可设lAB：x＋3y＋m＝0.
点P(1,5)到lAB的距离也等于d，则＝，
又∵m≠－13，∴m＝－19，即lAB：x＋3y－19＝0.
∵lAD⊥lCD，∴可设lAD：3x－y＋n＝0，
则P(1,5)到lAD的距离等于P(1,5)到lBC的距离，且都等于d＝，
＝，n＝5，或n＝－1，
则lAD：3x－y＋5＝0，lBC：3x－y－1＝0.
所以，正方形ABCD其他三边所在直线方程为x＋3y－19＝0,3x－y＋5＝0,3x－y－1＝0.目录
两条直线位置关系 2
【课前诊断】 2
【知识点一】两条直线相交 3
【典型例题】 4
考点一：两条直线的交点坐标 4
考点二：含参数的直线恒过定点问题 4
方法总结： 5
【知识点二】两直线平行的判定 6
考点一：已知坐标判断直线位置关系 6
考点二：已知直线平行求直线方程或参数 7
【知识点三】两直线垂直的判定 7
考点一：已知坐标判断直线位置关系 7
考点二：已知直线垂直求参数 8
考点三：直线垂直平行综合问题 8
【知识点四】两条平行线间的距离 9
【典型例题】 9
【知识点五】点到直线的距离 10
【典型例题】 10
【小试牛刀】 11
【巩固练习——基础篇】 12
【巩固练习——提高篇】 13
两条直线位置关系
【课前诊断】
1．直线3x－2y＝4的截距式方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝4
C.－＝1 D.＋＝1
2．过点(－2，－4)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是________．
3．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________．
4.当a为何值时，直线l1：y＝－2ax＋2a与直线l2：y＝(a2－3)x＋2平行？
5.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.求：
(1)顶点的坐标；
(2)直线的方程.
【知识点一】两条直线相交
两直线的交点坐标
几何元素及关系 代数表示
点
直线
点在直线上
直线与的交点是 方程组的解是
【理解】两直线相交的条件
(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．
(2)设，，则与相交的条件是
或．
(3)设两条直线1，，则与相交 k1≠k2.
【典型例题】
考点一：两条直线的交点坐标
例1.判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：
(1)l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0；
(2)l1：2x－6y＋3＝0，l2：y＝x＋；
(3)l1：2x－6y＝0，l2：y＝x＋.
例2．求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．
考点二：含参数的直线恒过定点问题
例1.求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过某一定点．
例2.若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0 ，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是(　　)
A．a＝1或a＝－2 B．a≠±1
C．a≠1且a≠－2 D．a≠±1且a≠－2
例3.直线y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
方法总结：
1.判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．
(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．
(3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．
2．解含有参数的直线恒过定点的问题
(1)方法一：
任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
(2)方法二：
含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．
若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．
【知识点二】两直线平行的判定
对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有．
【注】对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点：
（1）成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；与不重合；
（2）当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是90°，则；
（3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在．
考点一：已知坐标判断直线位置关系
例1.已知，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论.
例2．试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．
例3.已知四边形的四个顶点分别为试判断四边形的形状，并给出证明.
考点二：已知直线平行求直线方程或参数
例1．求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；
例2.当a为何值时，两直线y＝－x＋4a与y＝(a2－2)x＋4互相平行？
例3.若直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行，则a＝________.
【知识点三】两直线垂直的判定
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1；反之，如果它们的斜率之积等于1，那么它们互相垂直，即．
【注】
(1)成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；②且．
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
考点一：已知坐标判断直线位置关系
例1.已知，是判断直线和的位置关系.
例2．已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A、B为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________．
例3.已知三点，试判断的形状.
考点二：已知直线垂直求参数
例1.当a为何值时，两直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直？
例2.若直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直，则a＝________.
例3.当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
例4.求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
例5.若两条直线与垂直，则的值为
（A） （B） （C） （D）
例6.已知直线l1经过A(3，m)，B(m－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，m＋2)．
(1)若l1∥l2，求m的值；
(2)若l1⊥l2，求m的值．
考点三：直线垂直平行综合问题
例1．下列命题
①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；
②如果两直线平行，则它们的斜率相等；
③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；
④如果两直线垂直，则它们的斜率之积为－1.
其中正确的为( )
A．①②③④ B．①③
C．②④ D．以上全错
例2.在中，已知角，，所对的边依次为，且，则两条直线：与：的位置关系是
（A）．平行 （B）．重合
（C）．垂直 （D）．相交不垂直
【知识点四】两条平行线间的距离
1.概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．
2.公式：两条平行直线与之间的距离.
【理解】
(1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且，的系数对应相等．
(2)当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决
①两直线都与轴垂直时，，，则；
②两直线都与轴垂直时，，，则.
【典型例题】
例1.求两平行线与之间的距离．
例2.求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．
例3．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．
方法总结：
求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，
当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；
当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝.
但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．
【知识点五】点到直线的距离
(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．
(2)公式：点到直线的距离.
【理解】
1．点到直线的距离公式需注意的问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求到直线的距离，应先把直线方程化为，得.
2．点到几种特殊直线的距离
(1)点到轴的距离；
(2)点到轴的距离；
(3)点到与轴平行的直线的距离；
(4)点到与轴平行的直线的距离.
【典型例题】
例1.求点P(3，－2)到下列直线的距离：
y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.
例2.已知点A(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(　　)
A. B．2－
C.－1 D.＋1
例3.已知直线经过直线与的交点．
(Ⅰ)若点到的距离为3，求的方程；
(Ⅱ)求点到的距离的最大值．
【小试牛刀】
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)
A．1 B.
C．2 D.
2.已知直线的方程为，则直线
（A）恒过点且不垂直轴 （B）恒过点且不垂直轴
（C）恒过点且不垂直轴 （D）恒过点且不垂直轴
3．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．
4.已知直线:，:.若∥，则实数_______.
5．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.
【巩固练习——基础篇】
1.“直线的方程为”是“直线经过点”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
2.已知直线和直线平行，则实数的值为
（A） （B） （C）和 （D）
3．已知在 ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．
(1)求点D的坐标；
(2)试判定 ABCD是否为菱形？
4．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________________；若l1∥l2，则b＝________________.
5．若p，q满足p－2q＝1，直线px＋3y＋q＝0必过一个定点，该定点坐标为________．
6.分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．
(1)平行于直线l1：4x－2y－7＝0；
(2)垂直于直线l2：3x－2y＋4＝0.
7.求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．
【巩固练习——提高篇】
1.已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
2．已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有(　　)
A．b＝a3
B．b＝a3＋
C．(b－a3)(b－a3－)＝0
D．|b－a3|＋|b－a3－|=0
3.已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
4.已知两直线，求分别满足下列条件的的值。
（Ⅰ）直线过点，并且直线与垂直；
（Ⅱ）直线与直线平行，并且坐标原点到的距离相等。
5.已知直线与直线垂直，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程。
6．已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．

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