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第二十七讲 数列求和综合
一．核心知识
核心一：求和公式
等差数列前项和，推导方法：倒序相加法；
等比数列前项和
推导方法：乘公比，错位相减法．
核心二：数列求和的常用方法
(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再
求和．
(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
(4)倒序相加：例如，等差数列前项和公式的推导．如果一个数列的前n项中首末两端等“距离”的两项和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。
(5)并项求和法：一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如
类型，可采用两项合并求解．
例如，
核心三：常见的拆项公式
二．重难点题型
题型一：公式法求和
【例1】已知等差数列的第二项为，前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列通项满足，试求数列的通项公式和前项的和．
【变式】已知数列是首项，公比的等比数列，是其前项和，且成等差数列．
(1)求公比的值；
(2)求的值．
题型二：分组法求和
【例2】在等差数列中,． ，
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)对任意,将数列中落入区间内的项的个数记为,求数列的前项
和．
【变式】已知等差数列的公差为，前项和为，且，，成等比数列．
（I）求数列的通项公式；
（II）令求数列的前项和．
题型三：倒序相加
【例3】已知，是函数的图象上的任意两点（可以重合），点在直线上，且
（1）求的值及的值
（2）已知，当时，，求；
【变式】已知函数对任意都有，
（1）求的值；
（2）已知数列满足数列是等差数列吗？试证明之；
（3）设,，求数列的前项和．
题型四：裂项相消
【例4】已知二次函数的图像经过坐标原点，数列的前项和为，点均在函数的图像上．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数；
【例5】已知数列是递增的等比数列，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，，求数列的前项和．
【变式1】正项数列的前项和满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，数列的前项和为．证明：对于任意的，都有．
【变式2】已知数列满足，．
（1）求；
（2），是的前项和，求证：．
题型五：错位相减
【例6】已知数列的前项和，数列满足，且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【变式】已知数列中，
（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；
（2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
题型六：含绝对值求和
【例7】数列中，且满足
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求；
（3）设，，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【例8】设数列的前项和为．已知，，
（I）求通项公式；
（II）求数列的前项和．
题型七：综合
【例9】已知数列满足（为实数，且），，成等差数列．
(I)求的值和的通项公式；
(II)设，求数列的前项和．
【例10】已知数列满足且
（1）证明：；
（2）设数列的前项和为，证明．
【例11】数列满足
(Ⅰ)求并求数列的通项公式；
(Ⅱ)设证明：当（用第二种方法讲解）
课后作业
1．正项数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
2．已知数列，
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前和．
3．函数当时，．
（1）求的值；
（2）已知数列满足，求；
（3）若，求．
4．设数列的前项和为．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求出值；若不存在，说明理由．
5．已知数列的前项和（），数列的前项和（）．
（1）求数列的前项和；
（2）求数列的前项和．第二十七讲 数列求和综合
一．核心知识
核心一：求和公式
等差数列前项和，推导方法：倒序相加法；
等比数列前项和
推导方法：乘公比，错位相减法．
核心二：数列求和的常用方法
(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再
求和．
(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
(4)倒序相加：例如，等差数列前项和公式的推导．
(5)并项求和法：一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如
类型，可采用两项合并求解．
例如，
核心三：常见的拆项公式
二．重难点题型
题型一：公式法求和
【例1】已知等差数列的第二项为，前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列通项满足，试求数列的通项公式和前项的和．
【解析】（1）；
（2）；；
（1）设等差数列的首项，公差,并列出两者的方程组，从而求出通项公式；（2）由（1）可得，数列的通项公式，利用分组求和即可求出其前项和．
试题解析：（1）设等差数列的首项为，公差为，由已知得：
，即，解得：
等差数列的通项公式为
=
综上：数列的通项公式为
前项的和
考点：等差数列基本量运算；分组法求数列的前n项和．
【变式】已知数列是首项，公比的等比数列，是其前项和，且成等差数列．
(1)求公比的值；
(2)求的值．
【答案】 ；
【解析】（1）设公比为，
，整理得，，因为，所以；
（2）由（1）是首项为-4，公比为1的等比数列
所以，．
点评：中档题，首先建立关于公比的方程，以进一步确定出数列是公比为的等比数
列．
题型二：分组法求和
【例2】在等差数列中,． ，
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)对任意,将数列中落入区间内的项的个数记为,求数列的前项
和．
【解析】(Ⅰ)由，可得，而，则，，，,于是,即．
(Ⅱ)对任意，， ,则，
即，而，由题意可知，于是
即．
【变式】已知等差数列的公差为，前项和为，且，，成等比数列．
（I）求数列的通项公式；
（II）令求数列的前项和．
【解析】（I）
成等比数列，所以
解得
（II）
当为偶数时
当为奇数时
题型三：倒序相加
【例3】已知，是函数的图象上的任意两点（可以重合），点在直线上，且
（1）求的值及的值
（2）已知，当时，，求；
（3）在（2）的条件下，设，为数列的前项和，若存在正整数、，使得不等式成立，求和的值．
【解析】（Ⅰ）∵点在直线上，设
又，即，，
　　　
① 当时，，
② 当时，，
综合①②得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，
时，　，　　　 ①
　，　　　 　　②
①＋②得，，则　　
当时，满足
∴
（Ⅲ）∵
∴
∵c,m都是正整数 ∴
当时，∴
∴
【变式】已知函数对任意都有，
（1）求的值；
（2）已知数列满足数列是等差数列吗？试证明之；
（3）设,，求数列的前项和．
【解析】（1）因为对于任意都有，令，
则，即．
（2）因为
所以有，
两式相加，可得：
得：
又因为
故数列是以为首项，以为公差的等差数列．
（3）由（2）得：
则：．
题型四：裂项相消
【例4】已知二次函数的图像经过坐标原点，数列的前项和为，点均在函数的图像上．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数；
【解析】（Ⅰ）因为点均在函数的图像上，所以．
当时，
当时，
所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知：
故
因此，要使成立的,必须且仅须满足，即，所以满足要求的最小正整数为．
【例5】已知数列是递增的等比数列，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，，求数列的前项和．
【答案】（1），（2）
【解析】试题分析：
（1）是递增的等比数列，且，
∴ 即可求出结果
（2）由（1）可知
∴，利用裂项相消即可求出结果．
试题解析：
（1）是递增的等比数列，且，
∴
（2）由（1）可知
考点：1．等比数列的性质；2．裂项相消法求和．
【变式1】正项数列的前项和满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，数列的前项和为．证明：对于任意的，都有．
【解析】（1）根据已知条件构造等价的关系式结合与的关系求解；
（2）由（1）的结论先求出数列的通项公式，根据裂项求和法求出其前项和，通过放缩法证明不等式．
（1）由，得
由于数列是正项数列，所以，．
于是，当时，
综上可知，数列 的通项为．
（2）由于，，则
【变式2】已知数列满足，．
（1）求；
（2），是的前项和，求证：．
分析：由递推公式求出数列的通项公式，从而求出数列的通项公式，将数列的通项公式进行缩放成为裂项相消可求和的形式．
【解析】（1）由题意知，则，，
，，．
则：
所以，
当时，也适合，
故．
（2）由题意及（1）得：
所以：
题型五：错位相减
【例6】已知数列的前项和，数列满足，且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】试题分析：（1）根据公式由可求得当时即，由等比数列的定义可知数列为等比数列，根据等比数列的通项公式可求得．因为，由等差中项可知数列是等差数列，根据已知可求得其公差，从而可得其通项公式．（2）分析可知应用错位相减法求数列的和．
【解析】1）由题意， ①
当时，， ②
①-②得 ， 即 ，
又，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；
由知，数列是等差数列，设其公差为，
则，所以，；
综上，数列和的通项公式为．
（2），
③
， ④
③-④得：，
整理得：，
所以．
考点：1求通项公式；2求数列的和．
【变式】已知数列中，
（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；
（2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）证明详见解析：（1）；（2）
【解析】（1）将取倒数构造数列为等比数列，再求通项；
（2）由错位相减法求数列的前项和，再分类求实数的取值范围．
试题分析：
（1）由得
即
又，所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以，
（2）
两式相减得：
∴
∴
若为偶数，则，∴
若为奇数，则，∴，∴
∴
题型六：含绝对值求和
【例7】数列中，且满足
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求；
（3）设，，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意，，所以为等差数列，设公差为，则
，得．
（2）设，若，则
当时，
当时，
故
（3）因为，所以
又数列是单调递增数列，故为的最小值，故
所以的最大整数值是，即存在最大整数，使对任意，均有．
【例8】设数列的前项和为．已知，，
（I）求通项公式；
（II）求数列的前项和．
【答案】（I）；（II）．
【解析】（I）由转化为，进而可得数列的通项公式；（II）先去掉绝对值，再对的范围讨论，采用分组求和法，即可得数列的前项和．
【解析】（I）由题意得：，则
又当时，由，得：，
所以，数列的通项公式为：．
（II）设
当时，由于，故：
设数列的前项和为，则：
当时，，所以
考点：等差、等比数列的基础知识．
【方法点睛】数列求和的常用方法：（1）错位相减法：形如数列的求和，其中是等差数列，是等比数列；（2）裂项法：形如数列或 的求和，其中， 是关于的一次函数；（3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分．
题型七：综合
【例9】已知数列满足（为实数，且），，成等差数列．
(I)求的值和的通项公式；
(II)设，求数列的前项和．
【答案】(I) ; (II) ．
【解析】(I) 由已知，有，即，
所以，又因为，故，由，得，
当时，，
当时，，
所以的通项公式为
(II) 由(I)得，设数列的前项和为，则
，
两式相减得
，
整理得
所以数列的前项和为．
【考点定位】等差数列定义、等比数列及前项和公式、错位相减法求和．
【例10】已知数列满足且
（1）证明：；
（2）设数列的前项和为，证明．
【解析】（1）详见解析；（2）详见解析．
试题分析：（1）首先根据递推公式可得，再由递推公式变形可知
，从而得证；（2）由和得，
，从而可得，即可得证．
试题解析：（1）由题意得，，即，，由
得，由得，
，即；（2）由题意得，
∴①，由和得，，
∴，因此②，由①②得
．
【例11】数列满足
(Ⅰ)求并求数列的通项公式；
(Ⅱ)设证明：当（用第二种方法讲解）
【解析】(Ⅰ)因为所以
一般地，当时，
＝，即
所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此
当时，
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此
故数列的通项公式为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ①
②
①-②得，
所以
要证明当时，成立，只需证明当时，成立．
证法一
(1)当时，成立．
(2)假设当时不等式成立，即
则当时，
由(1)、(2)所述，当时，．即当n≥6时，
证法二
令，则
所以当时，．因此当时，
于是当时，
综上所述，当时，
课后作业
1．正项数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【解析】（1）得
由于是正项数列，则．
（2）由（1）知，故
．
2．已知数列，
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前和．
【解析】1）证明：当时，
当时，
当时,
所以数列是以1为首，2为公差的等差数列
（2）
数列的前项和
考点：1．等差数列的定义;2．分组求和;
3．函数当时，．
（1）求的值；
（2）已知数列满足，求；
（3）若，求．
【解析】(1)令，则，即，所以．
（2）
即
①+②得
4．设数列的前项和为．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求出值；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）根据求解； （Ⅱ）先求得，然后求得的表达式，从而根据条件等式求得的值．
试题解析：（Ⅰ）
所以时，
两式相减得:
即，也即，所以为公差为的等差数列，
所以
（Ⅱ），
所以，
所以
所以，所以
即当时，
考点：1、与的关系；2、等差数列的定义；3、等差数列的前项和．
【方法点睛】给出与的递推关系，要求，常用思路是：一是利用 （）转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求．同时特别要注意验证的值是否满足“”的一般性通项公式．
5．已知数列的前项和（），数列的前项和（）．
（1）求数列的前项和；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由数列的前项和（），利用求出其通项公式，从而就可得到数列的通项公式，再用裂项相消求和法求出其前项和；
（2）同求数列的通项公式一样求出数列的通项公式，从而就可求得数列的通项公式，再用错位相减法求出数列的前项和．
试题解析：（1）由得：当时，
又当时，
由得：当时，
又当时，
从而
所以数列的前项和为：
（2）由（1）得
所以数列的前项和记为
则
两式相减得：
考点：1、等差数列与等比数列；2、数列的求和．
(
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