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专题09 二元一次方程组的应用题 高频考点（11个）（精讲）
知识储备
1）列方程组解应用题步骤
1）列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：
①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。
2）解应用题的一般步骤为：①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式；
②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数；
③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程；④解答。
2）分析数量关系的常用方法
1）直译法分析数量关系：将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。
2）列表分析数量关系：当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
高频考点
高频考点1 二元一次方程组的应用之年龄问题
解题技巧：年龄问题中，列写等量关系式主要还是根据和差倍关系。年龄问题有一个特点需要注意：n年前（后），两个人的年龄是同时减少（增加）n的。
例1．（2022·河南周口·八年级期末）小新出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是小新的3倍还多2岁，则现在小新的年龄是__岁．
【答案】13．
【分析】设小新现在的年龄为x岁，父亲现在的年龄是y岁，由题意：小新出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是小新的3倍还多2岁，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设小新现在的年龄为x岁，父亲现在的年龄是y岁，
由题意得： 解得： 即现在小新的年龄是13岁，故答案为：13．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程组求解.
例2．（2022·江苏·七年级）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答），(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子
【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可．
（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案．
(1)设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．
．解得：
答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；
(2)（年） （年）
小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．
变式1．（2022·河北石家庄·七年级期末）一家四口人的年龄加在一起是100岁，弟弟比姐姐小8岁，父亲比母亲大2岁，十年前他们全家人年龄的和是65岁，则父亲今年的年龄为__________岁．
【答案】42
【分析】由题意得：弟弟今年的年龄为5岁，姐姐今年的年龄为13岁，设母亲今年的年龄为x岁，父亲今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是100岁，父亲比母亲大2岁，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁，
但实际上100-65=35（岁），说明十年前弟弟没出生，
则弟弟的年龄为10-（40-35）=5（岁），姐姐的年龄为5+8=13（岁），
设母亲今年的年龄为x岁，父亲今年的年龄为y岁，
由题意得：，解得：，
即父亲今年的年龄为42岁，故答案为：42．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
变式2．（2022·河南项城·八年级期末）小新出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是小新的3倍还多2岁，则现在小新的年龄是__岁．
【答案】13．
【分析】设小新现在的年龄为x岁，父亲现在的年龄是y岁，由题意：小新出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是小新的3倍还多2岁，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设小新现在的年龄为x岁，父亲现在的年龄是y岁，
由题意得：解得： 即现在小新的年龄是13岁，故答案为：13．
【点睛】本题考查二元一次方程组实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程组求解.
高频考点2 二元一次方程组的应用之配套问题
解题技巧：若A、B两种物品分别需要a个和b个才能构成一套，则等量关系式为：A产品个数：B产品个数=a：b。往往，此类题型，会告知工人总数，则第二个等量关系式为：A产品工人数+B产品工人数=总工人数。
例1．（2022·天津·七年级期末）有支队名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队人，每支排球队人，每名运动员只能参加一项比赛．设篮球队有支参赛，排球队有参赛，则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设篮球队有支参赛，排球队有参赛，根据“支队名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队人，每支排球队人，”即可列出方程组．
【详解】解：设篮球队有支参赛，排球队有参赛，根据题意得：，故选：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
例2．（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级期中）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．
(1)若工作人员领取正方形纸板560张，长方形纸板940张，请问利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？(2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值．
【答案】(1)做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒 (2)竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3
【分析】（1）设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张，根据题意列出方程组，解方程组即可求解；
（2）由（1）结合题意可得：，解比例即可求解．
（1）解：设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，
则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张，
由题意可得：，解得：
答：做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒；
（2）由题意可得：，解得：x＝3y，∴x：y＝3，
答：竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程组的解，理解题意，找到等量关系列出方程组是解题的关键．
变式1．（2022·广东·七年级课时练习）有一些苹果箱，若每个装苹果，则剩余苹果无处装，若每个装苹果．则余20个空箱，这些苹果箱有（ ）
A．12个 B．60个 C．112个 D．128个
【答案】D
【分析】设这些苹果箱有个，苹果总重量为，则苹果总数为或，再列方程组，从而可得答案.
【详解】解：设这些苹果箱有个，苹果总重量为，则
解得：
方程组的解为： 答：这些苹果箱有个.故选：
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，得出正确的相等关系是解题的关键.
变式2．（2022·湖南永州·七年级期中）有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57名，则大船与小船一次分别载多少人？
【答案】大船一次载18人，小船一次载7人
【分析】设大船每艘可载乘客人，小船每艘可载乘客人，由题意：1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57名，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设大船每艘可载乘客人，小船每艘可载乘客人，
由题意得：，解得：，
答：大船一次载18人，小船一次载7人．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
高频考点3 二元一次方程组的应用之数学文化问题
例1．（2022·浙江绍兴·七年级期末）《孙子算经》中有一题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有x人，y辆车，则可列方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设有x人，y辆车，根据“每三人共乘一车，最终剩余2辆车：每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”，即可得出关于x，y的二元一次方程组．
【详解】解：设有x人，y辆车，∵每三人共乘一车，最终剩余2辆车，∴3（y 2）＝x；
∵每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，∴x 9＝2y；
∴可列方程组，故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
例2．（2022·吉林长春·七年级期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中第八卷有这样一个问题：今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？意思是：甲、乙都有钱不知多少，若甲得到乙一半的钱，则甲有50文钱；若乙得到甲三分之二的钱，则乙也有50文钱．问甲、乙各有几文钱？
【答案】甲有文钱，乙有25文钱．
【分析】设甲有x文钱，乙有y文钱，根据“若甲得到乙一半的钱，则甲有50文钱；若乙得到甲三分之二的钱，则乙也有50文钱”，得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设甲有x文钱，乙有y文钱，
依题意得：，解得：，
答：甲有文钱，乙有25文钱．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
变式1．（2022·福建·泉州市第九中学七年级阶段练习）《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1．图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数xy的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图1的方程组，可知图中第一组小棍数代表几个x，第二组的小棍数代表几个y，最后两组代表数字，然后即可写出图2表示的方程组．
【详解】解：由题意可得，
图2所示的算筹图我们可以表述为：，故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
变式2．（2022·新疆·七年级期末）我国古代数学著作孙子算经中有“鸡兔同笼”问题，“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设鸡有只，兔有只，则列出的方程组为______（列出方程组即可，不求解）．
【答案】
【分析】一只鸡有一个头和二条腿，一只兔有一个头和四条腿，根据上有三十五头，下有九十四足，即可列出方程组．
【详解】解：由题意，可列出的方程组为，故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是仔细审题，正确找出等量关系，难度一般．
高频考点4 二元一次方程组的应用之几何问题
例1．（2022·江苏·七年级阶段练习）如图，正方形由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍，若中间小正方形的面积为1，则大正方形的面积是__________．
【答案】16
【分析】设小长方形的长为a，宽为b，则大长方形的长为2a，宽为2a，根据图形中大小长方形长与宽之间的关系，列出二元一次方程组，进行计算即可得．
【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b，则大长方形的长为2a，宽为2a，
依题意得，解得，，
∴大长方形的边长为：，
∴，故答案为：16．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系列出二元一次方程组并正确求解．
例2．（2022·江苏·南京九年级阶段练习）如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形劳动基地ABCD，边AD的长不超过墙的长度，在BC边上开设宽为1m的门EF（门不需要消耗篱笆）．设AB的长为x（m），BC的长为y（m）．
(1)若围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长为10m，求AB和BC的长度．(2)若AB和BC的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案．
【答案】(1)AB＝4，BC＝3 (2)AB＝2，BC＝6或AB＝3，BC＝4
【分析】（1）根据；篱笆总长和门的长表示出AB、BC，列出方程即可．
（2）根据围成矩形三边的篱笆总长小于10列出不等式，再由x和y为整数且xy=12确定出满足题意的方案．
（1）根据题意得：，即．
代入得：，整理得：．解得：或．
当时，，不符合题意；当时，，符合题意．则AB=4,BC=3．
（2）根据题意得：，即．
∵AB，BC为整数，即x，y为整数，且．∴当y=6时，x=2；当y=4时，x=3．
则满足条件的围建方案为：AB=2,BC=6或AB=3,BC=4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解题的关键．
变式1．（2022·浙江台州·七年级期末）如图，用四个完全相同的长方形纸片拼成一个大正方形．若外面的大正方形和里面的小正方形的周长的差和面积的差数值相等，则下列说法正确的是（ ）
A．长方形纸片的长是2，宽无法确定 B．长方形纸片的宽是2，长无法确定
C．长方形纸片的长和宽之比为 D．条件不足不能求出长方形纸片的长或宽
【答案】A
【分析】设长方形纸片的长为x，宽为y，（x＞y），根据外面的大正方形和里面的小正方形的周长的差和面积的差数值相等，列出方程，即可求出，得出答案．
【详解】解：设长方形纸片的长为x，宽为y，（x＞y），根据题意得：
，整理得：，
∵，∴，因此长方形纸片的长是2，宽无法确定，故A正确．故选：A．
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程解决实际问题，设出未知数，找出题目中的等量关系式，列出方程，是解题的关键．
变式2．（2022·山东·高唐县七年级期中）如图，AB⊥BC，∠ABC的度数比∠DBC的度数的两倍少15°，设∠ABD和∠DBC的度数分别为x°，y°，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题中的等量关系有：， ，根据等量关系列出方程即可．
【详解】设∠ABD和∠DBC的度数分别为x°，y°，则有
整理得：，故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
高频考点5 二元一次方程组的应用之和、差、倍、分问题
解题技巧：此类题型，需要弄清楚“倍数”“多”“少”等关系。设相互比较的两个量分别为x、y，根据倍数关系列写等量关系式和方程。
例1．（2022·山西临汾·七年级期末）金山银山不如绿水青山，某地准备购买一些松树苗和梭梭树苗绿化荒山，已知购买棵松树苗和棵梭梭树苗需要元，购买棵梭梭树苗比棵松树苗少花费元，设每棵松树苗元，每棵梭梭树苗元，则列出的方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“购买棵松树苗和棵梭梭树苗需要元，购买棵梭梭树苗比棵松树苗少花费元”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：购买棵松树苗和棵梭梭树苗需要元，；
购买棵梭梭树苗比棵松树苗少花费元，．
所列方程组为．故选：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
例2．（2022·福建·晋江市阳溪中学七年级阶段练习）在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收．去年菠萝的收入结余12000元，今年菠萝的收入比去年增加了20%，支出减少了10%，预计今年结余比去年多11400元．(1)今年结余_____元；(2)若设去年的收入为x元，支出为y元，则今年的收入为____元，支出为____元；（以上两空用含x、y的式子表示）(3)列出关于x、y的方程组．
【答案】(1)23400 (2)1.2x；0.9y(3)
【分析】（1）根据去年菠萝的收入结余12000元，结余今年预计比去年多11400元，可以计算出今年的结余；（2）根据今年菠萝的收入比去年增加了20%，支出减少10%，可以表示出今年的收入和支出；（3）根据题意“去年菠萝的收入结余12000元，今年结余比去年多11400元．”列出相应的方程组，即可．
（1）解：根据题意得：今年的结余为12000+11400=23400元；故答案为：23400
（2）解：设去年的收入为x元，支出为y元，则今年的收入为x+20%x=1.2x元，支出为y-10%y=0.9y元；故答案为：1.2x；0.9y
（3）解：根据题意得：．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的知识解答．
变式1．（2022·浙江温州·七年级期中）疫情期间，某单位采购了50包口罩和30瓶消毒液，一共花费1633元，其中消毒液的单价比口罩的单价多2元，求口罩的单价和消毒液的单价．设口罩的单价为x元，消毒液的单价为y元，依题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设口罩的单价为x元，消毒液的单价为y元，根据等量关系式：消毒液的单价=口罩的单价+2元，50包口罩+30瓶消毒液=1633元，列出方程组即可．
【详解】解：设口罩的单价为x元，消毒液的单价为y元，根据题意得：
，故B正确．故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系式，是解题的关键．
变式2．（2020·湖南衡阳·中考真题）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有__名．
【答案】23
【分析】关系式为：男生人数+女生人数=52，男生人数=2×女生人数-17．把相关数值代入即可求解．
【解析】设男生人数为x人，女生人数为y人．由此可得方程组．解得，
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
高频考点6 二元一次方程组的应用之行程问题
解题技巧：行程问题中，最主要的等量关系式为：速度×时间=路程。
相遇问题：甲的路程+乙的路程=总路程；
追击问题：快的路程－慢的路程=路程差
流水问题：顺流速度=船速+水速；逆流速度=船速－水速
例1．（2022·山东滨州·七年级期末）从甲地到乙地有一段长x km的上坡与一段长y km的平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．根据题意，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】去乙地时的路程和回来时是相同的，去时的上坡路回来时是下坡路，平路不变，已知上下坡的速度和平路速度，根据去时和回来时的时间关系，可列出方程组．
【详解】解：设坡路长x km，平路长y km，
由题意得：，故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系列方程组．
例2．（2022·广东·七年级期末）列方程组解应用题：
(1)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队有10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？
(2)小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程．两人的平均速度各是多少？
【答案】(1)篮球有28支队参赛，排球有20支队参赛；
(2)小方的平均速度是4km/h，小程的平均速度是2km/h．
【分析】（1）设篮球、排球队各有x支、y支参赛，根据有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队有10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛列出方程组求解即可；
（2）设小方、小程的平均速度各是mkm/h，nkm/h，根据小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程列出方程组求解即可．
（1）解：设篮球、排球队各有x支、y支参赛，
由题意得： 解得，
答：篮球有28支队参赛，排球有20支队参赛；
（2）解：设小方、小程的平均速度各是mkm/h，nkm/h，
由题意得：，解得，
答：小方的平均速度是4km/h，小程的平均速度是2km/h．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出对应的方程组是解题的关键．
变式1．（2022·重庆大足·七年级期末）甲乙两辆小车同时从A地开出，甲车比乙车每小时快，结果甲车行驶了40分钟到达了地，而乙车比甲车晚5分钟到达地，设甲车和乙车的速度分别为，，则下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据甲车比乙车每小时快，得x-y=10，根据甲车行驶了40分钟到达了地，而乙车比甲车晚5分钟到达地，得，由此得到方程组．
【详解】解：设甲车和乙车的速度分别为，，
根据甲车比乙车每小时快，得x-y=10，
根据甲车行驶了40分钟到达了地，而乙车比甲车晚5分钟到达地，得，故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是列得方程组的关键．
变式2．（2022·黑龙江·七年级期末）甲乙二人分别从相距千米的A，两地出发，相向而行．如果甲比乙早出发半小时，那么在乙出发后小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么小时后两人还相距千米，求甲乙二人每小时各走多少千米？
【答案】甲每小时走千米，乙每小时走千米
【分析】设甲每小时走千米，乙每小时走千米，根据题意列出方程组解答即可．
【详解】解：设甲每小时走千米，乙每小时走千米，
根据题意，得．整理，得．解得．
答：甲每小时走千米，乙每小时走千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系．
高频考点7 二元一次方程组的应用之工程问题
解题技巧：工程问题中的公式（等量关系式）有：工程量=工作效率×工作时间。工程问题，常是几个工程队共同完成，因此等量关系式为：总工程量=甲工程队工程量+乙工程队工程量。
例1．（2022·重庆九年级月考）甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树______小时后立即转到B地．
【答案】17
【分析】先设A地需要植树棵，B地需要植树棵，根据题意可建立方程，化简可得，再设乙应在A地植树小时后立即转到B地，要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，可构建方程，求 即可得出答案．
【详解】设A地需要植树棵，B地需要植树棵，由题可得：
，，
设乙应在A地植树小时后立即转到B地，由题可得：
，化简得：，解得：．故答案为：17．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，恰当设出未知数，解题关键在于根据题意找出等量关系式进行求解．
例2．（2022·绵阳市·七年级专题练习）面对某国不断对我国的打压，我国自主品牌抗住压力．以华为手机为例，今年一月份我国某工厂用自主创新的、两种机器人组装某款华为手机，每小时一台种机器人比一台种机器人多组装50个该款华为手机，每小时10台种机器人和5台种机器人共组装3500个该款华为手机．（1）今年一月份，该工厂每小时一台种机器人、一台种机器人分别能组装多少个该款华为手机？
（2）该工厂原有、两种机器人的数量相等，因市场销售火爆，二月份该工厂增加了一部分种机器人并淘汰了一部分种机器人，这样种机器人的数量增加了，种机器人数量减少了．同时，该工厂对全部种机器人进行了升级改造，升级改造后的机器人命名为种机器人，已知每小时一台种机器人组装该款华为手机的数量比原一台种机器人组装该款华为手机的数量增加了，每小时种机器人和种机器人组装该款华为手机的数量之和比种机器人和种机器人组装该款华为手机的数量之和提高了，求的值．
【答案】（1）A种机器人每小时组装250个该款华为手机，B种机器人每小时组装200个该款华为手机；（2）m的值为．
【分析】（1）设A种机器人每小时组装a个该款华为手机，B种机器人每小时组装b个该款华为手机，列出方程组解答即可；
（2）根据“每小时C种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和比A种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和提高了20%”题意列出方程解答即可．
【详解】解：（1）设A种机器人每小时组装a个该款华为手机，B种机器人每小时组装b个该款华为手机，
则解得：；
答：A种机器人每小时组装250个该款华为手机，B种机器人每小时组装200个该款华为手机；
（2）设该工厂原有A、B两种机器人的数量为台，
则A种机器人的数量为（），B种机器人的数量为（），
每小时一台C种机器人组装250(1+)=300个该款华为手机，
根据题意得：，
设，方程整理得：，即，
解得：，∴．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的方程组．
变式1．（2022·广西·富川瑶族自治县第三中学模拟预测）某服装厂接到生产一批防护服的任务，甲车间单独完成需15天，甲车间生产2天后，由于疫情紧急，需提前5天完成任务，乙车间加入共同生产正好如期完成，(1)乙车间单独完成这批防护服需几天？(2)若甲车间平均每天生产200套防护服，问乙车间平均每天生产防护服多少套？
【答案】(1)24(2)125
【分析】（1）根据题意设甲乙每天生产的数量为x、y，可得y=，根据工作效率=工作量÷工作时间，可得乙车间单独完成这批防护服需24天；（2）根据甲乙车间工作效率关系可求．
(1)解：设甲每天生产x套，则总任务为15x套，乙每天生产y套，
则（15-5）x+（15-2-5）y=15x，整理得10x+8y=15x，
∴y=，∴15x=，
答：乙车间单独完成这批防护服需24天．
（2）解：（套）
答：乙车间平均每天生产防护服125套．
【点睛】本题考查了工程问题，掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的关系是解题的关键．
变式2．（2022·安徽合肥·七年级期末）一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套．
(1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件 每天能生产多少套产品
(2)现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每人每天只能加工4个A型零件．
①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，求x的值（用含m的代数式表示）
②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务
【答案】(1)工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品
(2)①；②至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务
【分析】（1）设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件，根据“每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成”列方程求解即可；
（2）①根据“x名熟练工人和m名新工人生产的A型零件等于1200套产品的A型零件总数”可列方程，进行整理即可；
②设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，根据题意，可得关于m、n的方程组，求解即可．
（1）解：设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件，
由题意得：，解得，
（套） 所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品．
（2）①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，由题意得，，整理得；
②设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，
由题意得，解得，
所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
高频考点8 二元一次方程组的应用之销售、利润问题
解题技巧：利润问题，常见的等量关系式有：利润=售价－进价=进价×利润率。
例1．（2022·浙江湖州·七年级期末）某水果销售商前往水果批发市场进货，已知苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱．
(1)问苹果、橙子各购买了多少箱？(2)该水果销售商有甲、乙两家店铺，因地段不同，每售出一箱苹果和橙子的获利也不同，甲店分别可获利12元和18元，乙店分别可获利10元和15元．现将购进的80箱水果中的a箱苹果和b箱橙子分配到甲店，其余的分配到乙店．由于口碑良好，两家店都很快卖完这批水果．若此次销售过程中销售商在甲店获利600元，那么在乙店获利多少元？
【答案】(1)苹果、橙子各购买50箱、30箱．(2)在乙店获利450元．
【分析】（1）设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱，根据“苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱”，列出方程组求解即可；
（2）由题意可得销售商在甲店获利，整理后得到2a＋3b＝100，再表示出在乙店的获利，整理后把2a＋3b＝100整体代入即可得到答案．
（1）解：设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱，
根据题意得，，解得，，
答：苹果、橙子各购买了50箱、30箱．
（2）解：由题意可得销售商在甲店获利为：12a＋18b＝600（元），整理得，2a＋3b＝100，
销售商在乙店获利为：10（50－a）＋15（30－b）
＝950－10a－15b＝950－5（2a＋3b）＝950－5×100＝450（元），即在乙店获利450元．
答：在乙店获利450元．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程组是解题的关键．
例2．（2022·浙江·宁波七年级期中）某品牌童装专卖店新推出A、B、C三种款式的春装.四月的某个周末的销售量（单位：件）如表：
A B C 合计
周六的销售量 y 30
周日的销售量 x 2y 4x 5x+2y
合计 10 3y 30+5x+2y
(1)请根据表格信息，补全表格中的划线部分（用含x、y的代数式表示）；
(2)已知A款周六的销售量与B款周日的销售量相等，且这个周末C款的销售总量比A、B两款的销售总量还多4件，①求x，y的值；②已知三种款式的单价均为整数且高于100元，A款的单价是B款单价的3倍，如果周六的总销售额为5600元，那么B款式的单价可以是 （写出所有可能的结果）
【答案】(1)10﹣x，20+x﹣y，20+5x﹣y；表格见解析(2)128元或119元或110元或101元．
【分析】（1）根据题意，补全表格中的划线部分即可；
（2）①由题意：A款周六的销售量与B款周日的销售量相等，且这个周末C款的销售总量比A、B两款的销售总量还多4件．列出二元一次方程组，解方程组即可；
②设B款式春装的单价为a元，C款式春装的单价为b元，则A款式春装的单价为3a元，由题意：A款的单价是B款单价的3倍，如果周六的总销售额为5600元，列出二元一次方程，再由三种款式的单价均为整数且高于100元，求出a、b的值即可．
（1）解：由题意得：A款式的春装周六的销售量为10﹣x，
则B款式的春装周六的销售量为30﹣（10﹣x）﹣y＝20+x﹣y，
C款式的春装合计为20+x﹣y+4x＝20+5x﹣y，
故答案为：10﹣x，20+x﹣y，20+5x﹣y；补全表格如下：
A B C 合计
周六的销售量 10﹣x y 20+x﹣y 30
周日的销售量 x 2y 4x 5x+2y
合计 10 3y 20+5x﹣y 30+5x+2y
（2）①依题意得：，解得：，即x＝2，y＝4；
②由①得：10﹣x＝8，20+x﹣y＝18，
设B款式春装的单价为a元，C款式春装的单价为b元，则A款式春装的单价为3a元，
依题意得：8×3a+4a+18b＝5600，整理得：14a+9b＝2800，则a＝200b，
∵三种款式的单价均为整数且高于100元，
∴或或或，
∴B款式春装的单价可能为128元或119元或110元或101元．
故答案为：128元或119元或110元或101元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②找准等量关系，正确列出二元一次方程．
变式1．（2022·贵州黔西·七年级期末）宏明中学欲购买规格分别为和的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲种免洗手消毒液和2瓶乙种免洗手消毒液需要80元；购买1瓶甲种免洗手消毒液和4瓶乙种免洗手消毒液需要110元．(1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．(2)该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用的免洗手消毒液，若校方购买甲、乙两种免洗手消毒液共花费2500元，则这批免洗手消毒液可供全校师生使用多少天？
【答案】(1)甲种免洗手消毒液的单价为10元，乙种免洗手消毒液的单价为25元
(2)这批免洗手消毒液可供全校师生使用5天
【分析】（1）设甲种免洗手消毒液的单价为元，乙种免洗手消毒液的单价为元，根据购买3瓶甲种免洗手消毒液和2瓶乙种免洗手消毒液需要80元；购买1瓶甲种免洗手消毒液和4瓶乙种免洗手消毒液需要110元列方程组解答；
（2）根据甲、乙两种免洗手消毒液的单价与数量，即可求出1元钱可以买20mL的免洗手消毒液，再利用2500元购买的免洗手消毒液可供全校师生使用时间=购买的总数量+全校师生每天使用免洗手消毒液的数量，即可求出结论．
（1）解：设甲种免洗手消毒液的单价为元，乙种免洗手消毒液的单价为元，
依题意得：，解得：．
答：甲种免洗手消毒液的单价为10元，乙种免洗手消毒液的单价为25元．
（2），，，
元钱可以买的免洗手消毒液，使用时间为（天．
答：这批免洗手消毒液可供全校师生使用5天．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的实际应用，有理数的乘除法计算，正确理解题意列得方程组是解题的关键．
变式2．（2022·浙江·龙游县七年级阶段练习）明明妈妈在超市购买商品、共三次，只有一次购买时，商品、同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品、的数量和费用如表：
购买商品的数量（个） 购买商品的数量（个） 购买总费用（元）
第一次购物 6 5 1030
第二次购物 9 8 960
第三次购物 3 7 1010
(1)求出商品、的标价；(2)若商品、的折扣相同，问该超市是打几折出售这两种商品的？
【答案】(1)商品的标价为80元、商品的标价为110元(2)打6折
【分析】（1）由第二次购物的数量远大于其它两次且总费用相差不大可得出第二次购物商品A，B同时打折，设商品A的标价为x元、商品B的标价为y元，利用总价=单价×数量，结合第一、三两次购物购买两种商品的数量及总费用，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该超市是打m折出售这两种商品的，利用总价=单价×数量×折扣率，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
（1）解：由题意可知：第二次购物商品，同时打折．
设商品的标价为元、商品的标价为元，
由题意得：，解得．
答：商品的标价为80元、商品的标价为110元．
（2）解：设该超市是打折出售这两种商品的，
由题意得：，解得：．
答：该超市是打6折出售这两种商品的．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
高频考点9 二元一次方程组的应用之方案问题
解题技巧：往往有多种方案都是符合，注意在得出方案时，必须要符合实际（通常为正整数）
例1．（2022·辽宁大连·七年级期末）物流公司用A型车和B型车运送物资，已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．
(1)求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨 (2)该物流公司现有80吨货物需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（每种车辆至少1辆且A型车数量少于B型车），一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，请你设计出所有租车方案并选出最省钱的租车方案，求出此时最少租车费．
【答案】(1)1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨
(2)租A型车4辆，B型车17辆，最少租车费是2440元
【分析】（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结果；
（2）利用一次性装运货物的总重量=1辆A型车装满货物一次可运货重量×租用A型车的数量+1辆B型车装满货物一次可运货重量×租用B型车的数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为非负整数且A型车数量少于B型车，即可得出各租车方案，利用租车费=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可分别求出各租车方案所需租车费，比较后即可得出结论．
（1）解：设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，依题意得：
，解得：．
答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨．
（2）依题意得：3a+4b=80，∴b==20-．
∵a，b均为正整数，∴解得：或或或或或，
∵a方案1：租用4辆A型车，17辆B型车；方案2：租用8辆A型车，14辆B型车；
方案1所需租金为100×4+120×17=2440（元）；
方案2所需租金为100×8+120×14=2480（元）；
∵2480>2440，∴最省钱的租车方案是：租A型车4辆，B型车17辆，
答：租A型车4辆，B型车17辆，最少租车费是2440元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
例2．（2022·河南·南阳七年级阶段练习）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨）
第一次 4 5 31
第二次 3 6 30
(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？(2)现有45吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？(3)若1辆甲种货车需租金120元/次，1辆乙种货车需租金100元次．请求出（2）中哪种租车方案费用最少，最少费用是多少？
【答案】(1)甲种货车每辆能装货4吨，乙种货车每辆能装货3吨；
(2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车；方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车；方案3：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车．
(3)方案1：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车，所需费用最少，最少费用是1380元．
【分析】（1）根据题意，设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，然后列出方程组，解方程组即可；（2）根据题意，设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，然后列出方程，根据m，n均为非负整数，解出m，n，即可得到租车的方案；
（3）分别求出每个方案的费用，然后进行比较，即可得到答案．
（1）设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，
依题意有：，解得：，
答：甲种货车每辆能装货4吨，乙种货车每辆能装货3吨；
（2）设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，
依题意有：，∴ ．
∵m，n均为正整数，∴或 或，
∴共有3种租车方案，方案1：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车；
方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车；方案3：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车．
（3）方案1所需费用：120×9+100×3=1380（元）；
方案2所需费用：120×6+100×7=1420（元）；
方案3所需费用：120×3+100×11=1460（元）．
∵1460>1420>1380，∴方案1所需费用最少，最少费用是1380元．
【点睛】本题考查二元一次方程组和二元一次方程的应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
变式1．（2022·仁寿县七年级期中）我校七年级某班为筹备篮球运动会，准备用265元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱恰好用尽的条件下，有( )种购买方案．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】B
【分析】设甲种运动服买了x套，乙种买了y套，根据准备用265元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下可列出方程，且根据x，y必需为正整数可求出解．
【详解】解：设甲种运动服买了x套，乙种买了y套，20x+35y=265，得，
∵x，y必须为正整数，∴＞0，即0＜y＜，
∴当y=3时，x=8 当y=7时，x=1．所以有两种方案．故选：B．
【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是根据题意列出二元一次方程，然后根据解为正整数确定值从而得出结果．
变式2．（2022·河南·郑州八年级期末）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案 (3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．
【答案】(1)1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资
(2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车
(3)租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元
【分析】（1）设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意可得300a+400b=3100，再用b表示出a，然后根据a、b均为整数进行列举即可解答；
（3）将小货车和大货车每次的租金代入300a+400b里计算，然后比较即可．
（1）解：设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，
依题意得： 解得：
答：1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资．
（2）接：设租用小货车a辆，大货车b辆，依题意得：300a+400b=3100，
∴．
又∵a，b均为非负整数，
∴或 或，∴共有3种租车方案，
方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；
方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；
方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．
（3）解：方案1所需租车费为400×9+500×1=4100（元）；
方案2所需租车费为400×5+500×4=4000（元）；方案3所需租车费为400×1+500×7=3900（元）．
∴费用最少的租车方案为：租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及代数式求值等知识点，认真审题、明确题意、弄清量与量之间的关系是解答本题的关键．
高频考点10 二元一次方程组的应用之数字问题
例1．（2022·山东烟台·七年级期末）一个两位数，个位数字比十位数字大5，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得到的新数与原数的和是99．原来的两位数是__________．
【答案】27
【分析】设十位数字为x，个位数字为y，本题中2个等量关系为：个位数字-十位数字=5，（10×十位数字+个位数字）+10×个位数字+十位数字=99，根据这两个等量关系可列出方程组．
【详解】解：设个位数字为x，十位数字为y，
由题意，得，解得：，即原来的两位数是27．故答案为：27．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是熟练用十位数字和个位数字表示出两位数的值．
例2．（2022·山东泰安·七年级期末）淇淇的爸爸骑摩托车载着淇淇在公路上匀速行驶，在12：00点时，淇淇看到路边里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和为7，在13：00点时看到路边里程碑上的数仍然是一个两位数，但十位与个位数字与12：00点时看到的正好互换了，在14：00点时看到的数比12：00点时看到的两位数中间多了个0．则淇淇在14：00点时看到路边里程碑上的数为______．
【答案】106
【分析】设淇淇在12：00点时看到的两位数的十位数字为x、个位数字为y；根据摩托车的速度不变，即可得出关于x，y的二元一次方程，化简后可得y=6x，结合x、y均为一位整数，即可得出x，y的值，最后其代入（100x+y）即可解答．
【详解】解：设淇淇在12：00点时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，
依题意可得：10y+x-（10x+y）=100x+y-（10y+x）∴y=6x，
又∵x，y均为一位整数，∴x=1，y=6，∴100x +y=100×1+ 6=106．故答案为：106．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程是解答本题的关键．
变式1．（2022·湖北恩施·七年级期末）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设个位数字为，十位数字为，根据“一个两位数的十位数字与个位数字的和是8”和“把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数”列出方程组即可．
【详解】解：设个位数字为，十位数字为，由题意得，，故选：B
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找到两个等量关系是解题的关键．
变式2．（2022·广东湛江·七年级期末）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得 1分．七年级一班在16场比赛中得26分．设该班胜x场，负y场，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据七年级一班在16场比赛中得26分，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：由题意可知，，联立方程组得：，故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
高频考点11 二元一次方程组的应用之其他问题
例1．（2022·福建·晋江七年级阶段练习）某校组织学生到县体育场参加中考体育考试，原计划租用45座的客车若干辆，但是有15人没有座位，若租用60座的客车，则可以少租一辆车，还多出15个座位，问：参加体育考试的学生有多少人？原计划租45座的客车多少辆？
【答案】参加体育考试的学生有285人，原计划租45座的客车6辆
【分析】根据题意列出方程组进行解题即可．
【详解】解：设参加体育考试的学生有x人，原计划租45座的客车y辆，由题意得：
解得：
∴参加体育考试的学生有285人，原计划租45座的客车6辆
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用：利用学生总人数不变正确的列出方程组是解题的关键．
例2．（2022·广东·东莞七年级期中）临近年春节，西安疫情形势较为严峻，对确诊病例所在地区实行区域管控，严格履行疫情防控措施．为防范疫情，某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元．(1)求甲、乙两种消毒液的单价；(2)为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将的消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中每瓶均装满，若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分能使总损耗最小？求出此时需要的两种空瓶的数量．
【答案】(1)甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元 (2)分装成的瓶，的瓶时，总损耗最小，此时需要的空瓶个，的空瓶个
【分析】（1）设甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元，根据“购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元”，列出二元一次方程组，解之即可；
（2）设分装的免洗手消毒液瓶，的免洗手消毒液瓶，根据需将的消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗，列出二元一次方程，结合，均为非负整数得出各分装方案，选择最小的方案即可．
（1）解：设甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元，
依题意得：，解得：，
答：甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元；
（2）设需要的空瓶个，的空瓶个，
依题意得：，，
，均为非负整数，或或，
当，时，总损耗为；
当，时，总损耗为；
当，时，总损耗为；
，分装成的瓶，的瓶时，总损耗最小，此时需要的空瓶个，的空瓶个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
变式1．（2022·湖南怀化·七年级期中）某城市规定：出租车起步价所包含的路程为，超过的部分按每千米另收费（不足的按计算）．甲说“我乘这种出租车走了，付了元．”乙说：“我乘这种出租车走了千米，付了元．”问：出租车的起步价和超过后的每千米的收费标准分别是（ ）
A．元、元 B．元、元 C．元、元 D．元、元
【答案】D
【分析】设出租车的起步价是元，超过后，每千米的车费是元，根据甲、乙两人的乘车路程及所付金额，列出二元一次方程组，然后解方程组即可．
【详解】解：设出租车的起步价是元，超过后，每千米的车费是元（不足的按计算），
依题意，得：，解得：，
∴出租车的起步价是元，超过后的每千米的收费标准是元．故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
变式2．（2022·河北石家庄·七年级期中）某班学生分组搞活动，若每组7人，则余下4人；若每组8人，则有一组少3人．设全班有学生x人，分成y个小组，则可得方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题中的关键性的信息是：若每组人，则余下人；若每组人，则有一组少人．据此即可得出关于，的二元一次方程组．
【详解】解：根据若每组人，则余下人，得方程；
根据若每组人，则有一组少人，得方程．可列方程组为．故选：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
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专题09 二元一次方程组的应用题 高频考点（11个）（精讲）
知识储备
1）列方程组解应用题步骤
1）列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：
①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。
2）解应用题的一般步骤为：①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式；
②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数；
③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程；④解答。
2）分析数量关系的常用方法
1）直译法分析数量关系：将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。
2）列表分析数量关系：当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
高频考点
高频考点1 二元一次方程组的应用之年龄问题
解题技巧：年龄问题中，列写等量关系式主要还是根据和差倍关系。年龄问题有一个特点需要注意：n年前（后），两个人的年龄是同时减少（增加）n的。
例1．（2022·河南周口·八年级期末）小新出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是小新的3倍还多2岁，则现在小新的年龄是__岁．
例2．（2022·江苏·七年级）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答），(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
变式1．（2022·河北石家庄·七年级期末）一家四口人的年龄加在一起是100岁，弟弟比姐姐小8岁，父亲比母亲大2岁，十年前他们全家人年龄的和是65岁，则父亲今年的年龄为__________岁．
变式2．（2022·河南项城·八年级期末）小新出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是小新的3倍还多2岁，则现在小新的年龄是__岁．
高频考点2 二元一次方程组的应用之配套问题
解题技巧：若A、B两种物品分别需要a个和b个才能构成一套，则等量关系式为：A产品个数：B产品个数=a：b。往往，此类题型，会告知工人总数，则第二个等量关系式为：A产品工人数+B产品工人数=总工人数。
例1．（2022·天津·七年级期末）有支队名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队人，每支排球队人，每名运动员只能参加一项比赛．设篮球队有支参赛，排球队有参赛，则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级期中）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．
(1)若工作人员领取正方形纸板560张，长方形纸板940张，请问利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？(2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值．
变式1．（2022·广东·七年级课时练习）有一些苹果箱，若每个装苹果，则剩余苹果无处装，若每个装苹果．则余20个空箱，这些苹果箱有（ ）
A．12个 B．60个 C．112个 D．128个
变式2．（2022·湖南永州·七年级期中）有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57名，则大船与小船一次分别载多少人？
高频考点3 二元一次方程组的应用之数学文化问题
例1．（2022·浙江绍兴·七年级期末）《孙子算经》中有一题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有x人，y辆车，则可列方程组（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·吉林长春·七年级期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中第八卷有这样一个问题：今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？意思是：甲、乙都有钱不知多少，若甲得到乙一半的钱，则甲有50文钱；若乙得到甲三分之二的钱，则乙也有50文钱．问甲、乙各有几文钱？
变式1．（2022·福建·泉州市第九中学七年级阶段练习）《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1．图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数xy的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（　　）
A． B． C． D．
变式2．（2022·新疆·七年级期末）我国古代数学著作孙子算经中有“鸡兔同笼”问题，“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设鸡有只，兔有只，则列出的方程组为______（列出方程组即可，不求解）．
高频考点4 二元一次方程组的应用之几何问题
例1．（2022·江苏·七年级阶段练习）如图，正方形由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍，若中间小正方形的面积为1，则大正方形的面积是__________．
例2．（2022·江苏·南京九年级阶段练习）如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形劳动基地ABCD，边AD的长不超过墙的长度，在BC边上开设宽为1m的门EF（门不需要消耗篱笆）．设AB的长为x（m），BC的长为y（m）．
(1)若围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长为10m，求AB和BC的长度．(2)若AB和BC的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案．
变式1．（2022·浙江台州·七年级期末）如图，用四个完全相同的长方形纸片拼成一个大正方形．若外面的大正方形和里面的小正方形的周长的差和面积的差数值相等，则下列说法正确的是（ ）
A．长方形纸片的长是2，宽无法确定 B．长方形纸片的宽是2，长无法确定
C．长方形纸片的长和宽之比为 D．条件不足不能求出长方形纸片的长或宽
变式2．（2022·山东·高唐县七年级期中）如图，AB⊥BC，∠ABC的度数比∠DBC的度数的两倍少15°，设∠ABD和∠DBC的度数分别为x°，y°，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是（ ）．
A． B． C． D．
高频考点5 二元一次方程组的应用之和、差、倍、分问题
解题技巧：此类题型，需要弄清楚“倍数”“多”“少”等关系。设相互比较的两个量分别为x、y，根据倍数关系列写等量关系式和方程。
例1．（2022·山西临汾·七年级期末）金山银山不如绿水青山，某地准备购买一些松树苗和梭梭树苗绿化荒山，已知购买棵松树苗和棵梭梭树苗需要元，购买棵梭梭树苗比棵松树苗少花费元，设每棵松树苗元，每棵梭梭树苗元，则列出的方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·福建·晋江市阳溪中学七年级阶段练习）在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收．去年菠萝的收入结余12000元，今年菠萝的收入比去年增加了20%，支出减少了10%，预计今年结余比去年多11400元．(1)今年结余_____元；(2)若设去年的收入为x元，支出为y元，则今年的收入为____元，支出为____元；（以上两空用含x、y的式子表示）(3)列出关于x、y的方程组．
变式1．（2022·浙江温州·七年级期中）疫情期间，某单位采购了50包口罩和30瓶消毒液，一共花费1633元，其中消毒液的单价比口罩的单价多2元，求口罩的单价和消毒液的单价．设口罩的单价为x元，消毒液的单价为y元，依题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2020·湖南衡阳·中考真题）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有__名．
高频考点6 二元一次方程组的应用之行程问题
解题技巧：行程问题中，最主要的等量关系式为：速度×时间=路程。
相遇问题：甲的路程+乙的路程=总路程；
追击问题：快的路程－慢的路程=路程差
流水问题：顺流速度=船速+水速；逆流速度=船速－水速
例1．（2022·山东滨州·七年级期末）从甲地到乙地有一段长x km的上坡与一段长y km的平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．根据题意，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·广东·七年级期末）列方程组解应用题：
(1)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队有10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？
(2)小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程．两人的平均速度各是多少？
变式1．（2022·重庆大足·七年级期末）甲乙两辆小车同时从A地开出，甲车比乙车每小时快，结果甲车行驶了40分钟到达了地，而乙车比甲车晚5分钟到达地，设甲车和乙车的速度分别为，，则下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·黑龙江·七年级期末）甲乙二人分别从相距千米的A，两地出发，相向而行．如果甲比乙早出发半小时，那么在乙出发后小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么小时后两人还相距千米，求甲乙二人每小时各走多少千米？
高频考点7 二元一次方程组的应用之工程问题
解题技巧：工程问题中的公式（等量关系式）有：工程量=工作效率×工作时间。工程问题，常是几个工程队共同完成，因此等量关系式为：总工程量=甲工程队工程量+乙工程队工程量。
例1．（2022·重庆九年级月考）甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树______小时后立即转到B地．
例2．（2022·绵阳市·七年级专题练习）面对某国不断对我国的打压，我国自主品牌抗住压力．以华为手机为例，今年一月份我国某工厂用自主创新的、两种机器人组装某款华为手机，每小时一台种机器人比一台种机器人多组装50个该款华为手机，每小时10台种机器人和5台种机器人共组装3500个该款华为手机．（1）今年一月份，该工厂每小时一台种机器人、一台种机器人分别能组装多少个该款华为手机？（2）该工厂原有、两种机器人的数量相等，因市场销售火爆，二月份该工厂增加了一部分种机器人并淘汰了一部分种机器人，这样种机器人的数量增加了，种机器人数量减少了．同时，该工厂对全部种机器人进行了升级改造，升级改造后的机器人命名为种机器人，已知每小时一台种机器人组装该款华为手机的数量比原一台种机器人组装该款华为手机的数量增加了，每小时种机器人和种机器人组装该款华为手机的数量之和比种机器人和种机器人组装该款华为手机的数量之和提高了，求的值．
变式1．（2022·广西·富川瑶族自治县第三中学模拟预测）某服装厂接到生产一批防护服的任务，甲车间单独完成需15天，甲车间生产2天后，由于疫情紧急，需提前5天完成任务，乙车间加入共同生产正好如期完成，(1)乙车间单独完成这批防护服需几天？(2)若甲车间平均每天生产200套防护服，问乙车间平均每天生产防护服多少套？
变式2．（2022·安徽合肥·七年级期末）一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套．
(1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件 每天能生产多少套产品
(2)现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每人每天只能加工4个A型零件．
①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，求x的值（用含m的代数式表示）
②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务
高频考点8 二元一次方程组的应用之销售、利润问题
解题技巧：利润问题，常见的等量关系式有：利润=售价－进价=进价×利润率。
例1．（2022·浙江湖州·七年级期末）某水果销售商前往水果批发市场进货，已知苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱．
(1)问苹果、橙子各购买了多少箱？(2)该水果销售商有甲、乙两家店铺，因地段不同，每售出一箱苹果和橙子的获利也不同，甲店分别可获利12元和18元，乙店分别可获利10元和15元．现将购进的80箱水果中的a箱苹果和b箱橙子分配到甲店，其余的分配到乙店．由于口碑良好，两家店都很快卖完这批水果．若此次销售过程中销售商在甲店获利600元，那么在乙店获利多少元？
例2．（2022·浙江·宁波七年级期中）某品牌童装专卖店新推出A、B、C三种款式的春装.四月的某个周末的销售量（单位：件）如表：
A B C 合计
周六的销售量 y 30
周日的销售量 x 2y 4x 5x+2y
合计 10 3y 30+5x+2y
(1)请根据表格信息，补全表格中的划线部分（用含x、y的代数式表示）；
(2)已知A款周六的销售量与B款周日的销售量相等，且这个周末C款的销售总量比A、B两款的销售总量还多4件，①求x，y的值；②已知三种款式的单价均为整数且高于100元，A款的单价是B款单价的3倍，如果周六的总销售额为5600元，那么B款式的单价可以是 （写出所有可能的结果）
变式1．（2022·贵州黔西·七年级期末）宏明中学欲购买规格分别为和的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲种免洗手消毒液和2瓶乙种免洗手消毒液需要80元；购买1瓶甲种免洗手消毒液和4瓶乙种免洗手消毒液需要110元．(1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．(2)该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用的免洗手消毒液，若校方购买甲、乙两种免洗手消毒液共花费2500元，则这批免洗手消毒液可供全校师生使用多少天？
变式2．（2022·浙江·龙游县七年级阶段练习）明明妈妈在超市购买商品、共三次，只有一次购买时，商品、同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品、的数量和费用如表：
购买商品的数量（个） 购买商品的数量（个） 购买总费用（元）
第一次购物 6 5 1030
第二次购物 9 8 960
第三次购物 3 7 1010
(1)求出商品、的标价；(2)若商品、的折扣相同，问该超市是打几折出售这两种商品的？
高频考点9 二元一次方程组的应用之方案问题
解题技巧：往往有多种方案都是符合，注意在得出方案时，必须要符合实际（通常为正整数）
例1．（2022·辽宁大连·七年级期末）物流公司用A型车和B型车运送物资，已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．
(1)求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨 (2)该物流公司现有80吨货物需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（每种车辆至少1辆且A型车数量少于B型车），一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，请你设计出所有租车方案并选出最省钱的租车方案，求出此时最少租车费．
例2．（2022·河南·南阳七年级阶段练习）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨）
第一次 4 5 31
第二次 3 6 30
(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？(2)现有45吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？(3)若1辆甲种货车需租金120元/次，1辆乙种货车需租金100元次．请求出（2）中哪种租车方案费用最少，最少费用是多少？
变式1．（2022·仁寿县七年级期中）我校七年级某班为筹备篮球运动会，准备用265元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱恰好用尽的条件下，有( )种购买方案．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
变式2．（2022·河南·郑州八年级期末）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案 (3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．
高频考点10 二元一次方程组的应用之数字问题
例1．（2022·山东烟台·七年级期末）一个两位数，个位数字比十位数字大5，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得到的新数与原数的和是99．原来的两位数是__________．
例2．（2022·山东泰安·七年级期末）淇淇的爸爸骑摩托车载着淇淇在公路上匀速行驶，在12：00点时，淇淇看到路边里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和为7，在13：00点时看到路边里程碑上的数仍然是一个两位数，但十位与个位数字与12：00点时看到的正好互换了，在14：00点时看到的数比12：00点时看到的两位数中间多了个0．则淇淇在14：00点时看到路边里程碑上的数为______．
变式1．（2022·湖北恩施·七年级期末）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·广东湛江·七年级期末）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得 1分．七年级一班在16场比赛中得26分．设该班胜x场，负y场，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ）
A． B． C． D．
高频考点11 二元一次方程组的应用之其他问题
例1．（2022·福建·晋江七年级阶段练习）某校组织学生到县体育场参加中考体育考试，原计划租用45座的客车若干辆，但是有15人没有座位，若租用60座的客车，则可以少租一辆车，还多出15个座位，问：参加体育考试的学生有多少人？原计划租45座的客车多少辆？
例2．（2022·广东·东莞七年级期中）临近年春节，西安疫情形势较为严峻，对确诊病例所在地区实行区域管控，严格履行疫情防控措施．为防范疫情，某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元．(1)求甲、乙两种消毒液的单价；(2)为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将的消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中每瓶均装满，若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分能使总损耗最小？求出此时需要的两种空瓶的数量．
变式1．（2022·湖南怀化·七年级期中）某城市规定：出租车起步价所包含的路程为，超过的部分按每千米另收费（不足的按计算）．甲说“我乘这种出租车走了，付了元．”乙说：“我乘这种出租车走了千米，付了元．”问：出租车的起步价和超过后的每千米的收费标准分别是（ ）
A．元、元 B．元、元 C．元、元 D．元、元
变式2．（2022·河北石家庄·七年级期中）某班学生分组搞活动，若每组7人，则余下4人；若每组8人，则有一组少3人．设全班有学生x人，分成y个小组，则可得方程组（ ）
A． B． C． D．
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专题09 二元一次方程组的应用题 （精练）
一、选择题
1．（2022·浙江·七年级期末）甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（ ）
A．甲比乙大6岁 B．乙比甲大6岁 C．甲比乙大4岁 D．乙比甲大4岁
【答案】C
【分析】根据题中已知量和未知量之间的等量关系，设未知数，列二元一次方程组即可解决．
【详解】解：设甲现在x岁，乙现在y岁．
根据题意，得，解得，∴故选：C
【点睛】本题考查列方程组解应用题的知识点，找出题中已知量和未知之间的等量关系是解题的关键．
2．（2022·云南昆明·初三其他）10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，分别表示出十年前和十年后他们的年龄，根据题意列方程组即可．
【解析】解：设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁．由题意得， ，故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
3．（2022·广东·东莞市七年级期中）一种饮料有两种包装，5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、
6小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、6小盒共装100瓶”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：，故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
4．（2022·河北唐山·七年级期中）如图所示的是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，两块竖放的墙砖比两块横放的墙砖高，则每块墙砖的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设每块墙砖的长为x cm，宽为y cm，观察图形，根据长方形墙砖长宽之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出x，y的值，再利用长方形的面积计算公式，即可求出每块墙砖的截面面积．
【详解】解：设每块墙砖的长为x cm，宽为y cm，
由题意得：，解得：，
∴xy=45×20=900，∴每块墙砖的截面面积是900cm2．故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．（2022·山西阳泉·七年级期中）我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事．现请你欣赏下列描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里，问风速是多少？（ ）．
A．50里/分 B．150里/分 C．200里/分 D．250里/分
【答案】A
【分析】设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，根据顺风4分钟飞跃1000里及逆风4分钟走了600里，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可．
【详解】解：设孙悟空的速度为x里/分，风速为y里/分，
依题意，得：，解得：，答：风速为50里/分．故选：A
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．（2022·安徽·七年级期末）已知鸭狗同圈，共有35个头，94只脚，问鸭狗各有多少 若设鸭x只，狗y条，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据实际可知，鸭有两条腿，狗有四条腿，再根据有若干只鸭和狗关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿，即可列出相应的方程组．
【详解】解：设鸭x只，狗y条，
由题意可得，，故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
7．（2022·北京市七年级期末）程大位，明代商人，珠算发明家，被称为珠算之父、卷尺之父．少年时，读书极为广博，对数学颇感兴趣，60岁时完成其杰作《直指算法统宗》（简称《算法统宗》）．在《算法统宗》里记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？
下列是四位同学的解答：
①小明：设大和尚有x人，小和尚有y人，根据题意可列方程组为
②小丽：设大和尚有x人，小和尚有y人，根据题意可列方程组为
③小东：设大和尚有x人，则小和尚有(100-x)人，根据题意可列方程为．
④小华：设大和尚有x人，则小和尚有(100-x)人，根据题意可列方程为100-3x=．
其中，以上解答一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③
【答案】C
【分析】根据题意列出对应的二元一次方程组和一元一次方程组即可得到答案．
【详解】解：设大和尚有x人，小和尚有y人，
根据题意可列方程组为，故①正确，②错误；
设大和尚有x人，则小和尚有(100-x)人，根据题意可列方程为，故③错误，④正确．
故选C．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组和一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
8．（2022·湖北武汉·七年级期末）某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中有2蓝牙耳机，4个多接口优盘，2个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒成本为145元，B盒成本为200元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为（ ）
A．150元 B．155元 C．165元 D．170元
【答案】B
【分析】设1个蓝牙耳机的价值为x元，1个多接口优盘的价值为y元，1个迷你音箱的价值为z元，根据A盒的成本为145元，B盒的成本为200元，列出方程组，解之即可．
【详解】设1个蓝牙耳机的价值为x元，1个多接口优盘的价值为y元，1个迷你音箱的价值为z元，
依题意得：，②÷2得：x+2y+z=100③，②-①得：y+z=55④，
③+④得：x+3y+2z=155，即C盒的成本为155元．故选：B．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
二、填空题
9．（2022·浙江金华·七年级期末）浙教版七（下）数学书P44中有这样一个合作学习：游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的2倍．设男孩有x人，女孩有y人，可列方程组________．
【答案】
【分析】利用每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色游泳帽是红色的2倍，进而分别得出等式即可．
【详解】解：设男孩x人，女孩有y人，根据题意得：
．故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，根据题目信息找出等量关系并列出方程组是解题的关键．
9．（2022·浙江·八年级专题练习）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，记有许多有趣而又不乏技巧的算术程式．其中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何？”
译文：“甲，乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲，乙二人原来各有多少钱？”
设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组为____________．
【答案】
【分析】设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=48文钱，乙的钱+甲所有钱的文钱，据此列方程组可得．
【详解】解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据题意，得：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
10．（2022·重庆市八年级期中）一水池有一个进水管和三个完全相同的出水管，现水池中有一定量的水，打开进水管（注水速度一致），若只打开一个出水管，则1小时正好能把水池中的水放完；若打开两个出水管，则20分钟正好能把水池中的水放完；问若打开三个出水管，则需要______分钟恰好能把水池中的水放完．
【答案】12
【分析】设进水管的进水速度为x，每一个出水管的出水速度为y，水池中原有水量为a，根据题意列方程组求解
【详解】解：设进水管的进水速度为x，每一个出水管的出水速度为y，水池中原有水量为a，由题意可得：
，解得：
设打开三个出水管需要b小时能把水池中的水放完，则
时=12分故答案为：12
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出等量关系求解是关键．
11．（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期末）如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从图中信息可知，买1束鲜花和2个礼盒的总价为143元；买2束鲜花和1个礼盒的总价为121元，问买5束鲜花和5个礼盒的总价为________元．
【答案】
【分析】设1束鲜花的单价为元，1个礼盒的单价为元，依题意列出方程组，解得，即可求得答案．
【详解】解：设1束鲜花的单价为元，1个礼盒的单价为元，
依题意得，解得，∴，
∴买5束鲜花和5个礼盒的总价为元．故答案为：440
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，正确地列出方程组是解题的关键．
12．（2022·湖北·谷城县七年级期中）一个两位数的十位数字与个位数字之和等于5，十位数字与个位数字之差为1，设十位数字为，个位数字为，则上述语言用方程组表示为_________________．
【答案】.
【分析】根据题干中条件找出等量关系及可列出方程.
【详解】解：由题可得：；
故答案为：.
【点睛】本题考查用二元一次方程组解决实际问题中的数字问题.
13.（2022·重庆·九年级期中）新世纪百货推出A，B，C三种零食大礼包，每种礼包都由一定数量的坚果、牛肉干和薄脆饼组合搭配构成．三种大礼包的成本分别为礼包中三种零食的成本之和，同种零食的单价相同．已知袋牛肉干和袋薄脆饼的价格相同，一份A礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼，一份B礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼．若一份B，C礼包的成本相同，均比一份A礼包的成本贵，一份C礼包中的零食袋数与一份A礼包中的零食袋数之比为：，且一份C礼包中坚果袋数比牛肉干袋数多，则一份C礼包中的薄脆饼袋数比牛肉干袋数少______袋．
【答案】1
【分析】设牛肉干、薄脆饼价格分别为，，坚果价格为元，根据给出的已知条件找出等量关系进行求解，可得每种零食的价格，令C礼包中牛肉干袋数为，薄脆饼袋数为，坚果袋数为，根据给出的已知条件找出等量关系，再根据、、为正整数，即可得出结果．
【详解】解：设牛肉干、薄脆饼价格分别为，，坚果价格为元，
由题意得，
解得，
则B、C礼包的成本为，
A礼包中零食袋数为袋，
C礼包中零食袋数为袋，
令C礼包中牛肉干袋数为，薄脆饼袋数为，坚果袋数为，
则，解得，
由知，，由知，
又、、为正整数，，，，，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三元方程组的应用，解本题要理解题意，通过找出三组等量关系进行求解．
三、解答题
14．（2022·广东珠海·七年级期末）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货12吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货27吨．(1)3辆大货车和5辆小货车一次可以运货多少吨？(2)现有17吨货物需要运输，欲租用这两种货车运送，要求全部货物一次运完且每辆车必须装满，请列出所有的运输方案．
【答案】(1)3辆大货车与5辆小货车一次可以运货吨 (2)租1辆甲种货车和7辆乙种货车，或租3辆甲种货车和4辆乙种货车，或租5辆甲种货车和1辆乙种货车
【分析】（1）设一辆大货车一次可以运货吨，一辆小货车一次可以运货吨，根据“2辆大货车与3辆小货车一次可以运货12吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货27吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将其代入中即可得出结论；（2）设租辆甲种货车，辆乙种货车，根据（1）求得的结果可列二元一次方程， 然后在讨论其整数解即可．
(1)解：设一辆大货车一次可以运货吨，一辆小货车一次可以运货吨，
依题意，得：，解得：，∴（吨）．
答：3辆大货车与5辆小货车一次可以运货吨．
(2)设租辆甲种货车，辆乙种货车，依题意得：，
∵欲租用这两种货车运送，∴、都是整数，∴，，，
答：租1辆甲种货车和7辆乙种货车，或租3辆甲种货车和4辆乙种货车，或租5辆甲种货车和1辆乙种货车．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，以及二元一次方程的应用，关键是找准等量关系，正确列出方程组或方程．
15．（2022·广东·湛江市七年级期中）某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．[毛利润＝（售价﹣进价）×销售量]
A B
进价（万元/套） 1.5 1.2
售价（万元/套 1.65 1.4
(1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
(2)现商场决定再用30万同时购进A，B两种设备，共有哪几种进货方案？
【答案】(1)购进A品牌的教学设备20套，购进B品牌的教学设备30套
(2)有4种方案，方案见解析
【分析】（1）根据题意设购进A品牌的教学设备x套，购进B品牌的教学设备y套，再根据总进价为66万元，毛利润为9万元，列出二元一次方程组，解出答案即可；
（2）根据题意设再用30万购进A品牌的教学设备a套，购进B品牌的教学设备b套，根据题意列出二元一次方程，由于a， b均为正整数，即可得出方程的解，即可得出有4种进货方案．
（1）解：设购进A品牌的教学设备x套，购进B品牌的教学设备y套，得，
，解得，，经检验，符合题意，
答：购进A品牌的教学设备20套，购进B品牌的教学设备30套；
（2）设再用30万购进A品牌的教学设备a套，购进B品牌的教学设备b套，
由题意得，，
∵a， b均为正整数，∴此方程的解为：
，或，或，或，综上所述，有4种方案：
①购进A品牌的教学设备4套，购进B品牌的教学设备20套；
②购进A品牌的教学设备8套，购进B品牌的教学设备15套；
③购进A品牌的教学设备12套，购进B品牌的教学设备10套；
④购进A品牌的教学设备16套，购进B品牌的教学设备5套．
【点睛】本题考查了二元一次方程（组）的应用，找出等量关系列出方程和方程组是本题的关键．
16．（2022·浙江·余姚市舜水中学七年级期中）随着新能源汽车需求量的增加，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，辆A型汽车和辆型汽车的进价共计万元；辆A型汽车和辆型汽车的进价共计万元．(1)A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划恰好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均需购买），请你写出所有购买方案．
【答案】(1)A型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元
(2)所有购买方案：购进7辆A型汽车，5辆型汽车；购进4辆A型汽车，10辆型汽车；购进1辆A型汽车，15辆型汽车
【分析】（1）设A型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元，根据“辆A型汽车和辆型汽车的进价共计万元；辆A型汽车和辆型汽车的进价共计万元”，即可得关于x、y的一元二次方程组，解之即可；（2）设购进辆A型汽车和辆型汽车，根据总价=单价×数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案．
（1）解：设A型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元，
由题意知：， 解得：，
答：A型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元．
（2）解：设购进辆A型汽车和辆型汽车，则，，
均为正整数，∴当b=5时，a=7或b=10时，a=4或b=15时，a=1，∴所有购买方案如下：
购进7辆A型汽车，5辆型汽车；购进4辆A型汽车，10辆型汽车；购进1辆A型汽车，15辆型汽车．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键．
17．（2022·广西富川·七年级期末）在某外环公路改建工程中，某路段长6140米，现准备由甲、乙两个工程队拟在25天内(含25天)合作完成，已知两个工程队各有20名工人(设甲、乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天工作量相同，乙工程队每人每天工作量相同)，甲工程队1天、乙工程队2天共修路400米；甲工程队2天、乙工程队3天共修路700米．
（1）试问：甲、乙两个工程队每天分别修路多少米
（2）甲、乙两个工程队施工8天后，由于工作需要需从甲队调离m人去其他工程工作，总部要求在规定时间内完成，请问：甲工程队最多可以调离多少人
【答案】（1）甲、乙两工程队每天分别修路200米和100米；（2）8人
【分析】（1）设甲工程队每天修路x米，乙工程队每天修路y米．，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设甲工程队最多可以调走m人，根据路段长6140米，在25天内合作完成和甲、乙工程每天修路的米数，列出方程，求出m的值即可；
【详解】解：（1）设甲工程队每天修路x米，乙工程队每天修路y米．
依题意，得：解之得：
答：甲、乙两工程队每天分别修路200米和100米．
（2）设甲工程队最多可以调走m人．
依题意，得：8×(200＋100)＋(25－8)×100＋(25－8)×(200÷20)×(20－m) =6140．解之得：m=8．
答：甲工程队最多可以调走8人．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题目信息，理清题中的数量关系，找准等量关系列出方程组是解题的关键；
18．（2022·浙江·八年级专题练习）《九章算术》方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？”
【答案】每只雀、燕的重量各为两和两
【分析】设每只雀、燕的重量各为两，两，根据题意列二元一次方程组，解方程组即可解决问题．
【详解】解：设每只雀、燕的重量各为两，两，由题意得：
解方程组得：答：每只雀、燕的重量各为两和两．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
19．（2022·青海·西宁七年级期中）在西宁市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数．
【答案】男生34人，女生20人
【分析】设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x人，女生人数为y人，根据“男生人数+女生人数=54、男生人数=1.5×女生人数+4”列出方程组并解答．
【详解】设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x人，女生人数为y人，
依题意得：，解得，
答：小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为34人，女生人数为20人．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．弄清题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
20．（2022·湖南邵阳·七年级期末）小华从家里出发到学校去上学，前路段小华步行，其余路段小华骑自行车． 已知小华步行的平均速度为60m/min，骑自行车的平均速度为200m/min，小华从家里到学校一共用了22min．(1)小红同学提出问题：小华家里离学校有多少m？ 前路段小华步行所用时间是多少min？ 请你就小红同学提出的问题直接设出未知数列方程组进行解答．
(2)请你再根据题目的信息，就小华走的“路程”或“时间”，提出一个能用二元一次方程组解答但与第（1）问不完全相同的问题，并设出未知数、列出方程组．
【答案】(1)3000m，10min(2)见解析
【分析】（1）设小华家里离学校有x m，前路段小华步行所用时间是y min．根据“用两种方式表示出前路段的路程“、“小华从家里到学校一共用了22min”列出方程组并解答即可；
（2）小华从家里到学校去上学步行了多少m？小华骑自行所用时间是多少min？利用速度、时间以及路程的关系列出方程组．
（1）解：设小华家里离学校有m，前路段小华步行所用时间是min． 根据题意得，
解得
答：小华家里离学校有3000m，前路段小华步行所用时间是10min．
（2）小华从家里到学校去上学步行了多少m？小华骑自行所用时间是多少min？
设小华从家里到学校去上学步行了sm，小华骑自行所用时间是多少tmin，根据题意得，
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．
21．（2022·河北承德·七年级期末）某企业有，两条加工相同原材料的生产线，在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．(1)当时，两条生产线的加工时间分别时多少小时？
(2)第一天，该企业把5吨原材料分配到．两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的的吨数是多少？
(3)第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则和有怎样的数量关系？若此时与的和为6吨，则和的值分别为多少吨？
【答案】(1)两条生产线的的加工时间分别为5小时和5小时(2)分配到生产线2吨，分配到生产线3吨(3)与的关系为，当吨时，为2吨，为4吨
【分析】（1）把代入和，即可求解；
（2）设分配到生产线吨，则分配到生产线吨，根据“把5吨原材料分配到．两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，”列出方程组，即可求解；（3）根据“加工时间相同，”可得，从而得到，再由，即可求解．
（1）解：当时， ，；即两条生产线的的加工时间分别为5小时和5小时．
（2）解∶设分配到生产线吨，则分配到生产线吨，根据题意得：，解得，即分配到生产线2吨，则分配到生产线3吨；
（3）解：根据题意得：，整理得：，∵，∴，，答：与的关系为，当吨时，为2吨，为4吨．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，求代数式的值，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
22．（2022·福建福州·七年级期末）某包装厂承接一批礼品盒制作业务，他们以规格200cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材按照截法一或截法二裁下A型与B型两种板材．如图甲（单位：cm）
(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值．(2)若将625张标准板材用截法一裁剪，125张标准板材用截法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，刚好可以做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？
【答案】(1)图甲中的值为，的值为
(2)可以做竖式无盖礼品盒200个，横式无盖礼品盒400个
【分析】（1）观察圈形，根据标准板材的长度为200cm，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设可以做竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒y个，根据裁剪的两种型号的板材正好做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
（1）解：依题意，得：，解得：．
答：图甲中的值为，的值为．
（2）设可以做竖式无盖礼品盒m个，横式无盖礼品盒n个，
依题意（图乙），得：，解得：．
答：可以做竖式无盖礼品盒200个，横式无盖礼品盒400个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
23．（2022·重庆八中九年级阶段练习）如果一个自然数N的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A的十位数字比B的十位数字大2，A、B的个位数字之和为10，则称数N为“美好数”，并把数N分解成的过程，称为“美好分解”．例如：∵，61的十位数字比49的十位数字大2，且61、49的个位数字之和为10，∴2989是“美好数”；又如：∵，35的十位数字比19的十位数字大2，但个位数字之和不等于10，∴605不是“美好数”．(1)判断525，1148是否是“美好数”？并说明理由；
(2)把一个大于4000的四位“美好数”N进行“美好分解”，即分解成，A的各个数位数字之和的2倍与B的各个数位数字之和的和能被7整除，求出所有满足条件的N．
【答案】(1)525是“美好数”，1148不是“美好数”，理由见解析 (2)或5561或7081
【分析】（1）根据新定义进行判断即可求解；（2）根据题意设，其中，x，y为整数，根据A的各个数位数字之和的2倍与B的各个数位数字之和的和能被7整除，得出或18，然后分类讨论列出二元一次方程，解方程即可求解．
（1）∵．35的十位数字比15的十位数字大2．个位数学之和等于10
∴525是“美好数”；
∵．41的十位数字比28的十位数字大2，但个位数字之和不等于10
∴1148不是“美好数”．
（2）∵N为大于4000的四位“美好数”
∴设．其中，x，y为整数
由题意得被7整除
即为整数 ∴为整数
∵∴
∴或21 即或18．
①当时∵．且x，y为整数
∴或∴或∴或556
②当时∵，且x，y为整数
∴∴∴
综上所述：或5561或7081．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解新定义是解题的关键．
24．（2022·江苏·苏州七年级阶段练习）如图，在等腰中，厘米，=8厘米．
(1)如图1，设等腰底边上的高是，腰上的高是，则与的关系是 ；
(2)如图2，已知点从点出发，沿折线，以厘米/秒的速度运动；同时，点从点出发，沿折线，以厘米/秒的速度运动，若运动1秒时，点与点所运动的路程之和是5厘米；若运动8秒时，点正好追及点，求点的运动速度的值；
(3)如图3，己知点为的中点，如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．要使与在某一时刻全等，求点的运动速度．
【答案】(1)；(2)；(3)点的运动速度为2cm/s或3cm/s．
【分析】（1）如图1中，作AE⊥BC于E，BD⊥AC于D，根据×BC×AE＝×AC×BD列式计算可得答案；（2）根据题意构建方程组即可解决问题；
（3）根据∠B＝∠C可知，分两种情形：①当BD＝EC，BE＝CF时，△BED与△CFE全等，②当BD＝CF，BE＝EC时，△BED与△CFE全等，分别求出运动时间和CF的长即可解决问题；
（1）解：如图1中，作AE⊥BC于E，BD⊥AC于D．
∵×BC×AE＝×AC×BD，∴，∴，故答案为：；
（2）解：由题意得：，解得：，
∴点E，F的运动速度分别为1cm/s和4cm/s；
（3）解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
①∴当BD＝EC，BE＝CF时，△BED与△CFE全等，
∵点D为AB的中点，∴BD＝AB＝6cm，∵BD＝EC，∴BE＝8 6＝2cm，
∵点E在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，∴运动时间时1s，
又∵BE＝CF＝2cm，∴点的运动速度为：2÷1＝2cm/s；
②∴当BD＝CF，BE＝EC时，△BED与△CFE全等，
∵BD＝6cm，BC＝8cm，BE＝EC，∴FC＝6cm，BE＝EC＝4cm，
∴运动时间为4÷2＝2s，∴点的运动速度为：6÷2＝3cm/s，
综上，点的运动速度为2cm/s或3cm/s．
【点睛】本题考查三角形的高线，二元一次方程组的应用，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用面积法解决线段之间的关系，学会用分类讨论的思想思考问题．
25．（2022·湖南邵阳·七年级期末）小华从家里出发到学校去上学，前路段小华步行，其余路段小华骑自行车． 已知小华步行的平均速度为60m/min，骑自行车的平均速度为200m/min，小华从家里到学校一共用了22min．(1)小红同学提出问题：小华家里离学校有多少m？ 前路段小华步行所用时间是多少min？ 请你就小红同学提出的问题直接设出未知数列方程组进行解答．
(2)请你再根据题目的信息，就小华走的“路程”或“时间”，提出一个能用二元一次方程组解答但与第（1）问不完全相同的问题，并设出未知数、列出方程组．
【答案】(1)3000m，10min(2)见解析
【分析】（1）设小华家里离学校有x m，前路段小华步行所用时间是y min．根据“用两种方式表示出前路段的路程“、“小华从家里到学校一共用了22min”列出方程组并解答即可；
（2）小华从家里到学校去上学步行了多少m？小华骑自行所用时间是多少min？利用速度、时间以及路程的关系列出方程组．
（1）解：设小华家里离学校有m，前路段小华步行所用时间是min． 根据题意得，
解得
答：小华家里离学校有3000m，前路段小华步行所用时间是10min．
（2）小华从家里到学校去上学步行了多少m？小华骑自行所用时间是多少min？
设小华从家里到学校去上学步行了sm，小华骑自行所用时间是多少tmin，根据题意得，
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．
26．（2022·北京市七年级期中）在新年联欢会上，同学们组织了精彩的猜谜活动，为了奖励猜对的同学，老师决定购买笔袋或彩色铅笔作为奖品，已知个笔袋和筒彩色铅笔原价共需元；个笔袋和筒彩色铅笔原价共需元．(1)求每个笔袋、每筒彩色铅笔的原价各多少元？(2)时逢新年期间，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：笔袋“九折”优惠；彩色铅笔不超过筒不优惠，超出筒的部分“八折”优惠．如果买个笔袋需要元，买筒彩色铅笔需要元．请用含，的代数式分别表示和；
(3)如果在（2）的条件下一共购买同一种奖品件，请分析买哪种奖品省钱．
【答案】(1)每个笔袋的原价为元，每筒彩色铅笔的原价为元
(2)，
(3)购买彩色铅笔省钱
【分析】（1）设每个笔袋的原价为元，每筒彩色铅笔的原价为元，根据“个笔袋和筒彩色铅笔原价共需元；个笔袋和筒彩色铅笔原价共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）利用总价单价数量，即可用含，的分别求出和的解析式；
（3）代入，求出，的值，比较后即可得出结论．
（1）解：设每个笔袋的原价为元，每筒彩色铅笔的原价为元，
依题意，得：，解得：，
答：每个笔袋的原价为元，每筒彩色铅笔的原价为元；
（2）解：依题意，得：，
当时，；
当时，；
；
（3）解：当时，；
当时，；
，购买彩色铅笔省钱．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、求函数解析式以及函数求值，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列出函数解析式；（3）代入，求出，的值．
27．（2022·四川眉山·七年级期末）感悟思想：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足①，②，求和的值．
思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值．
如①-②可得①+②×2可得．
这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
体会思想：
(1)已知二元一次方程组，则______，______．(2)解方程组：
(3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
【答案】(1)-1，5(2)(3)30元
【分析】（1）把两个方程相加可求，相减可求；（2）把3个方程相加得，分别减三个方程可求解；（3）设未知数列出方程组，用整体思想求解即可．
（1）解：
①+②得，解得，
①-②得，故答案为：-1，5．
（2）解：，
①+②+③得，，即④，
④-①得，，④-②得，，④-③得，，
方程组的解为．
（3）解：设购买1支铅笔a元，1块橡皮b元，1本日记本c元,
根据题意列方程组得，．
①×2-②得，，则；
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
【点睛】本题考查了利用整体思想解方程组，解题关键是熟练利用整体思想，通过整体运算求解．
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专题09 二元一次方程组的应用题 （精练）
一、选择题
1．（2022·浙江·七年级期末）甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（ ）
A．甲比乙大6岁 B．乙比甲大6岁 C．甲比乙大4岁 D．乙比甲大4岁
2．（2022·云南昆明·初三其他）10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·广东·东莞市七年级期中）一种饮料有两种包装，5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、
6小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河北唐山·七年级期中）如图所示的是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，两块竖放的墙砖比两块横放的墙砖高，则每块墙砖的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山西阳泉·七年级期中）我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事．现请你欣赏下列描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里，问风速是多少？（ ）．
A．50里/分 B．150里/分 C．200里/分 D．250里/分
6．（2022·安徽·七年级期末）已知鸭狗同圈，共有35个头，94只脚，问鸭狗各有多少 若设鸭x只，狗y条，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·北京市七年级期末）程大位，明代商人，珠算发明家，被称为珠算之父、卷尺之父．少年时，读书极为广博，对数学颇感兴趣，60岁时完成其杰作《直指算法统宗》（简称《算法统宗》）．在《算法统宗》里记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？
下列是四位同学的解答：
①小明：设大和尚有x人，小和尚有y人，根据题意可列方程组为
②小丽：设大和尚有x人，小和尚有y人，根据题意可列方程组为
③小东：设大和尚有x人，则小和尚有(100-x)人，根据题意可列方程为．
④小华：设大和尚有x人，则小和尚有(100-x)人，根据题意可列方程为100-3x=．
其中，以上解答一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③
8．（2022·湖北武汉·七年级期末）某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中有2蓝牙耳机，4个多接口优盘，2个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒成本为145元，B盒成本为200元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为（ ）
A．150元 B．155元 C．165元 D．170元
二、填空题
9．（2022·浙江金华·七年级期末）浙教版七（下）数学书P44中有这样一个合作学习：游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的2倍．设男孩有x人，女孩有y人，可列方程组________．
9．（2022·浙江·八年级专题练习）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，记有许多有趣而又不乏技巧的算术程式．其中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何？”
译文：“甲，乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲，乙二人原来各有多少钱？”
设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组为____________．
10．（2022·重庆市八年级期中）一水池有一个进水管和三个完全相同的出水管，现水池中有一定量的水，打开进水管（注水速度一致），若只打开一个出水管，则1小时正好能把水池中的水放完；若打开两个出水管，则20分钟正好能把水池中的水放完；问若打开三个出水管，则需要______分钟恰好能把水池中的水放完．
11．（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期末）如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从图中信息可知，买1束鲜花和2个礼盒的总价为143元；买2束鲜花和1个礼盒的总价为121元，问买5束鲜花和5个礼盒的总价为________元．
12．（2022·湖北·谷城县七年级期中）一个两位数的十位数字与个位数字之和等于5，十位数字与个位数字之差为1，设十位数字为，个位数字为，则上述语言用方程组表示为_________________．
13.（2022·重庆·九年级期中）新世纪百货推出A，B，C三种零食大礼包，每种礼包都由一定数量的坚果、牛肉干和薄脆饼组合搭配构成．三种大礼包的成本分别为礼包中三种零食的成本之和，同种零食的单价相同．已知袋牛肉干和袋薄脆饼的价格相同，一份A礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼，一份B礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼．若一份B，C礼包的成本相同，均比一份A礼包的成本贵，一份C礼包中的零食袋数与一份A礼包中的零食袋数之比为：，且一份C礼包中坚果袋数比牛肉干袋数多，则一份C礼包中的薄脆饼袋数比牛肉干袋数少______袋．
三、解答题
14．（2022·广东珠海·七年级期末）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货12吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货27吨．(1)3辆大货车和5辆小货车一次可以运货多少吨？(2)现有17吨货物需要运输，欲租用这两种货车运送，要求全部货物一次运完且每辆车必须装满，请列出所有的运输方案．
15．（2022·广东·湛江市七年级期中）某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．[毛利润＝（售价﹣进价）×销售量]
A B
进价（万元/套） 1.5 1.2
售价（万元/套 1.65 1.4
(1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
(2)现商场决定再用30万同时购进A，B两种设备，共有哪几种进货方案？
16．（2022·浙江·余姚市舜水中学七年级期中）随着新能源汽车需求量的增加，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，辆A型汽车和辆型汽车的进价共计万元；辆A型汽车和辆型汽车的进价共计万元．(1)A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划恰好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均需购买），请你写出所有购买方案．
17．（2022·广西富川·七年级期末）在某外环公路改建工程中，某路段长6140米，现准备由甲、乙两个工程队拟在25天内(含25天)合作完成，已知两个工程队各有20名工人(设甲、乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天工作量相同，乙工程队每人每天工作量相同)，甲工程队1天、乙工程队2天共修路400米；甲工程队2天、乙工程队3天共修路700米．（1）试问：甲、乙两个工程队每天分别修路多少米 （2）甲、乙两个工程队施工8天后，由于工作需要需从甲队调离m人去其他工程工作，总部要求在规定时间内完成，请问：甲工程队最多可以调离多少人
18．（2022·浙江·八年级专题练习）《九章算术》方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？”
19．（2022·青海·西宁七年级期中）在西宁市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数．
20．（2022·湖南邵阳·七年级期末）小华从家里出发到学校去上学，前路段小华步行，其余路段小华骑自行车． 已知小华步行的平均速度为60m/min，骑自行车的平均速度为200m/min，小华从家里到学校一共用了22min．(1)小红同学提出问题：小华家里离学校有多少m？ 前路段小华步行所用时间是多少min？ 请你就小红同学提出的问题直接设出未知数列方程组进行解答．
(2)请你再根据题目的信息，就小华走的“路程”或“时间”，提出一个能用二元一次方程组解答但与第（1）问不完全相同的问题，并设出未知数、列出方程组．
21．（2022·河北承德·七年级期末）某企业有，两条加工相同原材料的生产线，在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．(1)当时，两条生产线的加工时间分别时多少小时？
(2)第一天，该企业把5吨原材料分配到．两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的的吨数是多少？
(3)第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则和有怎样的数量关系？若此时与的和为6吨，则和的值分别为多少吨？
22．（2022·福建福州·七年级期末）某包装厂承接一批礼品盒制作业务，他们以规格200cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材按照截法一或截法二裁下A型与B型两种板材．如图甲（单位：cm）
(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值．(2)若将625张标准板材用截法一裁剪，125张标准板材用截法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，刚好可以做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？
23．（2022·重庆八中九年级阶段练习）如果一个自然数N的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A的十位数字比B的十位数字大2，A、B的个位数字之和为10，则称数N为“美好数”，并把数N分解成的过程，称为“美好分解”．例如：∵，61的十位数字比49的十位数字大2，且61、49的个位数字之和为10，∴2989是“美好数”；又如：∵，35的十位数字比19的十位数字大2，但个位数字之和不等于10，∴605不是“美好数”．(1)判断525，1148是否是“美好数”？并说明理由；(2)把一个大于4000的四位“美好数”N进行“美好分解”，即分解成，A的各个数位数字之和的2倍与B的各个数位数字之和的和能被7整除，求出所有满足条件的N．
24．（2022·江苏·苏州七年级阶段练习）如图，在等腰中，厘米，=8厘米．
(1)如图1，设等腰底边上的高是，腰上的高是，则与的关系是 ；
(2)如图2，已知点从点出发，沿折线，以厘米/秒的速度运动；同时，点从点出发，沿折线，以厘米/秒的速度运动，若运动1秒时，点与点所运动的路程之和是5厘米；若运动8秒时，点正好追及点，求点的运动速度的值；
(3)如图3，己知点为的中点，如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．要使与在某一时刻全等，求点的运动速度．
25．（2022·湖南邵阳·七年级期末）小华从家里出发到学校去上学，前路段小华步行，其余路段小华骑自行车． 已知小华步行的平均速度为60m/min，骑自行车的平均速度为200m/min，小华从家里到学校一共用了22min．(1)小红同学提出问题：小华家里离学校有多少m？ 前路段小华步行所用时间是多少min？ 请你就小红同学提出的问题直接设出未知数列方程组进行解答．
(2)请你再根据题目的信息，就小华走的“路程”或“时间”，提出一个能用二元一次方程组解答但与第（1）问不完全相同的问题，并设出未知数、列出方程组．
26．（2022·北京市七年级期中）在新年联欢会上，同学们组织了精彩的猜谜活动，为了奖励猜对的同学，老师决定购买笔袋或彩色铅笔作为奖品，已知个笔袋和筒彩色铅笔原价共需元；个笔袋和筒彩色铅笔原价共需元．(1)求每个笔袋、每筒彩色铅笔的原价各多少元？(2)时逢新年期间，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：笔袋“九折”优惠；彩色铅笔不超过筒不优惠，超出筒的部分“八折”优惠．如果买个笔袋需要元，买筒彩色铅笔需要元．请用含，的代数式分别表示和；(3)如果在（2）的条件下一共购买同一种奖品件，请分析买哪种奖品省钱．
27．（2022·四川眉山·七年级期末）感悟思想：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足①，②，求和的值．
思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值．
如①-②可得①+②×2可得．
这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
体会思想：
(1)已知二元一次方程组，则______，______．(2)解方程组：
(3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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