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5.3.函数的极值
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学习目标
了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，
并会灵活应用.
2.掌握函数极值的判定及求法.
3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
自主学习
【自学指导】阅读课本89页--91页，思考什么是函数的极值，并留意函数极值的求解过程。（5分钟）
【知识点梳理】
知识点1 函数极值的概念
1.极小值点与极小值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
2.极大值点与极大值
如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧 ，右侧 ，则把点b叫做函数 的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
、 统称为极值点， 和 统称为极值.
知识点2 求可导函数f(x)的极值方法与步骤
1.求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是 ；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是 .
2.求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x).
(2)求f(x)的拐点，即求方程 的根.
(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.
【合作探究】
探究一 求函数的极值
例1求函数f(x)＝x3－4x＋4的极值.
练习1求下列函数的极值.
(1)y＝2x3＋6x2－18x＋3；
(2)y＝2x＋.
探究二 利用函数极值确定参数的取值范围(或值)
例2已知函数f(x)＝6ln x－ax2－8x＋b(a，b为常数)，且x＝3为f(x)的一个极值点.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若y＝f(x)的图象与x轴正半轴有且只有3个交点，求实数b的取值范围.
练习2设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4，若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围.
探究三 函数极值的综合应用
例3已知函数f(x)＝－x3＋x2－2x(a∈R)，若过点可作函数y＝f(x)图象的三条不同切线，求实数a的取值范围.
练习3已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R).
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若对任意a∈[3,4]，函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围.
四、当堂检测
一、选择题
1．如图是函数y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在（﹣3，1）内f（x）是增函数
B．在x＝1时，f（x）取得极大值
C．在（4，5）内f（x）是增函数
D．在x＝2时，f（x）取得极小值
2．已知函数在处取得极值，则（ ）
A．1 B．2 C． D．-2
3．已知函数的图象在点处的切线斜率为，且函数在处取得极值，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则）的极大值点为（ ）
A． B． C． D．
5． 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
6．函数，则（ ）
A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝ 为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点
7．函数在处有极值,则的值为( )
A． B． C． D．
8．关于的函数的极值点的个数有（ ）
A．2个 B．1个 C．0个 D．由确定
9．下列关于函数的结论中，正确结论的个数是（ ）
①的解集是；
②是极大值，是极小值；
③没有最大值，也没有最小值；
④有最大值，没有最小值；
⑤有最小值，没有最大值.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
10．函数的极小值点为___________．
11．函数在 处取得极小值．
12．函数的极大值为_________.
13．已知函数，当时函数的极值为，则 ．
14．设是函数的一个极值点，则______．
三、解答题
15．函数在点处的切线斜率为．
（1）求实数a的值；
（2）求的单调区间和极值．
16．已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）求函数的极值；(要列表).
17．已知函数，其中，已知在处取得极值.
（1）求的解析式；
（2）求在点处切线的方程.
18．已知函数与函数在处有公共的切线.
（1）求实数a，b的值；
（2）记，求的极值.
19．已知.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若函数在处取得极大值，求实数a的取值范围.

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