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傅里叶变换 Fourier Transform
傅里叶变换 Fourier Transform
练习: P43, 1.25(1) 画图说明
2.
Acos(2pf0x)
x
0
A
*

F.T.
F.T.
F.T.
cos(2pf0x)
x
0
1
Acos2(2pf0x)
x
f
0
-f0
f0
f
0
-f0
f0
f
0
§1-7 傅里叶变换 Fourier Transform
四、 F.T.定理 6. 自相关定理
自相关与功率谱的关系:
证明提示:
利用卷积定理、相关定义和共轭函数的F.T.
设 g(x,y) G(fx,fy),
F.T.
反过来有:
{g(x,y) ★ g(x,y)}= |G(fx,fy)|2
{|g(x,y)|2}= G(fx,fy) ★ G(fx,fy)
7. F.T.积分定理
在函数 g 的各连续点上,
-1{g(x,y)}= -1 {g(x,y)}= g(x,y)
§1-7 傅里叶变换 Fourier Transform
例: P43, 1.28(1) 利用相似性求傅里叶逆变换:
相似性:
{g(x)}=g(-x)
h(x) H(f) h(-x)
F.T.
F.T.
-1
画图
§2-1 线性系统简介
三、脉冲响应
系统对处于原点的脉冲函数的响应：
h(x, y) = {d(x, y)}
系统对输入平面上坐标为(x,h)处的脉冲函数的响应：
h(x, y; x,h) = {d (x-x, y- h)}
在线性系统中引入脉冲响应的意义:
1. 任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函数的线性组合
2. 若线性系统的脉冲响应函数为已知,则系统的输出为脉冲响应函数的线性组合
§1-7 傅里叶变换 Fourier Transform
五、 可分离变量函数的变换
按二维F.T.的定义:
若g(x,y) 是可分离变量的函数, 即两个一元函数的乘积:
g(x,y)= g1(x) g2(y)
= G1(fx) G2(fy)
其傅里叶变换也是可分离变量的函数
注意: 不可与两个函数乘积的F.T.相混淆!
§1-7 傅里叶变换 Fourier Transform
六、 傅里叶-贝塞尔变换
特别适合于圆对称函数的F.T.
g仅是半径r的函数: g(r,q) = gR(r). 依F.T.定义:
极坐标变换
§1-7 傅里叶变换 Fourier Transform
六、 傅里叶-贝塞尔变换
利用贝塞尔恒等式:
圆对称函数的F.T.仍是圆对称函数, 称为F-B (傅-贝)变换,记为
G(r) = {g(r)}, g(r) = -1{G(r)}
则在极坐标中:
§1-7 傅里叶变换 Fourier Transform
六、 傅里叶-贝塞尔变换
例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.
定义: 是圆对称函数
作变量替换, 令r’ =2prr, 并利用:
§1-7 傅里叶变换 Fourier Transform
傅里叶变换的计算方法
1. 用定义直接计算: rect(x), circ(r) , ...
2. 用广义傅里叶变换的定义计算并求极限: 1...
3. 用傅里叶变换的性质间接导出:
F.T.的积分定理
F.T.的卷积定理
§1-7 傅里叶变换 Fourier Transform
常用傅里叶变换对
1. {1}=d (fx,fy); {d (fx,fy)}=1
1 与d 函数互为F.T.
4. {Gaus(x)} = Gaus(f ) 高斯函数的F.T.仍为高斯函数
3. {rect(x)}=sinc(f); {sinc(x)}= rect(f)
rect与sinc 函数互为F.T.
2.
梳状函数的F.T.仍为梳状函数
(阅读P36 - 37)
2
§1-7 傅里叶变换 Fourier Transform
常用傅里叶变换对
5. {d (x-a)}=exp(-j2pfxa) {exp(j2pfax)}= d (fx-fa)
7. {tri(x)} = sinc2(f )
6.
利用欧拉公式和 5的结果
8.

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