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透镜的傅里叶变换特性
透镜的傅里叶变换特性
能否在有限远处观察和利用 可以用透镜实现.
几何光学中,透镜是折射成像元件, 将物点变换为像点, 物、像点均可在无穷远
物理光学中,透镜是实现位相变换的元件, 其前后表面的光场复振幅分布不同.
在单色平面波垂直照明下, 孔径的夫琅和费衍射:
在无穷远处观察到衍射屏的二维傅里叶变换.
本章解决: 透镜的位相变换, 透镜的F.T.性质
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§4-1 透镜的位相调制作用
在焦距为f的薄透镜前方光轴上有一物点A, A点物距为d0. 根据几何光学的物像关系可以求出像点A'. 根据物点和像点位置,写出图中P0面和P1面上光场的复振幅分布.
A
P0
d0
A’
P1
P0面是发散球面波分布
P1面是会聚球面波分布
透镜的复振幅透过率:
§4-1 透镜的位相调制作用
目的: 研究透镜的位相调制与透镜的折射率n及结构参数(两个曲率半径R1、R2)的关系
基本假设
透镜是薄的, 忽略折射引起的光线的横向偏移
透镜无吸收, 完全透明, 均匀,折射率为n,不改变光场振幅,仅 改变位相
透镜孔径为无限大 (以后再考虑孔径影响)
透镜前表面入射点Q(x,y) 与相应的后表面Q’(x,y) 之间有位相变化, 其分布取决于两点之间的光程L(x,y).
∴透镜的复振幅透过率:
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§4-1 透镜的位相调制作用
光程函数
L(x,y) = n (x,y)+[ 0- (x,y)]= 0 + (n-1) (x,y)
适合于任意形状的薄位相物体
求透镜厚度函数的方法:
将透镜一剖为二, 分别计算其厚度
(x,y): 透镜厚度函数—(x,y)点处的透镜厚度
符号规则:
光线由左向右传播
遇到凸面曲率半径为正, 凹面为负
图上标正量, R1为正, R2为负
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§4-1 透镜的位相调制作用
由几何关系:
R12 – (x2 + y2) = [R1 - 01 + 1( x,y)]2

同理 (注意到R2<0, 几何关系中取长度| R2|)
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§4-1 透镜的位相调制作用
透镜的复振幅透过率
取近轴近似, x,y足够小, (1- )1/2 1- /2 成立
∴总的厚度函数
透镜的厚度函数
代入光程方程后再代入透过率方程, 得透镜的复振幅透过率函数:
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§4-1 透镜的位相调制作用
透镜的复振幅透过率
透镜的复振幅透过率:
定义:
则透镜的复振幅透过率:
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§4-1 透镜的位相调制作用: 讨论
只要正确决定R1、R2的符号, 以上推导适合于任何透镜
透镜的焦距 仅决定于透镜材料和几何参数.
此结果与几何光学一致. f >0: 凸(正)透镜; f <0: 凹(负)透镜
不考虑常数位相因子, 则透镜的位相变换因子为
此变换与入射波的复振幅无关, 它实现变换:
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§4-1 透镜的位相调制作用: 讨论(续)
单位振幅的平面波垂直入射
f >0: Ul’(x,y)代表会聚到透镜后焦点的会聚球面波;
f <0: Ul’(x,y)代表从透镜前焦点发出的发散球面波
这与几何光学的结果相同
与(x,y)平面上球面波复振幅分布的位相因子相比较
若Ul(x,y)=1,为单位振幅
垂直入射的平面波, 则
若考虑透镜的有限尺寸, 可引入孔径函数P(x,y), (一般是圆域函数或矩孔函数),
其中P(x,y)的坐标原点与透镜中心重合
则:
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§4-1 透镜的位相调制作用
任何衍射屏,若其复振幅透过率可写为 的形式,都可看成一个焦距为 f 的透镜
屏的复振幅透过率:
问: 1. 是否类似透镜 2. 焦 距 成像的波长特性
例 (P106, 4.8题)
解:
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设a>0, 分别考察圆括号中的三项:
§4-1 透镜的位相调制作用: 例 (续)
代表负透镜
焦距f = -k/2a = -p/al
代表正透镜
焦距f = k/2a = p/al
代表平镜, 焦距f =∞, 无焦度, 仅衰减振幅
circ(r0/l)是孔径函数P(x,y),代表直径为l的圆孔.
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