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透镜的傅立叶变换性质
透镜的傅立叶变换性质
会聚透镜最突出的的性质之一就是它固有的进行二维傅立叶变换的本领。
假定光源是单色的，也就是说我们所研究的系统是相干系统。
我们讨论一下正透镜后面某个特定平面上的复振幅分布。
在一般意义上讨论P2平面上的复振幅分布，计算量非常大，为此我们只讨论透镜后焦面上的复振幅分布，这种情况下
对于d1的取值，我们也是仅讨论3种情形。
① 物平面紧靠透镜前表面 d1＝0
f
这种情况下，
假定透镜孔径无限大，其透过率
于是透镜后表面复振幅，
光波从透镜后表面传播到后焦面可以看作是菲涅耳衍射，其复振幅，（2－4－11）
上式已略去与(x,y)无关的常数相位因子
并且
其中
与2-4-13式比较后不难发现，这正是f(x,y)的夫琅和费衍射结果！正是由于这个原因，实践中夫琅和费衍射实验往往都是通过一个正透镜来实现的。
还不是
的傅立叶变换，它多了一个相位因子；
即使如此，多数情况下我们感兴趣的往往是焦面上的强度分布，所以即使频谱有相位的误差，但频谱的相对幅值是准确的。
后焦面上的强度分布，
这时测量的结果是物的功率谱。
② 物平面置于透镜前方
f
d1
现在我们只需要沿光波传播方向逐一计算两个平面上的复振幅分布。
由角谱传播关系，(2-3-5,2-4-10)
其中H(fx,fy)是描述菲涅耳衍射效应的传递函数，略去常量相位延迟，
代入，
利用我们刚才得到的“物紧贴透镜前表面”的结论：
其中
这正是教材上的3-1-11式，这样我们分两步走，在频域处理，就避免了复杂的两次卷积积分。
当d1＝f时，即物放置在透镜前焦面时，
相位弯曲消失，这时在透镜后焦面上得到准确的傅立叶变换。
③ 物置于透镜后方
f
d
透镜后光波是会聚球面波，物的前表面复振幅分布：
暂不考虑透镜和物的孔径大小。物的后表面复振幅：
设A为在入射平行光的振幅。
与教材图3-1-5一样，规定物的前表面、后表面复振幅分布以及物的透过率函数分别为：
光波从物后表面传播到透镜后焦面可以看作是菲涅耳衍射，其复振幅，（2－4－11）
上式已略去常量相位因子，将gt(x,y)代入上式，化简，
其中
当d＝f时，上式和“物紧靠透镜前表面”的结果相同。说明无论是物紧靠透镜前还是物紧靠透镜后，效果都是一样的。
相位因子并不影响强度分布，后焦面上的强度分布仍然是问题的功率谱，
注意到
通过改变d可以调制物体傅立叶变换空间尺寸的大小，这在实验操作上为实验者提供了便利。
通过对以上三种情况的分析，可知在单色平面波垂直照明下，无论物体在透镜的前方、后方还是紧靠透镜，在透镜的后焦面上总可以得到物体的功率谱。
在这种照明方式下，透镜的后焦面常被称为傅立叶变换平面或（空间）谱面。
应该指出，在单色点光源（球面波）照明时，无论物体位于透镜前还是透镜后，透镜仍然可以做傅立叶变换，只是频谱面出现在点光源的像面位置，而不是透镜后焦面，零频(直流)分量位于点光源的像处。
3. 透镜孔径的影响
实际上，透镜的孔径总是有限的，它必然会限制波面，产生衍射效应。

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