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傅里叶变换 Fourier Transform
傅里叶变换 Fourier Transform
一、定义
函数g(x)在(-∞, +∞)上满足狄氏条件(绝对可积,有有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点), 定义函数
为函数g(x)的傅里叶变换, 记作:
G(f)= {g(x)}=F.T.[g(x)],
由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:
记作: g(x)= -1{G(f)}. 显然 -1 {g(x)}= g(x)
F.T.
F.T.-1
综合可写: g(x) G(f)
g(x): 原函数, G(f): 像函数或频谱函数
§1-7 傅里叶变换 Fourier Transform
一、定义
x 和 f 称为一对共轭变量, g(x)和G(f)称为傅里叶变换对
描述了各频率分量的相对幅值和相移.
G(f) 一般是复函数, G(f) =A(f)e jf (f)
振幅谱
位相谱
推广到二维情形:
§1-7 傅里叶变换 Fourier Transform
二、广义 F.T.
对于某些不符合狄氏条件的函数, 求F.T.的方法.
例: g(x,y)=1, 在(- , + )不可积
某个可变换函数组成的系列 不符合狄氏条件的函数,
其变换式的极限 原来函数的广义F. T.
可定义: g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t)
t
则 {g(x,y)}=lim {rect(x/t)rect(y/t)}
t
{1} = d(fx, fy)
{rect(x/t)}= t sinc(tf)
§1-7 傅里叶变换 Fourier Transform
共轭函数的 F.T.
若g(x) G(f), g*(x)
F.T.
F.T.
相似性:
{g(x)}=g(-x)
以上性质可以用来求函数的F.T.
{d(fx, fy)} =1
§1-7 傅里叶变换 Fourier Transform
四、 F.T.定理 -- F.T.的基本性质
1. 线性定理 Linearity
设 g(x,y) G(fx,fy), h(x,y) H(fx,fy),
F.T.
F.T.
2. 空间缩放 Scaling
{ag(x,y)+b h(x,y)}=a G(fx,fy) + b H(fx,fy)
F.T.是线性变换
§1-7 傅里叶变换 Fourier Transform
空间缩放
注意空域坐标(x,y)的扩展(a,b<1),导致频域中坐标(fx,fy)的压缩及频谱幅度的变化. 反之亦然.
g(x)
x
0
1/2
-1/2
1
g(ax) a=2
x
0
1/4
-1/4
1
f
G(f)
0
1
-1
1
f
0
2
-2
1/2
空域压缩
F.T.
F.T.
频域扩展
§1-7 傅里叶变换 Fourier Transform
四、 F.T.定理 3. 平移定理 Shifting
设 g(x,y) G(fx,fy),
F.T.
{g(x,y) exp[j2p(fax+fby)]}= G(fx- fa,fy- fb)
推论:
由
{1}= d (fx,fy)
{exp[j2p(fax+fby)]}= d (fx- fa,fy- fb)
复指函数的F.T.是移位的d 函数
{g(x-a, y-b)}= G(fx,fy) exp[-j2p(fxa+fyb)]
{d(x-a, y-b)}= exp[-j2p(fxa+fyb)]
§1-7 傅里叶变换 Fourier Transform
四、 F.T.定理 4. 帕色伐(Parsval)定理
| G(f) |2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔的能量或功率)
设 g(x,y) G(fx,fy),
F.T.
Parsval定理说明,信号的能量由其频谱曲线下面积给出.或者说等于各频率分量的能量之和—能量守恒
§1-7 傅里叶变换 Fourier Transform
四、 F.T.定理 5. 卷积定理
空域中两个函数的卷积, 其F.T.是各自F.T.的乘积.
{g(x,y)* h(x,y)}= G(fx,fy) . H(fx,fy)
设 g(x,y) G(fx,fy), h(x,y) H(fx,fy),
F.T.
F.T.
{g(x,y) . h(x,y)}= G(fx,fy) * H(fx,fy)
空域中两个函数的乘积, 其F.T.是各自F.T.的卷积.
将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用.
亦可用于求复杂函数的F.T.
§1-7 傅里叶变换 Fourier Transform
利用卷积定理的例子
2.
{tri(x)}
= {rect(x)*rect(x)}
= {rect(x)} {rect(x)}
= sinc(f) sinc(f)
= sinc2(f)
rect(x)
x
0
1/2
-1/2
1
rect(x)
x
0
1/2
-1/2
1
*
tri(x)
x
0
1
-1
1

x
sinc2(x)
0
1
-1
1
F.T.
f
sinc(f)
0
1
-1
1
F.T.
f
sinc(f)
0
1
-1
1
F.T.
{tri(x)} = sinc2(f )
§1-7 傅里叶变换 Fourier Transform
练习: P43, 1.25(1)

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