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2023年福建省龙岩市上杭县中考数学质检试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列关于“”的说法中正确的是( )
A. 不是有理数 B. 是正数 C. 没有相反数 D. 没有倒数
2. 在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列几何体中，主视图可能是三角形的是( )
A. 球体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 长方体
4. 截至年月日，世界第四大水电站云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破亿千瓦时，相当于替代标准煤约亿吨，减排二氧化碳约亿立方米，亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
5. 下列各运算中，计算正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 下列说法正确的是( )
A. 方差越大，数据波动越小
B. 了解福建省初中生身高情况最适合采用全面调查
C. 三个内角对应相等的两个三角形全等是不可能事件
D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形是必然事件
7. 我国古代数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：头牛、只羊共两银子；头牛、只羊共两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设头牛两银子，只羊两银子，则可列方程组为( )
A. B. C. D.
8. 圆锥的侧面展开图是一个圆心角，半径的扇形，则该圆锥的高是( )
A. B. C. D.
9. 一次函数的图象经过点，且的值随着的增大而增大，则点可以是( )
A. B. C. D.
10. 矩形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接若，，则的长是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 反比例函数的图象经过点，则 ．
12. 如图，的周长为，、、分别是边、、的中点，则的周长是______ ．
13. 菱形中，对角线，相交于点，且，，则菱形的面积为______ ．
14. “学雷锋”活动月中，学校组织学生开展志愿者劳动服务活动，小晴和小霞从“图书馆、博物馆、科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是______．
15. 如图摆放着正五边形和正，其中点、、在同一直线上，，则的度数是______ ．
16. 已知直线与抛物线有两个不同的交点、，且点是抛物线的顶点，当时，的取值范围是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17. 先化简，再求值：，其中．
四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
计算：．
19. 本小题分
中，的平分线交射线于点求证：请补完图形，并完成证明，不要求尺规作图
20. 本小题分
为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学准备从体育用品商场购买若干个足球和篮球，用于学校球类训练比赛活动，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同已知篮球的单价比足球单价的倍少元；用元购买篮球和用元购买足球的个数相同．
足球和篮球的单价各是多少元？
根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共个，但要求足球和篮球的总费用不超过元，学校最多可以购买多少个篮球？
21. 本小题分
如图，将绕点逆时针旋转一个角度，得到，点的对应点恰好落在边上且点、、在同一条直线上．
求证：平分；
若，求旋转角的度数．
22. 本小题分
我县某中学全校师生开展“禁毒”宣传活动，学校决定在全校名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动，发动同学捐出自己的部分零花钱张老师随机调查了名学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图携带元零花钱的条形未画出．
这组数据的中位数是______ ；
经调查，当学生身上的零花钱不少于元时，平均会捐出携带零花钱的，其余学生不参加捐款请你估计该校可能收到学生自愿捐款多少元？
捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率．
23. 本小题分
如图，点是线段上一点，直线，垂足为点．
在直线上作一点，使要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
在的条件下，连接、，若，求的值．
24. 本小题分
如图，的弦直径，垂足为，是延长线上一点，连接交于点，连接交于点，过点作的切线，切点在上，连接、．
若，，求的半径；
若平分，求证：；
求证：要备用图
25. 本小题分
已知抛物线的对称轴为直线，顶点为，且与直线交于、两点．
求抛物线的解析式；
求的面积；
点是抛物线上点，点在直线上，满足，，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是有理数，故本选项错误；
B、既不是正数，也不是负数，故本选项错误；
C、的相反数是，故本选项错误；
D、没有倒数，正确．
故选：．
根据有理数的分类，相反数、倒数的定义对各选项依次判断即可解答．
本题主要考查有理数的分类，相反数、倒数、平方根的定义，数量掌握各知识点是解答本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断求解即可．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合．
3.【答案】
【解析】解：球的主视图是圆，故A选项不合题意；
圆柱的主视图是矩形或圆，故B选项不合题意，
圆锥的主视图可能是等腰三角形，故C选项符合题意，
长方体的主视图是长方形或正方形，故D选项不合题意．
故选：．
根据主视图的定义即可直接选出答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
4.【答案】
【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
5.【答案】
【解析】解：，正确，故选项符合题意；
B.，原说法错误，故选项不符合题意；
C.，原说法错误，故选项不符合题意；
D.，原说法错误，故选项不符合题意；
故选：．
利用完全平方公式，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方逐一判断即可．
本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方，利用相应的法则去判断是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：、方差越小，数据波动越小，故A不符合题意；
B、了解福建省初中生身高情况最适合采用抽样调查，故B不符合题意；
C、三个内角对应相等的两个三角形全等是随机事件，故C不符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形是必然事件，故D符合题意；
故选：．
根据菱形的判定，平行四边形的判定，全面调查与抽样调查，方差，随机事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，全面调查与抽样调查，方差，随机事件，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：头牛，只羊共两银子，
；
头牛，只羊共两银子，
．
可列方程组为．
故选：．
根据“头牛、只羊共两银子；头牛、只羊共两银子”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查由实际问题抽象初二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：一圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为的扇形，
扇形弧长，
，
，
圆锥的高，
故选：．
利用弧长公式计算得出圆锥的底面周长，继而求得底面圆半径，再利用勾股定理求得高即可．
考查了圆锥的计算，用到的知识点为：扇形的弧长公式公式和勾股定理．
9.【答案】
【解析】解：的值随着的增大而增大，
，
把代入，，选项不符合题意；
把代入，，选项不符合题意；
把代入，，选项不符合题意；
把代入，，选项符合题意．
故选：．
根据随的变化可以判断的取值范围，再把点的坐标代入一次函数的解析式，通过的取值范围确定点是否在一次函数图象上．
本题考查了一次函数的图象上点的特征，一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的图象上点的特征，一次函数的性质．
10.【答案】
【解析】
【分析】
连接，交于点，根据翻折的性质知，，垂直平分，再说明，利用等积法求出的长，再利用勾股定理可得答案．
本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，利用等积法求出的长是解题的关键．
【解答】
解：连接，交于点，
将沿折叠得到，
，，垂直平分，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
解得．
故答案为：．
把点的坐标代入求解即可．
本题考查了待定系数法求函数解析式，把点的坐标代入函数表达式进行计算即可，比较简单．
12.【答案】
【解析】解：、、分别是边、、的中点，
、、都是的中位线，
，，，
的周长，
的周长为，
，
的周长，
故答案为：．
根据三角形中位线定理得出，，，即可推出结果．
本题考查了三角形中位线定理，熟记三角形中位线定理是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：在菱形中，对角线、相交于点，，，
菱形的面积是：．
故答案为：．
直接利用菱形的面积公式得出答案．
此题主要考查了菱形的性质，正确把握菱形的性质是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：画树状图为：用、、分别表示“图书馆、博物馆、科技馆”
共有种等可能的结果，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为，
所以两人恰好选择同一场馆的概率．
故答案为．
画树状图用、、分别表示“图书馆、博物馆、科技馆”展示所有种等可能的结果，找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
15.【答案】
【解析】解：在正五边形中，，
，
，
．
故答案为：．
利用平行线的性质求出，可得结论．
本题考查正多边形与圆，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】或．
【解析】解：由题意，将代入，则．
直线为：．
在在直线上，
，为．
抛物线的顶点为，
抛物线解析式可以表示为．
又在抛物线上，
．
．
即．
、两点不同，
．
．
．
．
，且，
当时，可得；当时，．
故答案为：或．
依据题意，将点坐标代入直线可以求出其解析式，再由在直线上找出，的关系，最后再由、在抛物线上可得，与的关系式，由的范围可以求得的范围．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，需要熟悉图象上点的坐标特征是解题的关键．
17.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：
．
【解析】先算有理数的乘方、特殊角的三角函数值、平方差公式，然后计算加减法即可．
本题考查有理数的混合运算、平方差公式、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19.【答案】证明：如图所示：
在平行四边形中，，
，
平分，
，
，
．
【解析】根据题意即可画出图形；利用平行四边形的性质看到，然后根据平行线的性质和角平分线定义即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
20.【答案】解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：足球的单价是元，篮球的单价是元．
设学校可以购买个篮球，则可以购买个足球，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以取的最大值为．
答：学校最多可以购买个篮球．
【解析】设足球的单价是元，则篮球的单价是元，根据数量总价单价，结合用元购买足球的数量是用元购买篮球数量的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设学校可以购买个篮球，则可以购买个足球，利用总价单价数量，结合购买足球和篮球的总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】证明：如图：
由旋转得：，，
，
，
平分；
解：如图，设与交于点，
由旋转得：，，，
，
，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
解得：，
旋转角的度数为．
【解析】根据旋转的性质可得：，，然后利用等边对等角可得，从而可得，即可解答；
设与交于点，根据旋转的性质可得：，，，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据三角形的外角性质可得，从而可得，最后进行计算即可解答．
本题考查了旋转的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：将名学生随身携带零花钱按从小到大的顺序排列，排在第名的学生随身携带零花钱的金额为元，
中位数为．
故答案为：．
由图可知，携带元零花钱的学生人数为人，
则该校可能收到学生自愿捐款数约为元．
设捐款最多的两名学生分别为，，另一个学校的两名学生分别为，，
画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中这两人来自不同学校的结果有：，，，，，，，，共种，
这两人来自不同学校的概率为．
根据中位数的定义可得答案．
先求出携带元零花钱的学生人数，再用乘以平均每人的捐款钱数计算即可．
画树状图得出所有等可能的结果数以及这两人来自不同学校的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、中位数、用样本估计总体，能够理解条形统计图，熟练掌握列表法与树状图法、中位数的定义以及用样本估计总体是解答本题的关键．
23.【答案】解：如图所示，点即为所求．
设，．
由可知，，
，，
，
∽，
，即，
整理得，，
解得，，
．
【解析】以为直径作即可；
设，利用相似三角形的性质求出，之间的关系，可得结论．
本题考查作图复杂作图，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：直径，，
，
设的半径为，则，，
在中，，
，
解得，的半径；
证明：在上截取，连接、，
平分，
，
又，，
≌，
，，
直径，
，
，
，
，
，
又，
；
证明：连接，
是的切线，
，
由得，，
，
在和中，，
根据三角形内角和定理，，
又垂直平分，
，，
，
又，
∽，
，
，
，
又，
∽，
，
即．
【解析】根据垂径定理推出，设的半径为，则，，根据勾股定理求解即可；
在上截取，连接、，利用证明≌，根据全等三角形的性质得出，，根据垂径定理及圆周角定理得出，根据邻补角定义得到，根据等腰三角形的判断及等量代换即可得解；
连接，根据切线的性质得出，结合及三角形内角和定理推出，根据垂径定理及等腰三角形的性质推出，结合，推出∽，根据相似三角形的性质得出，则，结合，推出∽，根据相似三角形的性质即可得解．
此题是圆的综合题，考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握垂径定理、圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：抛物线的对称轴为直线，过点，
，
解得，，，
抛物线的解析式：；
，
顶点，
把代入得：，
解得：，
，
由得，，，
点，
过点作轴的垂线交直线于点，如图：
在中，令得，
，，
；
当点在直线上方时，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线与直线交于点，过点分别作轴的平行线和垂线，分别交直线、于点、，如图所示，
，
，
，，
≌，
，，
设，
，
，，
，即，
把代入得：
，
解得与重合，舍去或，
点的坐标为；
当点在直线下方时，如图，
设，同理可得，
把代入得：
，
解得：舍去或，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
【解析】用待定系数法可得抛物线的解析式：；
求出顶点，点，过点作轴的垂线交直线于点，在中，令得，，故；
分两种情况：当点在直线上方时，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线与直线交于点，过点分别作轴的平行线和垂线，分别交直线、于点、，证明≌，得，，设，可得，代入即可得，故点的坐标为；当点在直线下方时，点的坐标为．
本题考查二次函数的综合运用，涉及待定系数法，三角形面积，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
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