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专题09 特殊平行四边形的动点问题（最新名校期末真题）（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在菱形中，，，点、同时由、两点出发，分别沿、方向向点匀速移动（到点为止），点的速度为，点的速度为，经过秒为等边三角形，则的值为（ ）21·cn·jy·com
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接BD，证出△ADE≌△BDF，得到AE=BF，再利用AE=t，CF=2t，则BF=BCCF=52t求出时间t的值．21·世纪*教育网
【详解】解：连接BD，
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∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，
∴AB=AD，∠ADB=∠ADC=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
又∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=∠DEF=60°，
又∵∠ADB=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
在△ADE和△BDF中，
∴△ADE≌△BDF(ASA)，
∴AE=BF，
∵AE=t，CF=2t，
∴BF=BC CF=5 2t，
∴t=5 2t
∴t=，
故选：D.
【点睛】本题考查全等三角形，等边三角形，菱形等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质为解题关键．www-2-1-cnjy-com
2．如图，菱形ABCD的对角线相交于 ( http: / / www.21cnjy.com )点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且点P不与点B、C重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，则EF的最小值为（　　）
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A．4 B．4.8 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，由勾股定理可求BC的长，可证四边形OEPF是矩形，可得EF＝OP，OP⊥BC时，OP有最小值，由面积法可求解．
【详解】连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，
∴BC＝＝10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴∠FOE=∠PEO=∠PFO=90°
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE＝OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S△OBC＝OBOC＝BCOP，
∴OP＝＝4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故选：B．
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【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键．
3．如图所示，在菱形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，∠A=60°，AB=2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（　　）
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A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】连接DB，作DH⊥AB于H，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=BC=CD，而∠A=60°，∴△ABD和△BCD都是等边三角形，∴∠ADB=∠DBC=60°，AD=BD，在Rt△ABH中，AH=1，AD=2，∴DH=，在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF，∴∠2=∠1，DE=DF，∴∠1+∠BDE=∠2+∠BDE=∠ADB=60°，∴△DEF为等边三角形，∴EF=DE，而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为，∴EF的最小值为．故选D．【出处：21教育名师】
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4．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8 ，最小值为8，则菱形ABCD的边长为( )
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A．4 B．10 C．12 D．16
【答案】B
【分析】当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，当PQ⊥BC时，PQ的值最小，利用这两组数据，在Rt△ABQ中，可求得答案．
【详解】当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，
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当PQ⊥BC时，PQ的值最小，
∴PQ=8，∠Q=90°，
在Rt△ACQ中，
在Rt△ABQ中，设AB=BC=x，则BQ=16-x，
∴AQ2+BQ2=AB2即82+（16-x）2=x2
解之：x=10.
故答案为：B．
【点睛】本题考查菱形的性质和勾股定理的运用，解题关键是根据菱形的性质，判断出PQ最大和最小的情况．
5．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有 ADCE中，DE最小的值是（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴BC⊥AB．
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OC．
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．
∴OD∥AB．
又点O是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=AB=1.5，
∴ED=2OD=3．
故选B．
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【点睛】本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．21*cnjy*com
6．如图，在矩形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，点O为对角线的交点，点E为CD上一点，沿BE折叠，点C恰好与点O重合，点G为BD上的一动点，则EG+CG的最小值m与BC的数量关系是（　　）
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A．m=BC B．m=BC C．m=BC D．2m=BC
【答案】C
【分析】是等边三角形，延长交于，连接交于，连接，由题意、关于对称，推出，当、、共线时，的值最小，最小值为的长.
【详解】如图，由题意，，
是等边三角形，
延长交于，连接交于，连接，
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由题意、关于对称，
，
当、、共线时，的值最小，最小值为的长，
设，，
在中，，，
，
在中，，
，
，
.
故选：.
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，翻折 ( http: / / www.21cnjy.com )变换，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型.
7．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合．已知AB=，P、Q分别是AC、BC上的动点,当四边形DPBQ为平行四边形时，平行四边形DPBQ的面积是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由于四边形DPBQ为平 ( http: / / www.21cnjy.com )行四边形，则BC∥DP，即DP⊥AC，P为AC中点，作出平行四边形，再利用平行线的距离相等可知：PC就是□DPBQ的边PD所对应的高，代入面积公式求出面积即可．求得面积．
【详解】当点P运动到边AC中点（如图），即CP=时，
以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上．
∵四边形DPBQ为平行四边形，
∴BC∥DP，
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∵∠ACB=90°，
∴∠DPC=90°，即DP⊥AC．
而在Rt△ABC中，AB=4，BC=2，
∴根据勾股定理得：AC=6，
∵△DAC为等腰直角三角形，
∴DP=CP=AC=3，
∵BC∥DP，
∴PC是平行四边形DPBQ的高，
∴S平行四边形DPBQ=DP CP==9．
故选D.
【点睛】本题是四边形的综合题，考 ( http: / / www.21cnjy.com )查了一副三角板所形成的四边形的边和角的关系；根据动点P的运动路线确定其所形成的边和角的关系，利用三角函数和勾股定理求边和角的大小，得出结论．
8．如图，已知菱形ABCD的顶点A ( http: / / www.21cnjy.com )（0，﹣1），∠DAC＝60°．若点P从点A出发，沿A→B→C→D→A…的方向，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，则第2020秒时，点P的坐标为（　　）
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A．（2，0） B．（，0） C．（﹣，0） D．（0，1 ）
【答案】B
【分析】由菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝DA，OD＝OB，AC⊥BD，易求OA＝1，在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，得出AD＝2OA＝2，根据勾股定理可得出OD=，则OB＝，B（，0），由点P的运动速度为0.5单位长度/秒，则从点A到点B所需时间4秒，沿A→B→C→D→A所需的时间16秒，由＝126…4，得出移动到第2020秒和第4秒的位置相同，当P运动到第4秒时点P在点B处，即点P的坐标为（，0），即可得出答案．21教育名师原创作品
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，OD＝OB，AC⊥BD，
∵A（0，﹣1），
∴OA＝1，
在Rt△AOD中，
∵∠AOD＝90°，∠DAC＝60°，
∴∠ADO＝30°，
∴AD＝2OA＝2，
∴
∴OB＝，
∴B（，０），
∵点P的运动速度为0.5单位长度/秒，
∴从点A到点B所需时间＝＝4（秒），
∴沿A→B→C→D→A所需的时间＝4×4＝16（秒），
∵＝126…4，
∴移动到第2020秒和第4秒的位置相同，当P运动到第4秒时点P在点B处，即点P的坐标为（，0），
故选：B．
【点睛】本题考查的是菱形的性质、直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半、图形与坐标等知识，根据题意得出点运动一周所需的时间是解答此题的关键．www.21-cn-jy.com
9．如图所示，四边形OABC为正方形， ( http: / / www.21cnjy.com )边长为6，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为(2，0)，P是OB上的动点，试求PDPA和的最小值是（ ）
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A．2 B． C．2 D．6
【答案】A
【分析】根据题意作出D关于OB的对称点D′，则D′的坐标是（0，2）．则PD+PA的最小值就是AD′的长，利用勾股定理进行计算即可求解．
【详解】解：作出D关于OB的对称点D′，
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则D′的坐标是（0，2）．则PD+PA的最小值就是AD′的长．
则OD′=2，
因而AD′=．
则PD+PA和的最小值是2．
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质以及最短路线问题，根据题意正确作出P的位置以及运用勾股定理进行计算是解题的关键．
10．如图，在ABCD中，∠ABC=45°，BC=4，点F是CD上一个动点，以FA、FB为邻边作另一个AEBF，当F点由D点向C点运动时，下列说法正确的选项是（ ）
①AEBF的面积先由小变大，再由大变小；②AEBF的面积始终不变；③线段EF最小值为
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A．① B．② C．①③ D．②③
【答案】D
【分析】根据题意，过点B作BG⊥CD，交DC延长线于点G，利用解直角三角形求出BG的长度，则，即可判断①②；由菱形和矩形的性质，即可求出EF的最小值，可判断③．
【详解】解：过点B作BG⊥CD，交DC延长线于点G，
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在ABCD中，则AB∥CD，
∴∠BCG=∠ABC=45°，
在Rt△BCG中，BC=4，
∴BG=，
∵，
∵AB为定值，则AEBF的面积始终不变；故②正确，①错误；
当EF⊥AB时，线段EF的长度最小，
∴四边形BGFH是矩形，四边形AEBF是菱形，
∴，
∴，
∴线段EF最小值为；故③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确确定点F的位置进行求EF的最小值．
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )系中，AD∥BC，AD=5，B（-3，0），C（9，0），点E是BC的中点，点P是线段BC上一动点，当PB=________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形.
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【答案】1或11
【分析】根据题意求得AD的值，再利用平行四边形性质分类讨论，即可解决问题.
【详解】∵B（-3，0），C（9，0），
∴BC=12，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE=6，
∵AD∥BC，
∴AD=5，
∴当PE=5时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形.分两种情况：
当点P在点E左边时，PB=BE-PE=6-5=1；
②当点P 在点E右边时，PB=BE+PE=6+5=11，
综上所述，当PB的长为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，注意分类讨论思想的运用.
12．如图，在矩形ABCD中，BC=2 ( http: / / www.21cnjy.com )0cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快______s后，四边ABPQ成为矩形．
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【答案】5
【分析】先由矩形的性质确定BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP=AQ，列出一元一次方程求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=90°，AD=BC=20cm，
设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，
∵四边形ABPQ是矩形
∴AQ=BP
∴3x=20-x
∴x=5
故答案为：5
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形是解答本题的关键．
13．如图，菱形的边在轴上，顶点坐标为，顶点坐标为，点 在轴上，线段轴，且点坐标为，若菱形沿轴左右运动，连接、，则运动过程中，四边形周长的最小值是_______．
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【答案】18
【分析】由题意可知AD、EF是定值，要使四边形周长的最小，AE＋DF的和应是最小的，运用“将军饮马”模型作点E关于AD的对称点E1，同时作DF∥AF1，此时AE＋DF的和即为E1F1，再求四边形周长的最小值．
【详解】在Rt△COD中，OC＝3，OD＝4，
CD＝，
∵是菱形，
∴AD＝CD＝5，
∵坐标为，点 在轴上，
∴EF＝8，
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作点E关于AD的对称点E1，同时作DF∥AF1，
则E1（0，2），F1（3，6），
则E1F1即为所求线段和的最小值，
在Rt△AE1F1中，E1F1＝，
∴四边形周长的最小值＝AD＋EF＋AE＋DF＝ AD＋EF＋ E1F1＝5＋8＋5＝18．
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【点睛】本题考查菱形的性质、“将军饮马”作对称点求线段和的最小值，比较综合，难度较大．
14．如图，平行四边形中，cm，cm，点在边上以每秒1cm的速度从点、A向点运动，点在边上，以每秒4cm的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止）在运动以后，当 ______ 时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．
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【答案】4.8s或8s或9.6s
【分析】根据平行四边形的判定可得当DP=BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：设经过秒，以点、、、为顶点组成平行四边形，
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以点、、、为顶点组成平行四边形，
，
分为以下情况：点的运动路线是，方程为，
此时方程，此时不符合题意；
点的运动路线是，方程为，
解得：s；
点的运动路线是，方程为，
解得：s；
点的运动路线是，方程为，
解得：s；
综上所述，4.8s或8s或9.6s时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：4.8s或8s或9.6s．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定．解题的关键是求出符合条件的所有情况，注意分类讨论思想的应用．
15．如图，正方形ABCD的边长是9，点E是 ( http: / / www.21cnjy.com )AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，CF＝4，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点A′，D′处，当点D′落在直线BC上时，线段AE的长为_____．21教育网
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【答案】2或8
【分析】分两种情况：①当D′落在线段BC上时，连接ED、ED′、DD′，由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，得出DE＝D′E，求出DF＝D′F＝CD﹣CF＝5，CD′＝，得出BD'＝BC﹣CD'＝6，设AE＝x，则BE＝9﹣x，在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当D′落在线段BC延长线上时，连接ED、ED′、DD′，解法同①．
【详解】解：分两种情况：①当D′落在线段BC上时，连接ED、ED′、DD′，如图1所示：
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由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D′E，
∵正方形ABCD的边长是9，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝9，
∵CF＝4，
∴DF＝D′F＝CD﹣CF＝9﹣4＝5，
∴CD′＝，
∴BD'＝BC﹣CD'＝6，
设AE＝x，则BE＝9﹣x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2＝92+x2，D'E2＝BE2+BD'2＝(9﹣x)2+62，
∴92+x2＝(9﹣x)2+62，
解得：x＝2，
即AE＝2；
②当D′落在线段BC延长线上时，连接ED、ED′、DD′，如图2所示：
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由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D′E，
∵正方形ABCD的边长是9，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝9，
∵CF＝4，
∴DF＝D′F＝CD﹣CF＝9﹣4＝5，CD′＝，
∴BD'＝BC+CD'＝12，
设AE＝x，则BE＝9﹣x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2＝92+x2，D'E2＝BE2+BD'2＝(9﹣x)2+122，
∴92+x2＝(9﹣x)2+122，
解得：x＝8，即AE＝8；
综上所述，线段AE的长为2或8；
故答案为：2或8．
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠变换的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键，注意分类讨论．2·1·c·n·j·y
三、解答题
16．如图，长方形中，cm，cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A—B—C—D—A返回到点A停止，点P的运动时间为t秒．【来源：21cnj*y.co*m】
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(1)当秒时，　 　cm；
(2)Q为边上的点，且，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与全等．
【答案】(1)2
(2)2.5或4.5或7.5或9.5
【分析】（1）当秒时，点P运动到线段上，即可得到的长度；
（2）根据题意，要使一个三角形与全等，则点P的位置可以有四个，根据点P运动的位置，即可计算出时间．
【详解】（1）解：当t＝3秒时，点P走过的路程为：，
∵，
∴点P运动到线段上，
∴cm，
故答案是：2；
（2）根据题意，如图，连接，则，，，
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∴要使一个三角形与全等，则另一条直角边必须等于，
①当点P运动到时，，此时，
∴点P的路程为：，
∴，
②当点P运动到时，，此时，
∴点P的路程为：，
∴，
③当点P运动到时，，此时，
∴点P的路程为：，
∴，
④当点P运动到时，即P与Q重合时，，此时，
∴点P的路程为：，
∴，
综上所述，时间的值可以是：t＝2.5s，4.5s，7.5s或9.5s．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，矩形的性质，线段的动点问题，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论．
17．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，B的坐标分别为，，，动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿着O→A→B→C运动，设点P运动的时间为t秒（）．
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(1)点D的坐标是 ；点E的坐标是 ；
(2)当点P在OA上运动时，连接PE，ED，当为直角时，求点P的坐标；
(3)在整个运动过程中，当是以PE为腰的等腰三角形时，求t的值．
【答案】(1)点D的坐标是，点E的坐标是
(2)点P的坐标是
(3)，或，或
【分析】（1）利用矩形的性质求出点D和点E的坐标
（2）过点P作，根据勾股定理，利用参数构建方程得出答案
（3）分两种情形分别讨论求解即可
【详解】（1）由得：点D的坐标是，点E的坐标是
（2） ( http: / / www.21cnjy.com / )
设点P的坐标是，过点P作，交于点F，则点F的坐标是
在中，，
在中，，
在中，，
由题意知是以PD为斜边的，
，即，
解得：，
点P的坐标是
（3）当点P在线段OA上时，设点P的坐标是，
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1）当以PE和DE为等腰三角形的腰，则：
,
解得：
2）当以PE和PD为等腰三角形的腰，则：,
解得：
2、当点P在线段AB上时，不存在点P使得为等腰三角形；因为当点P在线段AD上时：；当点P在线段BD上时：；这两种情况都不能构成等腰三角形。
3、当点P在线段BC上时，设点P的坐标是
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1）当点P在线段BE上时，，则
,
解得：，
2）当点P在线段CE上时，，则：，而
点P与点C重合，
（舍去）
综上1、2、3所述，或，或
【点睛】本题考查四边形的综合题、矩形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，利用勾股定理解决问题，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的方法思考问题，学会利用参数构建方程解
18．如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为．
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(1)CD边的长度为______cm，t的取值范围为______．
(2)从运动开始，当t取何值时，？
(3)从运动开始，当t取何值时，？
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）作辅助线，构建矩形，利用勾股定理可得的长，根据两动点P，Q运动路程和速度可得t的取值范围；
（2）根据列方程可得时，
（3）由，根据，可得，再结合（2）可得出结论；
【详解】（1）如图1，过点D作于E，则，
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∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
由勾股定理得：；
∵点P从点A出发，以的速度向点D运动，，
∴点P运动到D的时间为：，
同理得：点Q运动到点B的时间为：，
∴；
故答案为：，；
（2）如图2，∵，
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∴，
当时，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
即当时，，此时；
（3）如图3，过点P作于F，过点D作于E，
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当时，
∵，
∴，
∴，
∵∠，
∴四边形矩形，
∴，
∴，即，
∴，
综合（2）、（3）所述，当或时，；
【点睛】此题是四边形综合题：动点问题，考查 ( http: / / www.21cnjy.com )了平行四边形、矩形、勾股定理，直角三角形的性质等知识，综合性较强，难度适中．利用分类讨论和数形结合是解题的关键．21世纪教育网版权所有
19．如图，长方形中，，，，动点P从点B出发，以每秒的速度沿的方向，向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒的速度沿的方向向终点C运动．以为边向右上方作正方形，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点同时出发，运动时间为t秒．21cnjy.com
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(1)当时，＝______（用含t的代数式表示）；
(2)当点N落在边上时，求t的值；
(3)当正方形与长方形的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）；
(4)请直接写出当t满足什么条件时，正方形与长方形的重叠部分为三角形．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，；当时，
(4)当或时，正方形与长方形的重叠部分为三角形
【分析】（1）根据题意可得当时，；
（2）证明，则，即，求t的值即可；
（3）画出图形，当时，正方形在长方形的内部；当P点运动到A点处，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形，当M点运动到D点处时，当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形，则可知 时，正方形与长方形的重叠部分为三角形；当Q点运动与C点时，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形；则时，正方形与长方形的重叠部分为四边形；
（4）由（3）的讨论直接求解即可．
【详解】（1）当时，；
故答案为：；
（2）如图1，
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∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴；
（3）由（2）知，时，正方形在长方形的内部，
∴，正方形与长方形的重叠部分为四边形，
∴；
如图2，当P点运动到A点处，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形，
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如图3，当M点运动到D点处时，
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∵，
∴，
解得，
∴当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形，
∴时，正方形与长方形的重叠部分为三角形；
如图4，当Q点运动与C点时，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形；
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∴时，正方形与长方形的重叠部分为四边形，
如图5，
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＝
＝；
综上所述：当时，；当时， ；
（4）由（3）可知当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形；
当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形；
综上所述：当或时，正方形与长方形的重叠部分为三角形．
【点睛】本题是四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
20．如图：已知在平面直角坐标系中，是矩形，，，点P是边边上一动点，联结，将四边形沿所在直线翻折，落在的位置，点A、B的对应点分别为点E、F，边与边的交点为点G．【版权所有：21教育】
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(1)当P坐标为时，求G点坐标，和直线的解析式．
(2)过G作交于H，若；，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(3)联结并延长与线段交于点M，当时以为腰的等腰三角形时求P点坐标．
【答案】(1)G（，2），y= x+12
(2)（0≤x≤3）
(3)P（，2）或（1，2）．
【分析】（1）设PG=a，先求出GD=3a，再根据勾股定理求出点G的坐标，由点C的坐标可求出直线CF的解析式；2-1-c-n-j-y
（2）由折叠的性质得出DG=5-（5-y）-x=y-x，利用勾股定理得出；
（3）分两种情况解答：①当MG=MP时，得到△APO≌△DGC，由AP=DG，得到，求解即可；②当MG=PG时，先得出△AOP，△DPC，△OPC均为直角三角形，利用勾股定理得到AP2+AO2+DP2+CD2=BC2，列出关于x的方程，得出结果．21*cnjy*com
【详解】（1）解：（1）设PG=a，
∵四边形OADC是矩形，
∴AD∥OC，
∴∠GPC=∠PCO，
由折叠得：∠PCO=∠PCG，
∴∠PCG=∠GPC，
∴PG=GC=a，
∵OA=2，OC=5，P（2，2），
∴PD=5-2=3，
∴GD=3-a，
在Rt△GDC中，GD2+DC2=CG2，
∴22+（3-a）=a2，
∴a=PG=，
∴AG=2+=，
∴G（，2），
∵C（5，0），
设直线CF为：y=kx+b，则
，解得：，
∴直线CF为：y= x+12，
∴G（，2）．
（2）解：∵P（x,2），H（y，0），
由对称性可知：∠OCP=∠FCP，OC=CF，
∵GH⊥PC，
∴CG=CH，
∴FG=OH=y,AP=x,
∴CG=CF-FG=5-y,
∴PG=5-y，
∴DG=5-（5-y）-x=y-x，
在Rt△DGC中，CD2+DG2=CG2，
∴（y-x）2+22=（5-y）2，
∴，
当CF与CD重叠时，G与D重合，此时AP=5-2=3，
∴（0≤x≤3）．
（3）解：∵△PGM时以MG为腰的等腰三角形，MG=MP或MG=PG，
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①当MG=MP时，∠MPG=∠MGP，∠APO=∠MPG，∠MGP=∠DGC，
∴∠APO=∠DGC，
在△APO与△DGC中，
，
∴△APO≌△DGC（AAS），
∴AP=DG，
∴y=2x，
∴
∴3x2-20x+21=0，
∴，
∵（舍去），
∴；
②当MG=PG时，∠MPG=∠PMG，∠MOC=∠MPG，
∴CM=CO，
∵∠OCP=∠MCP，
∴∠OPC=∠MPC=90°，
∴CP⊥OP，
∴△AOP，△DPC，△OPC均为直角三角形，
∴AP2+AO2=OP2，PD2+CD2=CP2，OP2+CP2=OC2，
∴AP2+AO2+DP2+CD2=BC2，
∴x2+22+（5-x）2+22=52，
∴x2-5x+4=0，解得：x=1或x=4＞3（舍去），
综上，AP为或1，
∴P（，2）或（1，2）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，一次函数的应用，勾股定理等知识点，分类讨论是解题的关键．
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专题09 特殊平行四边形的动点问题（最新名校期末真题）（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在菱形中，，，点、同时由、两点出发，分别沿、方向向点匀速移动（到点为止），点的速度为，点的速度为，经过秒为等边三角形，则的值为（ ）21教育网
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A． B． C． D．
2．如图，菱形ABCD的对角线 ( http: / / www.21cnjy.com )相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且点P不与点B、C重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，则EF的最小值为（　　）
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A．4 B．4.8 C．5 D．6
3．如图所示，在菱形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠A=60°，AB=2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（　　）21cnjy.com
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A．1 B． C． D．
4．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8 ，最小值为8，则菱形ABCD的边长为( ) www.21-cn-jy.com
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A．4 B．10 C．12 D．16
5．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有 ADCE中，DE最小的值是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，在矩形ABCD中，点O为对角线的 ( http: / / www.21cnjy.com )交点，点E为CD上一点，沿BE折叠，点C恰好与点O重合，点G为BD上的一动点，则EG+CG的最小值m与BC的数量关系是（　　）www-2-1-cnjy-com
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A．m=BC B．m=BC C．m=BC D．2m=BC
7．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合．已知AB=，P、Q分别是AC、BC上的动点,当四边形DPBQ为平行四边形时，平行四边形DPBQ的面积是（ ）2-1-c-n-j-y
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A． B． C． D．
8．如图，已知菱形ABCD的顶点A（ ( http: / / www.21cnjy.com )0，﹣1），∠DAC＝60°．若点P从点A出发，沿A→B→C→D→A…的方向，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，则第2020秒时，点P的坐标为（　　）
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A．（2，0） B．（，0） C．（﹣，0） D．（0，1 ）
9．如图所示，四边形OABC为正方形，边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为6，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为(2，0)，P是OB上的动点，试求PDPA和的最小值是（ ）21*cnjy*com
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A．2 B． C．2 D．6
10．如图，在ABCD中，∠ABC=45°，BC=4，点F是CD上一个动点，以FA、FB为邻边作另一个AEBF，当F点由D点向C点运动时，下列说法正确的选项是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
①AEBF的面积先由小变大，再由大变小；②AEBF的面积始终不变；③线段EF最小值为
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A．① B．② C．①③ D．②③
二、填空题
11．如图，在平面直角坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标系中，AD∥BC，AD=5，B（-3，0），C（9，0），点E是BC的中点，点P是线段BC上一动点，当PB=________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形.
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12．如图，在矩形ABCD中，BC=20 ( http: / / www.21cnjy.com )cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快______s后，四边ABPQ成为矩形．
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13．如图，菱形的边在轴上，顶点坐标为，顶点坐标为，点 在轴上，线段轴，且点坐标为，若菱形沿轴左右运动，连接、，则运动过程中，四边形周长的最小值是_______．21·世纪*教育网
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14．如图，平行四边形中，cm，cm，点在边上以每秒1cm的速度从点、A向点运动，点在边上，以每秒4cm的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止）在运动以后，当 ______ 时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．【来源：21·世纪·教育·网】
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15．如图，正方形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )的边长是9，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，CF＝4，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点A′，D′处，当点D′落在直线BC上时，线段AE的长为_____．【出处：21教育名师】
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三、解答题
16．如图，长方形中，cm，cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A—B—C—D—A返回到点A停止，点P的运动时间为t秒．【版权所有：21教育】
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(1)当秒时，　 　cm；
(2)Q为边上的点，且，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与全等．
17．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，B的坐标分别为，，，动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿着O→A→B→C运动，设点P运动的时间为t秒（）．21世纪教育网版权所有
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(1)点D的坐标是 ；点E的坐标是 ；
(2)当点P在OA上运动时，连接PE，ED，当为直角时，求点P的坐标；
(3)在整个运动过程中，当是以PE为腰的等腰三角形时，求t的值．
18．如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为．21教育名师原创作品
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(1)CD边的长度为______cm，t的取值范围为______．
(2)从运动开始，当t取何值时，？
(3)从运动开始，当t取何值时，？
19．如图，长方形中，，，，动点P从点B出发，以每秒的速度沿的方向，向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒的速度沿的方向向终点C运动．以为边向右上方作正方形，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点同时出发，运动时间为t秒．21*cnjy*com
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(1)当时，＝______（用含t的代数式表示）；
(2)当点N落在边上时，求t的值；
(3)当正方形与长方形的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）；
(4)请直接写出当t满足什么条件时，正方形与长方形的重叠部分为三角形．
20．如图：已知在平面直角坐标系中，是矩形，，，点P是边边上一动点，联结，将四边形沿所在直线翻折，落在的位置，点A、B的对应点分别为点E、F，边与边的交点为点G．21·cn·jy·com
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(1)当P坐标为时，求G点坐标，和直线的解析式．
(2)过G作交于H，若；，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(3)联结并延长与线段交于点M，当时以为腰的等腰三角形时求P点坐标．
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