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矢量场的通量与散度
矢量场的通量与散度1.矢量线意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。矢量线方程：矢量线OM概念：矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向;矢量线的疏密则代表该点矢量场的强度。3.矢量场的散度为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：称为矢量场的散度。散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。直角坐标系下散度表达式的推导由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为不失一般性，令包围P点的微体积 V为一直平行六面体，如图所示。则oxy在直角坐标系中计算zzDxDyDP根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P穿出该六面体的净通量为圆柱坐标系球坐标系直角坐标系散度的表达式：散度的有关公式：4.散度定理体积的剖分VS1S2en2en1S从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。（高斯定理）如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。环流的概念矢量场对于闭合曲线C的环流定义为该矢量对闭合曲线C的线积分，即如果矢量场对于闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。2.矢量场的旋度（ ）（1）环流面密度称为矢量场在点M处沿方向的环流面密度。特点：其值与点M处的方向有关。过点M作一微小曲面 S，它的边界曲线记为C，曲面的法线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当 S 0时，极限而推导的示意图如图所示。oyDzDyCMzx1234计算 的示意图直角坐标系中 、 、 的表达式于是同理可得故得概念：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向，即物理意义：旋涡源密度矢量。性质：（2）矢量场的旋度旋度的计算公式:直角坐标系圆柱坐标系球坐标系

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